1

Prognozowanie popytu

1.Wstęp

Analizę profilu popytu należy rozpocząć od stworzenia rozkładu częstości występowania

poszczególnych wartości popytu. Następnie znajduje się maksymalną

max

x

oraz minimalną

min

x

wartość

popytu występującą w analizowanym okresie. Przedział (

min

x

,

max

x

) dzieli się na określoną liczbę

przedziałów k . Dla określonej liczebności zbiorowości N liczba przedziałów powinna spełniać jeden z

poniższych warunków:

•

N

k

log

5

⋅

≤

,

•

N

k

log

322

,

3

1

⋅

+

=

.

Rozpiętość przedziału, tzw. interwał można wyznaczyć ze wzoru:

•

k

x

x

i

min

max

−

=

.

Liczność poszczególnych przedziałów przedstawia się w formie graficznej w postaci tzw.

histogramu. Otrzymany wykres jest wyznaczonym empirycznie profilem popytu. Do przeprowadzania

obliczeń związanych z zarządzaniem zapasami niezbędne jest dobranie odpowiedniego rozkładu

teoretycznego.

Najczęściej stosowanymi, do analizy popytu, rozkładami teoretycznymi są:

• rozkład Poissona,
• rozkład Normalny,
• rozkład Wykładniczy.

Jako kryterium wyboru stosuje się porównanie wartości średniej (oczekiwanej) popytu x oraz

odchylenia standardowego

σ . Odchylenie standardowe dla wartości popytu ze zbioru

{

}

n

x

x

x

x

,...,

,

,

3

2

1

wyznacza się ze wzoru:

(

)

1

1

2

−

−

=

∑

=

n

x

x

n

i

i

σ

, gdzie:

i

x

- wartości popytu w kolejnych okresach,

n

- liczba okresów.

Jeżeli:

•

2

σ

≈

x

- rozkład Poissona,

2

•

2

σ

>

x

- rozkład Normalny,

•

σ

=

x

- rozkład Wykładniczy.

Odchylenie standardowe mówi o tym, jaki jest rozrzut wartości cechy od wartości średniej.

Do porównania zróżnicowania kilku zbiorowości stosuje się tzw. współczynnik zmienności.

Współczynnik zmienności pozwala na identyfikację rozkładu. Wyraża się wzorem:

x

v

σ

=

2.Prognozowanie popytu

Wykonanie dokładnej prognozy popytu pozwala przedsiębiorstwom na utrzymywanie mniejszego

zapasu bezpieczeństwa, przy zachowaniu odpowiedniego poziomu realizacji zleceń. Metody

prognozowania popytu mogą zostać podzielone na:

1. metody szeregów czasowych, które są funkcją wcześniejszych wartości popytu,

2. metody przyczynowo skutkowe, które uwzględniają wpływ czynników zewnętrznych np.

zmian pogody.

Do prognozowania stosuje się najczęściej metody szeregów czasowych. Nie wymagają

pozyskiwania danych zewnętrznych. Metody te oparte są na opracowanych modelach matematycznych.

Można je podzielić na:

1. Metody prognozowania krótkoterminowego dla szeregów czasowych, które

nie charakteryzuje zmienność trendu. Wyróżnia się tu:

• średnią arytmetyczną,
• średnią arytmetyczną ruchomą,
• wygładzenie wykładnicze wg modelu Browna.

2. Metody prognozowania krótkoterminowego, przy występowaniu zmian trendu:

• wygładzenie wykładnicze wg modelu Holta.

3. Metody prognozowania długoterminowego, przy braku sezonowości:

• regresja liniowa.

4. Metody prognozowania długoterminowego popytu, który charakteryzuje się zmiennością

sezonową:

• metoda Wintera,
• metody współczynników sezonowości.

3

2.1.Modele prognozowania krótkoterminowego bez wahań popytu

2.1.1.Średnia arytmetyczna

Do wyznaczenia prognozy

1

+

n

P

dla okresu

1

+

n

, za pomocą średniej arytmetycznej,

wykorzystuje się wartości od 1 do

n

.

n

x

P

n

i

i

n

∑

=

+

=

1

1

2.1.2.Średnia arytmetyczna ruchoma

Do wyznaczenia prognozy

1

+

n

P

dla okresu

1

+

n

, za pomocą średniej arytmetycznej ruchomej

obejmującej k okresów wykorzystuje się wartości popytu z okresów:

(

) ( )

n

k

n

,...,

1

−

+

.

k

x

P

n

k

n

i

i

n

∑

−

+

=

+

=

1

1

2.1.3.Wygładzenie wykładnicze według modelu Browna

Do wyznaczenia prognozy

1

+

n

P

dla okresu

1

+

n

, za pomocą wygładzenia wykładniczego

wg modelu Browna wykorzystuje się następujący wzór:

(

)

n

n

n

n

P

x

P

P

−

⋅

+

=

+

α

1

, gdzie:

•

n

P

- prognoza na okres „n”

•

n

x

- wartość popytu w okresie „n”

•

α - stała wygładzenia z przedziału

1

;

0

Dla wartości α = 0,5 takie same wagi są zarówno dla obserwacji historycznych jak

i teraźniejszych. Im α bliższe 1, tym większa waga przykładana jest do najnowszych obserwacji

rzeczywistych wielkości popytu, a budowana prognoza będzie uwzględniała w bardzo wysokim stopniu

błędy ex post prognoz poprzednich. Jeżeli parametr wygładzania α jest bliższe 0, wówczas ważniejsze są

obserwacje wcześniejsze, a budowana prognoza będzie uwzględniała w małym stopniu błędy ex post

prognoz poprzednich.

2.2.Modele prognozowania krótkoterminowego z wahaniami popytu

Model Holta umożliwia wyznaczenie przyrostu średniej. Prognozę

j

n

P

+

na okres

j

n

+ wyznacza

się ze wzoru:

j

b

a

P

n

n

j

n

⋅

+

=

+

, gdzie:

•

(

) (

)

1

1

1

−

−

+

⋅

−

+

⋅

=

n

n

n

n

b

a

x

a

α

α

,

4

•

(

) (

)

1

1

1

−

−

⋅

−

+

−

⋅

=

n

n

n

n

b

a

a

b

β

β

,

•

n

x

- wartość popytu w okresie „n”,

•

α - stała wygładzenia z przedziału

1

;

0

,

•

β

- stała wygładzenia trendu z przedziału

1

;

0

.

2.3.Prognozowanie długoterminowe

Do prawidłowego zarządzania zapasami przedsiębiorstwa niezbędne jest tworzenie prognoz

długoterminowych. Jeżeli nie występuje zróżnicowanie sezonowe popytu, to wystarczającą metodą jest

regresja liniowa oraz nieliniowa. Kryterium doboru odpowiedniego modelu stanowi wartość

współczynnika determinacji

2

R

, którego pierwiastek kwadratowy jest równy współczynnikowi korelacji.

Im większa wartość współczynnika

2

R

tym lepszy jest wybrany model. Do wyznaczenia prognozy

n

P

,

gdzie

n

jest numerem okresu, można wybrać następujące modele regresji:

• model liniowy, dla którego

,

b

n

a

P

n

+

⋅

=

• model wykładniczy, dla którego

bn

n

e

a

P

⋅

=

,

• model logarytmiczny, dla którego

( )

b

n

Ln

a

P

n

+

⋅

=

,

• model wykładniczy, dla którego

c

n

b

n

a

P

n

+

⋅

+

⋅

=

2

,

• model potęgowy, dla którego

b

n

n

a

P

⋅

=

.

2.4.Błędy prognozy

Błąd prognozy wyraża się wzorem:

i

i

i

P

x

e

−

=

, dla

.

,...,

2

,

1

n

i

=

Do całościowej oceny prognozowania dla

m

prognoz stosuje się:

• średni błąd prognozy

(

)

m

P

x

e

m

i

i

i

sr

∑

=

−

=

1

,

• średni bezwzględny błąd prognozy

m

P

x

d

m

i

i

i

∑

=

−

=

1

,

• standardowy błąd prognozy

(

)

1

2

1

−

−

=

∑

=

n

P

x

s

m

i

i

i

.

5

Do szybkiej oceny doboru modelu prognostycznego służy tzw. sygnał śledzący, umożliwiający

kontrolowanie procesu prognozowania. Wartość sygnału śledzącego

TS

wyznacza się z następującego

wzoru:

j

j

sr

j

d

e

TS

=

.

2.5.Odchylenie standardowe prognozy popytu

Wyznaczenie odchylenia standardowego prognozy popytu jest niezbędne do obliczenia zapasu

zabezpieczającego.

n

p

P

v

⋅

=

σ

W celu uproszczenia obliczeń można założyć, że współczynnik zmienności

v

jest wartością stałą.

2.6.Przebieg zajęć

Grupy otrzymały dane o popycie, na wybrany produkt, z ostatnich 24 tygodni. W trakcie zajęć

należy przeprowadzić prognozę ex-post popytu dla wybranego produktu na podstawie danych z

pierwszych 20 tygodni. Na zajęciach należy przeprowadzić prognozę krótkoterminową z założeniem

braku istotnych wahań wartości popytu. Należy wykorzystać metodę średniej arytmetycznej, średniej

arytmetycznej ruchomej oraz metodę opartą na modelu Browna. Porównać metody wykorzystując błędy

prognozy oraz wybrać najlepszą.

Do raportu końcowego należy przeprowadzić dodatkowo prognozę długoterminową na kolejne 6

miesięcy, korzystając z metod regresji liniowej oraz nieliniowej. Wybrać najlepszy model. Należy

również wykonać empiryczny rozkład popytu oraz dopasować do niego odpowiedni rozkład teoretyczny.

6

Tabela 1 Tabela z obliczeniami

Średnie Model

Browna

i

i

x

arytmetyczna

ruchoma

=

α

=

α

=

α

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24