XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Magdalena JAKUBEK1
Ewa PABISEK2
Zenon WASZCZYSZYN3
OSZACOWANIE PARAMETRÓW CHARAKTERYSTYK
PODATNYCH POA

CZEC
STALOWYCH
ZA POMOC
SIECI NEURO-ROZMYTEJ
1. Wprowadzenie, cel i zakres pracy
W normie europejskiej EC3 [1] zaproponowano proste modele charakterystyki M  Åš dla
połączenia  rygiel-słup , gdzie: M  przywęzłowy moment zginający rygiel, Ś  wzajemny
kąt obrotu stycznych do osi rygla i słupa, schodzących się w węz
le. Parametry modelu
charakterystyki mają być wyznaczone na podstawie wyników badań doświadczalnych na
materialnych modelach laboratoryjnych.
Tą drogą poszły próby zastosowania sztucznych sieci neuronowych do identyfikacji
parametrów modeli proponowanych w EC3, opierające się na bankach danych doświad-
czalnych [2-6]. Niestety, wyniki tych prac nie zakończyły się znaczącym powodzeniem.
Głównym powodem były mało reprezentatywne badania, ograniczane do niepowtarzalnych
doświadczeń na mało licznych zbiorach połączeń. Prowadziło to do wyników o niskiej
dokładności predykcji neuronowej.
W naszym referacie podejmujemy próbę ponownej analizy problemu wyznaczania
parametrów prostej biliniowej charakterystyki ale nie w odniesieniu do wartości ostrych lecz
rozmytych w sensie wartości przedziałowych. W tym celu zbudowano sieć jednokierunkową
o parametrach rozmytych, opierajÄ…c siÄ™ na metodzie zaproponowanej w [7]. Metoda polega
na uczeniu sieci na oddzielnych wzorcach celem wyznaczenia funkcji przynależności dla
parametrów sieci jednokierunkowej.
Tak otrzymaną sieć neuro-rozmytą zastosujemy do wyznaczenia przedziałowych war-
tości parametrów grupy 30 połączeń analizowanych w [4].
2. Sieć neuro-rozmyta
Różnego typu sieci neuro-rozmyte są omawiane w [9]. W naszym referacie zajmujemy się
siecią o parametrach rozmytych, a więc siecią, która może odwzorowywać rozmyte wartości
1
Mgr inż., Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej
2
Dr inż., Wydział Inżynierii Lą dowej Politechniki Krakowskiej
3
Prof. dr hab. inż., Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej
70
wejść w rozmyte wartości wyjść, ale też dla ostrych wejść dawać rozmyte wyjścia. Uczenie
takiej sieci za pomocą operacji na zbiorach rozmytych jest bardzo trudne i ze względu na
efektywność numeryczną wymaga znacznych uproszczeń modelu, np. w odniesieniu do
przyjmowanych funkcji przynależności [9].
Z tych powodów oparliśmy się na pomyśle algorytmu zaproponowanego w [6]. Polega
on na wstępnym uczeniu sieci na zbiorze wzorców uczących:
L = {( x(p) , z(p) ) | p = 1,...,L } . (1)
Po nauczeniu sieci zbiór parametrów sieci (wartości wag synaptycznych i wartości
progowych ), oznaczony w skrócie jako {wio | i = 1,...,LPS } gdzie LPS jest liczba paramet-
rów sieci, przyjmujemy jako zbiór parametrów początkowych do uczenia sieci dla kolejnych
wzorców p = 1,...,L . Obliczone parametry służą do wyznaczania funkcji zależności dla
parametrów sieci i = 1,...,LPS.
Algorytm budowania sieci neuro-rozmytej omówiono szczegółowo w [10]. Składa się
on z trzech etapów. W Etapie I sieć jest uczona na całym zbiorze uczącym (1). Ten etap jest
poprzedzony etapem wstępnym projektowania sieci, por. [10]. W Etapie II proces uczenia
jest powtarzany L razy, kolejno dla każdego wzorca uczącego p. Po obliczeniu zbioru
parametrów {wi(p) ćł p=1,...,L; i=1,...,LPA }. W Etapie III obliczamy funkcje przynależności
µ = µ (wi ) dla wszystkich parametrów sieci i . Dochodzimy w ten sposób do sieci rozmytej,
i
która po pozytywnym sprawdzeniu na zbiorze testującym może być używana w etapie
operacyjnym do predykcji neuronowej dla innych zbiorów niż wcześniej wykorzystane
zbiory uczÄ…cy i testujÄ…cy.
W [11] omówiono dwie metody obliczania funkcji przynależności. Prostsza metoda,
wzięta z [6], zakłada funkcje trójkątne, por. rys. 1a (t), gdzie długości podstawy są obliczone
dla standardowych odchyleÅ„ ÃL i ÃR odmierzanych od wartoÅ›ci Å›redniej w , gdzie dla
uproszczenia pominięto indeks i parametru sieci. Przekroje ą odpowiadają wartości przyna-
leżności i wartości przedziałowych [wL , wR]ą = [ wLą , wRą ] .
Rys. 1. Funkcje przynależności parametru sieci neuro-rozmytej:
a) funkcja trójkątna (t), b) funkcja nieliniowa (n)
Druga metoda wyznaczania nieliniowej funkcji przynależności parametrów sieci, por.
rys. 1a (n), polega na liczeniu empirycznej dystrubuanty dla parametrów wmin d" w(p) < w
oraz w d" w(p) d" wmax . Numery wzorców wLą i wRą obliczamy z nierówności:
71
( 1- 2 K/L ) d" Ä… < ( 1- 2 (K- 1) /L ) , (2)
gdzie: K = kLą , kRą  numery parametrów liczone na lewo lub na prawo od wartości średniej
w . Jeśli zajdzie przypadek, że ą " (K- 1 , K ) to wartości wLą , wRą są obliczane z
interpolacji liniowej wartości z przedziału ( wK-1, wK ), por. [11].
Po wyznaczeniu funkcji przynależności dla każdego parametru sieci możemy ją
wykorzystać dla obliczania wartości przedziałowych wyjść [ yL , yR ]ą dla ustalonej wartości
przekroju ą . Zmieniając wartości ą możemy odtworzyć funkcje przynależności wyjść. Na
skutek rozmycia parametrów sieci, rozmyte wyjścia otrzymamy nie tylko dla rozmytych ale
też ostrych wejść. Po wprowadzeniu wartości przedziałowych składowych wektorów wejść
[ xjL, xjR ] dalej są wykonywane działania na nich zgodnie z rachunkiem przedziałowym [9].
W przypadku ostrych wartości wejść dla wszystkich ą przyjmujemy xjL , = xjR .
3. Dane doświadczalne
Z obszernego banku danych Sericon, zgromadzonego w RWTH Aachen [8], przyjęto zbiór
30 połączeń analizowanych w [4]. Na rys. 2a pokazano konstrukcję połączenia, określonego
6-ma parametrami, które przyjęto jako składowe wektora wejścia x . Na rys. 2b pokazana
jest krzywa doświadczalna (d) charakterystyki M-Ś jednego z analizowanych połączeń.
Aproksymację liniową (b) wykonano w [4] przez obliczenie takich wartości ŚRd , MRd i ŚCd
, które dają równość powierzchni "1 = "2 zawartych między krzywymi (a) i (b). W [4]
przytoczono tablicÄ™ z 6-ciu danymi i obliczonymi 3-ma parametrami aproksymacji
biliniowej dla wszystkich wartości 30-tu połączeń.
Rys. 2. a) Analizowane połączenie, b) Charakterystyki M-Ś połączenia:
(d) krzywa doświadczalna, (b) aproksymacja biliniowa
4. Aproksymacja neuronowa
Tak samo jak w [4] przyjęto wektory wejścia i wyjścia o następujących składowych, por.
rys. 2a:
x(6x1) = {hc, t , tw, hb , b , a } , y(3x1) = {M , ÅšRd , ÅšCd} , (3)
f f Rd
72
gdzie wszystkie składowe ( " ) przeskalowano do przedziału (0, 0.9).
W dalszym ciÄ…gu zajmujemy siÄ™ tylko jednym przypadkiem, oznaczonym [4] jako
przypadek II/3, w którym zbiór testujący składał się z połączeń o numerach 9, 17, 29, a
pozostałe 27 połączeń tworzą zbiór uczący. Do uczenia zbioru wstępnych parametrów sieci
{wio} oraz zbioru parametrów dla indywidualnych wzorców {wi(p) }, t.zn. do realizacji Eta-
pów I i II algorytmu omowionego wyżej w p. 1, zastosowano sieć 6-7-3 o sigmoidalnych
neuronach w warstwie ukrytej i wyjściowej. Posługując się symulatorem [12] zastosowano
do uczenia sieci metoda Levenberga-Marquardta (LM). BÅ‚Ä…d aproksymacji mierzono miarÄ… :
1 V 3
RMS (V ) = çÅ‚ ( " " (zj(p - yj(p) )2 )1/2 , (4)
V p=1 j=1
gdzie: zj(p) , yj (p)  przeskalowane znane i obliczone siecią wartości wyjść j dla wzorca p,
V = L, T, P  liczba elementów w zbiorach uczącym i testującym oraz pełnym zbiorze P =
L+T .
Uczenie w Etapie I wymagało mniej niż 100 epok aby osiągnąć dokładność rzędu
RMS(L) H" 1Å" 10-3 . Uczenie w Etapie II wymagaÅ‚o ok. 20 epok aby osiÄ…gnąć dokÅ‚adność
RMS(p) H" 1Å" 10-6 . W Tabl. 1 zestawiono bÅ‚Ä™dy Etapu I i Etapu II dla przekroju Ä… = 1.0 ,
określane wzorami:
V
1
avr epVj = (5)
j
"1ep , max epVj = max {epj ćł p=1,...,V } ,
V
p=
dla epj = ćł1- yj(p) / zj(p) ćł· 100% .
W tablicy przytoczono też wartości współczynnika korelacji rP obliczonego dla wszystkich
par ( yj(p) , zj(p) ) całego zbioru P = 30 połączeń.
Tablica 1. Błędy neuronowej predykcji
Błędy sieci Błędy względne [%] Współczynnik
Sieć RMS(V) × 102 dla V = P: korelacji rP
6-7-3 M - Rd Phi - Rd Phi - Cd dla:
M-Rd Phi-Rd Phi-Cd
V = L V = T avr max avr max avr max
Etap I 3.09 18.87 5.22 27.33 6.42 33.20 5.41 40.13 0.988 0.997 0.977
8.96 17.28 10.89 23.29 8.64 24.04 15.68 34.46 0.987 0.988 0.989
Ä…=1.0
W tablicy podano błędy dla wstępnego uczenia sieci na wszystkich wzorcach (Etap I).
W następnym wierszu zestawiono błędy dla sieci rozmytej i przekroju ą = 1.0 . Widać, że
średnie błędy względne są wyższe dla sieci rozmytej ale obniżają się błędy maksymalne.
Dokładność obliczania momentu MRd i obrotu ŚRd jest większa niż granicznego obrotu ŚCd
Na rys. 3 pokazano funkcje przynależne funkcji wyjściowych dla yj(p) = MRd , ŚRd , ŚRd
dla wzorców testujących p = 9, 17, 29. Funkcje przynależności pokazano przy założeniu
funkcji przynależności wag parametrów sieci o kształtach trójkątnych (t) i nieliniowych (n),
por. rys. 1. Na rysunkach zaznaczono przez Ę% punkty odpowiadające wartościom przedzia-
łowym dla przekrojów ą = 0.0, 0.25, 0.75, 0.9, 1.0. Przez zaznaczono położenie znanych
wartości wyjściowych zj(p). Wyniki dla funkcji przynależności (t) są bliskie wyników otrzy-
73
manych za pomocÄ… funkcji (n) dla przekroju Ä… = 0.9. Dlatego dalszy rysunek jest wyko-
nany dla funkcji (t) i przekrojów ą = 1.0 i 0.9 .
Rys. 3. Funkcje przynależności dla wielkości wyjściowych MRd , ŚRd i ŚCd
dla połączeń 9, 17, 29 przy posługiwaniu się funkcjami przynależności parametrów
sieci oznaczonymi przez: (t) çłĘ%çłĘ%çÅ‚ , (n) --Ę%--Ę%-- ; - wartość doÅ›wiadczalna
74
W porównaniu z pracą [4], w której identyfikacja parametrów charakterystyki
biliniowej była mało dokładna zwłaszcza dla połączenia testującego 17, zastosowanie sieci
neuro-rozmytej daje oszacowanie przedziałowe, które dla ą = 0.9 nie obejmuje tylko doś-
wiadczalnej wartości ŚRd .
Na rys. 4 porównano wartości parametrów charakterystyki biliniowej M-Ś , obliczo-
nych na podstawie wyników doświadczeń, z wartościami obliczonymi siecią neuro-rozmytą.
Rys. 4 a,b. Porównanie wartości doświadczalnie wyznaczonych parametrów MRd
i ŚRd charakterystyki biliniowej (na rysunku oznaczone przez ) z wartościami
przedziałowymi dla przekroju ą = 0.9 dla całego zbioru połączeń
75
Rys. 4 c. Porównanie wartości doświadczalnie wyznaczonych parametrów ŚCd
charakterystyki biliniowej (na rysunku oznaczone przez ) z wartościami
przedziałowymi dla przekroju ą = 0.9 dla całego zbioru połączeń
Pokazano wartości przedziałowe dla przekroju ą = 0.9 . Dla zdecydowanej większości
połączeń obliczone wartości przedziałowe [ yjL, yjR ] ą = 0.9 obejmują doświadczalne wartości
zaznaczone na Rys.4 przez . Wielkość przedziałów odpowiada dokładności neuronowej
identyfikacji jak też wrażliwości pomiarów w odniesieniu do wartości identyfikowanych
zmiennych wyjściowych. Zgodnie z oszacowaniem błędów podanych w tab. 1 ta uwaga
odnosi się przede wszystkim do granicznego obrotu ŚCd , gdyż relatywna długość
przedziałów jest największa dla tej wartości wyjściowej.
5. Uwagi końcowe
1. Krótko omówiono nową sieć rozmytą o trójkątnych (t) lub nieliniowych (n)
funkcjach przynależności parametrów sieci.
2. Sieć rozmytą zastosowano do identyfikacji parametrów biliniowej charakterystyki
dla grupy 30 połączeń, analizowaną w [4].
3. Praca jest pierwsza próbą zastosowania sieci rozmytych do identyfikacji parametrów
charakterystyk połączeń podatnych. Zbliża ona wyniki analizy do specyfiki problemu przez
założenie, że bliższe rzeczywistości są wartości przedziałowe identyfikowanych parametrów
niż wartości ostre.
4. Szereg zgromadzonych wniosków na temat perspektyw stosowania pro-
ponowanej sieci rozmytej do analizy problemów doświadczalnych teorii kon-
strukcji wymaga jeszcze dalszych uzasadnień na tle większej liczby przykładów
zastosowań.
Literatura
[1] Eurocode 3: Design of Steel Structures, ENV 1993-1-1, 6.9. Beam-to-column
connections.
76
[2] STAVROULAKIS G.E., AVDELAS A.V., ABDALLA K.M., PANAGIOTOPOULOS
P.D., A back-propagation based neural network approach for connections, Steel Struc-
tures - Eurosteel 95, Balkema, Rotterdam 1995, 263-270.
[3] ANDERSON D., HINES E.L., ARTHURS J., EIAP E.L., Application of artificial neural
networks to the prediction of minor axis steel connections, Computers & Structures, 63
(1997), 685-692.
[4] WASZCZYSZYN Z., PETIT J., Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych do
identyfikacji charakterystyk stalowych połączeń podatnych, XLIII Konferencja Naukowa
KILiW PAN i KN PZITB, Materiały T.2, Poznań-Krynica 1997, 149-156.
[5] MILLER B., PI
TKOWSKI G., ZIEMIAC
SKI L., Determination of parameters of
a semi-rigid beam-to-column connections, Proc. 4th Conf. on Neural Networks and their
Appllications, Częstochowa-Zakopane 1999, 357-362.
[6] URBAC
SKA A., KALISZUK J., WASZCZYSZYN Z., Neuronowa analiza połączeń
rurowych w ramach stalowych, X Międzynarodowa Konf. Naukowo-Techn. Konstrukcje
Metalowe - Gdański 2001, T.2, 325-334.
[7] NI S.H., LU P.C, JUANG C.H., A fuzzy neural network approach to evaluation of slope
failure potential, Microcomputers in Civil Engineering, 11 (1996), 59-66.
[8] WEYNAND K., Sericon  data bank on joints in building frames, COST1 First State-of-
the-Art Workshop, ANSAIS, Polytechnicum L. Pasteur, Strasbourg 1992.
[9] RAJASEKARAN S., FEBIN M.F., RAMASAMY J.V., Artificial fuzzy neural networks
in civil engineering, Computers & Structures, 61 (1996), 291-302.
[10] WASZCZYSZYN Z. (Ed.), Neural Networks in the Analysis and Design of Structures,
CISM Courses and Lectures No.404, Wien - New York, Sp[ringer, 1999.
[11] PABISEK E., Jakubek M., Waszczyszyn Z., A Fuzzy neural network for the analysis of
experimental mechanics problems, Proc. 6th Conf .on Neural Networks and Soft
Computing, Zakopane (2002), (w druku).
[12] DEMUTH H., BEALE M., Neural Network Toolbox for Use with MATLAB, User's
Guide, Version 3, Natick, The Math Works Inc., 1998.
ESTIMATION OF PARAMETERS OF SEMI-RIGID STEEL
CONNECTIONS BY A FUZZY NEURAL NETWORK
Summary
A new fuzzy network, developed on the base of approach in [7] is discussed. The
membership functions of the network parameters are formulated on the base of network
training by individual patterns. The network is applied to a group of 30 beam-to-column
connections analyzed in [4]. Intervals of parameters to the bilinear approximation of M-Åš
characteristics were computed as a closer approach to the experimental reality.
Praca została wykonana w ramach projektu badawczego KBN Nr 8 T07E 002 20 pt.
"Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych do analizy konstrukcji stalowych".