1
TWIERDZENIA O WARTOŚCI ŚREDNIEJ
TWIERDZENIE ROLLE’A
Jeżeli funkcja
f
jest ciągła na przedział domknięty
b
a,
oraz istnieje skończona pochodna
'
f
w każdym punkcie przedziału otwartego
(
)
b
a,
, a ponadto wartości na końcach są równe
)
(
)
(
b
f
a
f
=
to istnieje takie
(
)
b
a
c
,
∈
, że
0
)
(
'
=
c
f
Dowód: Jeżeli funkcja
f
jest stała na
b
a,
to
0
)
(
'
=
x
f
dla każdego
(
)
b
a
x
,
∈
W dalszym ciągu zakładamy, że
f
osiąga w
b
a,
swoje kresy: wartość największa i
najmniejszą. Ponieważ
)
(
)
(
b
f
a
f
=
więc istnieje taki punkt
(
)
b
a
c
,
∈
, że jest w nim
osiągnięta np. wartość największą.
Zatem dla każdego
h
)
(
)
(
c
f
h
c
f
≤
+
. Ponieważ :
dla
0
>
h
,
0
)
(
)
(
≤
−
+
h
c
f
h
c
f
oraz
dla
0
<
h
,
0
)
(
)
(
≥
−
+
h
c
f
h
c
f
więc
0
)
(
)
(
lim
)
(
0
'
≤
−
+
=
+
→
h
c
f
h
c
f
c
f
h
p
oraz
0
)
(
)
(
lim
)
(
0
'
≥
−
+
=
−
→
h
c
f
h
c
f
c
f
h
l
ze względu na to, że istnieje pochodna
)
(
'
c
f
otrzymujemy
0
)
(
0
'
≤
≤
c
f
czyli
0
)
(
'
=
c
f
.
TWIERDZENIE LAGRANGE’A
Jeżeli funkcja
f
jest ciągła na przedział domknięty
b
a,
oraz istnieje skończona pochodna
'
f w każdym punkcie przedziału otwartego
(
)
b
a,
to
(
)
(
)(
)
a
b
a
b
a
f
a
f
b
f
−
−
+
=
−
ϑ
'
)
(
)
(
gdzie
1
0
<
<
ϑ
,
(
)
b
a
b
a
a
<
−
+
<
ϑ
TWIERDZENIE CAUCHY’EGO
Jeżeli funkcje
f
,
g
są ciągłe na przedział domknięty
b
a,
oraz istnieją skończone
pochodne
'
f ,
'
g w każdym punkcie przedziału otwartego
(
)
b
a,
przy czym
0
)
(
'
≠
x
g
dla
(
)
b
a
x
,
∈
to
(
)
(
)
(
)
(
)
a
b
a
g
a
b
a
f
a
g
b
g
a
f
b
f
−
+
−
+
=
−
−
ϑ
ϑ
'
'
)
(
)
(
)
(
)
(
gdzie
1
0
<
<
ϑ
Dowód: Zauważmy, że
0
)
(
)
(
≠
−
a
g
b
g
gdyż gdyby
)
(
)
(
b
g
a
g
=
to na mocy Tw. Rolla
istniałby punkt
(
)
b
a
c
,
∈
taki, że
0
)
(
'
=
c
g
co jest sprzeczne z założeniem.
Rozważmy funkcje pomocniczą
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
g
x
g
a
g
b
g
a
f
b
f
a
f
x
f
x
F
−
⋅
−
−
−
−
=
Funkcja
F
spełnia założenia Twierdzenia Roll’a gdyż:
