1-1

1. Repetytorium z analizy wektorowej

1.1. Geometryczna i algebraiczna definicja wektora.

W nauczaniu podstaw fizyki wprowadza się najpierw geometryczną

postać wektora. Wektor x jest przedstawiany jako ukierunkowany odci-
nek linii prostej lub jako wielkość z określoną długością i kierunkiem.
Wektorami są np. prędkość, przyspieszenie, siła i pęd.

Wielkości, którym nie możemy przypisać żadnego kierunku, lecz je-

dynie pewną wartość nazywamy skalarami. Skalarami są: masa, ładunek
elektryczny, gęstość, temperatura.

Wektory w podręcznikach akademickich oznacza się czcionką prostą

pogrubioną (x, A, B itp.). Niekiedy używa się strzałek nad literą (np.

x

G

) lub

podkreślenia (np. x).

Algebraiczna postać wektora wynika z jednoznacznego przyporząd-

kowania wektorowi wodzącemu (wychodzącemu ze środka układu współ-
rzędnych i reprezentującego klasę równoważności wektorów) współrzęd-
nych jego punktu końcowego — uporządkowanej trójki liczb rzeczywi-
stych (x

1

, x

2

, x

3

). Liczby te nazywamy składowymi (współrzędnymi wekto-

ra).

Wektor taki możemy krótko zapisać jako x

i

. Zapis taki oznacza, że i

zmienia się od 1 do 3.

Rys. 1.1. Trzy równoważne wektory w przestrzeni trójwymiarowej

Te dwa uzupełniające się opisy wektora — geometryczny lub inaczej

fizyczny i algebraiczny wybieramy w zależności od rozwiązywanego pro-
blemu. Wszystko co można udowodnić geometrycznie, można również
wykazać algebraicznie i na odwrót.

1-2

1.2. Rozkład wektora na składowe

W przestrzeni trójwymiarowej każdy wektor x może być wyrażony
w postaci kombinacji liniowej dowolnych trzech niekomplanarnych (nie
leżących na jednej płaszczyźnie) wektorów. Tak więc

1

2

3

,

a

b

c

=

+

+

x

V

V

V

gdzie a, b, c są skalarami. Jeśli oznaczymy długość wektora x przez |x|,
wtedy a|V

1

|, b|V

2

| i c|V

3

| będą składowymi wektora x odpowiednio

w kierunkach V

1

, V

2

i V

3

.

Trzy wektory V

1

, V

2

i V

3

tworzące bazę nie muszą być prostopadłe do

siebie. Najczęściej wybiera się jednak wektory bazy prostopadłe do siebie
i taką bazę nazywamy ortogonalną.

Najpopularniejszą bazą wektorów jest ortonormalna baza kartezjań-

ska, której wektory są do siebie ortogonalne i znormalizowane (mają jed-
nostkową długość). W fizyce pojęcia „bazy” i „układu współrzędnych”
możemy uważać za tożsame. Jednostkowe wektory bazy kartezjańskiej
będziemy oznaczać literami ˆx ,

ˆy

, ˆz . Zgodnie z tą umową baza kartezjań-

ska to zbiór ( ˆx ,

ˆy

, ˆz ), a dowolny wektor może być wyrażony w postaci

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ,

x

x

x

=

+

+

r

x

y

z

gdzie x

1

, x

2

, x

3

są składowymi wektora r w tej bazie.

W fizyce używa się układu prawoskrętnego, to znaczy, że jeżeli usta-

wimy palce prawej ręki w kierunku dodatnim osi x

1

, a następnie zamyka-

jąc dłoń ustawimy je w kierunku dodatnim osi x

2

, odstawiony kciuk powi-

nien wskazywać dodatni kierunek osi x

3

. Istnieje wiele innych ortonormal-

nych układów współrzędnych (np. sferyczny, cylindryczny), które mogą
uprościć rozwiązywanie problemów o określonej symetrii.
UWAGA: W dostępnej literaturze Czytelnik może się spotkać też z inny-
mi oznaczeniami wersorów (jednostkowych wektorów) bazy np.: (i, j, k),
(i

x

, i

y

, i

z

), (i, j, k).

1-3

1.3. Operacje na wektorach

Można zdefiniować cztery operacje na wektorach: dodawanie i trzy rodza-
je mnożenia.
Tabela 1.1.

Rodzaj operacji

Definicja geometryczna

Definicja algebraiczna

w układzie kartezjańskim

Dodawanie,
wynik jest wekto-
rem:
z

= x + y

Rys. 1.2a

i

i

i

z

x

y

= +

; i = 1, 2, 3

(składowe)

Mnożenie przez
skalar,
wynik jest wekto-
rem:
z

= a x

Rys. 1.2b

i

i

z

ax

=

; i = 1, 2, 3

(składowe)

Iloczyn skalarny,
wynik jest skala-
rem:
z

= x · y

cos

z

ϑ

= ⋅ = ⋅

x y

x y

Rys. 1.2c

3

1

i i

i

z

x y

=

= ⋅ =

∑

x y

Iloczyn wektorowy,
wynik jest wekto-
rem:
z

= x × y

sin ;

ϑ

= × =

⋅

z x y n x y

n – wersor prostopadły do
płaszczyzny zawierającej x
i y;

ϑ

≤ π

Rys. 1.2d

1

2

3

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

x

x

x

y

y

y

= × =

x

y

z

z x y

Rys. 1.2. Operacje na wektorach: suma (a), mnożenie przez skalar (b), iloczyn skalarny (c)

i wektorowy (d)

1-4

1.4. Różniczkowanie pól skalarnych i wektorowych

Jeżeli każdemu punktowi x

i

(i =1, 2, 3) w pewnym obszarze przestrzeni

przyporządkowany jest skalar T(x

i

) lub wektor v(x

i

), to mamy pole skalar-

ne lub wektorowe.

Typowymi polami skalarnymi są rozkłady temperatur lub gęstości

w pewnej objętości oraz potencjał elektrostatyczny. Typowymi polami
wektorowymi są siły grawitacyjne, prędkość w każdym punkcie porusza-
jącej się cieczy lub natężenie pola magnetycznego.

Gradient

Mamy daną funkcję trzech zmiennych T(x

i

) – na przykład rozkład tempe-

ratury. Zadajemy pytanie „Jak szybko zmienia się T kiedy nieco zmienimy
położenie?”. Pytanie to ma nieskończoną liczbę odpowiedzi odpowiadają-
cych nieskończonej liczbie kierunków, w których możemy się przemiesz-
czać. Korzystając z twierdzenia o pochodnej zupełnej

1

2

3

1

2

3

d

d

d

d

d

i

i

T

T

T

T

T

x

x

x

x

x

x

x

x

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

=

=

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

(1.1)

i zapisując je w sposób przypominający iloczyn skalarny otrzymujemy

(

)

1

2

3

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

d

d

d

d

(

) (d ).

T

T

T

T

x

x

x

T

x

x

x

⎛

⎞

∂

∂

∂

=

+

+

+

+

= ∇ ⋅

⎜

⎟

∂

∂

∂

⎝

⎠

x

y

z

x

y

z

l

(1.2)

Do określenia szybkości zmian T wystarczą nam zatem trzy pochodne
względem trzech współrzędnych zapisywanych za pomocą operatora róż-
niczkowego T

∇ zwanego gradientem funkcji T:

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

.

T

T

T

T

x

x

x

∂

∂

∂

∇ ≡

+

+

∂

∂

∂

x

y

z

(1.3)

Właściwości: Gradient T

∇ skierowany jest zgodnie z wektorem przesu-

nięcia, dla którego wzrost wartości funkcji T jest największy. Wynika to ze
wzoru (1.2) który można zapisać za pomocą kąta ϑ między T

∇ a dl:

d

(

) (d )

d cos .

T

T

T

ϑ

= ∇ ⋅

= ∇ ⋅

l

l

Inaczej mówiąc wartość

T

∇

określa szybkość zmian funkcji przy przesu-

nięciach wzdłuż linii najszybszego wzrostu. Proszę zwrócić uwagę na
wprowadzony w równaniu (1.2) wektor infinitezymalnego (nieskończenie
małego) przesunięcia dl wyrażony równością

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

d

d

d

d

x

x

x

=

+

+

l x

y

z

(1.4)

który będzie wielokrotnie wykorzystywany w dalszych rozważaniach.

1-5

Operator

∇

Wprowadza się operator wektorowy nazywany operatorem nabla (albo
del) w postaci wyrażenia

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

.

x

x

x

∂

∂

∂

∇ =

+

+

∂

∂

∂

x

y

z

(1.5)

Operator nabla nie ma konkretnego znaczenia dopóki nie zostanie określo-
na funkcja na którą działa. Tym niemniej zachowuje się jak zwykły wektor
jeśli wyraz „mnoży” zastąpimy „działa na”.

Dywergencja

Działając operatorem

∇ na funkcję wektorową v, na wzór iloczynu skalar-

nego

∇·v otrzymujemy dywergencję (funkcję skalarną)

(

)

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

.

x

x

x

x

x

x

⎛

⎞

∂

∂

∂

∇ ⋅ =

+

+

+

+

=

⎜

⎟

∂

∂

∂

⎝

⎠

∂

∂

∂

+

+

∂

∂

∂

v

x

y

z

x

y

z

v

v

v

v

v

v

(1.6)

Interpretacja geometryczna: dywergencja jest miarą „rozbieżności” pola
wektorowego.

Rotacja

Działając operatorem

∇ na funkcję wektorową v, na wzór iloczynu wekto-

rowego

∇ × v otrzymujemy rotację (funkcję wektorową), która w zapisie

za pomocą wyznacznika ma postać

1

2

3

1

2

3

3

2

1

3

2

1

2

3

3

1

1

2

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

.

x

x

x

x

x

x

x

x

x

∂

∂

∂

∇ × =

=

∂

∂

∂

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

∂

∂

∂

∂

∂

∂

−

+

−

+

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

∂

∂

∂

∂

∂

∂

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

x

y

z

v

x

y

z

v

v

v

v

v

v

v

v

v

(1.7)

Interpretacja geometryczna: rotacja jest miarą „wirowości” pola wekto-
rowego.

1-6

Najważniejsze reguły obliczania pierwszych pochodnych

Tabela 1.2.

Reguły dla operatora nabla

Reguła dla pochodnych zwyczajnych

Pochodna sumy funkcji

(

) (

)

(

) (

)

(

)

,

(

)

,

(

)

f

g

f

g

∇

+

= ∇ + ∇

∇ ⋅

+

= ∇ ⋅

+ ∇ ⋅

∇ ×

+

= ∇ ×

+ ∇ ×

v y

v

y

v y

v

y

1

1

1

d

d

d

(

)

d

d

d

f

g

f

g

x

x

x

+

=

+

Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą a

( )

,

( )

(

),

( )

(

)

af

a f

a

a

a

a

∇

= ∇

∇ ⋅

= ∇ ⋅

∇ ×

= ∇ ×

v

v

v

v

1

1

d

d

( )

d

d

f

af

a

x

x

=

Pochodna iloczynu funkcji dla gradientu

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

,

(

)

fg

f g g f

∇

= ∇ + ∇

∇ ⋅ ⋅

= × ∇ ×

+ × ∇ ×

+ ⋅∇

+

⋅∇

v y

v

y

y

v

v

y

y

v

1

1

1

d

d

d

( )

d

d

d

g

f

fg

f

g

x

x

x

=

+

Pochodna iloczynu funkcji dla dywergencji

( )

(

)

(

),

(

)

(

)

(

)

f

f

f

∇ ⋅

=

∇ ⋅

+ ⋅ ∇

∇ ⋅ ×

= ⋅ ∇ ×

− ⋅ ∇ ×

v

v

v

v y

y

v

v

y

jak wyżej

Pochodna iloczynu funkcji dla rotacji

( )

(

)

(

),

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

f

f

f

∇ ×

=

∇ ×

− × ∇

∇ × ×

=

⋅ ∇ −

⋅ ∇

+ ∇ ⋅

− ∇ ⋅

v

v

v

v y

y

v

v

y

v

y

y

v

jak wyżej

Pochodna ilorazu funkcji

2

2

2

,

(

)

(

)

,

(

)

(

)

f

g f

f g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

g

⎛ ⎞

∇ − ∇

∇

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

∇ ⋅ − ⋅ ∇

∇ ⋅

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞

∇ ×

+ × ∇

∇ ×

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

v

v

v

v

v

v

1

1

2

1

d

d

d

d

d

d

f

g

g

f

f

x

x

x

g

g

−

⎛ ⎞

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1-7

Drugie pochodne

Stosując operator nabla jednokrotnie możemy utworzyć trzy pierwsze po-
chodne (gradient, dywergencję i rotację); stosując nablę dwukrotnie mo-
żemy skonstruować pięć drugich pochodnych: dla gradientu (który jest
wektorem) — dywergencję i rotację, dla dywergencji (która jest skalarem)
tylko gradient i dla rotacji (która jest wektorem) również dywergencję
i rotację (tabela 1.3).

Tabela 1.3

1 Dywergencja

gra-

dientu
czyli laplasjan funk-
cji skalarnej

2

2

2

2

2

2

2

1

2

3

(

)

T

T

T

T

T

T

x

x

x

∂

∂

∂

∇ ⋅ ∇

=

+

+

= ∇ = Δ

∂

∂

∂

2 Rotacja

gradientu

(

) 0

T

∇ × ∇

=

3 Gradient

dywergen-

cji

(

)

∇ ∇ ⋅

v

4 Dywergencja

rotacji

(

) 0

∇ ⋅ ∇ ×

=

v

5 Rotacja

rotacji

2

(

)

(

)

∇ × ∇ ×

= ∇ ∇ ⋅

− ∇

v

v

v

Uwaga: Tylko we współrzędnych kartezjańskich Laplasjan funkcji wekto-
rowej

2

2

2

2

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

∇ = ∇

+ ∇

+ ∇

v x

y

z

v

v

v

1-8

1.5. Rachunek całkowy

W teorii pola elektromagnetycznego korzysta się z kilku typów całek,
z których najważniejsze to całka krzywoliniowa, całka powierzchniowa
(inaczej strumień) i całka objętościowa.

Całka krzywoliniowa

Całka krzywoliniowa jest wyrażeniem postaci

d

B

A

⋅

∫

v l

(1.8)

gdzie v oznacza funkcję wektorową, dl jest wektorem infinitezymalnego
przesunięcia (wzór 1.4) a całka obliczana jest wzdłuż określonej krzywej
w przestrzeni biegnącej od punktu A do punktu B. Jeśli krzywa jest za-
mknięta (punkt A pokrywa się z B) to na znaku całki umieszcza się zwy-
czajowo kółeczko:

d .

⋅

∫

v l

v

(1.9)

W każdym punkcie krzywej obliczamy iloczyn skalarny wartości funkcji v
i przesunięcia dl z danego punktu do następnego punktu na krzywej.
Przykładem całki krzywoliniowej jest praca wykonana przez siłę F:

d .

W

=

⋅

∫

F l

Całka powierzchniowa (strumień)

Całka powierzchniowa jest wyrażeniem postaci

d ,

S

⋅

∫

v s

(1.10)

gdzie v oznacza funkcję wektorową a ds jest wektorem prostopadłym do
powierzchni o wartości równej polu powierzchni infinitezymalnego ele-
mentu powierzchni. Jeśli powierzchnia jest zamknięta to na zasadzie kon-
wencji przyjmuje się, że kierunek wektora „na zewnątrz” jest dodatni. Po-
dobnie jak dla całki krzywoliniowej kółeczkiem oznaczamy całkowanie po
powierzchni zamkniętej:

d .

⋅

∫

v s

v

(1.11)

Całkę powierzchniową nazywa się czasem strumieniem. Nazwa „stru-
mień” wynika prawdopodobnie stąd, że jeśli v opisuje przepływ płynu
(masę na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu), to

d

⋅

∫

v s

wyznacza

masę płynu przepływającego przez powierzchnię w jednostce czasu.

1-9

Całka objętościowa

Całka objętościowa jest wyrażeniem postaci

d ,

V

T

V

⋅

∫

(1.12)

gdzie T jest funkcją skalarną, a dV jest infinitezymalnym elementem obję-
tości. W układzie kartezjańskim

1

2

3

d d d .

dV

x x x

=

(1.13)

Przykładem zastosowania może być obliczenie całkowitej masy ciała
o niejednorodnej gęstości

1

2

3

( , , )

x x x

ρ

za pomocą całki objętościowej

d .

V

ρ

∫

Niekiedy możemy mieć do czynienia z całką objętościową z funkcji

wektorowej:

(

)

1

2

3

1

2

3

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

d

d

d

d

d ,

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

=

+

+

=

+

+

∫

∫

∫

∫

∫

v

x

y

z

x

y

z

v

v

v

v

v

v

(1.14)

którą można wyrazić w postaci sumy trzech całek.

Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego

Niech f(x

1

) będzie funkcją jednej zmiennej. Wówczas podstawowe twier-

dzenie rachunku różniczkowego i całkowego głosi, że

1

1

d

d

( )

( ).

d

b

a

f

x

f b

f a

x

=

−

∫

(1.15)

Schemat twierdzenia podstawowego: całka z pochodnej funkcji po prze-
dziale całkowania daje różnicę wartości funkcji na końcach przedziału
całkowania (granicach).

1-10

Podstawowe twierdzenie dla gradientów

Dane jest pole skalarne T(x

i

) w przestrzeni trójwymiarowej (i = 1, 2, 3).

Pomiędzy punktami A i B wybieramy określoną krzywą wzdłuż której
chcemy zbadać zmianę pola. Dzielimy krzywą na nieskończenie małe od-
cinki i dokonujemy wzdłuż nich infinitezymalnych przesunięć począwszy
od dl

1

(rys. 1.3).

Rys. 1.3. Ilustracja podstawowego twierdzenia dla gradientów

Z równania (1.2) znajdujemy infinitezymalny przyrost funkcji T:

1

d

(

) (d ).

T

T

= ∇ ⋅ l

Procedurę powtarzamy dla dl

2

otrzymując

2

(

) (d )

T

∇ ⋅ l

itd. W każdym

punkcie obliczamy gradient funkcji i jego iloczyn skalarny z dl

1

. Sumując

otrzymane wartości (całkując) otrzymujemy całkowitą zmianę wartości T
przy przejściu od A do B wzdłuż określonej drogi:

(

) d

( )

( ).

B

A

T

T B

T A

∇ ⋅ =

−

∫

l

(1.16)

Równanie (1.16) wyraża treść podstawowego twierdzenia dla gradien-
tów.
Schemat twierdzenia podstawowego: całka (w tym przypadku całka
krzywoliniowa) z pochodnej (w tym przypadku gradientu) po przedziale
całkowania (wzdłuż krzywej) daje różnicę wartości funkcji na końcach
przedziału całkowania (punktach A i B).

Wniosek 1:

(

) d

B

A

T

∇ ⋅

∫

l

nie zależy od wyboru krzywej całkowania łączącej

punkty A i B.
Wniosek 2:

(

) d

0,

T

∇ ⋅ =

∫

l

v

ponieważ początek drogi całkowania pokrywa

się z jej końcem.
Wniosek 3: Jeśli funkcja wektorowa jest gradientem funkcji skalarnej to
całka krzywoliniowa z takiej funkcji nie zależy od drogi całkowania.

1-11

Podstawowe twierdzenie dla dywergencji (twierdzenie Gaussa)

Podstawowe twierdzenie dla dywergencji (znane także jako twierdzenie
Gaussa lub twierdzenie Greena) ma postać:

(

)d

d .

V

S

V

∇ ⋅

=

⋅

∫

∫

v

v s

v

(1.17)

Schemat twierdzenia podstawowego: całka (w tym przypadku całka ob-
jętościowa) z pochodnej (w tym przypadku dywergencji) po obszarze cał-
kowania (w tym przypadku po objętości) wyraża się przez wartość funkcji
na brzegu tego obszaru całkowania (w tym przypadku powierzchni ograni-
czającej obszar całkowania). Należy zauważyć, że człon brzegowy także
jest całką, a konkretnie całką powierzchniową.
Interpretacja geometryczna: jeśli v opisuje gęstość strumienia przepły-
wu płynu nieściśliwego (masę na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu)
to prawa strona równania jest równa całkowitej masie płynu przepływają-
cego przez powierzchnię w jednostce czasu (strumieniowi).

Rozpatrując lewą stronę równania (1.17) zauważmy, że dywergencja

funkcji wektorowej v jest miarą „rozbieżności” wektorów w otoczeniu da-
nego punktu. Punkt w którym dywergencja ma dużą wartość dodatnią za-
chowuje się jak „źródło” z którego wypływa płyn. Jeśli zsumujemy (scał-
kujemy) wszystkie źródła dodatnie i ujemne w danej objętości i otrzyma-
my wartość dodatnią, to nadmiar płynu musi wydostawać się przez brzeg
obszaru na zewnątrz. Mamy zatem

V

∫

(

źródła dodatnie i ujemne w obszarze

) dV =

S

∫v

(

gęstość strumienia

) · ds.

1-12

Podstawowe twierdzenie dla rotacji (twierdzenie Stokesa)

Podstawowe twierdzenie dla rotacji (znane także jako twierdzenie Stoke-
sa) ma postać:

(

)d

d .

S

l

∇ ×

=

⋅

∫

∫

v s

v l

v

(1.17)

Schemat twierdzenia podstawowego: całka (w tym przypadku całka po-
wierzchniowa) z pochodnej (w tym przypadku rotacji) po obszarze całko-
wania (w tym przypadku po powierzchni) wyraża się przez wartość funkcji
na brzegu tego obszaru całkowania (w tym przypadku krzywej będącej
brzegiem obszaru całkowania). Podobnie jak dla dywergencji należy za-
uważyć, że człon brzegowy także jest całką, a konkretnie całką krzywoli-
niową po krzywej zamkniętej.
Wniosek 1:

(

) d

S

∇ × ⋅

∫

v

s

nie zależy od kształtu powierzchni, a jedynie od

krzywej będącej jej brzegiem.
Wniosek 2: Dla dowolnej powierzchni zamkniętej

(

) d

0,

∇ × ⋅

=

∫

v

s

v

po-

nieważ brzeg powierzchni zostaje zredukowany do punktu.