K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

VII.

CZĄSTKI I FALE

VII.1. POSTULAT DE BROGLIE'A (1924)

De Broglie wysunął postulat fal materii – tzn. małym cząstkom przypisał fale.

Światło wykazuje zjawisko dyfrakcyjne.

Rys.VII.1.Światło padające na przeszkodę D ze szczeliną o szerokości d. Na ekranie E widać obraz
szczeliny. Gdy d jest znacznie dłuższa od λ to obserwujemy dyfrakcję.

Rys.VII.2. Obrazy dyfrakcyjne dla różnych szczelin.

– 1 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Promieniowanie elektromagnetyczne ma charakter dualny.

Hipoteza:

Być może cząstki zachowują sie jak fale – fale materii (de Broglie'a).
De Broglie przypisał falą długość i częstość.

λ

=

h

p

(VII.1.1)

gdzie:

p – pęd cząstki

f

=

E

h

(VII.1.2)

(λ, f) – wielkości falowe
(p, E) – wielkości korpuskularne (cząstkowe)

E

2

= c

2

p

2

 m

0

2

c

4

(VII.1.3)

De Broglie przypisał cząstce falę opisaną funkcją (4):

Ψ

x ,t = exp

[

−i  Et−p x

ℏ

]

(VII.1.4)

VII.2. DOŚWIADCZALNA WERYFIKACJA HIPOTEZY

W optyce efekty dyfrakcyjne obserwujemy, gdy λ ≥ d, gdzie d to średnica przeszkody.
Dyfrakcja fal materii powinna być obserwowana przy podobnych warunkach.

a) Obiekt makroskopowy – cząstki kurzu o promieniu r i gęstości

ρ,

poruszające się z

prędkością v

r

=10

−6

m

ρ

= 10

g

cm

3





Ag

= 10,5

g

cm

3



– 2 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

v

= 1

m

s

 p = mv bo v ≪ c

p

= mv =

3
4

 r

3

ρv

≃ 4⋅10

−11

g

⋅cm

s

Ze wzoru (VII.1.1) otrzymujemy, że:

 =

h

p

≃ 1,6⋅10

−16

cm

Ponieważ

r

1

H

≃ 10

−8

cm

, to:

 ≪ r

1

H

Wniosek:
Fal de Broglie'a nie możemy obserwować dla cząstek takich jak cząstka kurzu.

b) Elektrony o energii E

k

, poruszające się z prędkością v.

E

k

= 10eV , v  1 %c

E

k

=

1
2

mv

2

=

p

2

2m

, stąd:

p

=



2mE

k

≈1,7⋅10

−19

g

⋅cm

s

Z wzoru (VII.1.1) możemy obliczyć, że długość fali

λ

jest równa:

 =

h

p

≈4⋅10

−8

cm

czyli

 ≥ r

1

H

A zatem gdybyśmy rozpraszali elektrony na atomach, byłby spełniony warunek

dyfrakcyjny.

– 3 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Potwierdzenia hipotezy de Broglie'a można szukać rozpraszając elektrony na ciałach
krystalicznych. Są to różnego rodzaju minerały, metale. Atomy są w nich uporządkowane
w regularny sposób.

Doświadczenie Davisona- Germera (1927)

Rys.VII.3. Schematyczne przedstawienie zjawiska rozpraszania elektronów na sieci krystalicznej. D –
detektor, K – katoda, a – odległość pomiędzy atomami w sieci (jest charakterystyczna dla danej sieci
krystalicznej).

Rys.VII.4.

Doświadczenia potwierdziły prawdziwość hipotezy de Broglie'a

Otrzymano liczbowe wartości długości fali materii

λ

fm

i energii kinetycznej E

k

:



fm

=

h

p

= 1,67 Å , E

k

= 54eV

(VII.2.1)

– 4 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Warunek dyfrakcji dla fal (warunek Bragga):

n

 = dsin  ,

n

=1,2,3 ,...

(VII.2.2)

Z powyższego wzoru można obliczyć, że długość fali

λ

1

wynosi:



1

= 1,65 Å

A zatem jak widać z (VII.2.1) i otrzymanego wyniku dla

λ

1

:



1

=

~1%



fm

Podobne doświadczenie do przeprowadzonego przez Davisona i Germera wykonał
Thomson. Różnica była taka, że badał promieniowanie po przejściu przez próbkę (a nie
odbite) – obrazy dyfrakcyjne w transmisji.

W ten sposób została jednoznacznie potwierdzona słuszność hipotezy de Broglie'a. Na jej
podstawie można dokonać interpretacji drugiego postulatu Bohra.

VII.3. INTERPRETACJA REGUŁY KWANTOWANIA BOHRA (L=nħ)

L

=

df

mvr

= pr

(VII.3.1)

gdy r prostopadłe do v

p

=

h


(VII.3.2)

Z zależności (VII.3.1) i (VII.3.2) wynika, że:

L

=

hr



(VII.3.3)

L

= n ℏ

(VII.3.4)

Ze wzorów (VII.3.) i (VII.3.4) otrzymujemy, że:

– 5 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

hr



= n ℏ

(VII.3.5)

2

 r

n

= n ,

n

= 1,2 ,3 ,....

(VII.3.6)

Z (VII.3.6) wzoru wynika, że na n-tej orbicie mieści się n długości fali

λ

.

Rys.VII.5. Czwarta orbita – 4 długości fali. W interpretacji de Broglie'a elektronowi na orbicie odpowiada fala
stojąca.

VII.4. ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA (1927)

Zasada nieoznaczoności:
– mówi o tym, że niepewność zawsze będzie częścią każdego przewidywania
dokonanego przez naukę. Dla niektórych problemów nie da się dokładnie wyliczyć, co się
stanie w przyszłości.
– jest kuriozalna z punktu widzenia fizyki klasycznej
– stosuje się do mechaniki kwantowej
– postuluje, że istnieje granica poznawalności
– dotyczy wielkości komplementarnych, czyli wielkości, które nie komutują ze sobą (ich
komutator jest różny od 0, patrz: IX.3).

Przykłady zasady nieoznaczoności dla różnych par komplementarnych:

a) położenie

r= x , y , z

i pęd

p= p

x

, p

y

, p

z



Zapis wektorowy:

– 6 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

r⋅ p ≥

ℏ
2

(VII.4.1)

Zapis skalarny:

 x⋅ p

x

≥

ℏ
2

(VII.4.2a)

 y⋅ p

y

≥

ℏ
2

(VII.4.2b)

 z⋅ p

z

≥

ℏ
2

(VII.4.2c)

Wzory (VII.4.1) i (VII.4.2a,b,c) to zasada nieoznaczoności Heisenberga zastosowana
do wektorów położenia i pędu.

∆ x

– dokładność określenia położenia

∆ p

– dokładność określenia pędu

We współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy:

 x ≥

ℏ

2

 p

x

(VII.4.3a)

Oraz we współrzędnych biegunowych:

⋅ L ≥ ћ

(VII.4.3b)

b) Energia E i czas t

Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla tej pary komplementarnej wyraża wzór
(VII.4.4):

 E⋅t ≥ ħ

(VII.4.4)

Czas życia danego stanu (

τ

) – maksymalny czas w jakim możemy mierzyć dany stan, im

τ

– 7 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

mniejsze tym mniej dokładnie poznajemy energię tego stanu. Nazywamy to rozmyciem
stanu.

– 8 –