2013-04-28
Metody probabilistyczne
Weryfikacja hipotez statystycznych
Hipotezy nieparametryczne
Testy nieparametryczne
Sprawdzana jest hipoteza H0 dotycząca rozkładu badanej cechy
w populacji generalnej, która nie określa wartości parametrów tego
rozkładu.
Podział testów nieparametrycznych
Testy losowości
Testy zgodności Testy niezależności
próby
Warunki konieczne do spełnienia w odniesieniu do wszystkich ww.
testów:
l� liczebność próby duża w porównaniu z liczebnością populacji generalnej
N,
l� próba powinna być próbą prostą (losowanie niezależne),
l� dopuszczalna wielkość błędu I-rodzaju (poziom istotności ą) jest
najczęściej równa 0,05 lub 0,01.
2
1
2013-04-28
Testy statystyczne
(nieparametryczne i parametryczne)
Testy statystyczne
nieparametryczne parametryczne
skale
nominalna porządkowa przedziałowa i ilorazowa
zmienne
jedna dwie i więcej jedna dwie i więcej jedna dwie i więcej
test zgodności
-Kołmogorowa -test z
chi2
-serii -test t
niezależne zależne niezależne zależne niezależne zależne
niezależności -McNemara -znaków -test z -test t
chi2 -QCochrana -Wilcoxona -test t
-Friedmana -test F
-serii Walda-Wolfowitza
-U Manna-Whitneya
-Smirnowa-Kołmogorowa
-Kruskala Wallisa
3
-mediany
Testy zgodności
Testy zgodności  testy weryfikujące hipotezy dotyczące postaci
rozkładu populacji generalnej
H0: f(x)=f0(x) H1: f(x)`" f0(x) H0: F(x)=F0(x) H1: F(x)`" F0(x)
Przykłady testów zgodności:
l� Test �2 Pearsona - test dla jednej populacji zmiennej ciągłej lub
dyskretnej,
l� Test  Kołmogorowa test dla jednej populacji zmiennej ciągłej,
l� Test Shapiro  Wilka - test dla jednej populacji; weryfikuje hipotezę, że
rozkład jest normalny,
l� Test Kołmogorowa-Lillieforsa - test dla jednej populacji; weryfikuje
hipotezę, że rozkład jest normalny,
l� Test Kołmogorowa - Smirnowa  testuje hipotezy o jednakowym
rozkładzie dwóch populacji,
4
2
2013-04-28
Testy zgodności
Pojedyncza próba
5
Test zgodności c�2
Dotyczy rozkładów ciągłych i dyskretnych,
l� Polega na porównaniu liczebności teoretycznej i empirycznej
ustalonych przedziałów klasowych.
l� Gdy rozbieżność między liczebnościami jest zbyt duża,
hipoteza, że populacja ma dany rozkład teoretyczny, musi zostać
odrzucona.
l� Ograniczenie  duża liczebność próby
l� n co najmniej kilkadziesiąt;
l� co najmniej 8 wyników próby w każdym przedziale klasowym.
l� Statystyka używana do weryfikacji hipotezy ma rozkład asymptotyczny
c�2.
6
3
2013-04-28
Test zgodności c�2
Model
Założenia:
l� populacja generalna ma dowolny rozkład o dystrybuancie należącej do
pewnego zbioru W� rozkładów o określonym typie postaci funkcyjnej
dystrybuanty,
l� wylosowano niezależnie dużą próbę, której wyniki podzielono na k
rozłącznych klas o liczebności ni w każdej klasie n =�
,
��ni
Formułowanie hipotezy:
l� należy sprawdzić, że populacja generalna ma rozkład typu W�, tzn.
l� H0: F(x) �� W�.
l� H1 : F(x) ��/ W�.
Sposób postępowania:
l� obliczyć dla każdej z k klas wartości badanej cechy X prawdopodobieństwo
(teoretyczne) pi, że zmienna losowa X o rozkładzie W� przyjmie wartości
należące do klasy o numerze i (i = 1, 2, ..., k),
l� obliczyć liczność teoretyczną npi,
7
Test zgodności c�2
Sprawdzian - wartość statystyki:
2
k
(�ni -� npi )�
2
c� =�
��
npi
i=�1
l� która ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 asymptotyczny rozkład
c�2
l� o k-1 stopniach swobody lub
l� o k-r-1 stopniach swobody, jeżeli z próby oszacowano r parametrów
rozkładu,
Wnioskowanie:
l� odczytać wartość krytyczną testu dla poziomu istotności a� tak, aby
2 2
P{�c� ł� c�a�}�=� a�
zachodziło:
l� Formułowanie wniosków:
jeżeli �2 e" �ą2, to hipotezę H0 należy odrzucić na korzyść H1,
jeżeli �2 < �ą2, brak podstaw do odrzucenia hipotezę H0
8
4
2013-04-28
Test zgodności c�2 - przykład
l� Należy sprawdzić czy kostka do gry jest prawidłowo wyważona.
Dla zweryfikowania hipotezy należy przyjąć poziom istotności ą=0,05.
W tym celu rzucono kostką 200 razy uzyskując wyniki:
Wyniki (ni -� n�� pi)2
n pi n*pi
i
rzutów
n�� pi
1 42 0,167 33,3 2,253
2 41 0,167 33,3 1,763
3 27 0,167 33,3 1,203
4 25 0,167 33,3 2,083
5 41 0,167 33,3 1,763
6 24 0,167 33,3 2,613
suma 200 1 200 11,680
2
k
2
i
c� =�
��(�n -� npi )� =�11,68
npi
Wniosek:
i=�1
Hipotezę H0 należy odrzucić
9
�2ą,k-1= 11,07
Test zgodności l� Kołmogorowa
l� Polega na porównaniu dystrybuanty empirycznej i teoretycznej.
l� Jeżeli populacja generalna ma rozkład zgodny z hipotezą, to wartości
dystrybuanty powinny być we wszystkich badanych punktach zbliżone.
l� Największa różnica między dwoma dystrybuantami służy do zbudowania
statystyki l�, której rozkład (niezależny od postaci dystrybuanty
hipotetycznej) podał Kołmogorow.
l� Ograniczenia:
l� dystrybuanta hipotetyczna musi być ciągła,
l� parametry rozkładu hipotetycznego powinny być znane
(jeżeli próba jest duża to dopuszcza się oszacowanie parametrów
z próby),
l� podział na klasy szeregu rozdzielczego przedziałowego o wąskich
przedziałach lub o jednakowej liczebności w klasach.
10
5
2013-04-28
Test zgodności l� Kołmogorowa
Model
Założenia:
l� populacja generalna ma rozkład ciągły o dystrybuancie F(x),
l� z populacji wylosowano niezależnie do próby n elementów (co najmniej
kilkadziesiąt)
Formułowanie hipotezy:
l� należy zweryfikować hipotezę H0: F(x) = F0(x), H1: F(x) `" F0(x),
gdzie F0(x) jest konkretną, hipotetyczną i ciągłą dystrybuantą.
Sposób postępowania:
l� wyniki próby należy uporządkować w kolejności rosnącej lub pogrupować w
stosunkowo wąskie przedziały o prawych końcach xj
i odpowiadających im liczebnościach nj,
nsk
l� dla każdego xj wyznaczyć wartość dystrybuanty empirycznej Fn(x): Fn(�xk )�=�
n
nsk =�
��nj
gdzie nsk  skumulowana od początku aż do xk liczebność:
jŁ�k
l� dla każdego xj wyznaczyć wartość teoretycznej dystrybuanty F(x),
l� obliczyć dla każdego xj bezwzględną wartość różnicy |Fn(x) - F(x)|,
11
Test zgodności l� Kołmogorowa
Sprawdzian - wartość statystyki:
D =� Fn(�x)�-� F(�x)�
sup
x
l� oraz
l� =� D n
l� która ma rozkład  Kołmogorowa
Obszar krytyczny:
l� jeżeli nd"100 wartość krytyczną należy odczytać z tablic wartości Dn(ą),
l� jeżeli n>100 dla ustalonego poziomu istotności a� wartość krytyczną l�a� można
odczytać z tablic granicznego rozkładu Kołmogorowa
l� i porównać w wartością empiryczną l�,
Wnioskowanie:
l� jeżeli zachodzi nierówność  e" ą, to hipotezę H0 należy odrzucić,
jeżeli zachodzi nierówność  < ą, brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
12
6
2013-04-28
Test zgodności l� Kołmogorowa - przykład
l� Dokonano ocen rangowych (w skali 1-5) nowego produktu wśród 100
respondentów. Należy na poziomie istotności ą=0,05 zweryfikować
hipotezę, że rozkład ocen wg przypisanych rang jest rozkładem
równomiernym.
Proporcje
Proporcje -
Liczba
skumulowane - Różnice
prawdopodobieństwa
Ranga respon-
dystrybuanta
dentów
Empirycz. Teoret. Empirycz. Teoret. |E-T|
1 12 0,12 0,20 0,12 0,20 0,08
2 24 0,24 0,20 0,36 0,40 0,04
3 32 0,32 0,20 0,68 0,60 0,08
4 24 0,24 0,20 0,92 0,80 0,12
5 8 0,08 0,20 1 1 0,00
Suma 100 1 1
l� =� D n =� 0,12* 100 =�1,2
Wniosek:
Z tablic wartości krytycznych Dn(ą)=0,134 Nie ma podstaw do odrzucenia
13
hipotezy H0
l�0,90 =�1,224 l�0,95 =�1,358 l�0,99 =�1,628
Testy zgodności
Dwie próby niezależne
l� Test serii,
l� Test serii Walda-Wolfowitz a,
l� Test U Manna-Whitney a,
l� Test Smirnowa-Kołmogorowa
18
7
2013-04-28
Testy serii
l� Testy serii służą do weryfikacji hipotezy:
l� o identyczności rozkładów badanej cechy z dwóch lub
kilku populacji tzn, że dwie populacje mają ten sam rozkład
(dwie próby pochodzą z jednej populacji),
l� o losowości (niezależności) próby,
l� Serią nazywa się każdy podciąg złożony z kolejnych
elementów jednego rodzaju utworzony w ciągu
uporządkowanych w dowolny sposób elementów dwu
rodzajów.
l� Gdy elementy danego ciągu są losowe, wtedy zarówno
długość serii jak i liczba serii utworzona w danym ciągu
jest losowa
19
Test serii
Model 1 - Założenia:
l� dana jest populacja generalna o dowolnym rozkładzie,
l� pobrano próbę n elementową,
Formułowanie hipotezy:
l� należy sprawdzić hipotezę, że jest to próba losowa.
Sposób postępowania:
l� z uporządkowanego według kolejności pobierania elementów do próby
ciągu wyników próby obliczyć medianę me z próby,
l� każdemu wynikowi próby xi w tym uporządkowanym chronologicznie ciągu
należy przypisać symbol:
l� a jeżeli xi < me
l� b jeżeli xi > me
l� wynik xi = me można odrzucić.
l� obliczyć w otrzymanym w ten sposób ciągu (np. aaabbaaab) liczbę serii k
l� przy założeniu losowości próby, liczba serii k ma znany i stablicowany
rozkład zależny tylko od n1 i n2 liczebności elementów a i b,
Wnioskowanie:
l� w oparciu o rozkład buduje się dwustronny obszar krytyczny dla testu dla
przyjętego poziomu istotności a� tak, żeby zachodziły relacje:
P{ k d" k1 } = ą/2 i P{ k d" k2 } = 1 - ą/2
l� jeżeli k d" k1 lub k e" k2 , to hipotezę o losowości próby należy odrzucić
20
8
2013-04-28
Test serii  losowość - przykład
l� Zbadano liczbę pasażerów w autobusach kolejno podjeżdżających na
przystanek. Na poziomie istotności ą=0,1 zweryfikować hipotezę, że liczba
pasażerów jest liczbą losową.
l� Wyniki próby  liczba pasażerów:
48 46 20 18 51 47 29 40 35 12 10 => n=11
b b a a b b a b a a
l� Hipoteza: próba jest losowa,
l� 10 12 18 20 29 35 40 46 47 48 51 => Me = 35
l� kemp= 6, ą=0,1
l� k1,ą/2 = 3, k2,1-ą/2 = 8, - dwustronny obszar krytyczny
l� k1=3 d" kemp=6 d" k2=8
Wniosek:
Nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy o losowości liczby
pasażerów w autobusach
21
Test serii  identyczność rozkładów
Model  2 próby niezależne  skala nominalna
Założenia:
l� dane są dwie populacje generalne o dowolnych rozkładach badanej cechy,
l� wylosowano dwie próby o licznościach odpowiednio n1 i n2,
l� stosowany dla zmiennych dychotomicznych takich jak płeć (kobieta,
mężczyzna), decyzja (tak, nie), wybór (albo, albo)
l� Zmienna dychotomiczna przyjmuje wartości 1 lub 0.
Formułowanie hipotezy:
l� należy zweryfikować hipotezę, że rozkłady obu populacji nie różnią się.
l� H0: F1(x) = F2(x) wobec H1: F1(x) `" F2(x)
Sposób postępowania:
l� uzyskane wyniki ustawić w jeden ciąg według kolejności pojawiania się,
l� oznaczyć elementy wg wartości zmiennej dychotomicznej za pomocą
symboli a, a drugiej wartości za pomocą b,
l� odczytać liczbę serii k,
Wnioskowanie:
l� zbudować obustronny obszar krytyczny testu tak, aby:
22
l� P{k1d"k}=ą/2 i P{kd"k2}=1-ą/2
l� jeżeli kd"k1 lub ke"k2, to hipotezę H0 należy odrzucić.
9
2013-04-28
Test serii  identyczność rozkładów - przykład
l� 16 pasażerów przychodzących na przystanek to 10 kobiet i 6 mężczyzn.
Pojawiali się oni w następującej kolejności:
K K K M M K K K K M K M M M K K
l� Na poziomie istotności ą=0,05 zweryfikować hipotezę, że kolejność
przychodzenia kobiet i mężczyzn jest przypadkowa.
l� Hipoteza: kobiety i mężczyz
ni przychodzą na przystanek przypadkowo,
l� Liczba serii kemp= 7, liczba elementów n=16, nk=10, nm=6, ą=0,05
l� k1,ą/2 = 4, k2,1-ą/2 = 11
l� k1=4 d" kemp=7 d" k2=11
Wniosek:
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy,
że kolejność przychodzenia na
przystanek mężczyzn jest inna niż kobiet
23
Test serii  identyczność rozkładów
 test Walda-Wolfowitza
Model  2 próby niezależne  skala porządkowa
2 szeregi ocen rangowych dokonanych przez dwie niezależne grupy
Założenia:
l� dane są dwie populacje generalne o dowolnych rozkładach badanej cechy,
l� wylosowano dwie próby o licznościach odpowiednio n1 i n2,
Formułowanie hipotezy:
l� należy zweryfikować hipotezę, że rozkłady obu populacji nie różnią się.
l� H0: F1(x) = F2(x) wobec H1: F1(x) `" F2(x)
Sposób postępowania:
l� wyniki obu prób ustawić w jeden ciąg według rosnących wartości,
l� oznaczyć elementy jednej próby za pomocą symboli a, a drugiej próby za pomocą b,
l� odczytać liczbę serii k,
Wnioskowanie (próba mała):
l� zbudować obustronny obszar krytyczny testu tak, aby:
P{k1d"k}=ą/2 i P{kd"k2}=1-ą/2
l� jeżeli kd"k1 lub ke"k2, to hipotezę H0 należy odrzucić.
24
10
2013-04-28
Test serii  identyczność rozkładów
 test Walda-Wolfowitza
Wnioskowanie - dla większych prób
l� Rozkład r jest w przybliżeniu rozkładem normalnym o średniej:
2n1 ��n2
m�r =� +�1
n1 +� n2
l� I odchyleniu standardowym
2n1n2 *(�2n1n2 -� n1 -� n2)�
s�r =�
2
(�n1 +� n2)� *(�n1 +� n2 -�1)�
l� Wykorzystuje się statystykę U:
r -� m�r
U =�
s�r
l� Wnioskowanie stosowane również w hipotezach o losowości rozkładu
l� Uwaga: wykorzystuje się jedynie liczebności, a nie wartości
poszczególnych cech.
25
Test serii  identyczność rozkładów  przykład
 test Walda-Wolfowitza
l� Pasażerowie dokonywali ocen funkcjonowania transportu zbiorowego w
mieście. Oceny mężczyzn: 50, 51, 37,
Oceny kobiet: 44, 32, 44, 29, 55, 52, 44, 55, 61
l� Hipoteza: między ocenami mężczyzn i kobiet nie ma różnic, czyli obie próby
pochodzą z tej samej populacji
l� Na poziomie istotności ą=0,05 zweryfikować hipotezę, że oceny kobiet i
mężczyzn nie różnią się,
l� Ciąg rosnący:
29 32 37 44 44 44 50 51 52 55 55 61
l� Liczba serii kemp= 5, liczba elementów n=12, nk=9, nm=3, ą=0,05
l� k1,ą/2 = 2, k2,1-ą/2 = 7,
l� k1=2 d" kemp=5 d" k2=7
Wniosek:
Nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy, że oceny kobiet
26
i mężczyzn nie różnią się istotnie.
11
2013-04-28
Test serii  identyczność rozkładów
 test U Manna-Whitneya
Model  2 próby niezależne  skala porządkowa, gdy występują takie
same oceny między różnymi respondentami
2 szeregi ocen rangowych dokonanych przez dwie niezależne grupy
Założenia:
l� dane są dwie populacje generalne o dowolnych rozkładach badanej cechy,
l� wylosowano dwie próby o licznościach odpowiednio n1 i n2,
Formułowanie hipotezy:
l� należy zweryfikować hipotezę, że rozkłady obu populacji nie różnią się.
Sposób postępowania:
l� przypisać uszeregowanym wg wartości ocenom respondentów rangi
l� zsumować rangi dla poszczególnych grup,
l� obliczyć wartość U:
n(�n +�1)�
U =� s -�
2
gdzie: s  suma mniejsza,
n  liczebność próby, dla której suma jest mniejsza
Wnioskowanie:
l� zbudować obustronny obszar krytyczny testu tak, aby: P{Ud"U1}=ą
U1  tabela wartości krytycznych testu U Manna-Whitneya, U2 = n1*n2  U1
l� jeżeli Ud"U1 lub Ue"U2, to hipotezę H0 należy odrzucić. 27
Test serii  identyczność rozkładów
 test U Manna-Whitneya
Wnioskowanie - dla większych prób
l� Rozkład U jest w przybliżeniu rozkładem normalnym o średniej:
n1 ��n2
m�U =�
2
l� I odchyleniu standardowym
n1n2 *(�n1 +� n2 +�1)�
s�U =�
12
l� Wykorzystuje się statystykę Z:
U -� m�U
Z =�
s�U
l� Uwaga: wykorzystuje się jedynie liczebności, a nie wartości
poszczególnych cech.
28
12
2013-04-28
Test serii  identyczność rozkładów
 test U Manna-Whitneya - przykład
l� Mieszkańcy dokonywali ocen funkcjonowanie wypożyczalni rowerów w
mieście. Oceny mężczyzn: 25, 18, 28, 30, 33,
Oceny kobiet: 27, 15, 25, 30, 25, 18, Na poziomie istotności ą=0,05
zweryfikować hipotezę Ho, że oceny kobiet i mężczyzn nie różnią się,
l� Hipoteza Ho : między ocenami mężczyzn i kobiet nie ma różnic, czyli obie
próby pochodzą z tej samej populacji.
l� Uporządkowane oceny:
15 18 18 25 25 25 27 28 30 30 33
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Dane surowe Rangi łączone n(�n +�1)� 6(�6 +�1)�
U =� s -� =� 30 -� =� 9
2 2
18 15 2,5 1
25 18 5 2,5
U1,ą,n1,n2=6 U2=n1*n2-U1=5*6-6=24
28 25 8 5
30 25 9,5 5
Wniosek:
33 27 11 7
Nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy Ho, że oceny kobiet
30 9,5
i mężczyzn nie różnią się
29
n1=5 n2=6 S1=36 S2=30
Test istotności Smirnowa-Kołmogorowa
Model - 2 próby niezależne  skala porządkowa
Założenia:
l� dane są dwie populacje generalne o rozkładach z ciągłymi dystrybuantami
F1(x) i F2(x),
l� pobrano dwie próby losowe o liczebnościach n1 i n2,
Formułowanie hipotezy:
l� należy sprawdzić hipotezę, że obie próby pochodzą z tej samej populacji,
czyli H0: F1(x) = F2(x),
Sposób postępowania:
l� wyniki obu prób pogrupować w stosunkowo wąskie przedziały o tych
samych końcach xj,
l� dla każdego xj obliczyć wartości dystrybuant empirycznych z obu prób:
n1,sk n2,sk
Fn1(�x)�=� Fn2(�x)�=�
n1 n2
30
13
2013-04-28
Test istotności Smirnowa-Kołmogorowa
Sprawdzian - wartość statystyki:
D* =� Fn1(�x)�-� Fn2(�x)�
sup
x
l� oraz: ,
l� =� D* n
n1n2
gdzie:
n =�
n1 +� n2
Wnioskowanie:
l� dla ustalonego poziomu istotności a� odczytać wartość krytyczną l�a�
i porównać w wartością empiryczną l�,
l� jeżeli zachodzi nierówność  e" ą, to hipotezę H0 należy odrzucić.
31
Test istotności Smirnowa-Kołmogorowa - przykład
l� Badane są rozkłady odstępów między przyjazdami kolejnych pojazdów na
przystanki A i B. Należy na poziomie istotności ą=0,02 zweryfikować
hipotezę, że rozkłady odstępów pochodzą z tej samej populacji.
Liczebności Dystrybuanty
Przedziały
Liczebności skumulowane empiryczne
Nr odstępów |FnA(x)-FnB(x)|
czasu
A B A B FnA(x) FnB(x)
1 1,50 2,00 3 16 3 16 0,030 0,080 0,050
2 2,00 2,50 5 20 8 36 0,080 0,180 0,100
3 2,50 3,00 17 24 25 60 0,250 0,300 0,050
4 3,00 3,50 40 60 65 120 0,650 0,600 0,050
5 3,50 4,00 25 40 90 160 0,900 0,800 0,100
6 4,00 4,50 5 30 95 190 0,950 0,950 0,000
7 4,50 5,00 5 10 100 200 1,000 1,000 0,000
Liczebności prób 100 200 l� =� D * n =� 0,100*8,165 =� 0,816 Dn=0,100
n
ą=1,52 Wniosek:
n1n2 100*200
n =� =� =� 8,165
32
n1 +� n2 300 Nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy H0
14
2013-04-28
Testy zgodności
Trzy i więcej prób niezależnych
l� Test niezależności �2,
l� Test serii Kruskala-Wallisa,
l� Test mediany,
33
Test niezależności c�2 skala nominalna (i każda inna)
l� Służy do sprawdzenia, czy dwie lub więcej badanych cech
(niekoniecznie mierzalnych) sa niezależne.
Zmienne losowe X i Y są niezależne, gdy dla dystrybuant zachodzi
równość: F(x,y) = F1(x) F2(y)
l� Polega na porównaniu macierzy liczebności teoretycznych
i empirycznych.
l� Prawdopodobieństwami hipotetycznymi są oszacowane z próby
prawdopodobieństwa otrzymania jednocześnie określonej wartości (lub
kategorii jakościowej) cechy X oraz Y.
l� Ograniczeniem testu jest duża liczebność próby i liczebność w
każdym przedziale klasowym nije"8
34
15
2013-04-28
Test niezależności c�2 skala nominalna (i każda inna)
Model  2 i więcej prób niezależnych  skala nominalna
Założenia:
l� populacja generalna jest równocześnie badana ze względu na dwie cechy,
niekoniecznie mierzalne,
l� wylosowano niezależnie dużą próbę o liczebności n elementów,
l� należy zweryfikować hipotezę H0, że badane cechy są niezależne,
Sposób postępowania:
l� wyniki próby poklasyfikować w kombinowaną tablicę niezależności
o r wierszach i s kolumnach,
l� na boku tablicy jest r grup wartości cechy X, a w nagłówku tablicy jest s grup
wartości cechy Y,
l� wnętrze tablicy wypełniają liczebności nij (i = 1, 2, ..., r, j = 1, 2, ..., s)
oznaczające, ile elementów w próbie miało wartości obu cech należące do
kombinacji (i, j),
35
Test niezależności c�2 skala nominalna (i każda inna)
 2 i więcej prób niezależnych
Sposób postępowania c.d.:
l� sumowanie wierszy i kolumn macierzy liczebności empirycznych daje
s r
liczebności brzegowe: ,
n�� j =�
ni�� =�
��nij
��nij
i=�1
j=�1
ni�� n�� j
pi��
l� oszacować prawdopodobieństwa brzegowe: =� n j =� n
, p��
zakładając prawdziwość hipotezy H0, należy obliczyć prawdopodobieństwa
hipotetyczne:
pij =� pi�� p�� j
l� mnożąc te prawdopodobieństwa przez liczebność próby otrzymuje się
macierz liczebności teoretycznych [npij],
l� Sprawdzian  wartość statystykę:
r s
(�nij -�npij )� 2
2
c� =�
����
npij
i=�1 j=�1
l� Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 asymptotyczny
rozkład c�2 z (r  1)(s  1) stopniami swobody.
36
16
2013-04-28
Test niezależności c�2 skala nominalna (i każda inna)
 2 i więcej prób niezależnych
Formułowanie hipotez:
H0: cecha Y NIE ZALEŻY od cechy X
H1: cecha Y ZALEŻY od cechy X
Wnioskowanie:
l� Obszar odrzucenia jest zawsze obszarem prawostronnym.
l� Jeżeli wartość sprawdzianu �2 znajdzie się:
l� w obszarze odrzucenia (tzn. �2 > �2ą), to odrzucamy H0 i przyjmujemy H1.
l� poza obszarem odrzucenia (tzn. �2 d" �2ą), , to nie mamy podstaw do
odrzucenia H0.
37
Test niezależności c�2 skala nominalna (i każda inna)
 2 i więcej prób niezależnych - przykład
Na poziomie istotności =0,05 zweryfikuj
hipotezę, czy wybór środka transportu
H
ij=ni. * n.j /n
zależy od statusu zawodowego
L K D
H0: wybór środka nie zależy od statusu,
P 56 172 172 400
H1: wybór środka zależy od statusu,
E/R 14 43 43 100
Transport
U/S 49 151 151 350
Status L K D "ni.
NP. 21 65 65 150
Pracujący 100 80 220 400
140 430 430
Emeryci/
10 60 30 100
(nij-H
ij)2/H
ij
renciści
Uczniowie/ P 34,571 49,209 13,395
20 190 140 350
studenci
E/R 1,143 6,721 3,930
Niepracujący 10 100 40 150
U/S 17,163 10,367 0,733
"n.j 140 430 430 1000
NP. 5,762 19,539 9,306
�20,05;(4-1)(3-1)=12,591
�2 171,840
Wniosek:
38
H0 należy odrzucić
17
2013-04-28
Test niezależności c�2 skala nominalna (i każda inna)
 2 i więcej prób niezależnych - przykład
Na poziomie istotności =0,05 zweryfikuj
hipotezę, czy wybór środka transportu
H
ij=ni. * n.j /n
zależy od statusu zawodowego
L K D
H0: wybór środka nie zależy od statusu,
P 56 172 172 400
H1: wybór środka zależy od statusu,
E/R 14 43 43 100
Transport
U/S 49 151 151 350
Status L K D "ni.
NP. 21 65 65 150
Pracujący 100 80 220 400
140 430 430
Emeryci/
10 60 30 100
(nij-H
ij)2/H
ij
renciści
Uczniowie/ P 34,571 49,209 13,395
20 190 140 350
studenci
E/R 1,143 6,721 3,930
Niepracujący 10 100 40 150
U/S 17,163 10,367 0,733
"n.j 140 430 430 1000
NP. 5,762 19,539 9,306
�20,05;(4-1)(3-1)=12,591
�2 171,840
Wniosek:
39
H0 należy odrzucić
18