plik

144U

BLACK

Bukiety str. 9

ALGEBRA

Liczby wymierne

Bukiet 1

Oblicz warto´s´c wyra˙zenia

1 +

1
1

Znajd´z liczby naturalne a, b, c i d, dla których

151
115

W podobny sposób spróbuj przekształci´c ułamek

225
157

Bukiet 2

Uzasadnij, ˙ze je´sli x

≥ 1

, to

≤ 3

Poka˙z, ˙ze je´sli

= 2

dla naturalnych x

≥ 1

, to jedna

z liczb x

z jest równa

Znajd´z wszystkie trójki liczb naturalnych x , y , z, dla których

jest liczb ˛

a naturaln ˛

Bukiet 3

Jaki mo˙ze by´c mianownik ułamka nieskracalnego

a
b

, gdzie a jest

liczb ˛

a całkowit ˛

a, a b liczb ˛

a naturaln ˛

a, je´sli iloraz

jest liczb ˛

całkowit ˛

O pewnej liczbie wymiernej w wiadomo, ˙ze

w i

w s ˛

a liczba-

mi całkowitymi. Co mo˙zesz powiedzie´c o mianowniku ułamka
nieskracalnego wyra˙zaj ˛

acego liczb ˛e w ?

144U

BLACK

Bukiety str. 10

ALGEBRA

Dana jest liczba wymierna x oraz liczby naturalne m i n spełnia-
j ˛

ace warunek NWD

(

) = 1

. Wyka˙z, ˙ze je˙zeli liczby mx i nx

s ˛

a całkowite, to liczba x te˙z jest całkowita.

Wyrażenia algebraiczne

Bukiet 4

Czy prawd ˛

a jest, ˙ze je´sli ad

bc i cf

de, to af

be?

Wyka˙z, ˙ze je˙zeli ab

b i cd

d, to

(

)

= (

)

Wiadomo, ˙ze a

b i c

d. Uzasadnij równo´s´c

Bukiet 5

Sprawd´z równo´s´c

(

)(

) =

(

) +

(

Wyka˙z, ˙ze je´sli a

= 1

, c

= 1

i ac

= 0

, to

= 0

Czy zachodz ˛

a jakie´s prostsze zale˙zno´sci mi ˛edzy liczbami a

spełniaj ˛

acymi warunki zadania

Bukiet 6

Dodaj ułamki:

–

Udowodnij, ˙ze je˙zeli liczby a, b, c s ˛

a ró˙zne, to

–

(

–

)(

–

)

–

(

–

)(

–

)

–

(

–

)(

–

)

–

144U

BLACK

Bukiety str. 11

POTĘGI, PIERWIASTKI, SILNIA

Spróbuj otrzyma´c podobn ˛

a równo´s´c dla czterech ró˙znych liczb

Bukiet 7

Znajd´z wszystkie pary liczb całkowitych

(

)

spełniaj ˛

ace równanie:

(

– 1)

= 10

;

= –7

;

–

= 12

Bukiet 8

Liczby x i y spełniaj ˛

a warunki

–

= 10

i x

< 20

Wyka˙z, ˙ze x

< 10

Uzasadnij nierówno´s´c x

< 2

–

y .

Która liczba jest wi ˛eksza: x czy y ?

Bukiet 9

Powiedz, dlaczego je´sli a

> 0

i b

> –1

, to a

(

+ 1) > 0

W podobny sposób wyka˙z, ˙ze gdy a

< 0

i b

> 1

, to ab

Udowodnij, ˙ze dla a

> 1

i b

< 1

zachodzi nierówno´s´c

+ 1 <

Potęgi, pierwiastki, silnia

Bukiet 10

Dla jakiego n zachodzi równo´s´c

256

= 2

Wyka˙z, ˙ze

= 128

Co jest wi ˛eksze:

czy

144U

BLACK

Bukiety str. 23

OKRĘGI I WIELOKĄTY

Okręgi i wielokąty

Bukiet 42

W trójk ˛

at ABC o bokach długo´sci

| =

b i

| =

wpisano okr ˛

ag o ´srodku S i promieniu r. Niech h

, h

i h

b ˛ed ˛

długo´sciami wysoko´sci trójk ˛

ata, poprowadzonych z wierzchołków A,

B i C (odpowiednio).

Oblicz pola trójk ˛

atów ABS, BCS, CAS i ABC .

Udowodnij, ˙ze

a
r

c
r

Wyka˙z, ˙ze

Bukiet 43

W trójk ˛

acie ABC

okr ˛

ag wpisany jest styczny do boków AB, AC ,

BC w punktach K , L, M (odpowiednio), natomiast okr ˛

ag dopisany

do boku AB jest styczny do tego boku w punkcie P, a do przedłu-

˙ze ´n boków AC i BC w punktach Q i R. (Okr ˛

ag dopisany do trójk ˛

ata

to okr ˛

ag le˙z ˛

acy na zewn ˛

atrz trójk ˛

ata, styczny do jednego boku

i przedłu˙ze ´n dwóch pozostałych boków.)

Zrób rysunek, pozaznaczaj równe odcinki i zauwa˙z, ˙ze

| + |

| = |

| + |

Uzasadnij, ˙ze odcinki LQ i MR s ˛

a równe.

Wyka˙z, ˙ze

| = |

Bukiet 44

W trójk ˛

acie prostok ˛

atnym ABC k ˛

at prosty jest przy wierzchołku C .

Długo´sci boków BC , CA, AB oznaczamy przez a, b, c (odpowied-
nio), a promie ´n okr ˛egu wpisanego przez r. Niech O b ˛edzie ´srodkiem

144U

BLACK

Bukiety str. 24

GEOMETRIA

okr ˛egu wpisanego, a

K , L, M

punktami styczno´sci tego okr ˛egu

z bokami AC , BC , CA (odpowiednio).

Jakim czworok ˛

atem jest OKCL?

Uzasadnij, ˙ze

1
2

(

–

)

W podobny sposób otrzymaj wzór na promie ´n okr ˛egu dopisanego
do przeciwprostok ˛

atnej trójk ˛

ata prostok ˛

atnego.

Bukiet 45

W trójk ˛

at o bokach długo´sci

| =

c wpisa-

no okr ˛

ag styczny do boków BC , CA, AB w punktach D, E , F

(odpowiednio). Niech

| = |

| =

| = |

| =

| = |

| =

Maj ˛

ac dane a, b, c, oblicz x , y , z.

Czworok ˛

at o bokach długo´sci a, b, c, d (kolejno) jest opisany na

okr ˛egu. Udowodnij, ˙ze a

Ułó˙z i rozwi ˛

a˙z zadanie podobne do zadania 1 dla pi ˛eciok ˛

ata

i zadanie podobne do zadania 2 dla sze´sciok ˛

ata.

Bukiet 46

Rozwa˙zamy dowolny n-k ˛

at (czyli wielok ˛

at posiadaj ˛

acy n wierz-

chołków i n

boków) wypukły. Prowadzimy wszystkie przek ˛

atne

wychodz ˛

ace z jednego wierzchołka.

Ile jest tych przek ˛

atnych i na ile trójk ˛

atów dziel ˛

a one nasz n-k ˛

at?

Dodaj ˛

ac sumy k ˛

atów w otrzymanych trójk ˛

atach, oblicz sum ˛e k ˛

atów

n-k ˛

ata.

Dodaj ˛

ac liczby przek ˛

atnych wychodz ˛

acych z ka˙zdego wierzchołka

oraz uwzgl ˛edniaj ˛

ac, ˙ze ka˙zda przek ˛

atna wychodzi z dwóch wierz-

chołków, wyprowad´z wzór na liczb ˛e przek ˛

atnych n-k ˛

ata.

144U

BLACK

Bukiety str. 25

TWIERDZENIE TALESA, TRÓJKĄTY PODOBNE

Twierdzenie Talesa, trójkąty podobne

Bukiet 47

Dany jest trójk ˛

at ABC . Przez punkt B prowadzimy prost ˛

a k równo-

legł ˛

a do AC . Dwusieczna k ˛

ata BAC przecina odcinek BC w punkcie

D, a prost ˛

a k w punkcie E .

Zauwa˙z, ˙ze trójk ˛

at ABE jest równoramienny.

Udowodnij, ˙ze

| .

Maj ˛

ac dane

| =

x ,

| =

y i

| =

z, znajd´z długo´sci odcin-

ków BD i CD.

Bukiet 48

W trójk ˛

acie ABC , który nie jest prostok ˛

atny, poprowadzono wysoko´sci

AD, BE i CF . Udowodnij, ˙ze:

| ,

| i

Trójk ˛

at ABC jest podobny do trójk ˛

ata AEF oraz do trójk ˛

atów DBF

i DEC .

Je´sli trójk ˛

at ABC jest ostrok ˛

atny, to półproste DA, EB i FC s ˛

a dwu-

siecznymi k ˛

atów trójk ˛

ata DEF . Które półproste s ˛

a dwusiecznymi,

je´sli trójk ˛

at ABC jest rozwartok ˛

atny?

Bukiet 49

Czworok ˛

at ABCD jest wpisany w okr ˛

ag. Przek ˛

atne AC i BD przeci-

naj ˛

a si ˛e w punkcie P.

Uzasadnij, ˙ze trójk ˛

aty ABP i DCP s ˛

a podobne.

Wywnioskuj st ˛

ad, ˙ze

| · |

| = |

| · |

144U

BLACK

Bukiety str. 87

ROZWIĄZANIA

Dodajmy stronami nierówno´sci:

d + x > c

d + y > b

2d + x + y > b + c

2d + a > b + c

2d > b + c – a

d >

1
2

(b + c – a)

Rys. 5

Rys. 6

Uwaga. Je´sli rozwa˙zamy punkt le˙z ˛

acy na odcinku, to w zasadzie

dopuszczamy te˙z mo˙zliwo´s´c, ˙ze jest to jeden z ko ´nców odcinka.
W przypadku D = B w zadaniu 2 mamy nierówno´s´c

c >

1
2

(b + c – a),

czyli

c + a > b,

a w przypadku D = C nierówno´s´c

b >

1
2

(b + c – a),

czyli

b + a > c.

W zadaniu 2 udowodnili´smy nierówno´s´c

1
2

(b + c – a).

W ten sam sposób otrzymujemy nierówno´sci (rysunek 6)

1
2

(c + a – b)

1
2

(a + b – c).

Po dodaniu tych trzech nierówno´sci stronami dostajemy

1
2

(b + c – a) +

1
2

(c + a – b) +

1
2

(a + b – c) =

1
2

(a + b + c).

Bukiet 33

Zauwa˙zmy, ˙ze w trapezie ABCD (rysunek 7) wysoko´s´c opuszczo-
na z wierzchołka C na podstaw ˛e AB w trójk ˛

acie ABC jest równa

144U

BLACK

Bukiety str. 88

GEOMETRIA

wysoko´sci opuszczonej z wierzchołka D na podstaw ˛e AB w trój-
k ˛

acie ABD. Skoro trójk ˛

aty ABC i ABD maj ˛

a wspóln ˛

a podstaw ˛e

(AB) i równe wysoko´sci, to ich pola s ˛

a równe:

ABC

= P

ABD

Korzystaj ˛

ac z tego, ˙ze P

ABC

= P

ABD

, mamy

ADE

= P

ABD

– P

ABE

= P

ABC

– P

ABE

= P

BCE

Rys. 7

Rys. 8

Na podstawie zadania 2, w trapezach ABKP i ADLP (rysunek 8)
mamy równo´sci:

AMP

= P

BKM

ANP

= P

DLN

wi ˛ec istotnie

AMN

= P

AMP

+ P

ANP

= P

BKM

+ P

DLN

Bukiet 34

Sposób I

We´zmy trójk ˛

at o podstawie

= a i wysoko´sci

= h (rysu-

nek 9). Niech

= b. Pole trójk ˛

ata ABC oznaczmy przez P.

Mamy wykaza´c, ˙ze

≤

1
2

ab.

Je´sli w trójk ˛

acie ABC k ˛

at przy wierzchołku A jest prosty, to b = h,

czyli

P =

1
2

ah =

1
2

ab.

Załó˙zmy teraz, ˙ze k ˛

at A nie jest prosty. Wówczas oczywi´scie

, czyli h < b, zatem

P =

1
2

ah <

1
2

ab.

Wykazali´smy, ˙ze pole trójk ˛

ata nie przekracza połowy iloczynu dłu-

go´sci dwóch boków (P

≤

1
2

ab), przy czym równo´s´c (P =

1
2

ab)

144U

BLACK

Bukiety str. 89

ROZWIĄZANIA

zachodzi dokładnie wtedy, gdy k ˛

at mi ˛edzy tymi bokami jest prosty

(

= 90

◦

Rys. 9

Sposób II

Ze wzoru P =

1
2

ab sin

i własno´sci sin

γ ≤

1 mamy

P =

1
2

ab sin

γ ≤

1
2

1 =

1
2

ab,

przy czym równo´s´c b ˛edzie zachodziła, gdy sin

= 1, czyli

= 90

◦

Rozwa˙zmy czworok ˛

at wypukły ABCD o bokach długo´sci a, b, c, d

(rysunek 10). Na mocy zadania 1 pola trójk ˛

atów ABC i ACD

spełniaj ˛

a nierówno´sci:

ABC

≤

1
2

ab,

ACD

≤

1
2

cd.

Zatem pole P czworok ˛

ata ABCD spełnia warunek

P = P

ABC

+ P

ACD

≤

1
2

ab +

1
2

cd =

Rys. 10

W zadaniu 2 udowodnili´smy, ˙ze

≤

W ten sam sposób otrzymujemy nierówno´s´c

P = P

ABD

+ P

BCD

≤

Po dodaniu tych nierówno´sci stronami dostaniemy

≤