2013-04-17
Metody probabilistyczne
Weryfikacja hipotez statystycznych
Hipotezy parametryczne
cz.2
30
Testowanie hipotezy o dwóch wskaz
nikach struktury (p)
l� Badanie dwu skończonych populacji generalnych ze względu na
wyróżnioną cechę. Zachodzi konieczność weryfikacji hipotezy o równości
wskaz
ników struktury w obu zbiorowościach.
Założenie: Cecha ma w populacjach rozkład dwupunktowy z parametrem
odpowiednio p1 i p2 oznaczającym prawdopodobieństwo, że cecha przyjmie
wyróżnioną wartość.
Próby muszą być duże (n1e"100) i (n2e"100).
Formułowanie hipotezy:
l� Hipoteza zerowa (H0) jest hipotezą  o równości i brzmi: H0: p1 = p2
gdzie p1 i p2 są konkretną wartością (liczbą).
l� Hipoteza alternatywna (H1) może być sformułowana trojako (najczęściej w
zależności od wyniku uzyskanego w próbie):
H1: p1 ą� p2 (albo H1: p1 < p2 albo też H1: p1 > p2)
l� Wybór hipotezy alternatywnej (H1) ma decydujące znaczenie dla
sformułowania obszaru odrzucenia,
ć� ��
m1 m2
�� ��
,
��
n2
l� Rozkład różnicy między wskaz
nikami struktury n �� można
Ł� 1 ł�
aproksymować za pomocą rozkładu normalnego o parametrach
ć� p1(�1-� p1)� p2(�1-� p2)���
��
��
N�� p1 -� p2, +�
31
n1 n2 ��
Ł� ł�
1
2013-04-17
Testowanie hipotezy o dwóch wskaz
nikach struktury (p)
* *
p1 -� p2
Sprawdzian:
U =�
pq
n
n1 *n2
m1 * m2 p =� m1 +� m2
*
n =�
p1 =� p2 =�
q =�
n1 +� n2
gdzie: , , , 1-� p
n1 n2 n1 +� n2 ,
l� która ma w przybliżeniu rozkład asymptotycznie normalny N(0 ; 1), dla
której P{|U|ł�ua�}=a�.
Wnioskowanie
l� Jeżeli wartość sprawdzianu U znajdzie się:
1. w obszarze odrzucenia, to odrzucamy H0 i przyjmujemy H1.
2. poza obszarem odrzucenia, to nie mamy podstaw do odrzucenia
H0.
Brak podstaw do odrzucenia oznacza, że obie próby pochodzą z
tej samej populacji
32
Testowanie hipotezy o dwóch wskaz
nikach struktury (p)
- przykład
l� Zweryfikować przypuszczenie kobiety i mężczyz
ni jednakowo często
dojeżdżają do pracy komunikacją zbiorową.
l� Wylosowano 500 mężczyzn i 600 kobiet. Okazało się, że 200 mężczyzn i
250 kobiet korzysta z komunikacji zbiorowej. Na poziomie istotności ą=0,05
zweryfikować hipotezę, że odsetek jeżdżących pojazdami komunikacji
zbiorowej kobiet i mężczyzn jest jednakowy.
l� Dane: n1=500, n2=600, m1=200, m2=250, ą=0,05,
*
l� Ho : p1=p2 wobec H1 : p1`"p2 p1 =� m1 =� 200 =� 0,4 p2 =� m2 =� 250 =� 0,42
*
n2 600
n1 500
m1 +� m2 200 +� 250 450
q =�1-� p =�1-� 0,41=� 0,59
p =� =� =� =� 0,41
n1 +� n2 500 +� 600 1100
n1 *n2 500*600 300000
n =� =� =� =� 272,727
n1 +� n2 500 +� 600 1100
Wniosek:
u0,025 = 1,96  gdyż obszar jest dwustronny
* *
0,4 -� 0,42
p1 -� p2 uemp< u0,025, czyli brak podstaw do
U =� =� =� 0,671
odrzucenia hipotezy H0 => mężczyz
ni i
pq 0,41*0,59
kobiety jednakowo często korzystają z
n 273
komunikacji zbiorowej.
33
2
2013-04-17
Testowanie hipotezy o wariancji populacji generalnej �2
Założenie: Populacja generalna ma rozkład normalny N(ź, s�)
o nieznanych parametrach ź i s�.
Z populacji tej wylosowano niezależnie n elementów do próby
Formułowanie hipotez:
l� Hipoteza zerowa: H0 : s�2= s�02 , wobec
l� hipotezy alternatywnej H1: s�2ą� s�02 ,
(albo H1: s�2>� s�02 , albo też H1: s�2 < s�02 )
gdzie: s�02 jest hipotetyczną wartością wariancji s�2 .
l� H1: s�2>� s�02 - najczęściej gdyż sytuację, w której wariancja jest
wysoka uznaje się niekorzystną.
34
Testowanie hipotezy o wariancji populacji generalnej �2
Model 1
l� Założenia:
próba mała (nd"30); ź i s� - nieznane
l� Sprawdzian:
Test istotności dla tej hipotezy jest następujący. Z wyników n elementowej
próby losowej obliczmy wartość s2, a następnie wartość statystyki:
n
ns2 (�n -�1)�*%5ń2 1
2
c�2 =� =� =� -� x)�
��(�xi
2 2 2
s�0 s�0 s�0 i=�1
l� Test istotności:
Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 rozkład �2 z n-1
stopniami swobody.
Dla ustalonego z góry poziomu istotności a� i dla n-1 stopni swobody
odczytujemy z tablicy rozkładu �2 taką wartość krytyczną, aby spełniona
byłą równość P{�2 ł� �ą2 }= a�. (obszar prawostronny)
35
3
2013-04-17
Testowanie hipotezy o wariancji populacji generalnej
�2
Wnioskowanie
l� Nierówność �2 ł� �ą2 określa prawostronny obszar krytyczny, tzn. gdy
z porównania wartości �2 obliczonej z próby z wartością krytyczną
zajdzie nierówność �2 ł� �ą2 , hipotezę H0 odrzucamy na korzyść
alternatywy H1.
l� Natomiast, gdy zajdzie nierówność �2 <� �ą2 , nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy H0, że wartość wariancji s�2 populacji generalnej
jest s�02.
ą
36
�ą2
Testowanie hipotezy o wariancji populacji generalnej �2
Model 2
Założenia:
próba duża (n>30); ź i s� - nieznane
l� Sprawdzian:
Wartość �2 należy przekształcić na U =� 2c� 2 -� 2k -�1 =� 2c� 2 -� 2n -�3
gdzie: k  liczba stopni swobody k=n-1
2
ns
U =� 2 -� 2n -� 3
2
s�0
l� Test istotności:
Statystyka ta przy założeniu prawdziwości hipotezy H0
dla ustalonego U ma w przybliżeniu rozkład asymptotycznie normalny
N(0 ; 1), dla którego P{Uł�ua�}=a�.
37
4
2013-04-17
Testowanie hipotezy o wariancji populacji generalnej
�2 - przykład
l� Pewnego dnia dokonano 15 pomiarów opóz
nień pociągów
przyjeżdżających do stacji Kraków Główny. Na podstawie wyników
pomiarów otrzymano wartość średniego opóz
nienia 23min i s2 = 523,07.
Zakłada się, że czas opóz
nień pociągów ma rozkład N(ź,�). Sprawdzić na
poziomie istotności ą=0,05 hipotezę, że wariancja opóz
nień wynosi 400.
l� Dane: n=15, , s2 = 523,07, �02=400, ą=0,05,
x =� 23
l� Hipotezy: H0: �2=400 H1: �2>400
l� Statystyka:
2
nS 15*523,07
2
c�emp =� =� =�19,615
2
s�0 400
2
l� Wnioskowanie: obszar krytyczny: c�0,05;15-�1 =� 23,685
2 2
c�emp <� c�0,05;15-�1
Wniosek:
Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
głoszącej, że wariancja opóz
nień całej
populacji kształtuje się na poziomie 400.
38
Test dla dwóch wariancji
l� Test służy do sprawdzenia hipotezy o jednakowym stopniu rozproszenia
wartości badanej cechy w dwóch populacjach.
l� Estymatory wariancji:
n n
n
1 1
2 2
%5ń2 =� s2
%5ń2 =� -� x)� s2 =� -� x)�
lub
��(�xi ��(�xi

n -�1
n -�1 n
i=�1 i=�1
39
5
2013-04-17
Test dla dwóch wariancji
l� Model
Założenia:
l� Dane są dwie populacje generalne mające odpowiednio rozkłady normalne
N(ź1, s�1) i N(ź2, s�2), gdzie parametry tych rozkładów są nieznane,
l� Wylosowano niezależnie dwie próby o liczebności n1 i n2 elementów,
Formułowanie hipotez
l� Należy sprawdzić hipotezę H0: s�12 = s�22,
wobec hipotezy alternatywnej H1: s�12 > s�22. (postać najczęściej)
2 2
l� Sposób postępowania: z obu prób wyznaczyć: i
%5ń1 %5ń2
W liczniku zawsze
większa z wariancji
Sprawdzian statystyka F:
2 2
%5ń1 n1s1 /(�n1 -�1)�
F =� =�
2 2
%5ń2 n2s2 /(�n2 -�1)�
l� statystyka F, przy założeniu prawdziwości hipotezy H0, ma
rozkład F Snedecora z n1  1 i n2  1 stopniami swobody,
Wnioskowanie:
l� jeżeli F e" Fa�, to hipotezę H0 należy odrzucić na rzecz hipotezy alternatywnej H1.
40
Test dla dwóch wariancji - przykład
l� Wyniki dwóch czasu prowadzenia pojazdu przez kierowców.
Poziom istotności ą=0,05.
2
I 7,48 7,88 8,00 7,15 7,26 7,33 7,71 7,18
%5ń1 =� 0,1072
II 7,62 7,83 8,03 7,97 7,17 8,08 7,92 7,93 7,58
%5ń2 =� 0,0837
2
l� Zweryfikować hipotezę o równości wariancji wyników obu kierowców.
l� Dane: n1=8, n2=9,
l� H0: s�12 = s�22 wobec H1: s�12 > s�22
0,1072
Fa�=3,5 stąd F=1,28 < Fa�=3,5
F =� =�1,28
0,0837
Wniosek:
Brak podstaw do odrzucenia H0, że wariancje
wyników czasu prowadzenia pojazdów przez
obu kierowców są jednakowe.
41
6
2013-04-17
Test jednorodności wielu wariancji
Test Bartletta jest stosowany do sprawdzenia założenia o jednakowych
wariancjach we wszystkich badanych populacjach.
Model
Założenia:
l� danych jest k populacji normalnych N(źi , s�i) (i = 1, 2, ..., k),
l� z każdej populacji wylosowano niezależnie ni elementów,
l� wyniki każdej próby są oznaczone xij (i = 1, 2, ..., k, j = 1, 2, ..., ni).
Formułowanie hipotez:
l� należy sprawdzić hipotezę H0 : s�12 = s�22 = ... = s�k2.
l� hipoteza alternatywna H1 : nie wszystkie wariancje są równe.
Sposób postępowania:
ni
1
2
l� z wyników k prób należy obliczyć: s�2 =� (�xij -� xi)�
��
ni -�1 j=�1
ni
k k
1 1
2
2
~
s =� -�1)�*%5ńi2 =� (�xij -� xi)�
��(�ni ����
n -� k n -� k
i=�1 i=�1 j=�1
k
ć� ��
1 1 1
k
c =�1+� �� ��
-�
��
�� n =�
gdzie: ��ni
42
3(�k -�1)��� ni -�1 n -� k
i=�1
Ł� ł�
i=�1
Test jednorodności wielu wariancji
Statystyka:
l� dla ustalonego poziomu istotności ą i dla k  1 stopni swobody należy
odczytać wartość �ą2 .
k
2,303
2 �� 2
~
c� =� (�n -� k)�*log s -� (�ni -�1)�*log s�2ł�
��
ę� ś�
c �� i=�1 ��
log  logarytm dziesiętny
Wnioskowanie:
l� jeżeli �2 ł� �ą2 , to hipotezę H0 należy odrzucić.
l� jeżeli �2 < �ą2 brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
43
7
2013-04-17
Test jednorodności wielu wariancji - przykład
l� Zbadano liczbę pasażerów przewożonych linią tramwajową w godzinach szczytu
w kolejnych 3 dniach roboczych tygodnia. Otrzymano następujące wariancje
liczby pasażerów przewożonych 20, 100, 70. Przyjmując poziom istotności
ą=0,05 zweryfikować hipotezę, że wariancja liczby pasażerów w kolejne dni
tygodnia jest jednakowa.
lp si2 log(si2) (ni-1) (ni-1)*(si2) (ni-1)*log(si2)
1 20 1,301 9 180 11,709
Wniosek
Nie ma podstaw do
2 100 2,000 9 900 18,000
odrzucenia hipotezy, że
3 70 1,845 9 630 16,606
wariancje są jednakowe
suma 1710 46,315
ni= 10 s2= 63,333 c= 1,049
n= 30 n-k= 27 �2= 5,111
k= 3 log(s2) 1,802 �20,05,2= 5,991
k
1 9 1
2
~
s =� -�1)�*%5ńi2 =� (�20 +�100 +� 70)�=� *190 =� 63,3
��(�ni
n -� k 27 3
i=�1
k k
ć� ��
1 1 1 1 ć�
c =�1+� �� �� �� =�1+� =�1,049
-� =�1+� �� �� ��
�� ��101-�1 -� 301 �� 1 ć� 3 -� 1 ��
��
3(�k -�1)��� ni -�1 n -� k 3(�3-�1)�Ł� -� 3ł� 6 9 27
i=�1 i=�1 Ł� ł�
Ł� ł�
k
2,303 �� ł� 2,303
2
c� =� (�n -� k)�*log %5ń2 -� -�1)�*log %5ńi2 ś� =� [�(�30 -� 3)�log(�63,333)�-� 46,315]�=� 5,111 44
��(�ni
ę�
c 1,049
�� i=�1 ��
Test analizy wariancji dla wielu średnich
Klasyfikacja pojedyncza
l� Podstawowe narzędzie statystyki eksperymentalnej,
l� Pozwala na sprawdzenie, czy pewne czynniki, które można regulować w
toku eksperymentu, wywierają wpływ (jak duży) na kształtowanie się
średnich wartości badanych cech,
l� Polega na porównaniu wariancji wynikającej z działania danego czynnika z
wariancją resztkową mierzącą losowy błąd eksperymentu.
l� Klasyfikacja pojedyncza  suma kwadratów wariancji ogólnej jest rozbijana
na dwa składniki mierzące zmienność między grupami (populacjami) i
wewnątrz grup.
45
8
2013-04-17
Test analizy wariancji dla wielu średnich
Model
Założenia:
l� danych jest k populacji o rozkładzie normalnym N(źi, s�i) lub o rozkładzie
zbliżonym do normalnego,
l� wariancje wszystkich k populacji są równe (s�12 = s�22 = ... = s�k2 = s�2),
ale nie muszą być znane,
l� z każdej z tych populacji wylosowano niezależnie próby o liczności ni
elementów,
l� wyniki prób oznaczone są przez xij (i = 1, 2, ..., k, j = 1, 2, ..., ni)
przy czym xij = źi + e�ij,
gdzie: e�ij jest wartością zmiennej losowej nazywanej składnikiem losowym,
mającej rozkład N(0, s�),
46
Test analizy wariancji dla wielu średnich cd
Formułowanie hipotez:
l� należy zweryfikować hipotezę H0 : ź1 = ź2 =... = źk.
l� hipoteza alternatywna H1 : nie wszystkie średnie badanych populacji są
równe
Sposób postępowania:
l� z wyników poszczególnych prób należy obliczyć średnie grupowe xi
i średnią ogólną :
x ni k ni
1 1
x =�
xi =�
����xij
��xij
n
ni j=�1 i=�1 j=�1
l� wypełnić tablicę analizy wariancji:
Stopnie
y
ródło zmienności Suma kwadratów Wariancja Test F
swobody
2
k
między
k %5ń1
-� x)2 ni
��(xi
F =�
(�xi -� x)� 2ni
2
populacjami �� k - 1 i=�1 2
%5ń1 =�
%5ń2
i=�1
k -�1
(grupami)
k ni
ni
k
wewnątrz grup
-� xi )2
����(xij
(�xij -� xi)� 2
���� n - k
2 i=�1 j=�1
(składnik losowy)
%5ń2 =�
i=�1 j=�1
n -� k
47
9
2013-04-17
Test analizy wariancji dla wielu średnich cd
Sprawdzian
l� obliczoną w tablicy wartość F należy porównać z wartością krytyczną Fa�
odczytaną z tablic rozkładu F Snedecora dla ustalonego poziomu istotności a�
i dla liczby stopni swobody k-1 i n-k,
Wnioskowanie:
l� jeżeli F e" Fa� to hipotezę H0 należy odrzucić,
l� jeżeli F < Fa� brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0.
48
Test analizy wariancji dla wielu średnich - przykład
l� Koszt wytworzenia pewnego usługi transportowej trzema różnymi metodami
ma rozkład normalny o jednakowej wariancji dla każdej z metod. Na
poziomie istotności ą=0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie koszty
materiałowe są jednakowe dla wszystkich metod produkcji usługi.
xi ni * xi
Metoda ni si2 ni*si2 (�xi -� x)� 2ni
1 5 20 100 50 250 55,56
2 6 30 180 175 1050 266,67
3 7 20 140 121,43 850 77,78
suma 18 420 2150 400
Średnia 420/18=23,33
x
Suma Stopnie
y
ródło zmienności Wariancja Test F
kwadratów swobody
między grupami 400 k-1=2 200,0 Femp=1,39
wewnątrz grup 2150 n-k=15 143,3 Fą,2,15=3,68
Fo równości średnich kosztów produkcji usługi
49
10