O
BJĘTOŚĆ KULI
Załóżmy, że wiemy jaki jest wzór na pole powierzchni kuli. Ktoś nam powiedział.
2
4 r
P
π
=
Czy ta wiedza pomoże nam znaleźć wzór na objętość kuli? Okazuje się, że tak.
Objętość kuli jest proporcjonalna do trzeciej potęgi promienia. Możemy napisać, że
3
r
A
V
=
Naszym zadaniem jest wyznaczenie współczynnika A. Po jego wyznaczeniu będziemy znać wzór na objętość kuli.
Weźmy kulę o promieniu r. Powiększmy jej promień o bardzo mały odcinek dr. Jaka jest objętość powłoki kulistej o
grubości dr (na poniższym rysunku jest ona widoczna jako szary pierścień)? Obliczmy ją na dwa sposoby.
Powłoka ta nie jest oczywiście graniastosłupem, choćby dlatego, że górna i dolna „podstawa” (czyli powierzchnia kuli
o promieniu r + dr i powierzchnia kuli o promieniu r) nie są równe. W przybliżeniu jednak możemy napisać, że
objętość ta to dV = pole dolnej podstawy razy „wysokość” dr.
dr
r
dV
⋅
=
2
4
π
Ten wzór jest niedokładny, ale zmniejszając dr możemy wynik obliczenia uczynić dokładniejszym. Wynik ten będzie
przybliżał prawdziwą objętość tak dokładnie jak tylko chcemy, wystarczy odpowiednio zmniejszyć dr.
Inny sposób obliczenia tej objętości to odjęcie objętości kuli mniejszej od objętości kuli większej.
(
) ( ) (
)
3
3
Ar
dr
r
A
r
V
dr
r
V
dV
−
+
=
−
+
=
Korzystamy ze wzoru
(
)
3
2
2
3
3
3
3
b
ab
b
a
a
b
a
+
+
+
=
+
( ) ( )
(
)
( ) ( )
(
)
3
2
2
3
3
2
2
3
3
3
3
3
dr
dr
r
dr
r
A
Ar
dr
dr
r
dr
r
r
A
dV
+
+
=
−
+
+
+
=
Te dwie objętości dV są w przybliżeniu równe, bo pierwszy wzór jest przybliżony, a drugi dokładny. Staną się równe
wtedy, gdy będziemy zbliżać się z dr do zera.
Czyli
( ) ( )
(
)
3
2
2
2
3
3
4
dr
dr
r
dr
r
A
dr
r
+
+
=
π
gdy
0
→
dr
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2
2
2
3
2
2
2
3
3
4
:
/
3
3
4
dr
rdr
r
A
r
dr
dr
dr
r
dr
r
A
dr
r
+
+
=
+
+
=
π
π
Gdy przejdziemy z dr do zera, otrzymamy:
A
r
r
A
r
3
4
:
/
3
4
2
2
2
=
⋅
=
π
π
Stąd
π
3
4
=
A
Mamy więc wzór na objętość kuli
3
3
4
r
V
π
=
Więcej na stronie
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
czynn nauczanie objetosc graniastoslupa, Szkoła, Matematyka
Pole powierzchni i objętości brył kl3 gimn, sprawdziany, Sprawdziany Matematyka
Badanie przepływomierzy masowych i objętościowych powietrza
Przeliczanie objętości produktów na jednostki wagowe
Ćw 1 Pomiar strumienia objętości i masy płynu przy użyciu rurek spiętrzających
Eurocod 1, 1 1 Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe PN EN 1991 1 1 2004 a
Pole powierzchni i objetość brył - scenariusz III g, Matematyka dla Szkoły Podstawowej, Gimnazjum
PASZE OBJĘTOŚCIOWE, Studia, Zywienie
Wyznaczanie współczynnika rozszerzalności liniowej i objętościowej, Fizyka
Objętość zaprawy a właściwości reologiczne mieszanki betonowej i ich zmiany w czasie
Kartkówka - objętość graniastosłupa, Matematyka
CIĘZAR OBJĘTOŚCIOWY
Oznaczenie gęstości objętościowej wlasciwej, wilgotnosci
definicja objętości wyrzutowe?finicja pojemność minutowej jakie są fizjologiczne kompensacje niewydo
Pasze objętościowe suche
10. Obliczanie objętości oraz zasad rozdziału i wyrównywania, pdu
gęstosć objętosciowa 2LPH5SAS6DI7YU3U5KOAKL5O5KTLVS3ERJECJEY
więcej podobnych podstron