XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻYNIERII L
DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole  Krynica 2002
Janusz NICZYJ1
OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA PA
ASKICH
UKA
ADÓW KRATOWYCH ZA POMOC
ZBIORÓW ROZMYTCH
1. Wprowadzenie
Teoria zbiorów rozmytych została zainicjowana przez Lotfi Asker Zadeha na początku lat
sześćdziesiątych, [1]. Od kiedy Munro w 1979 r. [2] wprowadził koncepcje rozmytości do
optymalizacji konstrukcji wiele prac zostało opublikowanych w zakresie optymalnego
projektowania konstrukcji. Sformułowane programowanie matematyczne można
sklasyfikować na trzy modele: rozmyte programowanie liniowe (FLP), rozmyte
programowanie celu (FGP) i rozmyte programowanie nieliniowe (FNLP).
M�ller i inni w pracy [3] z 2001 r. przedstawili nową koncepcje bezpieczeństwa konstrukcji
w której nieprecyzyjność danych wejściowych i parametrów modeli przyjmuje się w postaci
rozmytych zmiennych losowych, czy samych zmiennych losowych i rozmytych. Poprzez zmienne
rozmyte zamodelowano rozmytą powierzchnię graniczną stanu. Rozszerzono metode
niezawodności pierwszego rzędu (First Order Reliability Method - FORM) dlaśrodowiska
rozmytego, proponując rozmytą metodę pierwszego rzędu (Fuzzy First Order Reliability Method 
FFORM) i rozmyty współczynnik niezawodności. W pracy [4] Royset i inni przedstawili
optymalne projektowanie konstrukcji na bazie niezawodności. Rozpatrywano trzy problemy
polegające na: minimalizacji początkowych kosztów projektu i spodziewanych kosztów awarii,
minimalizacji kosztów projektu spełniającego ograniczenia projektowe i niezawodność; i
maksymalizacji niezawodności przy spełnieniu ograniczeń konstrukcyjnych i związanych z
kosztami. Funkcje celu i/lub zbiór ograniczeń są sprzężone z ogólnym współczynnikiem
bezpieczeństwa lub prawdopodobieństwem awarii układu lub jego elementów. Zastosowano
metody pozwalające na rozprzężenie obliczeń związanych z niezawodnością i optymalizacją.
2. Podejmowanie rozmytej decyzji
Yu i Xu w [5] przestawili wielokryterialną rozmytą optymalizacje i trzy metody
podejmowania rozmytej decyzji dla uzyskania optymalnego rozwiązania: metoda przecięć
rozmytych funkcji celu i ograniczeń, wypukła decyzja, iloczyn decyzji.
1
Dr inż., Wydział Budownictwa i Architektury Politechniki Szczecińskiej
142
2.1. Decyzja przecięć funkcji celu i ograniczeń
Decyzja przecięć funkcji celu ( ) i ograniczeń ( ) ma postać (nadkreślenie oznacza
rozmytość danego zbioru): = )" . W przypadku wielokryterialnej rozmytej
optymalizacji, mamy = = (1)
I I
= =
Funkcja przynależności decyzji ma więc postać
ńł ńł
źD(x) = '" źG (x)�ł '" '" źC (x)�ł (2)
�ł żł �ł żł
ół d"k d"q k �ł ół d" j d" p p �ł
Decyzja optymalna wybierana jest z rozmytej przestrzeni decyzyjnej D charakteryzowanej
przez funkcje przynależności źD tak by znalez
ć optymalny punkt x* który maksymalizuje
źD , czyli źD(x )= źD(x) Podstawiając równanie (2) do tej zależności otrzymujemy
X "Rn
ńłź
źD(x )= (x) źC (x)�ł (3)
�ł żł
Gk
j
ół �ł
X "Rn k j
Stosując koncepcje wartości progowej  i metody poziomów przecięć C można napisać
równoważne równanie powyższej zależności w postaci
ńł
źD(x )= źG (x)e"  źC (x)e"   "[ ]�ł (4)
�ł żł
jk
ół �ł
X"Rn k
Problem rozmytej wielokryterialnej optymalizacji można transformować do problemu
rozwiązania jednokryterialnej nierozmytej optymalizacji, typu;
znalez
ć max źD (x) = , 0 d"  d" 1
spełniającego ograniczenia źG (x)e"  , k = 1, ... , q
k
źC j (x)e"  , j = 1, ... , p. (5)
2.2. Decyzja wypukła
Decyzje wypukłą przedstawiamy w postaci D = ą G + � C gdzie ą i � są współczynnikami
spełniającymi następujące warunki ą+�=1, ąe"0, �e"0. Dla określonych założeń projektowych
dla funkcji przynależności elementów składowych wagi ąk i �j są dane i można funkcje
przynależności decyzji przedstawić w następującej postaci
q p
źD(x) = źG (x)+ � źC (x) (6)
"ąk j
"
k j
k = j =
gdzie ąk i �j spełniają warunki
+ � = ąk e" 0, k = 1, .. , q �j e" 0, j = 1, ... , p. (7)
"ą
"
= =
Problem rozmytej wielokryterialnej optymalizacji można transformować do problemu
rozwiązania jednokryterialnej nierozmytej optymalizacji, typu:
 143
znalez
ć max źD(x)
spełniającego ograniczenia gj(x) d" Cjg , j = 1, ... , m-1 (8)
gj(x) e" Cjd , j = m, ... , p.
W metodzie tej decyzja ma charakter średniej arytmetycznej w którym wagi funkcji celu i
ograniczeń są określane przez decydenta.
2.3. Iloczyn decyzji
Decyzja związana z podejściem iloczynowym ma postać D = G " C . Funkcja przynależności
(q+ p)
q p
�ł łł
�ł śł
decyzji ma postać źD(x) = źG (x)�" źC (x) . (9)
" "
�łk = k j = j śł
�ł �ł
Problem rozmytej wielokryterialnej optymalizacji można transformować do problemu
rozwiązania jednokryterialnej nierozmytej optymalizacji, typu;
znalez
ć max źD(x)
spełniającego ograniczenia gj(x) d" Cjg , j = 1, ... , m-1 (10)
gj(x) e" Cjd , j = m, ... , p.
W metodzie tej decyzja ma charakter średniej geometrycznej.
3. Rozmyte wielokryterialne programowanie liniowe (FMOLP)
Problem wielokryterialnego programowania liniowego (fuzzy multiobjective linear
programming-FMOLP) zawierający rozmyte parametry w funkcjach celu i w ograniczeniach
można przedstawić w postaci [6]
znalez
ć max f(x,ć) E" {f1(x,ć1), ..., fk(x,ćk)},
spełniającego ograniczenia x " X(i
) = { x " RN ćł gi(x,i
i) = d" i
i, (11)
"
=
i=1,2,...,m, xj e" 0, j=1,2,...,n},
gdzie i-ta liniowa funkcja celu ma postać fi(x,ći) = (ci + ćici ) x, a obszar dopuszczalny x(i
)
przyjmujemy jako zbiór zwarty. W równaniach (11) x jest n-wymiarowym wektorem
zmiennych decyzyjnych, ći (i=1,...,k) n-wymiarowe wektory rozmytych parametrów, ci i ci
n-wymiarowe wektory i-tej funkcji celu, i
i (i=1,2,...,m)  rozmyte parametry wchodzące w
prawe strony ograniczeń gi(x,i
i).
Punkt x* " X(u*) jest rozwiązaniem optymalnym problemu ą-wielokryterialnego w
sensie ą-Pareto, wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje inny punkt x " X(u), taki, że fi(x,ć) e"
fi(x*,ai*), i=1,...,k, i nierówność ta jest spełniona przynajmniej dla jednego punktu i, dla
którego odpowiadające wartości parametrów (a*,u*) nazywamy optymalnymi parametrami
otrzymanymi dla ą-poziomu.
4. Rozmyte wielokryterialne programowanie nieliniowe (FMONLP)
Główne założenia związane z wielokryterialnym programowaniem nieliniowym z rozmytymi
parametrami przedstawił w swej pracy Orlovski [7]. Sakawa i Yano [8] wprowadzili
koncepcje ą-Pareto optymalności rozmytego programowania parametrycznego.
144
Hussein i Maaty [9] przedstawiają problem rozmytego wielokryterialnego
programowania nieliniowego (fuzzy multiobjective nonlinear programming-FMONLP)
zawierającego rozmyte parametry w funkcji celu w postaci
znalezienia min f(x,ć) E" {f1(x,ć1), ..., fn(x,ćn)}, (12)
spełniającego ograniczenia x " X = { x " Rn ćł gi(x) d" 0, i=1,2,...,m},
gdzie ćj = (ćj1, ..., ćjp), j=1,2, ..., n jest wektorem rozmytych parametrów, które mogą być
zdefiniowane przez liczby rozmyte.
Wektor x*"X będzie efektywnym rozmytym ą-rozwiązaniem problemu FMNOLP
wtedy i tylko wtedy jeżeli nie istnieje inne x"X takie, że
n
ńł
"
j=1, p �ł
j
~
�a �ła " R | f1(x,a1)d" f1(x*,aj), ..., f (x,aj)< f (x*,aj),..., fn(x,an) d" fn(x*,an)�ł e" ą, ą "
�ł żł (13)
j j
�ł �ł
ół �ł
5. Rozmyta wielokryterialna optymalizacja niezawodno ściowa
Sformułowanie zagadnienia wielokryterialnej optymalizacji rozmytej polegające na
wyznaczeniu wektora zmiennych decyzyjnych x minimalizującego wektorową funkcje celu
f(x) i spełniającego rozmyte ograniczenia nośności gj(x) i niezawodności konstrukcji,
Pf,sd" można przedstawić w następującej postaci:
znalez
ć wektor x = [x1, x2, ... , xn]T
minimalizujący f(x) = [f1(x),..., fk(x)]T, (14)
oraz spełniający ograniczenia gj (x) " , j=1, 2, . ., m, oraz Pf,s d" .
gdzie oznacza zbiór rozmytych ograniczeń projektowych, Pf,s i , jest odpowiednio
prawdopodobieństwem awarii i dopuszczalnym rozmytym prawdopodobieństwem awarii
konstrukcji. Rozmyty zbiór wszystkich ograniczeń
= , = { gj (x): � (x)>0}, j=1, ..., m (15)
"
=
Ograniczenie to oznacza, że gj (x) jest elementem zbioru rozmytego gdy funkcja
przynależności tego ograniczenia jest większa od zera, czyli � (x)>0.
Rozmyty obszar dopuszczalny jest więc rozpatrywany jako iloczyn (przecięcie) wszystkich
ograniczeń problemu (pkt 2.1.), to znaczy
= (16)
I , źD(x) = min { ź (gj (x))}>0, j=1, ..., m.
Funkcja przynależności tego zbioru oznacza, że wektor x jest jednym z rozwiązań
dopuszczalnych gdy w minimalnym choćby stopniu spełnia wszystkie przyjęte ograniczenia.
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych, R �" D , wyznaczony zgodnie z zasadami
podejmowania decyzji rozmytych, Yu i Xu [5], jest więc przecięciem rozmytych ograniczeń i
rozmytych funkcji celu
k ńł m �ł n
ńł �ł ńł �ł
�ł
(17)
R = �ł )" �ł)" �ł �ł
źf �ł źg j �łl źP �ł ,
�łI żł �łI żł �łI żł
f l
�łi = i �ł
�ł �ł
ół �ł j= ół = �ł
ół �ł
 145
Wielkości rozmyte są określone odpowiednio poprzez funkcje przynależności �f, �g i �Pf.
Rozwiązanie optymalne x* wybrane ze zbioru rozwiązań dopuszczalnych cechuje się
największą wartością funkcji przynależności (3), czyli
źR (x*) = min { � (x), � (x), �Pf,l (x)}, x " (18)
" , ,
Zagadnienie wielokryterialnej optymalizacji rozmytej można zatem przedstawić jako
problem max-min tzn. maksymalizacji minimalnej wartości parametru  . Wtedy tradycyjne
programowanie kompromisowe w porównaniu z optymalizacją rozmytą z operatorem
decyzyjnym  min łączącym funkcje celu (18) prowadzi do tych samych wyników.
Sformułowanie parametryczne programowania matematycznego ułatwia wprowadzenie
metody ą -przekrojów. ą -przekrojem zbioru rozmytego A ą" X, oznaczanym przez ,
ą
nazywamy następujący zbiór nierozmyty = {x " X źA x e" ą} "ą "[0, 1].
ą
Wprowadzenie metody ą -przekrojów pozwala sprowadzić rozwiązanie zagadnienia
wielokryterialnej optymalizacji rozmytej do optymalizacji skalarnej nierozmytej z dolnymi i
górnymi ograniczeniami brzegowymi i polega na
znalezieniu wektora x
minimalizującego wektorową funkcję celu f(x),
spełniającego ograniczenia gj,ąd(x) d" gj,ą (x) d" gj,ąg (x), j=1,2,...,m,
i maksymalizującego ą ,
przy spełnieniu ograniczeń źą (x) e" ą , i=1, ... , k; ź (x) e" ą , j=1, ... , m
ź ą (x) e" ą , l=1, ... , n (19)
xds d" xs d" xgs ą, ą " [0, 1].
Rozwiązanie układu (19), xą, zależy od ą określającego poziom osiągnięcia przez rozmyte
wielkości wartości dopuszczalnych oraz od maksymalizowanej wielkości  prowadzącej do
ogólnego rozwiązania kompromisowego uwzględniającego wszystkie rozmyte funkcje celu i
ograniczeń spełnione na poziomie dopuszczalnym ą .
6. Funkcje przynależności obciążeń, naprężeń i prawdopodobieństwa awarii
Funkcję przynależności obciążeń przyjęto w postaci funkcji trójkątnej, funkcja
przynależności naprężeń granicznych gj= � w poostaci trapezowej [10]. Funkcje
przynależności funkcji celu oraz dopuszczalnego prawdopodobieństwa awarii, Pfo mają
podobne postacie
ńł
dla fi ą x d" fi ą
ńł
x d"
ą ą
�ł
�ł
fi ą
�ł - fi ą x
�ł �ł - x (20)
źą = dla fi ą < fi ą x d" fi ą �ł ą ą
�ł
fi
ź ą = < x d"
�ł
ą ą ą
fi ą - fi ą
�ł
�ł -
ą ą
�ł
�ł
dla fi ą x > fi ą
�ł
ół x >
�ł
ą ą
ół
gdzie: ą x ą x - są odpowiednio najlepszą i najgorszą wartością funkcji celu, a
x x - dolną i górną wartością prawdopodobieństwa awarii; wielkości te są
ą ą
ograniczeniami w rozważanej rozmytej optymalizacji na poziomie ą .
146
7. Funkcje celu
Jako funkcje celu przyjęto minimalną masę konstrukcji i minimalne przemieszczenie węzła
obciążonego siłą, mianowicie:
n
ą ą
(x) = x = = ls, (21)
"
ą "� xsls, ą ą
�"
=
s=
gdzie: xs, ls, Ns oznaczają odpowiednio: przekrój, długość i siłę w s-tym elemencie natomiast
Pgą i Pdą są odpowiednio górną i dolną wartością obciążenia na poziomie ą.
Ograniczenia naprężeń osiowych w elementach rozciąganych oraz ściskanych przy
uwzględnieniu wyboczenia prętów można wyrazić wzorem:
- Ą �
g (x)= � (x)d" � , g (x)= � (x)d" , (22)
ą ą ą ą ą
gdzie I= � xj2 opisuje zależność pomiędzy momentem bezwładności i polem przekroju
poprzecznego pręta, przy stałej wartości � równej 0,45.
8. Analiza niezawodności kratownic
W analizie niezawodności konstrukcji składających się z n elementów przyjęto, że układ traci
swoje własności użytkowe gdy staje się mechanizmem. Przyjęto, że układ składa się z
elementów mających własności sprężysto-plastyczne. Konstrukcje kratowe są układami
składającymi się z wielu elementów, a więc ich niezawodność jest funkcją niezawodności
elementów. Przyjęto, że każdy element ma ten sam stopień ważności i to samo dopuszczalne
prawdopodobieństwo awarii. Margines bezpieczeństwa dla k-tej postaci zniszczenia można
przedstawić w następujący sposób
ą ą ą ą
(x)= = - , k = 1, ... , K (23)
"
=
gdzie: cią - stała obliczeniowa, Rie  wytrzymałość obliczeniowa elementu, Pą - obciążenie
zewnętrzne, I  liczba elementów, których uszkodzenie doprowadza do k-tej postaci
zniszczenia. Natomiast prawdopodobieństwo awarii konstrukcji w przypadku k-tej postaci
zniszczenia można przedstawić następująco:
Pką = P(Mką<0), k = 1, ... , K (24)
W pracy rozważano tylko te postacie zniszczenia, które dominują przy tworzeniu się
mechanizmu. W ogólnym przypadku istnieje korelacja pomiędzy postaciami awarii i trudno
jest uzyskać rozwiązanie z powyższego równania. Dlatego też często oblicza się górną i
dolną granicę Pf wykorzystując zależności podane przez Ditlevsena
ńł
K �ł
ńł �ł�ł
ą
�łe" P(Mi < �łP < �łi- ą < )" Mą < �ł�ł
)+ (Mią )- (Mi j )
" �ł"P żł�ł
�ł
�ł
�ł �łłł
ą �ł
i=i+
(25)
ółj= �ł
�ł
Pf
�ł
K K
�ł
d" (Mi < )- P(Mią < )" Mą < )
"P ą "
�ł j
�ł
ji= i=
ół
 147
START
DANE WEJŚCIOWE
Inicjalizacja
xo, ą, k=0
Wyznaczenie sił w prętach z uwzlędnieniem
xk+1 = xk
ograniczeń na naprężenia (22)
Wektor zmiennych decyzyjnych - xk
Obliczenie prawdopodobieństwa
Obliczenie funkcji celu
awarii Pf,ą(xk) - (24), (25)
f1,ą(xk), f2,ą(xk) - (21)
Obliczenie funkcji przynależności
Obliczenie funkcji przynależności
źą (xk ) - (20)
źą (xk ) - (20)
Pf
fi
Obliczenie max ką z ograniczeniami
ką d" źą (xk ) , ką d" źą (xk )
Pf fi
Tak
ką < k-
ą
1
Nie
STOP
Rys. 1. Schemat optymalzacji niezawodnościowej układu
9. Przykład optymalizacji i niezawodności kratownicy
Rozpatrzono przykład optymalizacji płaskiej aluminiowej kratownicy 10-prętowej (rys.2),
module sprężystości E = 6.895E3 kN/cm2, i
1
długości L = 914.4 cm. Rozmycie obciążenia
1 2 2
3
przyjęto w granicach 10 % w stosunku do
7
9
wartości ścisłej P1=P2=444.52 kN. Jako
5 6 L
zmienne decyzyjne przyjęto pola przekrojów
8 10
poprzecznych prętów zmieniających się w
3
4
przedziale xds=0.254cm2 d" xs d" xgs=101.6cm2.
6
4
5
P
P
1
2
Funkcje celu określone są wzorami (21).
L
L
Dopuszczalne prawdopodobieństwo awarii
Rys.2
konstrukcji Pof=1.0E-4. W przypadku
ograniczenia związanego z naprężeniami
148
przyjęto 20 % różnicę w stosunku do wartości granicznej. Marginesy bezpieczeństwa (23)
dla czterech ścieżek zniszczenia przedstawiono w tab.1.
Tablica 1. Marginesy bezpieczeństwa dla czterech ścieżek zniszczenia
Ścieżki
Mką<0
zniszczenia
1+-7+*
[0.512 R1x1ą-(P1,ą+P2,ą)]<0 )" [0.236 R7x7ą+0.333 R1x1ą-(P1,ą+P2,ą)]<0
10--9+
[1.763 R10x10ą-(P1,ą+P2,ą)]<0 )" [0.707 R9x9ą+0.706 R1x1ą-(P1,ą+P2,ą)]<0
3--7+
[0.488 R1x1ą-(P1,ą+P2,ą)]<0 )" [0.707 R7x7ą+R1x1ą-(P1,ą+P2,ą)]<0
7+-8-
[0.676 R1x1ą-(P1,ą+P2,ą)]<0 )" [0.354 R7x7ą+0.353 R1x1ą-(P1,ą+P2,ą)]<0
*)
(+) i ( ) oznaczają odpowiednio siły rozciągające i ściskające w elementach
Literatura
[1] ZADEH L.A., Fuzzy sets. Information Control, 8, 1965, pp.338-353.
[2] MUNRO J., Uncertainty and fuzziness in engineering decision-making, In: Proc. First
Canadian Seminar on Systems Theory for Civil Engineering, Calgary, 1979, pp.113-133.
[3] M� LLER B., GRAF W., BEER M., SICKERT J.-U., Fuzzy probabilistic method and its
application for the safety assessment of structures, 2nd European Conference on
Computational Mechanics, ECCM-2001, Cracow, Poland, 2001, Proc. on CD-Rom, 1-20.
[4] ROYSET J.O., Der KIUREGHIAN A., POLAK E., Reliability-based optimal structural
design by the decoupling approach, Reliability Engineering and System Safety, 2001,
Vol.73, pp.213-221.
[5] YU M., XU G., Multiobjective fuzzy optimization of structures based on generalized
fuzzy decision-making, Computers and Structures, 1994, Vol.53, No.2, pp.411 -417.
[6] SAAD O.M., Stability on multiobjective linear programming problems with fuzzy
parameters, Fuzzy Sets and Systems, 1995, Vol.74, pp.207-215.
[7] ORLOVSKI S., Multiobjective programming problems with fuzzy parameters, Control
Cybernetics, 1984, Vol.13, pp.175-183.
[8] SAKAWA M., YANO H., Interactive decision making for multiobjective nonlinear
programming with fuzzy parameters, Fuzzy Sets and Systems, 1989, Vol29, pp.315-326.
[9] HUSSEIN M.L., MAATY M.A.A., The stability notions for fuzzy nonlinear
programming problem, Fuzzy Sets and Systems, 1997, Vol.85, pp.319-323.
[10] NICZYJ J., Optymalne i niezawodne projektowanie kratownic z zastosowaniem zbiorów
rozmytych, XL Konf. Naukowa KILiW PAN i KN PZITB, Krynica, 1999, T.1, s.127-134.
RELIABILITY-BASED OPTIMIZATION OF PLANE TRUSSES
BY FUZZY SETS
Summary
In this paper an optimum design procedure for minimizing structural mass and vertical
deflections of loaded joint subject to reliability constraints is discussed. The fuzzy
optimization technique based on the principle of intersection of fuzzy decision used for the
multiobjective fuzzy optimization of trusses. The ą-cut approach and -formulation are used
to express the optimization in a parametric form.