Ćwiczenie 7

Badanie zależności oporu elektrycznego różnych ciał stałych

od temperatury

Opracowanie: M. Olszowy

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest pomiar zależności oporu elektrycznego metalu, stopu oporowego i
półprzewodnika od temperatury, wyznaczenie współczynników temperaturowych oporu tych
ciał i szerokości przerwy energetycznej półprzewodnika.

Obowiązujący zakres materiału

1. Pasmowa teoria ciał stałych. Zapełnienie pasm energetycznych przez elektrony.

2.

Metale. Klasyczna i kwantowa teoria przewodnictwa metali.

3.

Zależność przewodnictwa elektrycznego metali od temperatury. Rozpraszanie
elektronów na fononach i domieszkach.

4.

Elektrony i dziury w półprzewodnikach. Mechanizmy generacji i rekombinacji
elektronów i dziur.

5. Ruchliwość nośników w półprzewodnikach. Przewodnictwo samoistne i domieszkowe

półprzewodników.

6. Złącza półprzewodnikowe. Przyrządy półprzewodnikowe. Parametry termistorów.
7. Stopy oporowe. Skład i opór właściwy stopów oporowych.

Literatura

1. C. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, PWN 2001.
2. A. Sukiennicki, A. Zagórski, Fizyka ciała stałego, WN-T 1984.
3. A. Świt, J. Pułtorak, Przyrządy półprzewodnikowe, WN-T 1979.
4. Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, cz. III, Oficyna Wydawnicza PWr., Wrocław 1999.

Wyposażenie

 Termostat + termometr
 Rezystory (metal, stop oporowy, półprzewodnik)
 Regulator temperatury z czujnikiem Pt-100
 Autotransformatory, 2 szt.
 Mostek Wheatstone’a TMW-5 z galwanometrem
 Zasilacz DC
 Woltomierz AC

Układ pomiarowy

Układ pomiarowy przedstawiony jest na Rys. 1.

1

Rys. 1. Układ do pomiaru zależności oporu elektrycznego od temperatury.

Podstawy teoretyczne

Ciała stałe z punktu widzenia zdolności przewodzenia prądu elektrycznego można podzielić na
trzy grupy: przewodniki, półprzewodniki i izolatory (dielektryki). Przewodność właściwa tych
ciał zmienia się w bardzo szerokim zakresie. Ciała o przewodności właściwej większej od
10

7



-1

 m

–1

zaliczamy do przewodników, gdy przewodność materiału jest mniejsza od 10

-8



-1

 m

–1

, to mamy do czynienia z izolatorami, natomiast ciała o przewodności pośredniej

zaliczamy do obszernej grupy półprzewodników. Do najważniejszych półprzewodników należą
krzem, german i arsenek galu. Prawie dla wszystkich metali i półprzewodników przewodność
właściwa, a tym samym opór właściwy, są zależne od temperatury w odróżnieniu od stopów
oporowych, np. konstantanu (Cu + Ni), którego opór w zasadzie wykazuje stałość przy
zmianach temperatury.

Zrozumienie wielu własności ciał stałych, zwłaszcza własności elektrycznych, oraz

przyjęcie dokładniejszego kryterium podziału ciał na grupy wymaga opisu zachowania się w
nich elektronów.

Własności elektronów w ciałach stałych wynikają z ich oddziaływania między sobą i z

atomami (jonami) sieci. Każde z tych oddziaływań jest bardzo skomplikowane. Do analizy
zachowania się elektronów w sieci stosujemy dwa przybliżenia: przybliżenie elektronów prawie
swobodnych i przybliżenie silnie związanych elektronów. W obu przypadkach otrzymujemy
pewne zakresy energii dozwolone dla elektronów, które nazywamy pasmami energetycznymi
oraz zakresy energii zabronione dla elektronów, nazywane przerwami energetycznymi
(pasmami wzbronionymi). Dozwolony poziom energii, zgodnie z zasadą Pauliego, może być
obsadzony przez najwyżej dwa elektrony różniące się spinem. Pasmo energetyczne stanowi
układ dyskretnych, leżących bardzo blisko siebie podpoziomów energetycznych. Odległości w
skali energii między podpoziomami w paśmie są tak małe, że pasma energetyczne można
traktować jako ciągłe.

W przewodnictwie ciał stałych najważniejszą rolę odgrywają dwa pasma energetyczne:

pasmo podstawowe (walencyjne), które odpowiada nie wzbudzonym elektronom pochodzącym
z zewnętrznych (walencyjnych) powłok atomowych i najbliższe pasmo stanów wzbudzonych

2

tych elektronów, które nazywamy pasmem przewodnictwa. Pasmo walencyjne i pasmo
przewodnictwa jest oddzielone pasmem energii wzbronionych (przerwą) o szerokości W

g

= E

c

–

E

v

(Rys. 2). Wzajemne ułożenie pasm i ich zapełnienie przez elektrony decyduje o

własnościach elektrycznych ciał stałych, a także jest podstawą podziału ciał na metale,
półprzewodniki i dielektryki.

Rys. 2. Uproszczony model pasmowy metalu (a) i półprzewodnika (b).

W przewodnikach elektrony walencyjne tylko częściowo wypełniają pasmo

przewodnictwa. W niecałkowicie zapełnionym paśmie pole elektryczne może spowodować
przeniesienie elektronów na wyższe nie zajęte poziomy energetyczne, tworząc uporządkowany
ruch ładunków, czyli prąd. W dielektrykach i półprzewodnikach pasmo podstawowe jest
całkowicie zapełnione, a pasmo przewodnictwa całkowicie puste. Różnica między
półprzewodnikiem samoistnym a dielektrykiem jest tylko ilościowa - szerokość pasma
wzbronionego W

g

w półprzewodniku jest mniejsza aniżeli w dielektryku. Umownie za

półprzewodnik uważa się ciało w którym W

g

 2 eV.

Metale

Metale charakteryzują się bardzo dużą koncentracją swobodnych elektronów n, która nie zależy
od temperatury. Przewodność właściwa metali jest określona wzorem

 = en ,

(1)

gdzie

 jest ruchliwością swobodnych nośników ładunku, którą definiuje się jako stosunek

prędkości dryfu do wartości przyłożonego natężenia pola elektrycznego.

W metalach rozróżniamy dwa podstawowe mechanizmy rozpraszania elektronów:

rozpraszanie elektronów na fononach, które występuje w dostatecznie wysokich temperaturach
(powyżej 100 K) oraz rozpraszanie elektronów na domieszkach, które dominuje w
temperaturach bardzo niskich (rzędu kilku K). Ze wzrostem temperatury maleje zatem
ruchliwość i przewodność właściwa metali. W dostatecznie wysokich temperaturach

T

~

1



 

,

(2)

3

gdzie  jest opornością właściwą. Zależność  (T) dla większości metali jest w przybliżeniu
liniowa w szerokim zakresie temperatur. Na rys. 3 przedstawiono przykładowo temperaturową
zależność oporności właściwej dla miedzi. Dla takich liniowych zależności

Rys. 3. Oporność właściwa miedzi w zależności od temperatury.

przybliżony wzór empiryczny ma postać:





0

0

0

T

T

T















,

(3)

gdzie  jest współczynnikiem temperaturowym oporności właściwej, T

0

wybraną temperaturą

odniesienia (najczęściej T

0

=293 K, co odpowiada temperaturze pokojowej) i

0

 jest opornością

właściwą w tej temperaturze. Dla Cu oporność

0

 = 1,6910

–8

m. Ponieważ bezpośrednio

mierzoną wielkością jest rezystancja metalu R, a nie oporność  , a we wzorze (3) występuje
tylko różnica temperatury, w obliczeniach możemy posłużyć się skalą Celsjusza i wzór ten
zapisać w postaci

R

t

=R

0

[1+ ( t-t

0

)]= R

0

+

 ( t-t

0

) ;

 =  R

0

;

 =

0

R



.

(4)

Przyjmując rezystancję odniesienia R

0

jako rezystancję w temperaturze pokojowej,

współczynnik temperaturowy oporu obliczamy ze wzoru





C

t

R

R

R

t

0

20

20

20









.

(5)

Stopy oporowe

Stopy oporowe charakteryzują się bardzo małym współczynnikiem temperaturowym oporu i
dużą opornością właściwą, która w zakresie temperatury pracy stopu prawie nie zależy od
temperatury. Własności te pozwala zweryfikować omawiane ćwiczenie.

4

Półprzewodniki

W półprzewodniku samoistnym, czyli w półprzewodniku o nie zakłóconej domieszkami sieci
krystalicznej, w temperaturze T

 0 K pod wpływem wzbudzeń termicznych pewna liczba

elektronów z pasma podstawowego może uzyskać energię wystarczającą do przekroczenia
przerwy W

g

i przejść do pasma przewodnictwa. Pasmo przewodnictwa jest wtedy obsadzone

pewną liczbą elektronów, które mogą uczestniczyć w przewodzeniu prądu. W
półprzewodnikach, które charakteryzują się niskimi wartościami W

g

(

 0.1 eV) zjawisko to

zachodzi już w temperaturze pokojowej. Wskutek ubytku elektronów w paśmie podstawowym
powstają wolne poziomy energetyczne, co powoduje, że może również w nich zachodzić
przewodzenie prądu. Ten ubytek elektronów traktuje się jako istnienie dodatniego nośnika
ładunku, tzw. dziury. Proces przenoszenia elektronów z pasma podstawowego do pasma
przewodnictwa i powstanie w wyniku tego dziury w paśmie podstawowym nazywany jest
generacją cieplną par elektron - dziura. Ze wzrostem temperatury półprzewodnika rośnie liczba
takich par. Istnieje również proces odwrotny, czyli przenoszenie elektronów z pasma
przewodnictwa do pasma podstawowego, który nazywamy rekombinacją par elektron - dziura.
Przyłożenie do półprzewodnika pola elektrycznego powoduje, że płynie w nim prąd elektryczny
wywołany ruchem dziur w paśmie podstawowym (tzw. prąd dziurowy) i ruchem elektronów w
paśmie przewodnictwa (tzw. prąd elektronowy). Dla półprzewodnika samoistnego koncentracja
elektronów przewodnictwa n i koncentracja dziur p są sobie równe n = p. Istnienie dwóch
typów prądów jest charakterystyczną cechą półprzewodników.

W praktyce mamy do czynienia z półprzewodnikami niesamoistnymi, w których sieć

krystaliczna ma zniekształcenia wywołane różnego rodzaju defektami, bądź celowo
wprowadzonymi w procesie produkcyjnym domieszkami obcego pierwiastka. Wprowadzenie
do półprzewodnika domieszek w sposób bardzo istotny wpływa na jego własności elektryczne.
W aspekcie struktury pasmowej domieszkowanie, w zależności od rodzaju domieszki, oznacza
pojawienie się w przerwie energetycznej dodatkowych poziomów energetycznych. Poziom
donorowy powstaje w pobliżu dna pasma przewodnictwa E

c

, gdy atom domieszki oddaje

elektron do pasma przewodnictwa (donor). Poziom akceptorowy powstaje tuż nad
wierzchołkiem pasma walencyjnego E

v

, gdy atom wychwytuje elektron z tego pasma (akceptor)

pozostawiając w tym paśmie dziurę, biorącą udział w przewodzeniu prądu. Ponieważ poziomy
domieszkowe leżą bardzo blisko od odpowiednich pasm w porównaniu z szerokością pasma
wzbronionego W

g

, to też łatwiej uzyskuje się nośniki prądu pochodzące od domieszek niż

nośniki samoistne. Półprzewodniki domieszkowe z reguły składają się z obu typów domieszek,
czyli przewodnictwo elektryczne ma charakter mieszany. Jeśli jednak przeważa przewodnictwo
dziurowe, to półprzewodnik taki nazywamy półprzewodnikiem typu p, a w przypadku
dominacji przewodnictwa elektronowego

 półprzewodnikiem typu n.

Przewodność właściwą półprzewodników opisuje się następującą zależnością

 = e (n

n

+ p



p

), (6)

gdzie n i p jest koncentracją elektronów i dziur, a



n

i



p

odpowiednio ich ruchliwością.

Ruchliwość nośników słabo zależy od temperatury. Dla półprzewodników samoistnych i
domieszkowych zależność przewodności elektrycznej od temperatury jest uwarunkowana
głównie zależnością koncentracji nośników od temperatury. W obszarze niskich temperatur
dominuje przewodnictwo domieszkowe, w temperaturach wysokich przeważa przewodnictwo
samoistne. Przewodność właściwa związana jest z temperaturą silną zależnością typu
wykładniczego

















kT

W

g

2

exp

0





, (7)

5

gdzie



0

oznacza stałą materiałową dla danego półprzewodnika o wymiarze przewodności

elektrycznej, a k stałą Boltzmanna. Ponieważ

 =1/, to

















kT

W

g

2

exp





.

(8)

Zależność tego samego typu musi spełniać wyrażenie na opór półprzewodnika

T

B

R

R

T

exp





, (9)

gdzie



R oznacza opór elektryczny w temperaturze T=



, a B=W

g

/(2k) jest stałą materiałową,

wyrażoną w kelvinach.

Logarytmując stronami równanie (9) otrzymamy

T

B

R

R

T







ln

ln

. (10)

Zatem rysując wykres zależności ln R

T

= f(1/T) powinniśmy otrzymać linię prostą, której

współczynnik kierunkowy tg = B, natomiast przecięcie tej prostej z osią rzędnych wyznacza
nam opór półprzewodnika w temperaturze T=



. Przebieg zależności (9) i (10) przedstawiono

na Rys. 4.

(a) (b)
Rys. 4. Zależność rezystancji od temperatury (a) oraz zależność lnR

T

= f(1/T) (b) dla

półprzewodników.

W omawianym ćwiczeniu elementem półprzewodnikowym jest termistor typu NTC

(negative temperature coefficient), którego rezystancja maleje ze wzrostem temperatury.
Charakterystyka tego termistora odpowiada zależności R

T

=f(T) pokazanej na Rys. 4.

Termistory

NTC są zbudowane ze spieków sproszkowanych polikrystalicznych półprzewodników. Stosuje
się je do pomiarów i regulacji temperatury, kompensacji temperaturowej, opóźnienia
czasowego itp.

Współczynnik temperaturowy oporu



T

termistora zdefiniowany jest wzorem

dT

dR

R

T

T

T

1





.

(11)

6

Z zależności (9) mamy

T

T

R

T

B

T

B

T

B

R

dT

dR

2

2

exp











, (12)

czyli współczynnik



T

można obliczyć ze wzoru

2

T

B

T







. (13)

W przypadku termistorów często podaje się dwa jego parametry, określone w temperaturze
25

0

C: znormalizowaną rezystancję R

25

i współczynnik temperaturowy

25

 . Wartość tego

współczynnika można wyznaczyć znając stałą materiałową B z zależności













K

B

%

100

298

2

25



. (14)

Wykonanie ćwiczenia

1.

Połączyć układ według schematu przedstawionego na Rys. 1.

2.

Przed włączeniem układu grzejnego zmierzyć rezystancję badanych elementów w

temperaturze pokojowej.

3.

Dobrać odpowiednie wartości napięcia na autotransformatorach i zasilaczu DC, a także

ustawić odpowiednią wartość temperatury na regulatorze temperatury.

4.

Włączyć grzejnik termostatu i przeprowadzić pomiary rezystancji badanych rezystorów w
zależności od temperatury, np. co 5

0

C, w zakresie od temperatury pokojowej do 90

0

C.

5.

Wyniki pomiarów zanotować w tabelach pomiarów.

Opracowanie wyników

1.

Sporządzić wykresy R

t

= f (t) dla wszystkich badanych elementów.

2.

Posługując się metodą regresji liniowej określić, na podstawie danych do wykresu
R

t

=f(t) dla metalu i zależności (4), współczynnik kierunkowy prostej

 a następnie

współczynnik temperaturowy oporu

i niepewność 

3.

Wykonać wykres ln R

T

= f (1000/T) dla termistora, a następnie metodą regresji

liniowej wyznaczyć stałą materiałową B termistora i niepewność

B. Należy pamiętać,

że współczynnik kierunkowy prostej

B

m

3

10





.

4.

Obliczyć wartości



T

termistora dla każdego punktu pomiarowego ze wzoru (13) i

narysować wykres zależności



T

= f(T).

5.

Wyznaczyć parametr termistora



25

oraz rezystancję znormalizowaną R

25

(w

temperaturze 298 K).

6.

Obliczyć szerokość pasma wzbronionego ze wzoru W

g

= 2kB i niepewność

W

g

(w eV).

7.

Porównać uzyskane wyniki z wartościami tablicowymi i przeprowadzić dyskusję
niepewności pomiarowych.

7

Tabela 1

Metal (

zaciski 1

 2)

Stop oporowy

(zaciski 1

 4)

Lp.

t [

0

C]

R [

]

Lp.

t [

0

C]

R [

]

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9.

10.

10.

11.

11.

12.

12.

13.

13.

14.

14.







C



8

Tabela 2

Półprzewodnik - termistor (zaciski 1

 3)

Lp.

t [

0

C]

R [

] T [K] 1000/T [K

-1

]

ln R

T











1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.



25

= ......[%/K] R

25

= ...... [

] B.............

W

g

W

g

= ....….[eV]

9