NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
DZIELENIE WIELOMIANÓW
Dzielenie wielomianów to motyw przewodni wielu szkolnych zadań. Zacznijmy od przy-
pomnienia co to jest dzielenie liczb. Co to znaczy podzielić 15 przez 7? To znaczy sprawdzić
ile razy 7 mieści się w 15 (to jest iloraz), oraz ile zostanie jak te wszystkie możliwe siódemki
odejmiemy (to jest reszta). Możemy to działanie zapisać w postaci
15 = 7 · 2 + 1.
W powyższym rachunku 2 jest ilorazem, a 1 resztą z dzielenia. To co jest bardzo ważne, to
że reszta jest zawsze mniejsza od liczby, przez którą dzielimy (gdyby reszta była większa od
7 to by znaczyło, że w danej liczbie mieści się jeszcze jedna siódemka, czyli jest coś nie tak z
naszym dzieleniem).
Dokładnie tak samo dzieli się wielomiany i jeżeli będziemy musieli sobie kiedyś szybko
przypomnieć o co chodzi w dzieleniu wielomianów, najpierw napiszmy sobie przykład z
liczbami podobny do tego wyżej.
Podzielenie wielomianu W(x) przez wielomian P(x) polega na znalezieniu dwóch wie-
lomianów Q(x) i R(x) tak, aby była spełniona równość:
W(x) = P(x)Q(x) + R(x),
gdzie stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x). Wielomian Q(x)
nazywamy ilorazem, a R(x) resztą z dzielenia. Warunek deg R(x) < deg P(x) należy trak-
tować jako dokładny odpowiednik analogicznego warunku dla reszty przy dzieleniu liczb
(gdyby stopień nie był mniejszy, to by znaczyło, że resztę wciąż można podzielić przez P(x),
co byłoby sprzeczne z ideą reszty).
Powiedzmy, że chcemy podzielić wielomian W(x) = x7 - 5x3 + x przez wielomian
x2 - 1. Jakie będą stopnie ilorazu i reszty?
Stopień ilorazu łatwo przewidzieć. Ponieważ stopnie się dodają gdy mnożymy wie-
lomiany, iloraz musi mieć stopień 5 (inaczej mówiąc, żeby wyszło x7 musimy x2
przemnożyć przez x5). Co do reszty, to wiemy, że maksymalnie może mieć stopień
1 (bo dzielimy przez wielomian stopnia 2). Czy ma dokładnie stopień 1? Tego już
nie wiadomo, trzeba podzielić, żeby się przekonać.
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Wyznaczmy resztÄ™ z dzielenia wielomianu W(x) = x5 - 4x3 + 2x + 1 przez wielo-
mian (x - 2)(x + 1).
Ponieważ dzielimy przez wielomian stopnia 2, reszta będzie miała stopień 1, czyli
szukamy wielomianu R(x) = ax + b takiego, że
x5 - 4x3 + 2x + 1 = (x - 2)(x + 1)Q(x) + ax + b,
gdzie Q(x) jest pewnym wielomianem, który nas specjalnie nie interesuje (bo ma-
my tylko wyznaczyć resztę). Podstawiając w tej równości x = 2 i x = -1 (żeby
składnik z Q(x) się wyzerował), otrzymujemy układ równań
5 = 2a + b
2 = -a + b.
Odejmując od pierwszego równania drugie otrzymamy a = 1, skąd b = 3 i R(x) =
x + 3.
W przypadku gdy R(x) = 0 mówimy, że wielomian W(x) dzieli się przez P(x) bez reszty
(albo krótko, że się dzieli przez P(x)). Oczywiście znowu jest to w pełni analogiczne do
terminologii stosowanej przy dzieleniu liczb.
W jednym z poprzednich przykładów sprawdziliśmy, że
2x3 - 5x2 + 7x + 5 = (x2 - 3x + 5)(2x + 1).
Równość ta oznacza, że wielomian z lewej strony dzieli się bez reszty zarówno
przez wielomian x2 - 3x + 5 (z ilorazem 2x + 1) jak i przez 2x + 1 (z ilorazem x2 -
3x + 5).
Dzielenie wielomianów  dzielenie pisemne
Skoro już dobrze wiemy o co chodzi w dzieleniu wielomianów, nadszedł czas, żebyśmy
nauczyli się sprawnie takie dzielenie wykonywać.
Naukę rozpoczniemy od dzielenia pisemnego, które jest dokładnym odpowiednikiem
dzielenia liczb. Powiedzmy, że chcemy podzielić wielomian x5 + 1 przez wielomian x2 + 1.
Wykonamy najpierw dzielenie, a potem wyjaśnimy, co dokładnie się działo.
x3 -x
x5 +0x4 +0x3 +0x2 +0x +1 : x2 + 1
-x5 -x3
-x3 +1
x3 +x
x +1
Zaczynamy jak przy dzieleniu liczb: piszemy wielomian, który dzielimy i nad nim rysuje-
my kreskę. W tym kroku jest ważne, żeby napisać wszystkie współczynniki wielomianu,
również te zerowe. Patrzymy teraz na najwyższą potęgę x w naszym wielomianie, czyli na
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
x5 i dzielimy przez najwyższą potęgę x w wielomianie przez, który dzielimy. Otrzymuje-
x5
my = x3 i piszemy to nad kreską, jest to pierwszy składnik wyniku. Mnożymy teraz
x2
otrzymane x3 przez wielomian, przez który dzielimy i otrzymujemy
x3(x2 + 1) = x5 + x3.
Zapisujemy to wyrażenie ze zmienionym znakiem pod wyjściowym wielomianem. Całość
podkreślamy i dodajemy. Teraz startujemy od wyrażenia pod kreską, czyli od -x3 + 1 i po-
wtarzamy te same operacje co poprzednio: dzielimy -x3 przez x2 i wynik -x piszemy u
góry; przemnażamy -x przez x2 + 1 i podpisujemy ze zmienionym znakiem pod -x3 + 1.
Znowu kreska i dodawanie. Teraz otrzymujemy już wielomian, którego stopień jest mniej-
szy od wielomianu, przez który dzielimy, więc jest to nasza reszta. Iloraz mamy napisany
na samej górze.
Sprawdz
my jeszcze, że dzielenie dało nam dobry wynik
(x2 + 1)(x3 - x) + x + 1 = x5 - x3 + x3 - x + x + 1 = x5 + 1,
czyli jest OK.
Dzielenie pisemne to bardzo szybki sposób na dzielenie wielomianów, ale zapis algoryt-
mu jest dość nieprzyjemny i z tego powodu na ogół traktujemy je jak ostateczność.
Dzielenie wielomianów  grupowanie wyrazów
Grupowanie wyrazów to często najprostszy sposób na dzielenie wielomianów. Wprawdzie
sposób ten nie jest najszybszy, ale ma dość elegancki zapis i najtrudniej się w nim pomylić.
A nawet gdy zrobimy błąd, to dość łatwo jest go znalez
ć.
Ale do rzeczy, zróbmy ten sam przykład co przy dzieleniu pisemnym.
x5 + 1 = x3(x2 + 1) - x3 + 1 = x3(x2 + 1) - x(x2 + 1) + x + 1 =
= (x3 - x)(x2 + 1) + x + 1.
W zasadzie jest to inny zapis dzielenia pisemnego: zaczynamy od najwyższej potęgi, czyli
od x5 i dopisujemy do niej składniki tak, aby mieć wielokrotność wielomianu, przez który
dzielimy, czyli x3. Potem odejmujemy to dopisane x3 i resztÄ™ przepisujemy bez zmian. W
kolejnym kroku robimy to samo, ale początkowym składnikiem x3(x2 + 1) już się nie zaj-
mujemy i zaczynamy od -x3. Znowu dopisujemy brakujący składnik do tego, żeby mieć
wielokrotność x2 + 1 i go odejmujemy, żeby się zgadzało. Zostaje wielomian stopnia 1, więc
jest to już reszta z dzielenia. Na koniec grupujemy wyrazy wyciągając (x2 + 1) przed nawias,
żeby było widać jaki jest iloraz.
Przy odrobinie wprawy, zapis dzielenia przy pomocy grupowania wyrazów można znacz-
nie skrócić, co zilustrujmy dzieląc wielomian x3 + 2x2 - 23x + 1 przez wielomian x - 4.
x3 + 2x2 - 23x + 1 = (x3 - 4x2) + (6x2 - 24x) + (x - 4) + 5 =
= (x - 4)(x2 + 6x + 1) + 5.
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
O co chodzi? Rozpiszmy szczegółowo w jaki sposób pisaliśmy kolejne składniki tego wyra-
żania.
x3 + 2x2 - 23x + 1 = (x3 - 4x2)
x3 + 2x2 - 23x + 1 = (x3 - 4x2) + 6x2
x3 + 2x2 - 23x + 1 = (x3 - 4x2) + (6x2 - 24x) + x
x3 + 2x2 - 23x + 1 = (x3 - 4x2) + (6x2 - 24x) + (x - 4)
x3 + 2x2 - 23x + 1 = (x3 - 4x2) + (6x2 - 24x) + (x - 4) + 5
x3 + 2x2 - 23x + 1 = (x - 4)(x2 + 6x + 1) + 5.
Zaczynamy od x3 i dopisujemy drugi składnik tak, aby mieć wielomian podzielny przez
x3
x - 4 (czyli · (-4) = -4x2). Potem patrzymy na x2: ma być 2x2, a na razie mamy napi-
x
sane -4x2, więc trzeba dodać 6x2. Do tego 6x2 znowu dopisujemy składnik tak, aby mieć
6x2
wielomian podzielny przez x - 4 (czyli · (-4) = -24x). Teraz patrzymy na x: mamy
x
napisane -24x, a ma być -23x, więc dopisujemy x. Potem dopisujemy -4 (żeby mieć x - 4)
i na koniec dodajemy 5, żeby się zgadzało (bo ma być 1). Na koniec wyłączamy x - 4 przed
nawias.
Dzielenie wielomianów  schemat Hornera
Schemat Hornera pozwala bardzo szybko (i bezmyślnie) dzielić wielomiany przez dwumia-
ny postaci x - a. Jak zwykle wyjaśnijmy o co chodzi na przykładzie.
Wykonamy to samo dzielnie, co poprzednio, czyli dzielimy x3 + 2x2 - 23x + 1 przez
x - 4. Robimy tabelkÄ™ i w pierwszym jej wierszu, poczÄ…wszy od drugiego pola, wpisujemy
kolejne współczynniki wielomianu (łącznie z zerowymi!), który dzielimy.
1 2 -23 1
4 1 4 · 1 + 2 = 6 4 · 6 - 23 = 1 4 · 1 + 1 = 5
Dolny wiersz wypełniamy następująco:
a) w pierwszym polu wpisujemy a, jeżeli dzielimy przez x - a (w naszym przypadku 4);
b) w drugim polu przepisujemy element z górnego wiersza (w naszym przypadku 1);
c) każdy kolejny element drugiego wiersza powstaje przez pomnożenie poprzedniego
elementu przez element pierwszy (czyli przez a, u nas przez 4) i dodanie liczby, która
jest napisana u góry.
Gdy już wypełnimy dolny wiersz, wynik odczytujemy następująco
a) liczby od drugiej do przedostatniej są współczynnikami ilorazu, w naszym przykła-
dzie dajÄ… nam wielomian
x2 + 6x + 1;
b) ostatnia liczba w drugim wierszu jest resztą z dzielenia, w naszym przykładzie reszta
jest równa 5.
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Widać zatem, że otrzymaliśmy tę samą odpowiedz
, co poprzednio:
x3 + 2x2 - 23x + 1 = (x - 4)(x2 + 6x + 1) + 5.
Sprawdz
my, że liczba x = -1 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu W(x) =
x3 - x2 - 5x - 3.
Musimy wykazać, że wielomian W(x) dzieli się przez (x + 1)2, czyli, że można go
dwa razy podzielić przez dwumian x + 1. Wykonujemy pierwsze dzielenie.
1 -1 -5 -3
-1 1 -2 -3 0
Zatem po podzieleniu otrzymujemy wielomian x2 - 2x - 3. Teraz dzielimy raz
jeszcze.
1 -2 -3
-1 1 -3 0
Teraz otrzymaliśmy iloraz (x - 3) i resztę 0, co pokazuje, że istotnie wyjściowy wie-
lomian dzieli się przez (x + 1)2. Wynik wykonanych rachunków możemy zapisać
w postaci:
x3 - x2 - 5x - 3 = (x + 1)(x2 - 2x - 3) = (x + 1)2(x - 3).
Podoba Ci siÄ™ ten poradnik?
Zadania.info
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
TIPS & TRICKS
1
W wielu prostych zadaniach dzielenie wielomianów wykonujemy rozkładając wielomian
na czynniki, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia lub grupując wyrazy.
Zapiszmy wielomian W(x) = x3 - x2 - 5x + 5 jako iloczyn czynników liniowych.
Jeden ze sposobów rozwiązania tego zadania, to szukanie pierwiastków tego wie-
lomianu, a potem dzielenie przez dwumian. Znacznie prościej jest jednak rozłożyć
go bezpośrednio:
x3 - x2 - 5x + 5 = x2(x - 1) - 5(x - 1) =
" "
= (x2 - 5)(x - 1) = (x - 5)(x + 5)(x - 1).
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
2
Na ogół staramy się unikać ułamków w rachunkach, więc np. zamiast dzielić przez dwu-
1
mian x - wygodniej jest dzielić przez 2x - 1 (o ile nie dzielimy schematem Hornera!).
2
Rozwiążmy nierówność 3x3 + x2 + x - 2 > 0.
Szukamy najpierw pierwiastków wymiernych lewej strony. A
atwo sprawdzić, że
2 2
pierwiastkiem jest x = . Jeżeli teraz będziemy dzielić przez x - to nieuchronnie
3 3
2
wpuścimy się w świat ułamków. Dlatego wygodniej jest dzielić przez 3(x - ) =
3
3x - 2. Dzielimy grupujÄ…c wyrazy.
3x3 + x2 + x - 2 = (3x3 - 2x2) + (3x2 - 2x) + (3x - 2) =
= (3x - 2)(x2 + x + 1).
Ponieważ trójmian w nawiasie nie ma pierwiastków (jest zawsze dodatni), rozwią-
zaniem wyjściowej nierówności jest zbiór (2, +").
3
3
Na szczególną uwagę zasługuje reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - a).
Z definicji jest to wielomian stopnia co najwyżej 0, a więc liczba. Ile jest równa? Zapiszmy
definicjÄ™ dzielenia
W(x) = (x - a)W(x) + R.
Podstawiając w tej równości x = a mamy R = W(a). Tę własność warto zapamiętać, bo jest
wykorzystywana w wielu zadaniach.
Reszta z dzielenia W(x) przez dwumian (x - a) jest równa W(a).
Wiedząc, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez trójmian x2 + x - 12 jest
równa -3x + 5 obliczmy resztę z dzielenia W(x) przez (x - 4).
Z definicji dzielenia mamy równość
W(x) = (x2 + x - 12)Q(x) - 3x + 5.
Jak już wiemy, reszta z dzielenia W(x) przez (x - 4) to po prostu W(4), więc wsta-
wiamy x = 4 do powyższej równości
W(4) = (16 - 4 - 12)Q(x) - 7 = -7.
4
Z poprzedniej uwagi wynika praktyczny sposób częściowej kontroli poprawności dzielenia
przez dwumian schematem Hornera: jeżeli dzielimy wielomian W(x) przez x - a, to reszta
(a więc liczba w prawym dolnym rogu tabeli) musi być równa W(a).
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Podzielmy x5 + 1 przez x + 2.
1 0 0 0 0 1
-2 1 -2 4 -8 16 -31
Mamy więc
x5 + 1 = (x + 2)(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)-31.
Poprawność tego dzielenia pobieżnie sprawdzamy licząc W(-2) = -32 + 1 =
-31.
5
Schemat Hornera jest najszybszym sposobem dzielenia przez dwumian, ale jest bezlitosny
jeżeli popełnimy pomyłkę  mamy małe szanse, żeby zauważyć błąd. Dlatego musimy do-
kładnie pamiętać przebieg algorytmu, co w zasadzie wszystkim sprawia problemy. Najważ-
niejsze rzeczy, o których nalezy pamiętać to
a) wpisując do tabelki współczynniki wielomianu, który dzielimy pamiętajmy o wpisa-
niu również współczynników zerowych (jak przy zwykłym dzieleniu wielomianów);
b) schemat Hornera możemy stosować tylko do dzielenia przez dwumian postaci (x - a);
nie próbujmy go stosować do wyrażeń typu 2x - 1 albo x2 - 1;
c) jeżeli dzielimy przez x + 2 to w lewym dolnym rogu tabelki wpisujemy -2, a nie 2 (bo
x + 2 = x - (-2)).
Dobra rada: jeżeli nie czujecie się pewnie stosując schemat Hornera, nie stosujcie go i zamiast
tego nauczcie się dzielić wielomiany grupując wyrazy.
6
Pisaliśmy, że schemat Hornera możemy stosować tylko do dzielenia przez dwumian x - a,
ale stosując go wielokrotnie możemy go używać do dzielenia przez dowolny wielomian,
który rozkłada się na czynniki liniowe.
Jak podzielić wielomian schematem Hornera przez x2 - 3? Rozkładamy
" "
x2 - 3 = (x - 3)(x + 3),
"
a następnie wykonujemy dwa dzielenia: najpierw przez x - 3, a potem przez
"
x + 3.
A jak podzielić przez 10x2 - 3x - 1? Też rozkładamy
" = 9 + 40 = 49
3 - 7 1 3 + 7 1
x = = - (" x = = .
20 5 20 2
1 1
Tak więc najpierw dzielimy przez x + , a potem przez x - .
5 2
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
7
Jeżeli myślimy o dzieleniu wielomianów jak o dzieleniu liczb, to odpowiednikiem liczb
pierwszych są wielomiany nierozkładalne. Okazuje się, że są to dokładnie jednomiany
ax + b oraz wielomiany kwadratowe z ujemną "-ą (tak jest bo każdy wielomian można
rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej 2). W takim języku rozkład wielo-
mianu na czynniki liniowe i kwadratowe z ujemną Delta-ą odpowiada rozkładowi liczby
naturalnej na iloczyn liczb pierwszych. Okazuje się, że podobnie jak dla liczb, taki rozkład
jest jednoznaczny (z dokładnością do mnożenia czynników przez liczbę).
Podobnie jak dla liczb pierwszych, jeżeli W(x) jest wielomianem nierozkładalnym, który
dzieli iloczyn
P(x) · Q(x)
to W(x) musi dzielić jeden ze składników.
Uzasadnijmy, że jeżeli wielomiany P(x) i Q(x) spełniają równość
P(x)Q(x) = x8 - 1
to jeden z nich dzieli siÄ™ przez wielomian x2 + 1.
Na mocy poczynionej uwagi wystarczy wykazać, że wielomian x2 + 1 dzieli prawą
stronÄ™. A to nie jest trudne
x8 - 1 = (x4 - 1)(x4 + 1) = (x2 - 1)(x2 + 1)(x4 + 1).
Materiał pobrany z serwisu
8