Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 1
Wielomiany
Zad.1
Dane sÄ… wielomiany:F (x) = x3 - 2x2 - x - 3 i W (x) = x4 - 6x2 + 7.
" " " " " "
Oblicz: F (0), F (-2), F (3), F ( 2), W ( 3), W ( 3 - 2), W ( 3 + 2).
Zad.2
Wyznacz współczynniki wielomianów korzystając z podanych obok danych:
a) W (x) = 3x2 - bx + c, W (1) = 3, W (-1) = 0
b) W (x) = x3 + bx2 + x + c, W (1) = -5, W (-1) = -9
c) W (x) = ax4 + bx3 + c, W (0) = 2, W (1) = 3, W (-1) = 5
" "
d) W (x) = ax4 + bx2 + c, W (0) = 5, W ( 2) = 5, W ( 3) = 8

1
e) W (x) = x3 + ax2 + bx + c, W (-1) = 1, W (2) = 13, W = -43
2 8
Zad.3
Uporządkuj wielomiany.Wyznacz ich sumę i różnię.
Wyznacz 2f(x) - 3g(x). Podaj stopień oraz sumę współczynników otrzymanego wielomianu:
a) f(x) = x3 - x + 2x4 - 1, g(x) = 4 - x3 + 3x2 + x4
b) f(x) = -2x2 + 4x - x6 + 2, g(x) = -5x + 3x2 + x6 - 3x5
c) f(x) = 3x4 + 2x7 - 5 + 4x, g(x) = -3x + x5 - 2x7 + 2
Zad.4
Oblicz sumę współczynników wielomianu W :
a) W (x) = (x3 - 2x + 7)(2x2 + 11x + 13)(x2 - 1)
b) W (x) = (2x3 - 3x + 2)100
Zad.5
Wyznacz W (x) - [M(x)]2 oraz W (x)[M(x)]2:
a) W (x) = 4x2 + 4x + 1, M(x) = 2x - 1
b) W (x) = x2 - 2x + 1, M(x) = x2 + x
c) W (x) = x4 - 1, M(x) = 1 - x2
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 2
Zad.6
Wyznacz współczynnik wielomianu W (x) = (1 - x)20 przy potędze:
a) x2 ; b) x3 ; c) x19 ; d) x20 ;
Zad.7
Wyznacz współczynnik wielomianu W przy potędze x9:
"
1
a) W (x) = ( 5x - 1)9 ; b) W (x) = (2x + )11 ;
4
"
c) W (x) = (x3 - 1)9 ; d) W (x) = (1 - 2x)12 ;
Zad.8
Dane sÄ… wielomiany: W (x) = x2 + x - 1, G(x) = ax + b, H(x) = x3 + 4x + 6x2 - 5. Wyznacz
współczynniki a, b tak, aby W (x) · G(x) = H(x).
Zad.9
Dane sÄ… wielomiany: W (x) = 2x - 3, G(x) = x2 + bx + c, H(x) = 2x3 + x2 - 8 + 3x. Wyznacz
współczynniki b, c tak, aby W (x) · G(x) - H(x) byÅ‚ wielomianem zerowym.
Zad.10
Wielomiany W (x) = a(x - 2)(x - 3) + b(x - 1)(x - 3) + c(x - 1)(x - 2), G(x) = 5x2 - 19x + 18
są równe. Znajdz
liczby a, b, c.
Zad.11
Wyznacz współczynniki m, n, p i q tak, aby wielomiany P (x) i Q(x) były równe:
a) P (x) = x4 + mx3 + nx2 + 12x + 4, Q(x) = (x2 + px + q)2
b) P (x) = x4 + 2x3 + mx2 + nx + 1, Q(x) = (x2 + px + q)2
c) P (x) = x4 + mx3 + 13x2 + nx + 4, Q(x) = (x2 + px + q)2.
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 3
Zad.12
Wykonaj dzielenie wielomianów:
a) (6x3 + 5x2 - 13x - 12) : (3x + 4)
b) (3x4 - 8x3 + 4x + 1) : (3x + 1)
c) (x5 + 2x3 - 2x2 + x - 2) : (x2 + x + 2)
d) (x12 - x7 - x5 + 1) : (x7 - 1)
e) (10x5 - 19x4 - x3 + 22x2 - 15x + 3) : (2x2 - 3x + 1)
f) (15x5 + 14x4 - 29x3 - 83x2 + 22x + 77) : (5x2 - 2x - 7)
g) (3x9 + 2x6 - 8x - 1) : (x5 - x + 2)
Zad.13
Wykonaj dzielenie wielomianów:
a) (x3 - 6x2 + 11x - 6) : (x - 2)
1
b) (4x4 - 26x3 + 56x2 - 46x + 12) : (x - )
2
c) (2x5 - x3 - x) : (x - 1)
d) (5x4 - x3 + 2x2 - x + 1) : (x - 3)
e) (x5 - 1) : (x - 1)
f) (x7 - 3x3 - x + 8) : (x - 3)
g) (x6 + 2x5 - x - 2) : (x + 2)
Zad.14
Korzystając ze schematu Hornera wykonaj dzielenie wielomianów:
a) (5x4 - 3x3 + 2x2 + x - 5) : (x - 1)
b) (4x4 - 26x3 + 56x2 - 46x + 12) : (x - 3)
c) (2x5 - 6x3 - 8x) : (x + 4)
d) (7x4 - 2x3 + 8x2 - 10) : (x - 5)
e) (x6 - 2x5 - x4 + 2x3 + x2 + x - 9) : (x - 2)
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 4
Zad.15
Nie wykonujÄ…c dzielenia oblicz resztÄ™ z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian M(x):
a) W (x) = x3 - 5x2 + 6x + 1, M(x) = x - 3
b) W (x) = x4 + 6x2 - x - 2, M(x) = x + 1
c) W (x) = x10 - 4x6 + 2x2 + x + 3, M(x) = x + 1
d) W (x) = 2x3 - 3x2 + 3x - 2, M(x) = x - 1
e) W (x) = 2x4 + 5x3 - 7x2 + 18x - 8, M(x) = x + 4
2
f) W (x) = 3x3 - 2x2 - 3x + 2, M(x) = x -
3
Zad.16
Wielomian W przy dzieleniu przez (x - 1), (x - 2), (x - 3) daje odpowiednio reszty 1, 2, 3.
Wyznacz resztÄ™ z dzielenia W przez iloczyn (x - 1)(x - 2)(x - 3).
Zad.17
Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian W jest podzielny przez wielomian P :
a) W (x) = x3 - (2a + 1)x2 + 3, 5x + a2 - 4, P (x) = x - 2
b) W (x) = x4 - (a - 1)(a + 1)x3 + (a + 1)2x2 - 3(a + 1)x - 7, P (x) = x - 1
c) W (x) = x3 + (a2 - 1)x - 3, P (x) = x - 1
d) W (x) = x4 - 3x3 + bx2 + ax + b, P (x) = (x - 1)(x + 1)
e) W (x) = x4 - 3x3 + 2x2 + ax + b, P (x) = (x + 1)(x - 2)
f) W (x) = ax3 + bx2 - 73x + 102, P (x) = x2 - 5x + 6?
Zad.18
Dla jakich wartości parametrów a, b reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q jest
równa R, gdy:
a) W (x) = x3 + 2x2 + ax + b, Q(x) = x2 + x - 2, R(x) = 4x - 3
b) W (x) = x3 - ax2 + bx + 1, Q(x) = x2 - 4x + 3, R(x) = x + 1
d) W (x) = x4 + (a + b)x3 + x2 + (2a - b)x - 15, Q(x) = x2 + 2x - 3, R(x) = 2x - 3
f) W (x) = ax3 + x2 + (3a - b)x + 10, Q(x) = x2 + x - 6, R(x) = 3x + 4?
Zad.19
Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q określony wzorem Q(x) = x4 + x3 - x - 1
wynosi x3 + x2 + x + 2. Wyznacz resztÄ™ z dzielenia wielomianu W przez x2 - 1.
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 5
Zad.20
Wyzancz resztę z dzielenia wielomianu W przez trójmian x2 - 3x - 10, jeżeli przy dzieleniu
wielomianu W przez dwumian x-5 otrzymamy resztÄ™ 10, a przy dzieleniu przez dwumian x+2
resztÄ™ -4.
Zad.21
Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian x + 4 wynosi 3, a przez dwmian x - 4 jest
równa -5. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x2 - 16.
Zad.22
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x2 - 1, jeżeli W (-1) = 2 i W (1) = 0.
Zad.23
Wiedząc, że liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu W znajdz
pozostałe pierwiastki:
a) W (x) = x3 + 2x2 - 3x - 10, x0 = 2
b) W (x) = x4 - 3x3 + x - 3, x0 = 3
d) W (x) = x5 + x4 + 3x3 + 3x2 - 4x - 4, x0 = -1
f) W (x) = x3 + 5x2 + 2x - 8, x0 = -4
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 6
Zad.24
Rozłóż wielomian na czynniki:
a) W (x) = x3 + 3x
b) W (x) = 3x4 - 3x2
c) W (x) = 2x3 + 4x2 + 2x
d) W (x) = x6 + 7x5 + 6x4
e) W (x) = x3 - x2 + x - 1
f) W (x) = 5x3 + x2 - 15x - 3
g) W (x) = -x3 + x2 + 2x - 2
h) W (x) = x3 + 2x2 - 11x + 6
i) W (x) = x3 - 4x - 15
j) W (x) = x3 + 2x2 - 11x - 12
k) W (x) = x5 - 3x4 - x3 + 3x2 - 6x + 18
l) W (x) = x5 + x4 + x3 + x2 - 2x - 2
1 1
Å‚) W (x) = 2x4 - x3 - 2x2 + x +
2 2
Zad.25
Rozwiąż równania:
a) x4 - 5x3 + 6x2 = 0
b) x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 = 0
c) x5 + x4 - x3 - x2 - 12x - 12 = 0
d) x4 - 2x3 - 3x2 + 2x + 2 = 0
e) x4 - 6x2 + 7x - 6 = 0
f) x6 + 6x4 + 11x2 + 6 = 0
g) x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = 0
h) x4 - 9x3 = 18x2
i) 2x3 + x2 = 8x + 4
j) x4 - 3x2 - |x2 - 3| = 0
k) |x2 - x| = x - 1
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 7
Zad.26
Rozwiąż nierówności:
a) x4 + x3 + 8x + 8 < 0
b) x3 - 2x2 + 2x - 1 > 0
c) x3 - 7x + 6 0
d) (x + 5)2(2 - x)3 > 0
e) (x + 1)3(x2 - 5x + 6) > 0
f) (6 - x)2(x - 3)(x + 5) 0
g) x3 - 13x + 12 0
h) 2x3 - 5x2 - x + 6 < 0
i) 2x(x - 1)2 x(x - 1)
" "
j) x4 - 10x2 + 25 < (x + 5)(x - 5)
k) x3 + x2 < 4x - 2
l) (x2 + 1)2 (x2 - 1)2 + 4x2
m) |(x2 - 4)(x2 - 9)| 0
n) |x3 - 1| < x2 + x + 1
Zad.27
Rozwiąż równania:

x x+2
a) =
3 4

x-3
b) = 21
2

x 5x(x-3)
c) =
3 4

x x
d) + = 15(x - 1)
3 2

x x+4
e) 12 + = 162
1 2

2x+3
3
f) = x(x + 1)(2x + 1)
2x-2 2

x+1
7
g) = x(x + 1)(x - 1)
x-4 15

x+8
h) = 5(x + 6)(x + 5)(x + 4)
x+3

x+3
i) 12 = 55x(x + 1)
x-1
Zad.28
Liczby 1 i 2 sÄ… miejscami zerowymi wielomianu postaci W (x) = x3 - 6x2 + ax + b. Znajdz

trzecie miejsce zerowe wielomianu.
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 8
Zad.29
Dla jakich wartości a i b liczba 2 jest dwukrotnym rozwiązaniem równania x3 +4x2 +ax+b = 0?
Zad.30
Dla jakich wartości parametru p równanie x4 + (p + 1)x2 + p2 - 1 = 0 ma dokładnie dwa
rozwiÄ…zania?
Zad.31
Dla jakich wartości parametru m równanie (m - 2)x4 - 2(m + 3)x2 + m - 1 = 0 ma cztery
pierwiastki?
Zad.32
Rozwiąż nierówność x4 + x3 - 7x2 + ax + b > 0, jeśli liczby 1 i -3 są miejscami zerowymi
wielomianu po lewej stronie nierówności.
Zad.33
Dla jakich wartości x wielomian w(x) = x3 + bx2 + cx + d przyjmuje wartości dodatnie, jeżeli
W (-1) = 6, W (-2) = 8 i W (2) = 0?
Zad.34
Dla jakich wartości parametru p trójmian kwadratowy (2p - 1)x2 + (7p + 2)x - 3p przyjmuje
wartości większe niż trójmian (p + 3)x2 + 5(p + 1)x - 4(p + 1) dla każdego x?
Zad.35
Dany jest wielomian w(x) = x3 + ax2 - bx - 6. Liczby 1 i 2 sÄ… pierwiastkami tego wielomianu.
Wyznacz współczynniki wielomianu W i rozwiąż nierówność W (x) > 0.