6. CAA
KOWANIE WYRAŻEC
WIELOMIANOWYCH 1
6. ����Ł�
6. CAA
KOWANIE WYRAŻEC
WIELOMIANOWYCH
W układzie jednowymiarowym:
b
j
f śą xźądx= wi�"f (6.1)
+" "
i
i=1
a
gdzie
w - waga funkcji
i
f - wartośc funkcji w odpowiednim miejscu
i
Funkcje kształtu są wielomianami, więc da się je scałkować dokładnie.
y
b
a+b
2
a
x
-1 0 1
w1śą0źą=2
a�ąb (6.2)
f śą0źą=
1
2
W celu usprawnienia obliczeń wprowadza się współrzędne naturalne. Są one wygodne ze względu na
konstruowanie funkcji interpolacyjnych a także w całkowaniu współczynników macierzy sztywności.
Transformuje się układ osi x do �.
he=xe+1-xe
e
x
e+1
 e
xe
xe+1
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
6. CAA
KOWANIE WYRAŻEC
WIELOMIANOWYCH 2
x")# xe , xe�ą1*#Śą�ą)#-1 ,1*#
2 x-śą xe�ąxe�ą1źą
�ą= (6.3)
he
he=xe�ą1-xe
Współrzędne naturalne:
 wygodne ze względu na konstruowanie funkcji interpolacyjnej
 wygodne w całkowaniu współczynników macierzy sztywności
x
x
e+1
�=1
�= -1
he
x=xe
x=xe+1
�
1
2
-1 d"�ąd"1
1
�ą1= śą1-�ąźą
2
(6.4)
1
�ą2= śą1�ą�ąźą
2
�
2 3
1
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
6. CAA
KOWANIE WYRAŻEC
WIELOMIANOWYCH 3
�ą1=-1 �ąśą1-�ąźą
2
�ą2=śą1�ą�ąźąśą1-�ąźą
(6.5)
1
�ą3= �ąśą1�ą�ąźą
2
Suma funkcji kształtu � wynosi 1.
i
śą�ą-�ą1źąśą�ą-�ą2źą�ąśą�ą-�ąi-1źąśą�ą-�ąi�ą1źą�ąśą�ą-�ąnźą
�ąi= (6.6)
śą�ąi-�ą1źąśą�ąi-�ą2źą�ąśą�ąi-�ąi-1źąśą�ąi-�ąi�ą1źą�ąśą�ąi-�ąnźą
Przykładowo dla elementu dwuwęzłowego:
-1
1
N1
N2
�ą-1
1
�ą1= = śą1-�ąźą (6.7)
-1-1 2
Dla elementu trójwęzłowego:
0 1
-1
N1
N2
N3
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
6. CAA
KOWANIE WYRAŻEC
WIELOMIANOWYCH 4
śą�ą-0źąśą�ą-1źą
1
�ą1= = �ąśą�ą-1źą
śą-1-0źąśą-1-1źą 2
śą�ą-śą-1źąźąśą�ą-1źą
�ą2= =śą1�ą�ąźąśą1-�ąźą (6.8)
śą0-śą-1źąźąśą0-1źą
śą�ą-śą-1źąźąśą�ą-0źą
1
�ą3= = �ąśą�ą�ą1źą
śą1-śą-1źąźąśą1-0źą 2
Dla elementu czterowęzłowego:
1 1
�ą1=-9 śą1-�ąźąśą �ą�ąźąśą -�ąźą
16 3 3
27 1
�ą2= śą1�ą�ąźąśą1-�ąźąśą -�ąźą
(6.9)
16 3
�ą3=�ą
�ą4=�ą
x= f śą xźą ,�ą=g śą xźą
1
f śą�ąźą= śą�ą he�ąxe�ąxe�ą1źą
2
(6.10)
2 x-śą xe�ąxe�ą1źą
g śą xźą=
he
Jeśli � są funkcjami interpolacyjnymi Lagrange'a stopnia r-1
i
r
x= xi �ąiśą�ąźą (6.11)
"
i=1
Funkcja opisuje kształy elementu:
r
"�ąi
dx=śą x źąd �ą=I d �ą (6.12)
"
"�ą
i=1
Załóżmy że zmienne zależne są aproksymowane przez
s
u= ui �ąi (6.13)
"
i=1
Aproksymacja transformacji współrzędnych r, aproksymacja zmiennych s
1. zmienne subparametryczne r2. zmienne izoparametryczne r=s
3. zmienne supparametryczne r>s
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
6. CAA
KOWANIE WYRAŻEC
WIELOMIANOWYCH 5
Współczynniki po scałkowaniu metodą Newtona-Cotesa:
n � � � � � � �
1 2 3 4 5 6 7
1
1 1
2 2
2
1 4 1
6 6 6
3
1 3 3 1
8 8 8 8
4
7 32 12 32 7
90 90 90 90 90
5
19 75 50 50 75 19
288 288 288 288 288 288
6
41 216 27 272 27 216 41
840 840 840 840 840 840 840
Uwagi o całkowaniu metodą Gaussa
1
r
y śą�ąźąd �ą=w1 y1śą�ąiźą�ąw2 y2śą�ą2źą�ą�ą= wi y śą�ąiźą (6.14)
+" "
i=1
-1
Współczynniki (w ,w ,...� � ...), których jest 2r, są tak dobrane by wielomian stopnia (2r-1) scałkować
1 2 1, 2
dokładnie.
y śą�ąźą=a1�ąa2�ą�ąa3�ą2�ą�ą�ąa2 r �ą2 r-1 (6.15)
1 1 1
a1 d �ą�ąa2 �ą d �ą�ą�ą�ąa2 r-1 �ą2 r-1=a1śąw1�ąw2�ą�ą�ąwrźą�ąa2śąw1�ą1�ąw2�ą2�ą�ą�ąwr �ąrźą
+" +" +"
(6.16)
-1 -1 -1
�ą�ą�ąa2 rśąw1�ąśą2 r-1źą�ąw2�ąśą2 r-1źą�ą�ąwr �ąśą2 r-1źąźą
Aby spełnić ten układ dla dowolnych a ( i = 1...2 )współczynniki w i � muszą spełniać:
i r i i
1
r
2
�ą
�ą�ą d �ą= = wi �ąi �ą=0,2 ,4�ąśą2 r-2źą
+" "
�ą�ą1
i=1
-1
1
r
�ą�ą d �ą=0= wi �ą�ą �ą=1,3 ,5�ąśą2 r-1źą
+" "
i
i=1
-1
Aby scałkować wielomian metodą Gaussa, należy znać wagi funkcji oraz wyznaczyć punkty
całkowania.
Tabela 6.1
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
6. CAA
KOWANIE WYRAŻEC
WIELOMIANOWYCH 6
Liczba Położenie punktu Gaussa Waga
punktów
ą� ąi
i
1 0.0 2.0
2 0.5773502692 1.0
3 0.7745966692 0.55556
0.0 0.88889
4 0.8611363116 0.347855
0.3399810436 0.652145
5 0.9061798459 0.236926
0.5384693101 0.4786286
0.0 0.5688889
Mając dany wielomian stopnia n potrzebujemy r punktów żeby dokładnie go scałkować, przy czym
n=2 r-1 (6.17)
Mając dwa punkty całkowania można dokładnie scałkować wielomian do trzeciego stopnia włącznie.
Całkowanie metodą Gaussa:
1
f śą�ąźąd �ą = wi f śą�ąiźą
+" "
(6.18)
-1
�ą
wyrażenie wielomianowe
Przejście między współrzędnymi:
dv Śą d �ą d �ą d źą (6.19)
gdzie dv = J  jakobian przekształcenia:
�ą�ą �ą�ą �ą�ą
�ą x �ą y �ą z
�ą�ą �ą�ą �ą�ą
(6.20)
�ą x �ą y �ą z
�ąźą �ąźą �ąźą
[ ]
�ą x �ą y �ą z
3 x3
�ą�"he śą xe�ąxe�ą1źą
x= �ą (6.21)
2 2
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater
6. CAA
KOWANIE WYRAŻEC
WIELOMIANOWYCH 7
Jakobian przekształcenia dla jednowymiarowego przypadku będzie wynosił:
he
dx
= (6.22)
d �ą 2
he=xe�ą1-xe
(6.23)
h oznacza długość elementu.
e
J.Gieczewski, M.Kończal, A.Krzysztoń, D.Mejbaum, N.Roszak, M.Wojciechowski, J.Wojtkowiak AlmaMater