Zjawisko indukcji magnetycznej
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Podstawy Fizyki
Halliday, Resnick i Walker
Rozdział 31
Wektor indukcji magnetycznej
wytwarzany przez element prądu
Ć
�0 Ids �r
dB = .
4Ą r2
Ć
�0 Ids �r
B =
+"
4Ą r2
Kontur całkowania
Zastosujemy twierdzenie AmpŁre a. Wybierzemy
kontur całkowania abcd w formie prostokąta z
kierunkiem obiegu przeciwnym do wskazówek
zegara. Długość boku prostokąta || do granicy
solenoidu wynosi h. Kontur obejmuje obszar na
zewnątrz solenoidu  bez pola i obszar w jego
wnętrzu, gdzie B`"0.
b
Bds = Bds = Bh
+" +"
a
Przyjmijmy, że gęstość zwojów wynosi n m-1.
Wybrany kontur obejmuje nh zwojów. Natężenie
prądów IP przechodzących przezeń równe jest Inh.
Z twierdzenia AmpŁre a otrzymujemy
Bh = �0I0 = �0nhI �! B = �0nI (idealny solenoid).
Wewnątrz dostatecznie długiego solenoidu pole
magnetyczne jest jednorodne i nie zależy od jego
średnicy ani od długości.
Magnes spoczywa  przez cewkę
prąd nie płynie
HRW Podstawy Fizyki t. 3, R. 31
Magnes porusza się
w stronę cewki
pojawia się w niej prąd
Szybszy ruch magnesu względem
cewki generuje w niej prąd
o większym natężeniu
Gdy magnes oddala się od cewki
płynie w niej prąd w przeciwną stronę
Gdy to pętla porusza się względem
magnesu  także jest w niej generowany
prąd elektryczny
.
Wniosek: zmieniające się pole
magnetyczne generuje prąd w pętli.
Czy poruszająca się pętla z prądem
generuje prąd w drugiej nieruchomej
pętli?
Poruszająca się pętla z prądem
generuje prąd w nieruchomej pętli
Pętla z prądem jest dipolem
magnetycznym. Gdy zmienia się
natężenie prądu płynącego w
nieruchomej pętli, to natężenie pola
magnetycznego dipola zmienia się.
Możemy oczekiwać, że taki
nieruchomy dipol generuje prąd
w drugiej, nieruchomej pętli.
Nieruchomy dipol, w którym płynie prąd
zmieniający się w czasie generuje prąd
w drugiej, nieruchomej pętli
Dwie, równoległe przewodzące pętle znajdują się
w pewnej odległości od siebie. Gdy zamkniemy
klucz S włączając prąd w lewej pętli, to miernik, do
którego podłączona jest prawa pętla, wykaże
pojawienie się nagłego, lecz krótkotrwałego prądu,
płynącego w przeciwnym kierunku w porównaniu
z kierunkiem prądu w lewej pętli. Zaobserwujemy
prąd indukowany tylko wtedy, gdy natężenie prądu
w lewej pętli zmienia się. Stały prąd płynący
w lewej pętli nie wzbudza prądu indukowanego
i SEM w lewej pętli.
Obserwacje
" Prąd pojawia się, jeżeli magnes i pętla poruszają się
względem siebie. Prąd znika, kiedy one nie poruszają
się.
" Szybszy ruch wytwarza prąd o większym natężeniu.
" Ruch magnesu do przodu powoduje prąd płynący
w przeciwnym kierunku, niż powstający podczas
ruchu do tyłu.
" Zmiana bieguna wsuwanego do pętli powoduje
zmianę kierunku płynięcia prądu.
Prąd indukowany
Prąd wytwarzany w pętli w wyniku ruchu magnesu
nazywamy prądem indukowanym. Pracę przypadająca
na jednostkowy ładunek, wykonaną w celu wytworze-
nia prądu (czyli ruchu elektronów przewodnictwa,
które tworzą ten prąd) nazywamy indukowaną siłą
elektromotoryczną (SEM).
Zjawisko wytwarzania prądu i SEM nazywamy
zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej.
Prawo indukcji Faraday a
Michael Faraday zauważył, że indukowany
prąd w pętli pojawia się wtedy, gdy liczba linii
sił pola magnetycznego przechodząca przez
pętlę ulega zmianie. Istotna jest nie sama
liczba linii sił pola magnetycznego, lecz
szybkość zmiany ich liczby.
Liczba linii sił pola przechodzących przez
powierzchnię określa strumień pola magnetycznego.
Doświadczenia z
magnesem sztabkowym
W pierwszym z trzech doświadczeń linie sił
pola magnetycznego wychodzą z bieguna
północnego. W miarę zbliżania albo oddalania
magnesu do pętli liczba linii sił pola magnety-
cznego przechodzących przez jej powierzchnię
rośnie albo maleje. Ta zmiana wprawia w ruch
elektrony. Gdy zatrzymamy magnes liczba linii
sił pola magnetycznego przechodząca przez
powierzchnie pętli ustala się. Indukowany prąd
przestaje płynąć.
Doświadczenia z dwoma pętlami
W doświadczeniach z pętlą, w której prąd płynący
zmienia się z upływem czasu, narastające natężenie
prądu powoduje wzrastające (czyli zmieniające się
ds
w czasie) pole magnetyczne. Element pętli
wytwarza pole
�0 I(t)ds � r
dB(t) = (prawo Biota -Savarta).
4Ą r3
Przypomnienie: pole prędkości cieczy
na powierzchni ramki
S  pole powierzchni ramki, przez którą płynie ciecz.
Wektor pola ramki:
S = Sn, n jest wektorem Ą"do powierzchni ramki, n �"n = 1.
Jednorodny strumień cieczy płynącej z
prędkością .
v
W każdym punkcie powierzchni
ramki można zadać wektor prędkości.
Strumień przez powierzchnię ramki
Jeżeli wektor prędkości cieczy tworzy z wektorem
ramki kąt �, to strumień przez powierzchnię ramki
równy jest
Ś = vcos � S = v �"S .
( )
Jest to także objętość cieczy przepływającej w ciągu
1 s przez ramkę. Szybkość Ś przepływu cieczy przez
powierzchnię ramki nazywamy strumieniem wektora
prędkości.
Strumień można określić dla
dowolnego pola wektorowego
Ogólnie: gdy zadamy pole wektorowe to
&!(r)
&!
&!
&!
możemy zadać strumień Ś&! wektora przez
&!
&!
&!
&!
powierzchnię S.
Strumień pola elektrycznego 1
Powierzchnia S znajduje się w polu elektrycznym .
E(r)
Rozpatrzymy strumień pola elektrycznego przez powierzchnię S.
- wektor prostopadły do elementu dS1
n1
dS2
E1 - wektor pola elektrycznego w
n
1
n obszarze elementu dS1.
2
S
E
2
n2- wektor prostopadły do elementu
E
1
dS2 .
E2 - wektor pola elektrycznego w
dS1
obszarze elementu dS2.
Kąt pomiędzy wektorami
n1
Kąt pomiędzy wektorami i
E1
jest ostry: n2E2 > 0, dŚ2>0 .
Ś
Ś
Ś
n1E1 < 0,
jest rozwarty: dŚ1<0.
Strumień pola elektrycznego 2
Płat powierzchni S można podzielić na małe obszary: dS1, dS2, ...,
dSN. Na każdym z nich wektor pola elektrycznego uważamy za stały.
Strumień pola elektrycznego przez powierzchnię S
N N N
(
ŚSN) =
"dŚ = "E dSj = "E njdSj .
j j j
j=1 j=1 j=1
Strumień przez każdy z elementów może być dodatni, ujemny albo
równy 0, jeżeli wektory nj, Ej są prostopadłe.
(
Gdy liczba małych obszarów dąży do ", to - prawdziwego
ŚSN) �!ŚS
strumienia, gdzie
ŚS =
( )
+"dŚ = +"dS nE = +"dS �"E
S S S
Strumień magnetyczny
Wprowadzimy strumień magnetyczny ŚB
przez powierzchnię S:
ŚB = BdS.
+"
S
Jednostka strumienia magnetycznego:
tesla� a" 1 weber.
�m2a"
� a"
� a"
Przykład
Pętla leży w pewnej płaszczyz
nie, a wektory indukcji
magnetycznej niech będą do niej prostopadłe.
BdS = BdScos0o = BdS ,
ŚB = BdS = B dS = BS
+" +"
S S
(B || n, pole B jednorodne).
Prawo Faraday a
Wartość SEM E indukowanej w przewodzącej pętli
jest równa szybkości, z jaką strumień magnetyczny
przechodzący przez tę pętlę zmienia się w czasie
E
= -dŚB / dt.
Jeżeli zmieniamy strumień pola magnetycznego
w cewce złożonej z N zwojów, to prąd pojawia się
w każdym ze zwojów i całkowita SEM jest sumą SEM
indukowanych w każdym ze zwojów. Całkowita SEM
indukowana w cewce:
dŚB
E
= -N (cewka o N zwojach).
dt
Heinrich Friedrich Emil Lenz
Ur. 12 lutego 1804 w Tartu w Estonii,
zm. W Rzymie 10 lutego 1865 r., był
bałtyckim Niemcem. Największym
jego osiągnięciem było sformułowanie
w 1833 r. prawa nazwanego od jego
nazwiska. W 1820 r. Lenz rozpoczął
studia na uniwersytecie w Tartu (fizyka
i chemia).
Heinrich Friedrich Emil Lenz
Razem z Otto von Kotzebue uczestniczył w podróży
dookoła Świata (w latach 1823-1826). Podczas tej
ekspedycji prowadził badania klimatu i własności
fizycznych wody morskiej. Po zakończeniu podróży
rozpoczął pracę na Uniwersytecie w St. Petersburgu.
W latach 1840-1863 był dziekanem wydziału
Matematyki i Fizyki tego Uniwersytetu. W 1831 r.
rozpoczął badania w dziedzinie elektromagnetyzmu.
Oprócz prawa Lenza niezależnie w 1842 r. odkrył
prawo nazwane póz
niej prawem Joule a .
Reguła Lenza
Prąd indukowany płynie w takim kierunku,
aby pole magnetyczne wytworzone przez
ten prąd przeciwdziałało zmianie
strumienia pola magnetycznego, która ten
prąd indukuje.
N
S
Zasada działania gitary elektrycznej
Pętla z prądem jest magnesem
Pętla z prądem jest magnesem (dipolem
magnetycznym). Strona, z której wychodzą
linie odpowiada biegunowi N, strona, do której
linie wchodzą odpowiada biegunowi S.
Reguła Lenza
Z prawej strony Z prawej strony Z prawej strony Z prawej strony
zbliżamy N oddalamy N
zbliżamy S
oddalamy S
Prąd o natężeniu I, indukowany w pętli, ma taki kierunek, że pole
BI
magnetyczne wytworzone przez ten prąd przeciwdziała zmianie pola
B
magnetycznego . (a) i (c) wektor indukcji BI jest skierowany
BI
przeciwnie do wzrastającego wektora B . (b) i (d) wektor jest
B
zgodny z kierunkiem malejącego wektora .
Reguła Lenza 1
Z prawej strony zbliżamy N Z prawej strony oddalamy N
r
B rosnie
Reguła Lenza 2
Z prawej strony zbliżamy S Z prawej strony oddalamy S
Praca i SEM związana z przesunięciem
prostokątnej ramki w polu magnetycznym
Prostokątna przewodząca
ramka jest wyciągana ze
stałą prędkością z
v
obszaru, w którym
istnieje jednorodne pole
magnetyczne . Niech
B
F
będzie siłą. Szybkość
P z jaką jest wykonywana
praca (moc) wynosi
P=Fv.
SEM i natężenie prądu związanego z przesunięciem
prostokątnej ramki w polu magnetycznym
Chwilowa wartość strumienia
magnetycznego:
ŚB(x) = BS = BLx
Indukowana siła
elektromotoryczna:
dŚB d
=
E - = - BLx =
( )
dt dt
dx
= -BL = -BLv.
dt
Obwód zastępczy ramki
E
Natężenie indukowanego prądu:I= /R= BLv/R
R jest całkowitym oporem ramki
E jest indukowaną siłą
elektromotoryczną
Szybkość wykonywania pracy
Siły działające na boki ramki: F1,
F2, F3 określa wzór:
F = IL�B
Tylko siła wykonuje
F1
pracę. Jej wielkość
Wkłady F2 i F3 do
F1 = ILBsin90o = ILB =
pracy kompensują
BLv B2L2v
ILB = LB =
się
R R
B2L2v2
P = F1v = .
R
Szybkość wykonywania pracy przez
siłę, która porusza ramkę
w polu magnetycznym
P = F1v = B2L2v2 / R .
Szybkość Q wydzielania energii termicznej w ramce
podczas jej wyciągania z obszaru pola
magnetycznego:
2
BLv B2L2v2
�ł �ł
Q = I2R = R = =
P.
�ł �ł
R R
�ł łł
Praca wykonywana podczas przesuwania ramki w polu
magnetycznym w całości zamienia się na jej energię
termiczną.
Pole elektryczne indukowane
w pierścieniu
Pole magnetyczne zajmuje cylindryczny obszar o
promieniu R. Pierścień metaliczny ma promień r (rStrumień indukcji rośnie ze stałą szybkością.
Strumień pola magnetycz-
nego wewnątrz pierścienia
rośnie ze stałą szybkością.
Pojawia się SEM
W pierścieniu płynie prąd.
Płynie prąd  istnieje pole elektryczne,
które porusza naładowane cząstki.
Zmienne pole magnetyczne wytwarza
zmienne pole elektryczne.
Pole elektryczne jest indukowane nawet
wtedy gdy nie ma pierścienia!
Cylinder został zamieniony na kontur
o promieniu r, dB/dt>0
Pole magnetyczne
o rosnącym natężeniu
indukuje pole
elektryczne o symetrii
osiowej, styczne do
konturu.
Żaden z konturów nie jest wyróżniony:
rd"R
Zależność SEM od konturu
(SEM)1=(SEM)2>(SEM)3
(SEM)4=0
Nowe sformułowanie prawa Faradaya
Cząstka o ładunku q0 porusza się po torze kołowym.
E jest siłą elektromotoryczną.
Praca wykonywana przez
indukowane pole elektryczne
podczas jednego okrążenia:
W=Eq0.
Praca W wykonana nad cząstką przez indukowane
pole elektryczne podczas jednego okrążenia:
W =
+"Fds = (q0E)(2Ąr) .
Nowe sformułowanie prawa
Faradaya  konsekwencje
=
Eq0
+"Fds = (q0E)(2Ąr) .
E=2ĄrE
Uogólnienie
W =
+"Fds = (q0E)(2Ąr) .
q0E 2Ąr �! q0 Eds .
Prawa strona: ( )( )
+"
= q0 Eds .
q0E
+"
E= Eds .
+"
Interpretacje pojęcia SEM
Indukowana siła elektromotoryczna:
" Praca wykonana nad ładunkiem jednostkowym
w celu podtrzymania prądu indukowanego przez
zmienny strumień magnetyczny
" Praca wykonana nad cząstką o ładunku jednostko-
wym poruszającą się po torze zamkniętym
w zmiennym polu magnetycznym.
" Całka po konturze zamkniętym iloczynu skalarnego
wektora pola elektrycznego indukowanego przez
E
ds
zmienne pole magnetyczne i elementu konturu.
Prawo Faraday a
E
= -dŚB / dt.
E = Eds
+"
dŚB
Eds = - .
+"
dt
Zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektryczne.
Prawo Faraday a można stosować do dowolnego
konturu zamkniętego.
Przykładowe wybory konturu
(SEM)1=(SEM)2>(SEM)3
(SEM)4=0
Nowe spojrzenie na
potencjał elektryczny
" Linie sił indukowanych pól elektrycznych
wytwarzanych przez zmienne pola magnetyczne
tworzą zamknięte pętle.
" Linie sił pól elektrycznych wytwarzane przez
nieruchome ładunki elektryczne nie są zamknięte 
zaczynają się na ładunkach dodatnich i kończą na
ładunkach ujemnych.
12,14.04.2011
Potencjał elektryczny można określić tylko ładunków
statycznych. Nie można go określić dla pól
indukowanych przez zmienne pola magnetyczne.
Dla pola elektrycznego wytwarzanego
przez statyczne ładunki
końc
Vkońc - Vpocz = - Eds .
+"
pocz
Dla ruchu po zamkniętym konturze punkty
początkowy i końcowy nie różnią się
końc
Vkońc-Vpocz=0.
Eds = 0
+"
pocz
Dla pól elektrycznych wytwarzanych przez zmienne
pole magnetyczne całka po konturze = -dŚB/dt.
Indukcyjność solenoidów
Przez uzwojenie cewki o N zwojach płynie prąd o
natężeniu I i wytwarza strumień magnetyczny NŚB.
NŚB
L = .
Indukcyjność cewki L:
I
Uzwojenie cewki jest sprzężone przez strumień. NŚB
jest magnetycznym strumieniem sprzężonym.
Indukcyjność L jest magnetycznym strumieniem
sprzężonym przypadającym na jednostkę natężenia
prądu.
Henr  jednostka indukcyjności
Jednostka strumienia magnetycznego:
tesla �"m2
1 henr = 1 H= 1T m2/A.
Indukcyjność solenoidu
Długi solenoid o polu przekroju S. Szukamy
indukcyjności przypadającej na jednostkę długości
w pobliżu środka solenoidu.
Strumień sprzężony w wybranej części solenoidu:
NŚB = nl (BS),
( )
n  gęstość zwojów, l  długość wybranego odcinka
solenoidu.
B = �0In.
NŚB = �0n2IlS.
NŚB = nl (�0InS)
( )
Indukcyjność solenoidu
NŚB �0n2IlS
=
I I
L = �0n2lS .
Indukcyjność na jednostkę długości solenoidu
L
= �0n2S .
l
Samoindukcja
Indukowana SEM EL pojawia się w każdej cewce,
w której natężenie prądu się zmienia. To zjawisko
nazywamy samoindukcją.
Indukcyjność sprzężona cewki:
NŚB = LI.
EL
Z prawa Faraday a:
=-d NŚB /dt
( )
EL = -LdI / dt.
EL SEM samoindukcji
Jeżeli w dowolnej cewce,
solenoidzie, toroidzie zmienia się
w czasie natężenie prądu
to pojawia się SEM samoindukcji.
Zwrot SEM określa reguła Lenza:
SEM indukcji przeciwdziała zmianie
natężenia prądu I
a) Natężenie prądu rośnie.
W cewce indukowana jest
SEM samoindukcji EL
o kierunku takim, że
indukowany prąd
przeciwstawia się wzrastaniu I.
b) Natężenie prądu maleje.
W cewce indukowana jest
SEM samoindukcji EL
o kierunku takim, że
indukowany prąd
przeciwstawia się spadkowi I.
Różnica potencjału wynikająca
z samoindukcji
Nie można potencjału elektrycznego dla
indukowanego przez zmienny strumień magnetyczny
pola elektrycznego i SEM.
W przypadku SEM samoindukcji wewnątrz cewki nie
można określić potencjału elektrycznego. W punktach
obwodu po za cewką  tam, gdzie istnieją pola
wytworzone przez ładunki elektryczne  można ten
potencjał określić.
Różnica potencjału z obydwu stron cewki
wynikająca z samoindukcji
Cewka idealna (bez oporu): UL=E
Cewka nieidealna: obwód zastępczy zawiera SEM
samoindukcji i opornik o oporze r. Różnica
potencjałów końców cewki `" SEM indukcji.
Obwody RL
Równanie różniczkowe dla obwodu RL
W obwodzie zawierającym cewkę zmiana natężenia
prądu powoduje pojawienie się SEM samoindukcji. Tę
SEM należy uwzględnić stosując do obwodu 2. prawo
Kirchhoffa.
" Na oporze R spadek: - IR,
" W cewce indukowana SEM:
-LdI/dt.
" SEM z
ródła +E�
-IR-LdI/dt+E=0.
Rozwiązanie równania
różniczkowego dla obwodu RL
I(t)= E/R(1-e-Rt/L)
= E/R(1-e-t/(L/R)=
/
=E/R(1- )
Indukcyjna stała czasowa:
�L=L/R
Własności rozwiązania
Warunek początkowy: I(t=0)=0
Aby pojawiła się SEM samoindukcji natężenie prądu
musi narastać. W momencie t=0 zamykamy obwód
kluczem.
Asymptotyka (t")
!
lim = .

Z upływem czasu natężenie prądu maleje SEM
indukcji maleje i wkład do I pochodzi od SEM
z
ródła  natężenie prądu ustalonego.
Wykres I=I(t) (prąd narasta)
Natężenie prądu I jest funkcją czasu t. Zmienną
niezależną. Jej wartości nanosimy na osi horyzontalnej
(x). Wartości I(t) nanosimy na osi wertykalnej (y).
!/
I [A]
Wykres I=I(t) (prąd maleje)
rozłączamy obwód (E=0)
/
-IR+LdI/dt=0.
/
ł
Warunek początkowy: Irozł(t=0)=E/R
lim ł =0
Asymptotyka:

I [A]
Energia zmagazynowana
w polu magnetycznym
I |
2
2 2
Sens wyrazów równania
2 2
!
moc z
ródła
! = =
I2R  szybkość przekształcania energii elektrycznej
w ciepło.
2
 szybkość gromadzenia energii pola
magnetycznego.
Energia pola magnetycznego
zgromadzona w elemencie obwodu
o indukcyjności L
/2 .
Energia pola elektrycznego zgromadzonego
w kondensatorze
/2C.
Gęstość energii pola magnetycznego
uB (środek solenoidu)
2
2
� nI
( )
L I2 B2 B
0
u = = = = .
B
l 2S 2� 2� 2�
0 0 0
2
�0 n S
Gęstość energii pola elektrycznego:
2
E
u = .
B
2�0
Przez pętlę # 1 płynie prąd zmienny
Jeżeli w cewce # 1
zmienia się
natężenie prądu, to
w cewce # 2
powstaje
indukowany prąd.
Przez pętlę # 2 płynie prąd zmienny
Jeżeli w cewce # 2
zmienia się
natężenie prądu, to
w cewce # 1
powstaje prąd
indukowany.
Indukcyjność wzajemna
Cewka # 1, w której płynie prąd o natężeniu I1
wytwarza strumień pola magnetycznego Ś12.
Indukcyjność wzajemna cewki # 2 o N2 zwojach
względem cewki # 1:
M = N Ś / I1 .
12 2 21
M I1 = N Ś .
12 2 21
Jeżeli I1 zmienia się w czasie, to:
M dI1 t / dt = N dŚ t / dt .
( ) ( )
12 2 21
Związek z SEM indukcji
M dI1 t / dt = N dŚ 21 t / d t .
( ) ( )
12 2
-E2
E2 = - M dI1 t / dt .
( )
12
Dla samoindukcji
EL = -LdI / dt.
Przez cewkę # 2 płynie prąd zmienny
E1 = -M dI2 t / dt .
( )
21
Ze względu na symetrię obu sytuacji
M12=M21=M.
E2 = -M dI1 t / dt ,
( )
E1 = -M dI2 t / dt .
( )
Jednostką M w SI jest henr.