Matematyka ekonomiczna

Lista 5

Zad. 1. Zinterpretować poniższe wzory:

t

p

x

=

l

x+t

l

x

(1)

t

q

x

=

l

x

− l

x+t

l

x

(2)

u|1

q

x

≡

u|

q

x

=

l

x+u

− l

x+u+1

l

x

=

d

x+u

l

x

(3)

u|t

q

x

=

l

x+u

− l

x+u+t

l

x

=

u

p

x

−

u+t

p

x

(4)

Zad. 2. Wykorzystując tablice trwania życia, obliczyć następujące prawdopodobieństwa:

• przeżycia kolejnego roku przez kobietę 70 letnią mieszkającą w mieście i na wsi,

• przeżycia mężczyzny w wieku 35 lat dalszych 40 lat (wieś),

• że kobieta w wieku 40 lat umrze przed osiągnięciem 75 lat (miasto),

• że mężczyzna 40 letni umrze miedzy 50 a 60 rokiem życia (miasto).

Zad. 3. Obliczyć wysokość jednorazowej składki netto dla osoby 50 letniej, w 15-letnim ubezpieczeniu na wypadek

śmierci (płatne natychmiast po śmierci), jeśli intensywność umieralności jest stała i wynosi 0.02, natomiast
stopa procentowa przy kapitalizacji δ = 0.05. Rozważyć osobno przypadek kobiety i mężczyzny.

Zad. 4. Wyznaczyć wysokość jednorazowej składki netto dla zadania 3, przyjmując ubezpieczenie na całe życie

– wypłata natychmiastowa w chwili śmierci ubezpieczonego, niezależnie od czasu, kiedy ta śmierć nastąpiła.

Zad. 5. Obliczyć wysokość jednorazowej składki netto w 4-letnim ubezpieczeniu na wypadek śmierci (płatne na

koniec roku, w którym nastąpiła śmierć) dla osoby 60 letniej, jeśli techniczna stopa procentowa wynosi 5%
a suma ubezpieczenia 10 tyś. zł. Rozważyć osobno przypadek kobiety i mężczyzny.

Zad. 6. O ile zmieni się składka wyznaczona w zadaniu 5, jeśli zmienimy rodzaj ubezpieczenia na: ubezpieczenie

na wypadek śmierci i dożycie.

Zad. 7. W celu zabezpieczenia 10-letniego kredytu zawarto 10-letnie ubezpieczenie na życie. Wyznaczyć wysokość

jednorazowej składki netto, jeśli:

(i) świadczenie płatne jest na moment śmierci,

(ii) suma ubezpieczenia maleje jednostajnie wraz z upływem czasu od 1000 do zera,

(iii) natężenie oprocentowania δ = 0.04,

(iv) natężenie zgonów jest stałe i opisane funkcją µ

x+t

= 1/50.

1