Politechnika Gdańska

Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Sterowanie Procesami Ciągłymi

Laboratorium termin T3

Materiały pomocnicze – regulator LQR

Opracowanie:
Mieczysław A. Brdyś, prof. dr hab. inż.
Wojci

ech Kurek, mgr inż.

Gdańsk, październik 2009

Sterowanie Procesami Ciągłymi

Polecenie do Laboratorium T2

2

W przypadku sterowania opartego na sprzężeniu od stanu obiektu, kluczowe dla jakości
działania układu jest odpowiednie wybranie położenia biegunów układu zamkniętego.
Umożliwia to uzyskanie zadowalającej dynamiki układu zamkniętego.

Niestety podejście oparte o ręczny wybór położenia biegunów układu zamkniętego nie
zapewnia optymalności otrzymanego układu. W tym celu został opracowany regulator
optymalny z kwadratowym wskaźnikiem jakości (LQR). Podejście to umożliwia określenie
optymalnej macierzy sprzężenia od stanu K umożliwiającej minimalizacje następującej
funkcji kosztów.

   

   

   





0

2

T

T

T

V

x

t Qx t

u

t Ru t

x

t Nu t

dt











Gdzie macierze

,

Q R

są diagonalnymi macierzami wag umożliwiającymi zmianę wpływu

poszczególnych zmiennych stanu i sterowao na przedstawione kryterium jakości. Natomiast

N

jest dodatkową macierzą umożliwiająca uwzględnienie wpływu sterowania na stan

układu przy projektowaniu macierzy sprzężenia od stanu. Zostanie ona pominięta w tym
przypadku.

Dla przykładu układ z trzema zmiennymi stanu i dwoma wejściami wymagałby podania
poniższych macierzy wag.

1

1

2

2

3

0

0

0

0

0 ,

0

0

0

r

Q

R

r





















 



















Odpowiedni dobór macierzy wag ma kluczowe znaczenie dla działania układu
wykorzystującego regulator LQR, ponieważ dobierając wagi można określid który
stan/sterowanie jest dla osoby projektującej regulator ‘droższy’ i dobrze byłoby
zminimalizowad jego wartości nawet kosztem pogorszenia pozostałych.

W tym przypadku prawo sterowania otrzymuje postad

u

Kx

 

Gdzie K opisane jest następującym wyrażeniem





1

T

T

K

R

B P

N







W celu wyznaczenia macierzy P należy rozwiązao ciagłe równanie Riccatiego w postaci









1

0

T

T

T

A P

PA

PB

N R

B P

N

Q











 

Można w tym celu wykorzystad proste polecenie Matlaba lqr. Jego składnia jest następująca:

Sterowanie Procesami Ciągłymi

Polecenie do Laboratorium T2

3

[K, P, eig]=lqr(A, B, Q, R, N)

Gdzie



K jest macierzą sprzężenia od stanu



P jest rozwiązaniem przedstawionego powyżej równania Riccatiego



Eig jest położeniem biegunów układu zamkniętego



A jest macierzą stanu układu



B jest macierzą wejśd układu



Q, R i N są macierzami wag.

Przykład

Jako przykład wykorzystania sterowania LQR wykorzystany zostanie dobrze Paostwu znany
układ wahadła z tłumieniem. Układ opisany jest następującym równaniem różniczkowym.

2

2

2

2

sin

d

g

d

dt

ml

l

ml

dt













 

Zlinearyzowany układ opisany jest następującymi równaniami stanu

x

Ax

Bu

y

Cx







Gdzie macierze opisujące otrzymany układ są następujące

0

1

0

1

0

,

,

9,81

1

5

0

1

A

B

C





 















 











 





Następnie przeprowadzono symulacje dla dwóch różnych macierzy wag stanu Q.

1

0

,

1

0

0,1

Q

R

















Oraz

1

0

,

1

0

1

Q

R

















Jak widad zmiana wagi odpowiedzialnej za drugą zmienna stanu w kryterium jakości działania
regulatora miała znaczący wpływ na przebiegi przejściowe prędkości kątowej wahadła (druga
zmienna stanu).

Dla pierwszego przypadku macierz sprzężenia od stanu miała postad





4,164 1,144

K



Sterowanie Procesami Ciągłymi

Polecenie do Laboratorium T2

4

Dla tak dobranej wartości macierzy sprzężenia od stanu bieguny układu zamkniętego są następujące

1

2

3,88;

2,835





 

 

Dodatkowo została jeszcze wyznaczona macierz feedforward w celu umożliwienia realizacji wartości
zadanej przez prezentowany układ.

2, 2021

r

F



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Czas [s]

Ro1 = 1, Ro2 = 0.1

Polozenie zadane

Polozenie wahadla
Predkosc wahadła

Sterowanie Procesami Ciągłymi

Polecenie do Laboratorium T2

5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Czas [s]

Ro1 = 1, Ro2 = 1

Polozenie zadane

Polozenie wahadla
Predkosc wahadła