dr hab. Henryk Gacki
Geologia - Zestaw 2
Ciągi, szeregi i rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
ZADANIE 1. 1. Zbadać czy podane zbiory s¸ ograniczone z doÅ‚u, z góry, s¸ ograniczone:
a a

a) A = 2x : x " C C -liczby całkowite

b) B = x " R : sin x < 0

2n
c) C = : n " N N - liczby naturalne
n+3

d) D = 3 - |x| : x " R .

p
e) D = ; p, q " N .
q
2. Znalez
ć kresy dolne i górne podanych zbiorów. Czy w tych zbiorach s¸ elementy najmniej-
a
sze i najwi¸
eksze?

1
a) A = ; x " (0, 1] ,
x

b) C = x " R : x2 - 5|x| + 4 0 .

n
c) D = ; n " N .
2n+1
3. Określić dziedziny i zbiory wartości funkcji:
"
1 x3-1
a) f(x) = sin x, b)g(x) = , c)h(x) = , d)p(x) = log3(1 + |x|).
1+cos x x-1
4. Zbadać, czy podane funkcje s¸ ograniczone z doÅ‚u, s¸ ograniczone z góry, s¸ ograniczone:
a a a
1
"
a) f(x) = 1 + 3x b) g(x) = 4 - 3 cos x c) h(x) = .
x+1
5. Określić funkcje złożone f ć% f, f ć% g, g ć% f, g ć% g, jeżeli
"
1
a) f(x) = , g(x) = x2; b) f(x) = log2 x, g(x) = 2x; c) f(x) = x, g(x) = x4.
x
6. Znalez
ć funkcje odwrotne do podanych:
1
a) f(x) = , b) g(x) = 1 - 3-x,
2x+4
c) h(x) = 2 - log5 x, d) p(x) = log3(1 + x).
2
7. Pokaż, że
y = f(x) + f(-x)
jest parzysta a
y = f(x) - f(-x)
jest nieparzysta.
ZADANIE 2. 1. Korzystaj¸ z twierdzeÅ„ o arytmetyce granic obliczyć podane granice:
ac
"
3
3n-2n 5n6-3n4+2 n2+1
a) lim , b) lim , c) lim ,
4n-3n 5-10n6 n
n" n" n"

" "
log2(n+1) 4
d) lim , e) lim n2 + n - n4 + 1 .
log3(n+1)
n" n"
1
2. Korzystaj¸ z twierdzenia o trzech ci¸ znalez
ć granice:
ac agach
"
sin2 n+4n n2
a) lim , b) lim n + 1,
3n-1
n" n"

" "
n n
c) lim n + 3, d) lim 3n + 4n + 5n .
n" n"
3. Oblicz granice ciągów:
n 6n
4n 1 7n+5n
a) lim , b) lim 1 + , c) lim .
4n+1 2n+3 5n+3n
n" n" n"
4. Dla podanych ci¸ napisać wzory okreÅ›laj¸ wskazane wyrazy tych ci¸
agów ace agów:
"
1
n
a) an = , a3n+2 b) bn = n2 + 1, bn+1
(2n)!
" "
n n
c) cn = n + 3, cn2 d) dn = 3n + 4n + 5n d2n+3.
5. Zbadać czy podane ci¸ s¸ monotoniczne od pewnego miejsca:
agi a
"
2n + 1
3
n2
a) an = , b) bn = n3 + 2 - n, c) cn = n2 - 49n - 50, d) dn = .
n!
3n + 1
6. Zbadać czy podane ci¸ s¸ ograniczone z doÅ‚u, z góry, s¸ ograniczone:
agi a a
" "
nĄ
n2 2
a) an = , b) bn = n + 8 - n + 3, c) cn = 2n sin , d) dn = 2n - 3n.
n!
2
ZADANIE 3. 1. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych szeregów (dla szeregów
zbieżnych wyznaczyć ich sumę)

" " "

1 1
a) - , b) (-1)(n+1), c) (0.999999)n.
n+2 n+1
n=1 n=1 n=1
2. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
" " "

1 2 + sin n arctg n
a) , b) , e) .
n2 + n n n2
n=1 n=1 n=1
3. Korzystając z warunku koniecznego (zbieżności szeregu) zbadać zbieżność szeregów:
" " "

n + 2 n n + 1
a) , b) , d) .
n + 100 ln n n2 - n
n=1 n=1 n=1
4. Korzystając z kryterium d Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
" " " "

2n 2n (n!)3 nn " 2n + 3n
a) , b) , c) , d) e) .
n! n2 (2n)! n! 3n + 4n
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
2
5. Korzystając z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność szeregów:
n n
" " "


n - 1 3 1
a) , b) n , d) lnn 2 + .
2n + 1 5 n
n=1 n=1 n=1
6. Korzystając z kryterium Leibniza zbadać zbieżność szeregów:
" "

(-1)n n + 2
a) , b) (-1)n .
3n + 1 n2 + 3
n=1 n=1
7. Wyznaczyć środki, współczynniki oraz obliczyć promienie zbieżności podanych szeregów
potęgowych:
n
" " "

5 (x - 3)n xn
a) (x + 5)n, b) , c) ,
3 2n 2n(n + 1)
n=1 n=1 n=1
ZADANIE 4. 1. Obliczyć podane granice
2. Korzystaj¸ z definicji Heinego granicy funkcji pokaż, że granice nie istniej¸
ac a:
1 1
a) lim , b) lim sin c) lim cos2 x.
x3
x"
x0
x0+ x
3. Zbadać obliczaj¸ granice jednostronne, czy istniej¸ podane granice:
ac a
1
|x-1|3
x+1
a) lim , b) lim e- x
c) lim .
x-1 x3-x2
x1 x0 x1
4. OkreÅ›l zbiory punktów ci¸ podanych funkcji:
agłości
Å„Å‚ Å„Å‚
1
x sin
x3-x2
òÅ‚ òÅ‚
x
dla x = 1

dla x = 0

|x-1|
|x|
a) f(x) = , b) h(x) = .
ół ół
1 dla x = 1
0 dla x = 0
5. Dobrać parametry a, b " R tak, aby podane funkcje byÅ‚y ci¸
agłe:
Å„Å‚ Å„Å‚
Ä„
òÅ‚ òÅ‚
ax + 1 dla x bx + 3 dla x < 1
2
a) f(x) = , b) g(x) = .
Ä„
ół ół
sin x + b dla x > 2x2 + x + a dla x 1
2
6. Które z poniższych własności ma pochodna funkcji f(x) = tg x2:
1. jest funkcjÄ… nieparzystÄ…,
2. jest funkcjÄ… okresowÄ…,
3. jest funkcją różnowartościową.
3
7. OkreÅ›l rodzaj nieci¸ podanych funkcji:
agłości
Å„Å‚ Å„Å‚
1 x-2
òÅ‚ òÅ‚
1 - cos dla x = 0 dla x = 2

x |x-2|
a) f(x) = , b) g(x) = .
ół ół
0 dla x = 0 1 dla x = 2
8. Korzystaj¸ z Twierdzenia Darboux pokaż, że:
ac
a) Jeżeli we Wrocławiu i Gdańsku jest temperatura 20oC, a w Bydgoszczy temperatura
25oC , to jad¸ z WrocÅ‚awia do GdaÅ„ska przez Bydgoszcz co najmniej dwukrotnie b¸
ac edziemy
w miejscach, w których panuje temperatura 22oC.
b)" Na ziemi s¸ dwa miejsca poÅ‚ożone symetrycznie wzgl¸ Å›rodka, w których panuje ta
a edem
sama temperatura.
c) Jeżeli na dolnej stacji wyci¸ byÅ‚o bezwietrznie, a na górnej stacji wiatr wiaÅ‚ z pr¸ a
agu edkoÅ›ci¸
10m, to jad¸ wyci¸ do góry natrafimy na miejsce, gdzie wiatr wieje z pr¸ a 8m
ac agiem edkoÅ›ci¸
s s
w pewnym kierunku.
d) Równania maj¸ rozwi¸ w przedziaÅ‚ach
a azania
Å„Å‚ Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚ òÅ‚ òÅ‚
4x = x2 x100 + x - 1 = 0 ctg x = x

d1) , d2) , d3) .
1 Ä„ Ä„
ół ół ół
- 1, 0 , 1 ,
2 6 3
9. Rozważmy funkcję:
sin 3x
lim
x0
x
Która z odpowiedzi jest prawdziwa
1. Granica funkcji nie istnieje,
2. Granica funkcji istnieje i jest liczbÄ… pierwszÄ…,
3. Granica funkcji istnieje i jest liczbÄ… niewymiernÄ….
10. Granica funkcji
sin (x - 1)
lim
x1
x2 - 1
1. nie istnieje,
2. istnieje i jest liczbÄ… niewymiernÄ…,
3. istnieje i jest liczbą całkowitą.
Wybierz właściwą odpowiedz
.
10. Funkcja dana wzorem

f(x) = log2 log0.5 x ,
1. przyjmuje tylko jedną wartość,
2. ma minimum,
3. ma co najmniej jedno miejsce zerowe. Wybierz właściwą odpowiedz
(uzasadnij wy-
bór).
4
ZADANIE 5. Zastosowania pojęcia granicy:
1. Model ludności uwzględniający urodziny i zgony jest opisany funkcją
a
P (t) = gdzie P (0) = P0
a
[b + ([P e-at])]
0
oraz a, b(a > o, b = 0) są stałymi witalności. Pokazać, że jeżeli t ", to liczba ludności

a
P (t) zbliża się do stałej .
b
2. Liczba jednostek N(t) w populacji jest dana wzorem
e3t
N(t) = N0 2 .
+ e3t
3
Wyznaczyć limt" N(t) i przedyskutować biologiczne znaczenie tej granicy.
3. Psycholog przeprowadza pewne manipulacje z teorią testów chcąc zastąpić współczynnik
niezawodności
nr
R = wzór Spearmana-Browna
1 + (n - 1)r
przez liczbę 1 zgodnie z czyjąś sugestią, że tak powinno być dla bardzo dużych n. Doko-
1
nuje tego w ten sposób, że formalnie zastępuje n przez , upraszcza, a następnie podstawia
x
x = 0 i otrzymuje 1. Wyjaśnić postępowanie psychologa na podstawie pojęcia
teorii granic
4. Natężenie prądu w obwodzie RLC jest dane wzorem:

1 t
2
I(t) = sin t + cos t e- + 4.
3
Liczba lim I(t) jest natężeniem po długim czasie. Znalez
ć to natężenie.
t"
5. Temperatura T (x, t) w chwili t w punkcie pręta o współrzędnej x, x " [0, l] jest dana
wzorem
T (x, t) = B1e-Ä…t sin 1x + B2e-²t sin 2x + B3e-Å‚t sin 3x,
gdzie B1, Ä…, 1, B2, ², 2, B3, Å‚, 3 sÄ… staÅ‚ymi dodatnimi. Pokazać, że
lim T (x, t) = 0, dla każdego punktu x.
t"
ZADANIE 6. 1. Korzystaj¸ z definicji pochodnej zbadać czy istniej¸ pochodne funkcji w
ac a
xo = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
1 1
òÅ‚ òÅ‚
x sin dla x = 0 x2 sin dla x = 0

x x
a) f(x) = x|x| b) f(x) = , c) h(x) = .
ół ół
0 dla x = 0 0 dla x = 0
2. Badaj¸ pochodne jednostronne rostrzygn¸ czy istniej¸ pochodne funkcji w każdym punk-
ac ać, a
cie:
Å„Å‚
òÅ‚
x2 + x + 1 dla x 1
a) f(x) = , b) h(x) = x2 + |x2 - 4|.
ół
3x3 dla x < 1
5
3. Korzystaj¸ z reguÅ‚ różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
ac
x x cos x
a) y = ln tg , b) y = sin7 2x+1, c) y =
3 3x+1 1+sin x

d) y = x3 + x2 + 10 e3x.

4. Obliczyć f , f , f dla danych funkcji:

cos x + x2
a) f(x) = x ln x, b) f(x) = x2 + x + 1 cos x, c) f(x) = .
xex + sin x
5. Znalez
ć wzory na pochodn¸ n-tego rz¸ dla funkcji:
a edu
a) f(x) = ex, b) g(x) = sin x, c) h(x) = cos x,
2
d) f1(x) = .
x2-1
6. Zbadaj przedziały monotoniczności funkcji:
"
x3
a) f(x) = x ln x, b) r(x) = , c) h(x) = (x - 3) x.
x - 2
7. Korzystaj¸ z reguÅ‚y De L Hospitale a obliczyć granice:
ac
(1 + x) sin x 2x - 22-x ln x
a) lim , b) lim , c)" lim xsin x, d) lim .
x-0
x x-1- (x - 1)2 x-0+ x-0+ ln sin x
ZADANIE 7. 1. Szybkość reakcji chemicznej w czasie od t = 0 do t = 10 sekund jest dana
wzorem
s(t) = 2t3 - 3t2 + 1.
a) Kiedy szybkość reakcji maleje, a kiedy rośnie?
b) Kiedy jest najmniejsza, a kiedy największa?
2. Model liczby osób biorących udział w głosowaniu w pewnym rejonie jest opisany wzorem
N(t) = 30 + 12t2 - t,
gdzie t oznacza czas w latach, N jest liczbą ludności w tysiącach.
a) W jakim czasie liczba głosujących wzrasta najszybciej?
b) Wyjaśnić znaczenie punktów t = 0 i t = 8.
3. Liczba myszy w lesie zmienia sie w zależności od liczby - x- sów zgodnie ze wzorem:
P (x) = 30 + 10x2 - x3, 0 x 10.
Sporządzić wykres funkcji P oraz wyznaczyć jej wartość największa i najmniejszą.
ZADANIE 8. Korzystając z twierdzenia Lagrange a udowodnij następujace nierówności;
1. | sin x - sin y| |x - y| dla x, y " R,
2. | cos x - cos y| |x - y| dla x, y " R,
3. | ln x - ln y| |x - y| dla x, y 1.
6
ZADANIE 9. Zastosowanie pochodnej:
"
1. (Wprowadzenie do metody najmniejszych kwadratów) Wzdłuż drogi wybudowano
n-Markietów tego samego typu w odległości xi, i = 1, ...n od ustalonej miejscowości. Mar-
kiety te zaopatrują się w ten sam towar u tych samych producentów. Celem zminima-
lizowania kosztów transportu postanowiono wybudować wspólne magazyny. W jakiej
odległości x od ustalonej miejscowości należy zbudować magazyny aby osiągnąć zamie-
rzony cel?
Zadanie to rozwiąż na dwa sposoby przyjmując jako miarę odległości
x od xi, i = 1, ...n:
1. (x - x1)2 + (x - x2)2 + ... + (x - xn)2,
2. * |x - x1| + |x - x2| + ... + |x - xn|.
Odpowiedz
: W pierwszym przypadku rozwiazaniem jest średnia arytmetyczna a w
drugim mediana.
2. Ciało stałe o temperaturze T wysyła promieniowanie złożone z fal o różnych długościach
 i natężeniu I() danym wzorem:
c k
T
I() = e- ,
()5
gdzie c i k są pewnymi stałymi. Wyznaczyć takie , aby I() było największe.
3. Moc P silnika samolotu lecącego z prędkością v jest dana wzorem:

d
P (v) = cv2 + v,
v2
gdzie c i d są stałymi dodatnimi.
a) Wyznacz prędkość v, przy której moc ma minimalna wartość.
b) Niech Q(t) oznacza ilość paliwa (w litrach), która samolot ma w chwili t. Załóżmy,
ze moc jest proporcjonalna do zużycia paliwa. Przy jakiej prędkości czas lotu będzie
najdłuższy?
4. Stężenie K(t) lekarstwa u pewnego pacjenta w czasie t godzin po wstrzyknięciu lekarstwa
jest dane wzorem
16t
K(t) = .
(10t + 20)2
Wyznaczyć maksymalne stężenie oraz czas, po którym zostanie ono osiągnięta.
5. Lekarstwo jest wstrzykiwane do krwi człowieka. Powoduje to wzrost temperatury T ciała
człowieka po jednej godzinie. Jeżeli wstrzyknięto x miligramów lekarstwa, to

x2 x2
T (x) = 1 - , 0 x 16.
8 16
a) Szybkość zmian temperatury T względem dawkowania x jest nazywana wrażliwością
ciała na dawkowanie. Wyznaczyć tę wrażliwość.
b) Znalez
ć wielkość dawkowania, przy której wrażliwość jest największa.
7