1-1
1. Repetytorium z analizy wektorowej
1.1. Geometryczna i algebraiczna definicja wektora.
W nauczaniu podstaw fizyki wprowadza się najpierw geometryczną
postać wektora. Wektor x jest przedstawiany jako ukierunkowany odci-
nek linii prostej lub jako wielkość z określoną długością i kierunkiem.
Wektorami są np. prędkość, przyspieszenie, siła i pęd.
Wielkości, którym nie możemy przypisać żadnego kierunku, lecz je-
dynie pewną wartość nazywamy skalarami. Skalarami są: masa, ładunek
elektryczny, gęstość, temperatura.
Wektory w podręcznikach akademickich oznacza się czcionką prostą
pogrubioną (x, A, B itp.). Niekiedy używa się strzałek nad literą (np.
x
G
) lub
podkreślenia (np. x).
Algebraiczna postać wektora wynika z jednoznacznego przyporząd-
kowania wektorowi wodzącemu (wychodzącemu ze środka układu współ-
rzędnych i reprezentującego klasę równoważności wektorów) współrzęd-
nych jego punktu końcowego — uporządkowanej trójki liczb rzeczywi-
stych (x
1
, x
2
, x
3
). Liczby te nazywamy składowymi (współrzędnymi wekto-
ra).
Wektor taki możemy krótko zapisać jako x
i
. Zapis taki oznacza, że i
zmienia się od 1 do 3.
Rys. 1.1. Trzy równoważne wektory w przestrzeni trójwymiarowej
Te dwa uzupełniające się opisy wektora — geometryczny lub inaczej
fizyczny i algebraiczny wybieramy w zależności od rozwiązywanego pro-
blemu. Wszystko co można udowodnić geometrycznie, można również
wykazać algebraicznie i na odwrót.
1-2
1.2. Rozkład wektora na składowe
W przestrzeni trójwymiarowej każdy wektor x może być wyrażony
w postaci kombinacji liniowej dowolnych trzech niekomplanarnych (nie
leżących na jednej płaszczyźnie) wektorów. Tak więc
1
2
3
,
a
b
c
=
+
+
x
V
V
V
gdzie a, b, c są skalarami. Jeśli oznaczymy długość wektora x przez |x|,
wtedy a|V
1
|, b|V
2
| i c|V
3
| będą składowymi wektora x odpowiednio
w kierunkach V
1
, V
2
i V
3
.
Trzy wektory V
1
, V
2
i V
3
tworzące bazę nie muszą być prostopadłe do
siebie. Najczęściej wybiera się jednak wektory bazy prostopadłe do siebie
i taką bazę nazywamy ortogonalną.
Najpopularniejszą bazą wektorów jest ortonormalna baza kartezjań-
ska, której wektory są do siebie ortogonalne i znormalizowane (mają jed-
nostkową długość). W fizyce pojęcia „bazy” i „układu współrzędnych”
możemy uważać za tożsame. Jednostkowe wektory bazy kartezjańskiej
będziemy oznaczać literami ˆx ,
ˆy
, ˆz . Zgodnie z tą umową baza kartezjań-
ska to zbiór ( ˆx ,
ˆy
, ˆz ), a dowolny wektor może być wyrażony w postaci
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ,
x
x
x
=
+
+
r
x
y
z
gdzie x
1
, x
2
, x
3
są składowymi wektora r w tej bazie.
W fizyce używa się układu prawoskrętnego, to znaczy, że jeżeli usta-
wimy palce prawej ręki w kierunku dodatnim osi x
1
, a następnie zamyka-
jąc dłoń ustawimy je w kierunku dodatnim osi x
2
, odstawiony kciuk powi-
nien wskazywać dodatni kierunek osi x
3
. Istnieje wiele innych ortonormal-
nych układów współrzędnych (np. sferyczny, cylindryczny), które mogą
uprościć rozwiązywanie problemów o określonej symetrii.
UWAGA: W dostępnej literaturze Czytelnik może się spotkać też z inny-
mi oznaczeniami wersorów (jednostkowych wektorów) bazy np.: (i, j, k),
(i
x
, i
y
, i
z
), (i, j, k).
1-3
1.3. Operacje na wektorach
Można zdefiniować cztery operacje na wektorach: dodawanie i trzy rodza-
je mnożenia.
Tabela 1.1.
Rodzaj operacji
Definicja geometryczna
Definicja algebraiczna
w układzie kartezjańskim
Dodawanie,
wynik jest wekto-
rem:
z
= x + y
Rys. 1.2a
i
i
i
z
x
y
= +
; i = 1, 2, 3
(składowe)
Mnożenie przez
skalar,
wynik jest wekto-
rem:
z
= a x
Rys. 1.2b
i
i
z
ax
=
; i = 1, 2, 3
(składowe)
Iloczyn skalarny,
wynik jest skala-
rem:
z
= x · y
cos
z
ϑ
= ⋅ = ⋅
x y
x y
Rys. 1.2c
3
1
i i
i
z
x y
=
= ⋅ =
∑
x y
Iloczyn wektorowy,
wynik jest wekto-
rem:
z
= x × y
sin ;
ϑ
= × =
⋅
z x y n x y
n – wersor prostopadły do
płaszczyzny zawierającej x
i y;
ϑ
≤ π
Rys. 1.2d
1
2
3
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
x
x
x
y
y
y
= × =
x
y
z
z x y
Rys. 1.2. Operacje na wektorach: suma (a), mnożenie przez skalar (b), iloczyn skalarny (c)
i wektorowy (d)
1-4
1.4. Różniczkowanie pól skalarnych i wektorowych
Jeżeli każdemu punktowi x
i
(i =1, 2, 3) w pewnym obszarze przestrzeni
przyporządkowany jest skalar T(x
i
) lub wektor v(x
i
), to mamy pole skalar-
ne lub wektorowe.
Typowymi polami skalarnymi są rozkłady temperatur lub gęstości
w pewnej objętości oraz potencjał elektrostatyczny. Typowymi polami
wektorowymi są siły grawitacyjne, prędkość w każdym punkcie porusza-
jącej się cieczy lub natężenie pola magnetycznego.
Gradient
Mamy daną funkcję trzech zmiennych T(x
i
) – na przykład rozkład tempe-
ratury. Zadajemy pytanie „Jak szybko zmienia się T kiedy nieco zmienimy
położenie?”. Pytanie to ma nieskończoną liczbę odpowiedzi odpowiadają-
cych nieskończonej liczbie kierunków, w których możemy się przemiesz-
czać. Korzystając z twierdzenia o pochodnej zupełnej
1
2
3
1
2
3
d
d
d
d
d
i
i
T
T
T
T
T
x
x
x
x
x
x
x
x
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
=
=
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(1.1)
i zapisując je w sposób przypominający iloczyn skalarny otrzymujemy
(
)
1
2
3
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
d
d
d
d
(
) (d ).
T
T
T
T
x
x
x
T
x
x
x
⎛
⎞
∂
∂
∂
=
+
+
+
+
= ∇ ⋅
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
x
y
z
x
y
z
l
(1.2)
Do określenia szybkości zmian T wystarczą nam zatem trzy pochodne
względem trzech współrzędnych zapisywanych za pomocą operatora róż-
niczkowego T
∇ zwanego gradientem funkcji T:
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
.
T
T
T
T
x
x
x
∂
∂
∂
∇ ≡
+
+
∂
∂
∂
x
y
z
(1.3)
Właściwości: Gradient T
∇ skierowany jest zgodnie z wektorem przesu-
nięcia, dla którego wzrost wartości funkcji T jest największy. Wynika to ze
wzoru (1.2) który można zapisać za pomocą kąta ϑ między T
∇ a dl:
d
(
) (d )
d cos .
T
T
T
ϑ
= ∇ ⋅
= ∇ ⋅
l
l
Inaczej mówiąc wartość
T
∇
określa szybkość zmian funkcji przy przesu-
nięciach wzdłuż linii najszybszego wzrostu. Proszę zwrócić uwagę na
wprowadzony w równaniu (1.2) wektor infinitezymalnego (nieskończenie
małego) przesunięcia dl wyrażony równością
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
d
d
d
d
x
x
x
=
+
+
l x
y
z
(1.4)
który będzie wielokrotnie wykorzystywany w dalszych rozważaniach.
1-5
Operator
∇
Wprowadza się operator wektorowy nazywany operatorem nabla (albo
del) w postaci wyrażenia
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
.
x
x
x
∂
∂
∂
∇ =
+
+
∂
∂
∂
x
y
z
(1.5)
Operator nabla nie ma konkretnego znaczenia dopóki nie zostanie określo-
na funkcja na którą działa. Tym niemniej zachowuje się jak zwykły wektor
jeśli wyraz „mnoży” zastąpimy „działa na”.
Dywergencja
Działając operatorem
∇ na funkcję wektorową v, na wzór iloczynu skalar-
nego
∇·v otrzymujemy dywergencję (funkcję skalarną)
(
)
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
.
x
x
x
x
x
x
⎛
⎞
∂
∂
∂
∇ ⋅ =
+
+
+
+
=
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
∂
∂
∂
+
+
∂
∂
∂
v
x
y
z
x
y
z
v
v
v
v
v
v
(1.6)
Interpretacja geometryczna: dywergencja jest miarą „rozbieżności” pola
wektorowego.
Rotacja
Działając operatorem
∇ na funkcję wektorową v, na wzór iloczynu wekto-
rowego
∇ × v otrzymujemy rotację (funkcję wektorową), która w zapisie
za pomocą wyznacznika ma postać
1
2
3
1
2
3
3
2
1
3
2
1
2
3
3
1
1
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
∂
∂
∂
∇ × =
=
∂
∂
∂
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
x
y
z
v
x
y
z
v
v
v
v
v
v
v
v
v
(1.7)
Interpretacja geometryczna: rotacja jest miarą „wirowości” pola wekto-
rowego.
1-6
Najważniejsze reguły obliczania pierwszych pochodnych
Tabela 1.2.
Reguły dla operatora nabla
Reguła dla pochodnych zwyczajnych
Pochodna sumy funkcji
(
) (
)
(
) (
)
(
)
,
(
)
,
(
)
f
g
f
g
∇
+
= ∇ + ∇
∇ ⋅
+
= ∇ ⋅
+ ∇ ⋅
∇ ×
+
= ∇ ×
+ ∇ ×
v y
v
y
v y
v
y
1
1
1
d
d
d
(
)
d
d
d
f
g
f
g
x
x
x
+
=
+
Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą a
( )
,
( )
(
),
( )
(
)
af
a f
a
a
a
a
∇
= ∇
∇ ⋅
= ∇ ⋅
∇ ×
= ∇ ×
v
v
v
v
1
1
d
d
( )
d
d
f
af
a
x
x
=
Pochodna iloczynu funkcji dla gradientu
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
,
(
)
fg
f g g f
∇
= ∇ + ∇
∇ ⋅ ⋅
= × ∇ ×
+ × ∇ ×
+ ⋅∇
+
⋅∇
v y
v
y
y
v
v
y
y
v
1
1
1
d
d
d
( )
d
d
d
g
f
fg
f
g
x
x
x
=
+
Pochodna iloczynu funkcji dla dywergencji
( )
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
f
f
f
∇ ⋅
=
∇ ⋅
+ ⋅ ∇
∇ ⋅ ×
= ⋅ ∇ ×
− ⋅ ∇ ×
v
v
v
v y
y
v
v
y
jak wyżej
Pochodna iloczynu funkcji dla rotacji
( )
(
)
(
),
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
f
f
f
∇ ×
=
∇ ×
− × ∇
∇ × ×
=
⋅ ∇ −
⋅ ∇
+ ∇ ⋅
− ∇ ⋅
v
v
v
v y
y
v
v
y
v
y
y
v
jak wyżej
Pochodna ilorazu funkcji
2
2
2
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
f
g f
f g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
g
⎛ ⎞
∇ − ∇
∇
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
∇ ⋅ − ⋅ ∇
∇ ⋅
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
∇ ×
+ × ∇
∇ ×
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
v
v
v
v
v
v
1
1
2
1
d
d
d
d
d
d
f
g
g
f
f
x
x
x
g
g
−
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1-7
Drugie pochodne
Stosując operator nabla jednokrotnie możemy utworzyć trzy pierwsze po-
chodne (gradient, dywergencję i rotację); stosując nablę dwukrotnie mo-
żemy skonstruować pięć drugich pochodnych: dla gradientu (który jest
wektorem) — dywergencję i rotację, dla dywergencji (która jest skalarem)
tylko gradient i dla rotacji (która jest wektorem) również dywergencję
i rotację (tabela 1.3).
Tabela 1.3
1 Dywergencja
gra-
dientu
czyli laplasjan funk-
cji skalarnej
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
(
)
T
T
T
T
T
T
x
x
x
∂
∂
∂
∇ ⋅ ∇
=
+
+
= ∇ = Δ
∂
∂
∂
2 Rotacja
gradientu
(
) 0
T
∇ × ∇
=
3 Gradient
dywergen-
cji
(
)
∇ ∇ ⋅
v
4 Dywergencja
rotacji
(
) 0
∇ ⋅ ∇ ×
=
v
5 Rotacja
rotacji
2
(
)
(
)
∇ × ∇ ×
= ∇ ∇ ⋅
− ∇
v
v
v
Uwaga: Tylko we współrzędnych kartezjańskich Laplasjan funkcji wekto-
rowej
2
2
2
2
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
∇ = ∇
+ ∇
+ ∇
v x
y
z
v
v
v
1-8
1.5. Rachunek całkowy
W teorii pola elektromagnetycznego korzysta się z kilku typów całek,
z których najważniejsze to całka krzywoliniowa, całka powierzchniowa
(inaczej strumień) i całka objętościowa.
Całka krzywoliniowa
Całka krzywoliniowa jest wyrażeniem postaci
d
B
A
⋅
∫
v l
(1.8)
gdzie v oznacza funkcję wektorową, dl jest wektorem infinitezymalnego
przesunięcia (wzór 1.4) a całka obliczana jest wzdłuż określonej krzywej
w przestrzeni biegnącej od punktu A do punktu B. Jeśli krzywa jest za-
mknięta (punkt A pokrywa się z B) to na znaku całki umieszcza się zwy-
czajowo kółeczko:
d .
⋅
∫
v l
v
(1.9)
W każdym punkcie krzywej obliczamy iloczyn skalarny wartości funkcji v
i przesunięcia dl z danego punktu do następnego punktu na krzywej.
Przykładem całki krzywoliniowej jest praca wykonana przez siłę F:
d .
W
=
⋅
∫
F l
Całka powierzchniowa (strumień)
Całka powierzchniowa jest wyrażeniem postaci
d ,
S
⋅
∫
v s
(1.10)
gdzie v oznacza funkcję wektorową a ds jest wektorem prostopadłym do
powierzchni o wartości równej polu powierzchni infinitezymalnego ele-
mentu powierzchni. Jeśli powierzchnia jest zamknięta to na zasadzie kon-
wencji przyjmuje się, że kierunek wektora „na zewnątrz” jest dodatni. Po-
dobnie jak dla całki krzywoliniowej kółeczkiem oznaczamy całkowanie po
powierzchni zamkniętej:
d .
⋅
∫
v s
v
(1.11)
Całkę powierzchniową nazywa się czasem strumieniem. Nazwa „stru-
mień” wynika prawdopodobnie stąd, że jeśli v opisuje przepływ płynu
(masę na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu), to
d
⋅
∫
v s
wyznacza
masę płynu przepływającego przez powierzchnię w jednostce czasu.
1-9
Całka objętościowa
Całka objętościowa jest wyrażeniem postaci
d ,
V
T
V
⋅
∫
(1.12)
gdzie T jest funkcją skalarną, a dV jest infinitezymalnym elementem obję-
tości. W układzie kartezjańskim
1
2
3
d d d .
dV
x x x
=
(1.13)
Przykładem zastosowania może być obliczenie całkowitej masy ciała
o niejednorodnej gęstości
1
2
3
( , , )
x x x
ρ
za pomocą całki objętościowej
d .
V
ρ
∫
Niekiedy możemy mieć do czynienia z całką objętościową z funkcji
wektorowej:
(
)
1
2
3
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
d
d
d
d
d ,
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
=
+
+
=
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
v
x
y
z
x
y
z
v
v
v
v
v
v
(1.14)
którą można wyrazić w postaci sumy trzech całek.
Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego
Niech f(x
1
) będzie funkcją jednej zmiennej. Wówczas podstawowe twier-
dzenie rachunku różniczkowego i całkowego głosi, że
1
1
d
d
( )
( ).
d
b
a
f
x
f b
f a
x
=
−
∫
(1.15)
Schemat twierdzenia podstawowego: całka z pochodnej funkcji po prze-
dziale całkowania daje różnicę wartości funkcji na końcach przedziału
całkowania (granicach).
1-10
Podstawowe twierdzenie dla gradientów
Dane jest pole skalarne T(x
i
) w przestrzeni trójwymiarowej (i = 1, 2, 3).
Pomiędzy punktami A i B wybieramy określoną krzywą wzdłuż której
chcemy zbadać zmianę pola. Dzielimy krzywą na nieskończenie małe od-
cinki i dokonujemy wzdłuż nich infinitezymalnych przesunięć począwszy
od dl
1
(rys. 1.3).
Rys. 1.3. Ilustracja podstawowego twierdzenia dla gradientów
Z równania (1.2) znajdujemy infinitezymalny przyrost funkcji T:
1
d
(
) (d ).
T
T
= ∇ ⋅ l
Procedurę powtarzamy dla dl
2
otrzymując
2
(
) (d )
T
∇ ⋅ l
itd. W każdym
punkcie obliczamy gradient funkcji i jego iloczyn skalarny z dl
1
. Sumując
otrzymane wartości (całkując) otrzymujemy całkowitą zmianę wartości T
przy przejściu od A do B wzdłuż określonej drogi:
(
) d
( )
( ).
B
A
T
T B
T A
∇ ⋅ =
−
∫
l
(1.16)
Równanie (1.16) wyraża treść podstawowego twierdzenia dla gradien-
tów.
Schemat twierdzenia podstawowego: całka (w tym przypadku całka
krzywoliniowa) z pochodnej (w tym przypadku gradientu) po przedziale
całkowania (wzdłuż krzywej) daje różnicę wartości funkcji na końcach
przedziału całkowania (punktach A i B).
Wniosek 1:
(
) d
B
A
T
∇ ⋅
∫
l
nie zależy od wyboru krzywej całkowania łączącej
punkty A i B.
Wniosek 2:
(
) d
0,
T
∇ ⋅ =
∫
l
v
ponieważ początek drogi całkowania pokrywa
się z jej końcem.
Wniosek 3: Jeśli funkcja wektorowa jest gradientem funkcji skalarnej to
całka krzywoliniowa z takiej funkcji nie zależy od drogi całkowania.
1-11
Podstawowe twierdzenie dla dywergencji (twierdzenie Gaussa)
Podstawowe twierdzenie dla dywergencji (znane także jako twierdzenie
Gaussa lub twierdzenie Greena) ma postać:
(
)d
d .
V
S
V
∇ ⋅
=
⋅
∫
∫
v
v s
v
(1.17)
Schemat twierdzenia podstawowego: całka (w tym przypadku całka ob-
jętościowa) z pochodnej (w tym przypadku dywergencji) po obszarze cał-
kowania (w tym przypadku po objętości) wyraża się przez wartość funkcji
na brzegu tego obszaru całkowania (w tym przypadku powierzchni ograni-
czającej obszar całkowania). Należy zauważyć, że człon brzegowy także
jest całką, a konkretnie całką powierzchniową.
Interpretacja geometryczna: jeśli v opisuje gęstość strumienia przepły-
wu płynu nieściśliwego (masę na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu)
to prawa strona równania jest równa całkowitej masie płynu przepływają-
cego przez powierzchnię w jednostce czasu (strumieniowi).
Rozpatrując lewą stronę równania (1.17) zauważmy, że dywergencja
funkcji wektorowej v jest miarą „rozbieżności” wektorów w otoczeniu da-
nego punktu. Punkt w którym dywergencja ma dużą wartość dodatnią za-
chowuje się jak „źródło” z którego wypływa płyn. Jeśli zsumujemy (scał-
kujemy) wszystkie źródła dodatnie i ujemne w danej objętości i otrzyma-
my wartość dodatnią, to nadmiar płynu musi wydostawać się przez brzeg
obszaru na zewnątrz. Mamy zatem
V
∫
(
źródła dodatnie i ujemne w obszarze
) dV =
S
∫v
(
gęstość strumienia
) · ds.
1-12
Podstawowe twierdzenie dla rotacji (twierdzenie Stokesa)
Podstawowe twierdzenie dla rotacji (znane także jako twierdzenie Stoke-
sa) ma postać:
(
)d
d .
S
l
∇ ×
=
⋅
∫
∫
v s
v l
v
(1.17)
Schemat twierdzenia podstawowego: całka (w tym przypadku całka po-
wierzchniowa) z pochodnej (w tym przypadku rotacji) po obszarze całko-
wania (w tym przypadku po powierzchni) wyraża się przez wartość funkcji
na brzegu tego obszaru całkowania (w tym przypadku krzywej będącej
brzegiem obszaru całkowania). Podobnie jak dla dywergencji należy za-
uważyć, że człon brzegowy także jest całką, a konkretnie całką krzywoli-
niową po krzywej zamkniętej.
Wniosek 1:
(
) d
S
∇ × ⋅
∫
v
s
nie zależy od kształtu powierzchni, a jedynie od
krzywej będącej jej brzegiem.
Wniosek 2: Dla dowolnej powierzchni zamkniętej
(
) d
0,
∇ × ⋅
=
∫
v
s
v
po-
nieważ brzeg powierzchni zostaje zredukowany do punktu.