Przykład 1

Obliczyć obciążenie łożysk oraz narysować wykres momentu gnącego osi wskazanej rolki
urządzenia wyciągowego.
Przyjąć następujące dane:

- masa elementu podnoszonego m=500kg
- rozstaw

łożysk L=0,2m

F

m

F

S

S

Przedmiot
zainteresowania

F

F

F

S

m

F

L

Przedmiot
zainteresowania

Przypadek 1

1. Obliczenie siły F

F = m*g
F = 500kg * 9,81 m/s

2

= 4905 N

≈ 4,9 kN

2. Siła w linie S

S = F
S = 4,9 kN

3. Obciążenie rolki

Siła wypadkowa P działająca na rolkę
P =

√2 * S

P = 6930 N


4. Model fenomenologiczny rolki

5. Obliczenie reakcji (obciążenie łożysk)

R

A

= R

B

= P/2 = 3465 N

S

S

P

P

R

A

R

B

L

L

6. Moment gnący

Mg

max

= R

A

*L/2 = 346,5 Nm

P

R

A

R

B

Mg

max

Przypadek 2

1. Obliczenie siły F

F

≈ 4,9 kN

2. Siła w linie S

S = F/2
S = 2450 N

3. Obciążenie rolki

P =3465 N

4. Model bez zmian

5. Obliczenie reakcji (obciążenie łożysk)

R

A

= R

B

= P/2 = 1732 N

6. Moment gnący

Mg

max

= 173 Nm

S

S

F/2

F/2

F

F/2

F/2

Przypadek 3

1. Obliczenie siły F

F

≈ 4,9 kN

2. Siła w linie S

S = F/4
S = 1225 N

3. Obciążenie rolki

P =1732 N

4. Model bez zmian

5. Obliczenie reakcji (obciążenie łożysk)

R

A

= R

B

= P/2 = 866 N

6. Moment gnący

Mg

max

= 86,6 Nm

F

S

S

F/4 F/4 F/4

F/4

F/4 F/4 F/4

F/4

Przykład 2

Na rysunku poniżej przedstawiono postać wysięgnika promieniowego, obrotowego, zamocowanego
do słupa wykonanego z dwuteownika. Obrót wysięgnika realizowany jest w łożyskach tocznych,
zamocowanych w specjalnych oprawach. Górna część wysięgnika została ułożyskowana za pomocą
łożyska kulkowego zwykłego, dolna cześć jest umocowana w łożysku kulkowym skośnym.
Największa masa jaka może być podnoszona przez wysięgnik wynosi m.

Zadanie.
Wyznaczyć reakcje w podporach łożyskowych oraz siły wewnętrzne we wszystkich prętach.
Podnoszona masa wynosi m = 450 kg.

Dane dodatkowe:
V = 2500

[mm]

H = 2000

[mm]

h1 = 300

[mm]

h2 = 1400

[mm]

Rysunek wysięgnika.
Konieczne jest naszkicowanie wysięgnika, ze szczególnym uwzględnieniem ułożyskowania i
sposobu połączenia poszczególnych prętów. Pręty wykonane są z następujących elementów:
1 - dwuteownik
2 - dwa

płaskowniki

3 - dwa

kątowniki

1

2

3

α

H

h2

h1

h1

V

W pierwszym kroku zamieniamy elementy wysięgnika na elementy znane z wytrzymałości
materiałów, w tym przypadku na pręty. Należy zwrócić uwagę studentom na podpory łożyskowe
górną – przesuwną i dolną – stałą.

Patrz rysunek poniżej. Na tym rysunku pokazano, że na dolnej podporze opiera się cały wysięgnik.

W kolejnym kroku zamieniamy podpory na oznaczenia znane studentom z mechaniki i
wytrzymałości materiałów. Dorysowujemy obciążenie wysięgnika siłą F oraz reakcje w podporach.

F

R

Ax

R

Bx

R

By

V

H

x

y

α

0

Wyznaczenie kąta

α

:

]

[

25

,

29

56

,

0

56

,

0

5

,

2

4

,

1

2

°

=

=

=

=

=

arctg

V

h

tg

α

α

Wyznaczenie obciążenia:
Obciążenie w układzie pochodzi od podnoszonej masy i wynosi:

]

[

5

,

4414

81

,

9

450

N

F

g

m

F

=

⋅

=

⋅

=

(1)

Wyznaczenie reakcji w podporach:

Suma rzutów wszystkich sił na oś x:

0

0

=

+

=

∑

Bx

Ax

ix

R

R

F

(2)

Suma rzutów wszystkich sił na oś y:

0

0

=

+

−

=

∑

By

iy

R

F

F

(3)

Suma momentów wszystkich sił względem punktu 0 (początku układu współrzędnych):

0

0

=

⋅

+

⋅

=

∑

H

R

V

F

M

Ax

io

(4)

z (3) mamy

]

[

5

,

4414

N

F

R

By

=

=

(5)

z (4) mamy

]

[

13

,

5518

2000

2500

5

,

4414

N

H

V

F

R

Ax

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

(6)

z (2) mamy

]

[

13

,

5518

2000

2500

5

,

4414

N

H

V

F

R

R

Ax

Bx

=

⋅

=

⋅

=

−

=

(7)

Wyznaczenie naprężeń i sił wewnętrznych w prętach:

Rozpatrujemy fragment układu w węźle zamocowania obciążenia – siły F. Myślowo rozcinamy
pręty 2 i 3 i zaznaczamy siły wewnętrzne (odpowiednio S

2

i S

3

).

F

S

2

S

3

α

x

y

Wyznaczamy wartości sił wewnętrznych:

0

cos

0

3

2

=

⋅

−

−

=

∑

α

S

S

F

ix

(8)

0

sin

0

3

=

⋅

−

−

=

∑

α

S

F

F

iy

(9)

Z (9):

]

[

61

,

9034

25

,

29

sin

5

,

4414

sin

0

3

N

F

S

F

iy

−

=

°

−

=

−

=

=

∑

α

(10)

Z (8):

]

[

66

,

7882

25

,

29

sin

25

,

29

cos

5

,

4414

sin

cos

cos

3

2

N

F

S

S

=

°

°

⋅

=

⋅

=

⋅

−

=

α

α

α

(11)

Z uzyskanych wyników wynika, że pręt 2 będzie rozciągany (dodatnia wartość siły S

2

), zaś pręt 3

będzie ściskany (ujemna wartość siły S

3

).

Rozpatrzmy pręt 1. W tym celu należy wydzielić podukład pręta 1.

R

Ax

R

Bx

R

By

H

x

90 −

α

0

S

2

S

3

h

1

h

2

h

1

Element 1 jest belką podpartą w podporach A i B. Obciążenie pochodzące od siły F przenoszone
jest na belkę 1 poprzez pręty 2 i 3. Możemy więc rozpatrywać powyższy układ jako belkę
obciążoną siłami S

2

i S

3

. Reakcje zostały wyznaczone wcześniej. Pozostało przygotowanie

wykresów momentu gnącego. Wartości sił S

2

i S

3

zostały wyznaczone za pomocą wzorów (9) i (10)

i wynoszą:

]

[

61

,

9034

]

[

66

,

7882

3

2

N

S

N

S

−

=

=

(12)

]

[

5

,

4414

]

[

13

,

5518

]

[

13

,

5518

N

R

N

R

N

R

By

Bx

Ax

=

=

−

=

(13)

Wyznaczenie momentów gnących:

(

)

(

)

]

[

90

,

1654

3

,

0

7

,

1

66

,

7882

7

,

1

13

,

5518

1

]

[

44

,

1655

3

,

0

13

,

5518

2

2

2

2

1

1

Nm

h

x

S

x

R

M

Nm

x

R

M

Ax

g

Ax

g

=

−

⋅

+

⋅

−

=

−

⋅

+

⋅

=

−

=

⋅

−

=

⋅

=

(13)

R

Ax

R

Bx

R

By

H

90 −

α

S

2

S

3

h

1

h

2

h

1

M

g1

x

1

x

2

-

+

M

g2