Ćwiczenie 7
Badanie zależności oporu elektrycznego różnych ciał stałych
od temperatury
Opracowanie: M. Olszowy
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest pomiar zależności oporu elektrycznego metalu, stopu oporowego i
półprzewodnika od temperatury, wyznaczenie współczynników temperaturowych oporu tych
ciał i szerokości przerwy energetycznej półprzewodnika.
Obowiązujący zakres materiału
1. Pasmowa teoria ciał stałych. Zapełnienie pasm energetycznych przez elektrony.
2.
Metale. Klasyczna i kwantowa teoria przewodnictwa metali.
3.
Zależność przewodnictwa elektrycznego metali od temperatury. Rozpraszanie
elektronów na fononach i domieszkach.
4.
Elektrony i dziury w półprzewodnikach. Mechanizmy generacji i rekombinacji
elektronów i dziur.
5. Ruchliwość nośników w półprzewodnikach. Przewodnictwo samoistne i domieszkowe
półprzewodników.
6. Złącza półprzewodnikowe. Przyrządy półprzewodnikowe. Parametry termistorów.
7. Stopy oporowe. Skład i opór właściwy stopów oporowych.
Literatura
1. C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN 2001.
2. A. Sukiennicki, A. Zagórski, Fizyka ciała stałego, WN-T 1984.
3. A. Świt, J. Pułtorak, Przyrządy półprzewodnikowe, WN-T 1979.
4. Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, cz. III, Oficyna Wydawnicza PWr., Wrocław 1999.
Wyposażenie
Termostat + termometr
Rezystory (metal, stop oporowy, półprzewodnik)
Regulator temperatury z czujnikiem Pt-100
Autotransformatory, 2 szt.
Mostek Wheatstone’a TMW-5 z galwanometrem
Zasilacz DC
Woltomierz AC
Układ pomiarowy
Układ pomiarowy przedstawiony jest na Rys. 1.
1
Rys. 1. Układ do pomiaru zależności oporu elektrycznego od temperatury.
Podstawy teoretyczne
Ciała stałe z punktu widzenia zdolności przewodzenia prądu elektrycznego można podzielić na
trzy grupy: przewodniki, półprzewodniki i izolatory (dielektryki). Przewodność właściwa tych
ciał zmienia się w bardzo szerokim zakresie. Ciała o przewodności właściwej większej od
10
7
-1
m
–1
zaliczamy do przewodników, gdy przewodność materiału jest mniejsza od 10
-8
-1
m
–1
, to mamy do czynienia z izolatorami, natomiast ciała o przewodności pośredniej
zaliczamy do obszernej grupy półprzewodników. Do najważniejszych półprzewodników należą
krzem, german i arsenek galu. Prawie dla wszystkich metali i półprzewodników przewodność
właściwa, a tym samym opór właściwy, są zależne od temperatury w odróżnieniu od stopów
oporowych, np. konstantanu (Cu + Ni), którego opór w zasadzie wykazuje stałość przy
zmianach temperatury.
Zrozumienie wielu własności ciał stałych, zwłaszcza własności elektrycznych, oraz
przyjęcie dokładniejszego kryterium podziału ciał na grupy wymaga opisu zachowania się w
nich elektronów.
Własności elektronów w ciałach stałych wynikają z ich oddziaływania między sobą i z
atomami (jonami) sieci. Każde z tych oddziaływań jest bardzo skomplikowane. Do analizy
zachowania się elektronów w sieci stosujemy dwa przybliżenia: przybliżenie elektronów prawie
swobodnych i przybliżenie silnie związanych elektronów. W obu przypadkach otrzymujemy
pewne zakresy energii dozwolone dla elektronów, które nazywamy pasmami energetycznymi
oraz zakresy energii zabronione dla elektronów, nazywane przerwami energetycznymi
(pasmami wzbronionymi). Dozwolony poziom energii, zgodnie z zasadą Pauliego, może być
obsadzony przez najwyżej dwa elektrony różniące się spinem. Pasmo energetyczne stanowi
układ dyskretnych, leżących bardzo blisko siebie podpoziomów energetycznych. Odległości w
skali energii między podpoziomami w paśmie są tak małe, że pasma energetyczne można
traktować jako ciągłe.
W przewodnictwie ciał stałych najważniejszą rolę odgrywają dwa pasma energetyczne:
pasmo podstawowe (walencyjne), które odpowiada nie wzbudzonym elektronom pochodzącym
z zewnętrznych (walencyjnych) powłok atomowych i najbliższe pasmo stanów wzbudzonych
2
tych elektronów, które nazywamy pasmem przewodnictwa. Pasmo walencyjne i pasmo
przewodnictwa jest oddzielone pasmem energii wzbronionych (przerwą) o szerokości W
g
= E
c
–
E
v
(Rys. 2). Wzajemne ułożenie pasm i ich zapełnienie przez elektrony decyduje o
własnościach elektrycznych ciał stałych, a także jest podstawą podziału ciał na metale,
półprzewodniki i dielektryki.
Rys. 2. Uproszczony model pasmowy metalu (a) i półprzewodnika (b).
W przewodnikach elektrony walencyjne tylko częściowo wypełniają pasmo
przewodnictwa. W niecałkowicie zapełnionym paśmie pole elektryczne może spowodować
przeniesienie elektronów na wyższe nie zajęte poziomy energetyczne, tworząc uporządkowany
ruch ładunków, czyli prąd. W dielektrykach i półprzewodnikach pasmo podstawowe jest
całkowicie zapełnione, a pasmo przewodnictwa całkowicie puste. Różnica między
półprzewodnikiem samoistnym a dielektrykiem jest tylko ilościowa - szerokość pasma
wzbronionego W
g
w półprzewodniku jest mniejsza aniżeli w dielektryku. Umownie za
półprzewodnik uważa się ciało w którym W
g
2 eV.
Metale
Metale charakteryzują się bardzo dużą koncentracją swobodnych elektronów n, która nie zależy
od temperatury. Przewodność właściwa metali jest określona wzorem
= en ,
(1)
gdzie
jest ruchliwością swobodnych nośników ładunku, którą definiuje się jako stosunek
prędkości dryfu do wartości przyłożonego natężenia pola elektrycznego.
W metalach rozróżniamy dwa podstawowe mechanizmy rozpraszania elektronów:
rozpraszanie elektronów na fononach, które występuje w dostatecznie wysokich temperaturach
(powyżej 100 K) oraz rozpraszanie elektronów na domieszkach, które dominuje w
temperaturach bardzo niskich (rzędu kilku K). Ze wzrostem temperatury maleje zatem
ruchliwość i przewodność właściwa metali. W dostatecznie wysokich temperaturach
T
~
1
,
(2)
3
gdzie jest opornością właściwą. Zależność (T) dla większości metali jest w przybliżeniu
liniowa w szerokim zakresie temperatur. Na rys. 3 przedstawiono przykładowo temperaturową
zależność oporności właściwej dla miedzi. Dla takich liniowych zależności
Rys. 3. Oporność właściwa miedzi w zależności od temperatury.
przybliżony wzór empiryczny ma postać:
0
0
0
T
T
T
,
(3)
gdzie jest współczynnikiem temperaturowym oporności właściwej, T
0
wybraną temperaturą
odniesienia (najczęściej T
0
=293 K, co odpowiada temperaturze pokojowej) i
0
jest opornością
właściwą w tej temperaturze. Dla Cu oporność
0
= 1,6910
–8
m. Ponieważ bezpośrednio
mierzoną wielkością jest rezystancja metalu R, a nie oporność , a we wzorze (3) występuje
tylko różnica temperatury, w obliczeniach możemy posłużyć się skalą Celsjusza i wzór ten
zapisać w postaci
R
t
=R
0
[1+ ( t-t
0
)]= R
0
+
( t-t
0
) ;
= R
0
;
=
0
R
.
(4)
Przyjmując rezystancję odniesienia R
0
jako rezystancję w temperaturze pokojowej,
współczynnik temperaturowy oporu obliczamy ze wzoru
C
t
R
R
R
t
0
20
20
20
.
(5)
Stopy oporowe
Stopy oporowe charakteryzują się bardzo małym współczynnikiem temperaturowym oporu i
dużą opornością właściwą, która w zakresie temperatury pracy stopu prawie nie zależy od
temperatury. Własności te pozwala zweryfikować omawiane ćwiczenie.
4
Półprzewodniki
W półprzewodniku samoistnym, czyli w półprzewodniku o nie zakłóconej domieszkami sieci
krystalicznej, w temperaturze T
0 K pod wpływem wzbudzeń termicznych pewna liczba
elektronów z pasma podstawowego może uzyskać energię wystarczającą do przekroczenia
przerwy W
g
i przejść do pasma przewodnictwa. Pasmo przewodnictwa jest wtedy obsadzone
pewną liczbą elektronów, które mogą uczestniczyć w przewodzeniu prądu. W
półprzewodnikach, które charakteryzują się niskimi wartościami W
g
(
0.1 eV) zjawisko to
zachodzi już w temperaturze pokojowej. Wskutek ubytku elektronów w paśmie podstawowym
powstają wolne poziomy energetyczne, co powoduje, że może również w nich zachodzić
przewodzenie prądu. Ten ubytek elektronów traktuje się jako istnienie dodatniego nośnika
ładunku, tzw. dziury. Proces przenoszenia elektronów z pasma podstawowego do pasma
przewodnictwa i powstanie w wyniku tego dziury w paśmie podstawowym nazywany jest
generacją cieplną par elektron - dziura. Ze wzrostem temperatury półprzewodnika rośnie liczba
takich par. Istnieje również proces odwrotny, czyli przenoszenie elektronów z pasma
przewodnictwa do pasma podstawowego, który nazywamy rekombinacją par elektron - dziura.
Przyłożenie do półprzewodnika pola elektrycznego powoduje, że płynie w nim prąd elektryczny
wywołany ruchem dziur w paśmie podstawowym (tzw. prąd dziurowy) i ruchem elektronów w
paśmie przewodnictwa (tzw. prąd elektronowy). Dla półprzewodnika samoistnego koncentracja
elektronów przewodnictwa n i koncentracja dziur p są sobie równe n = p. Istnienie dwóch
typów prądów jest charakterystyczną cechą półprzewodników.
W praktyce mamy do czynienia z półprzewodnikami niesamoistnymi, w których sieć
krystaliczna ma zniekształcenia wywołane różnego rodzaju defektami, bądź celowo
wprowadzonymi w procesie produkcyjnym domieszkami obcego pierwiastka. Wprowadzenie
do półprzewodnika domieszek w sposób bardzo istotny wpływa na jego własności elektryczne.
W aspekcie struktury pasmowej domieszkowanie, w zależności od rodzaju domieszki, oznacza
pojawienie się w przerwie energetycznej dodatkowych poziomów energetycznych. Poziom
donorowy powstaje w pobliżu dna pasma przewodnictwa E
c
, gdy atom domieszki oddaje
elektron do pasma przewodnictwa (donor). Poziom akceptorowy powstaje tuż nad
wierzchołkiem pasma walencyjnego E
v
, gdy atom wychwytuje elektron z tego pasma (akceptor)
pozostawiając w tym paśmie dziurę, biorącą udział w przewodzeniu prądu. Ponieważ poziomy
domieszkowe leżą bardzo blisko od odpowiednich pasm w porównaniu z szerokością pasma
wzbronionego W
g
, to też łatwiej uzyskuje się nośniki prądu pochodzące od domieszek niż
nośniki samoistne. Półprzewodniki domieszkowe z reguły składają się z obu typów domieszek,
czyli przewodnictwo elektryczne ma charakter mieszany. Jeśli jednak przeważa przewodnictwo
dziurowe, to półprzewodnik taki nazywamy półprzewodnikiem typu p, a w przypadku
dominacji przewodnictwa elektronowego
półprzewodnikiem typu n.
Przewodność właściwą półprzewodników opisuje się następującą zależnością
= e (n
n
+ p
p
), (6)
gdzie n i p jest koncentracją elektronów i dziur, a
n
i
p
odpowiednio ich ruchliwością.
Ruchliwość nośników słabo zależy od temperatury. Dla półprzewodników samoistnych i
domieszkowych zależność przewodności elektrycznej od temperatury jest uwarunkowana
głównie zależnością koncentracji nośników od temperatury. W obszarze niskich temperatur
dominuje przewodnictwo domieszkowe, w temperaturach wysokich przeważa przewodnictwo
samoistne. Przewodność właściwa związana jest z temperaturą silną zależnością typu
wykładniczego
kT
W
g
2
exp
0
, (7)
5
gdzie
0
oznacza stałą materiałową dla danego półprzewodnika o wymiarze przewodności
elektrycznej, a k stałą Boltzmanna. Ponieważ
=1/, to
kT
W
g
2
exp
.
(8)
Zależność tego samego typu musi spełniać wyrażenie na opór półprzewodnika
T
B
R
R
T
exp
, (9)
gdzie
R oznacza opór elektryczny w temperaturze T=
, a B=W
g
/(2k) jest stałą materiałową,
wyrażoną w kelvinach.
Logarytmując stronami równanie (9) otrzymamy
T
B
R
R
T
ln
ln
. (10)
Zatem rysując wykres zależności ln R
T
= f(1/T) powinniśmy otrzymać linię prostą, której
współczynnik kierunkowy tg = B, natomiast przecięcie tej prostej z osią rzędnych wyznacza
nam opór półprzewodnika w temperaturze T=
. Przebieg zależności (9) i (10) przedstawiono
na Rys. 4.
(a) (b)
Rys. 4. Zależność rezystancji od temperatury (a) oraz zależność lnR
T
= f(1/T) (b) dla
półprzewodników.
W omawianym ćwiczeniu elementem półprzewodnikowym jest termistor typu NTC
(negative temperature coefficient), którego rezystancja maleje ze wzrostem temperatury.
Charakterystyka tego termistora odpowiada zależności R
T
=f(T) pokazanej na Rys. 4.
Termistory
NTC są zbudowane ze spieków sproszkowanych polikrystalicznych półprzewodników. Stosuje
się je do pomiarów i regulacji temperatury, kompensacji temperaturowej, opóźnienia
czasowego itp.
Współczynnik temperaturowy oporu
T
termistora zdefiniowany jest wzorem
dT
dR
R
T
T
T
1
.
(11)
6
Z zależności (9) mamy
T
T
R
T
B
T
B
T
B
R
dT
dR
2
2
exp
, (12)
czyli współczynnik
T
można obliczyć ze wzoru
2
T
B
T
. (13)
W przypadku termistorów często podaje się dwa jego parametry, określone w temperaturze
25
0
C: znormalizowaną rezystancję R
25
i współczynnik temperaturowy
25
. Wartość tego
współczynnika można wyznaczyć znając stałą materiałową B z zależności
K
B
%
100
298
2
25
. (14)
Wykonanie ćwiczenia
1.
Połączyć układ według schematu przedstawionego na Rys. 1.
2.
Przed włączeniem układu grzejnego zmierzyć rezystancję badanych elementów w
temperaturze pokojowej.
3.
Dobrać odpowiednie wartości napięcia na autotransformatorach i zasilaczu DC, a także
ustawić odpowiednią wartość temperatury na regulatorze temperatury.
4.
Włączyć grzejnik termostatu i przeprowadzić pomiary rezystancji badanych rezystorów w
zależności od temperatury, np. co 5
0
C, w zakresie od temperatury pokojowej do 90
0
C.
5.
Wyniki pomiarów zanotować w tabelach pomiarów.
Opracowanie wyników
1.
Sporządzić wykresy R
t
= f (t) dla wszystkich badanych elementów.
2.
Posługując się metodą regresji liniowej określić, na podstawie danych do wykresu
R
t
=f(t) dla metalu i zależności (4), współczynnik kierunkowy prostej
a następnie
współczynnik temperaturowy oporu
i niepewność
3.
Wykonać wykres ln R
T
= f (1000/T) dla termistora, a następnie metodą regresji
liniowej wyznaczyć stałą materiałową B termistora i niepewność
B. Należy pamiętać,
że współczynnik kierunkowy prostej
B
m
3
10
.
4.
Obliczyć wartości
T
termistora dla każdego punktu pomiarowego ze wzoru (13) i
narysować wykres zależności
T
= f(T).
5.
Wyznaczyć parametr termistora
25
oraz rezystancję znormalizowaną R
25
(w
temperaturze 298 K).
6.
Obliczyć szerokość pasma wzbronionego ze wzoru W
g
= 2kB i niepewność
W
g
(w eV).
7.
Porównać uzyskane wyniki z wartościami tablicowymi i przeprowadzić dyskusję
niepewności pomiarowych.
7
Tabela 1
Metal (
zaciski 1
2)
Stop oporowy
(zaciski 1
4)
Lp.
t [
0
C]
R [
]
Lp.
t [
0
C]
R [
]
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
6.
6.
7.
7.
8.
8.
9.
9.
10.
10.
11.
11.
12.
12.
13.
13.
14.
14.
C
8
Tabela 2
Półprzewodnik - termistor (zaciski 1
3)
Lp.
t [
0
C]
R [
] T [K] 1000/T [K
-1
]
ln R
T
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
25
= ......[%/K] R
25
= ...... [
] B.............
W
g
W
g
= ....….[eV]
9
Document Outline