KATEDRA BUDOWNICTWA I GEODEZJI
ZAKŁAD BUDOWNICTWA WIEJSKIEGO

Materiały budowlane

Projektowanie betonów zwykłych metodą trzech równań

Łukasz Gradowski

I Równanie wytrzymałości.

Wyznaczenie średniej wytrzymałość betonu na ściskanie:
f

cm

= 1,3*R

G

b

= 1,3*20 = 26 Mpa

Na podstawie obliczeń określono, że współczynnik cementowo-wodny wynosi:

1)

80

,

1

5

,

0

20

26

)

(

1

=

+

=

=>

+

=

=>

±

=

w

c

a

A

f

w

c

a

w

c

A

f

cm

mc

gdzie: A

1

– współczynnik zależny od rodzaju kruszywa i klasy cementu A

∈

(20,22)

(przyjmujemy A

1

=20)

a = -0,5

Zawiera się on w następującym przedziale:

1,2 < c/w ≤ 2,5

2)

35

,

1

5

,

0

14

26

)

(

1

=

−

=

=>

−

=

=>

±

=

w

c

a

A

f

w

c

a

w

c

A

f

cm

mc

gdzie: A

2

– współczynnik zależny od rodzaju kruszywa i klasy cementu A

2

=14 a=0,5 Nie

zawiera się on w następującym przedziale:
2,5 < c/w ≤ 2,8

Ostatecznie współczynnik cementowo- wodny wynosi: c/w=

1,80 (ω)

II Równanie szczelności

W

C

K

c

k

+

+

=

∑

ρ

ρ

1000

C – masa cementu w 1m

3

betonu

c

ρ

=3,1 kg/m

3

– gęstość cementu

k

ρ

=2,65 kg/m

3

– gęstość kruszywa

K – masa kruszywa danej frakcji

III Równanie konsystencji.

W=C ·w

c

+K·w

k

w

c

– wskaźnik wodorządności cementu zależny od jego klasy i konsystencji projektowanej

mieszanki
w

k

– wskaźnik wodorządności kruszywa wyznaczony metodą krzywych granicznych

IV Metoda krzywych granicznych:

Kolejny etap pracy polega na wyznaczeniu krzywych pełnego uziarnienia kruszywa

do betonu (dolna, górna, środkowa) i obliczeniu dla każdej z nich wskaźników wodożądności
w

k

.

Zawartość procentowa frakcji

Wodorządnośc frakcji

Frakcja

Krzywa

górna

Krzywa

ś

rodkowa

Krzywa

dolna

Wskaźnik

w

f

Wg

Ws

Wd

0,00-0,125

4

3

2

0,265

1,06

0,795

0,53

0,125-0,25

5

3

1

0,128

0,64

0,384

0,128

0,25-0,5

9

8

7

0,088

0,792

0,704

0,616

0,5-1

16

13

11

0,063

1,008

0,819

0,693

1-2

14

8

7

0,046

0,644

0,368

0,322

2-4

11

9

5

0,035

0,385

0,315

0,175

4-8

20

23

27

0,027

0,54

0,621

0,729

8-16

21

33

40

0,022

0,462

0,726

0,88

Suma

100

100

100

Σ

5,531

4,732

4,073

Σ

/1000

0,005531 0,004732 0,004073

Rys. Krzywe uziarnienia kruszywa

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

[mm]

[%]

Krzywa graniczna Górna

Krzywa Graniczna Dolna

Wg

Ws

Wd

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

[mm]

[%]

Krzywa graniczna górna

Krzywa graniczna dolna

Wg

Ws

Wd

1) Ilość cementu:

c

k

k

c

w

w

C

ρ

ρ

ω

ω

1

1

1

1000

+













⋅

⋅

+

=

c

ρ

=3,1 kg/m

3

k

ρ

=2,65 kg/m

3

ω =

1,8

w

c

– wskaźnik wodorządności cementu zależny od jego klasy i konsystencji projektowanej

mieszanki
w

k

– wskaźnik wodorządności kruszywa wyznaczony metodą krzywych granicznych

Ilość cementu C [kg/m

3

]

Dla krzywej górnej

Dla krzywej

ś

rodkowej

Dla krzywej dolnej

353,81

323,16

283,79

2) Ilość kruszywa

(

)

ω

ω

⋅

⋅

−

⋅

=

k

c

w

w

C

K

1

C – ilość cementu

Ilość kruszywa K [kg/m

3

]

Dla krzywej górnej

Dla krzywej

ś

rodkowej

Dla krzywej dolnej

1826,66

1897,99

1989,61

W

C

K

w

w

W

w

w

K

w

c

c

k

k

c

c

k

ω

ω

ρ

ρ

ω

ω

ω

=

−

=

+













+

−

=

=

1

1

1

1

1000

3) Ilość wody

ω

C

W

=

Ilość wody W [l/m

3

]

Dla krzywej górnej

Dla krzywej

ś

rodkowej

Dla krzywej dolnej

196,56

179,53

157,66

4) Warunek ilości zaprawy

max

z

k

p

c

z

V

W

K

C

V

≤

+

+

=

ρ

ρ

c

ρ

=3,1 kg/m

3

k

ρ

=2,65 kg/m

3

V

zmax

= 500 – 550 dm

3

/m

3

Ilość zaprawy Vz [dm

3

/m

3

]

Dla krzywej górnej

Dla krzywej

ś

rodkowej

Dla krzywej dolnej

641,56

563,10

459,43

To pozwoliło rozpocząć obliczenia ilościowe cementu, wody i kruszywa według metody
Bukowskiego i Kluza - Eymana.

Metoda Bukowskiego:

Metoda Kluza - Eymana:

gdzie:

8

,

1

/

=

=

w

c

ω

























+

−

⋅

=

=













+

=













−













+

−

+

=

5

,

0

1

1

1000

1000

5

,

0

1000

1

5

,

0

1

1

1

1

1

A

f

w

w

B

K

B

W

A

f

B

C

w

w

A

f

w

B

cm

c

k

cm

c

k

k

c

cm

k

k

ρ

ρ

ρ

3

/

10

,

3

dm

kg

c

=

ρ

- gęstość cementu

3

/

65

,

2

dm

kg

k

=

ρ

- gęstość kruszywa

Metoda Kluza- Eymana

Metoda Bukowskiego

Rodzaj

krzywej

wk

[dm3/kg]

B

Ilość

kruszywa

K [kg]

Ilość

wody W

[dm3]

Ilość

cementu

C [kg]

Ilość

kruszywa

K [kg]

Ilość

wody

W [dm3]

Ilość

cementu

C [kg]

Kg

0,055

5,09

1826,66

196,56

353,81

1826,66

196,56

353,81

Ks

0,049

5,57

1897,99

179,53

323,16

1897,99

179,53

323,16

Kd

0,041

6,34

1989,61

157,66

283,79

1989,61

157,66

283,79

Weryfikacja warunków ostatecznych:

•

Minimalna dopuszczalna zawartość cementu w mieszance betonowej dla klasy ekspozycji
X0, dla betonu niezbrojonego wynosi: 190 kg/m

3

•

Objętość zaprawy:

•

Objętość ziarn poniżej 0,125 wraz z cementem:

k

c

K

C

V

ρ

ρ

125

,

0

125

,

0

<

<

+

=

Metoda Kluza-Eymana

Metoda Bukowskiego

Rodzaj

krzywej

Ilość

piasku

Kp [kg]

Ilość

zaprawy Vz

[dm3]

Ilość

frakcji

K<0,125

[kg]

Objętość

frakcji

V<0,125

[m3]

Ilość

piasku

Kp [kg]

Ilość

zaprawy Vz

[dm3]

Ilość frakcji

K<0,125

[kg]

Objętość

frakcji

V<0,125

[m3]

Kg

876,80

641,56

73,07

141,70

876,80

641,56

73,07

141,70

Ks

740,21

563,10

56,94

125,73

740,21

563,10

56,94

125,73

Kd

557,09

459,43

39,79

106,56

557,09

459,43

39,79

106,56

Zalecaną ilość zaprawy: 500-550 dm

3

/m

3

oraz

•

najmniejszą objętość absolutną ziaren poniżej 0,125 mm wraz z cementem: 95 dm

3

/m

3

.

Powyższe warunki spełnia krzywa Kg

•

Sprawdzenie warunku szczelności

1000

=

+

+

W

K

C

k

c

ρ

ρ

1) dla metody Kluza- Eymana

1000

196,56

65

,

2

1826,66

10

,

3

353,81

=

+

+

warunek spełniony

2) dla metody Bukowskiego

1000

196,56

65

,

2

1826,66

10

,

3

353,81

=

+

+

warunek spełniony

Wszystkie warunki zostały spełnione

W

C

K

V

c

k

p

z

+

+

=

ρ

ρ

VII Dobieranie kruszywa metodą punktu piaskowego.

Metoda ta polega na określeniu procentowej zawartości poszczególnych frakcji w mieszance
betonu.
Punkt piaskowy jest to wartość wskazująca jakim procentem stosu okruchowego jest frakcja
piaskowa. Zależy ona od wskaźnika cementowo-wodnego (ω), ilości zaprawy w 1m

3

betonu

oraz konsystencji masy betonowej.
Celem jest zmieszanie frakcji piaskowej i żwirowej w takich proporcjach, aby procentowy
udział frakcji piasku był równy zalecanej wielkości punktu piaskowego. Aby go uzyskać
wstępnie dobrano dwie krzywe uziarnienia.

Następnie obliczono wartość parametru:

ś

P

P

P

P

P

X

−

−

=

, gdzie:

- P

P

– punkt piaskowy kruszywa drobnego (suma do 2mm z krzywej piaskowej);

%

97

=

P

P

- P

ś

– punkt piaskowy kruszywa grubego (suma do 2mm z krzywej żwirowej);

%

5

=

ś

P

- P – punkt piaskowy dobrany z Tabeli 5;

%

43

=

P

421

,

1

0

,

5

43

43

97

=

−

−

=

X

Procentowa

zawartość

Obliczanie składu

mieszanki kruszywa

Frakcje

piasek Kp

ż

wir Kż

Kż*x

Kż*x+Kp

Zawartość

procentowa

w kruszywie

Wskaźnik

wodny

Wodożądność

kruszywa

0- 0,125

9

-

-

9,00

3,87

0,24

0,929

0,125- 0,25

8

-

-

8,00

3,44

0,106

0,365

0,25- 0,5

20

-

-

20,00

8,6

0,072

0,619

0,5- 1

20

-

-

20,00

8,6

0,052

0,447

1- 2

43

-

-

43,00

18,49

0,038

0,703

2- 4

-

20

26,51

26,51

11,4

0,029

0,331

4- 8

-

45

59,65

59,65

25,65

0,023

0,590

8- 16

-

35

46,40

46,40

19,95

0,018

0,359

100

100

232,56

100

Wk=

0,043

Metoda Kluza- Eymana

Metoda Bukowskiego

Wk

[dm3/kg]

B

Ilośc

kruszywa

K [kg]

Ilośc wody

W [dm3]

Ilośc

cementu

C [kg]

Ilośc

kruszywa

K [kg]

Ilośc wody

W [dm3]

Ilosc

cementu

C [kg]

0,043

7,048

2100,714

141,890

202,701

2100,706

141,892

202,706

Metoda Kluza-Eymana

Metoda Bukowskiego

Ilośc

piasku

Kp [kg]

Ilośc zaprawy

Vz [dm3]

Ilośc frakcji

K<0,125

[kg]

Objętośc

frakcji

V<0,125 [m3]

Ilośc

piasku

Kp [kg]

Ilośc zaprawy

Vz [dm3]

Ilośc frakcji

K<0,125 [kg]

Objętośc

frakcji

V<0,125 [m3]

903,307

548,148

81,298

96,066

903,307

548,151

81,298

96,067

•

Sprawdzenie warunku szczelności

1000

=

+

+

W

K

C

k

c

ρ

ρ

1000

141,890

65

,

2

2100,714

10

,

3

202,701

=

+

+

warunek spełniony

Powyższa krzywa spełnia warunki określone w normie ( Tab. 1 „Zalecane ilości zaprawy w
mieszance betonowej”) :

•

zalecaną ilość zaprawy: 500-550 dm

3

/m

3

oraz

•

najmniejszą objętość absolutną ziaren poniżej 0,125 mm wraz z cementem: 95 dm

3

/m

3

.

Wszystkie warunki zostały spełnione (różnica mniejsza od 1)

VIII Wyznaczenie zarobu roboczego.

Vu = Vz*α

Vz = 95 dm

3

ρ

nc

= 1,1 kg/dm

3

ρ

np

= 1,8 kg/dm

3

ρ

nż

= 1,6 kg/dm

3

697

,

0

8

,

1

903,307

6

,

1

1197,407

1

,

1

202,701

1000

1000

=

+

+

=

+

+

=

np

nż

nc

P

ś

C

ρ

ρ

ρ

α

2245

,

66

697

,

0

95

=

⋅

=

⋅

=

α

z

u

V

V

dm

3

119

,

139

2245

,

66

1000

714

,

2100

1000

3966

,

9

2245

,

66

1000

890

,

141

1000

4238

,

13

2245

,

66

1000

701

,

202

1000

=

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

=

⋅

=

u

e

rzeczywist

u

e

rzeczywist

u

e

rzeczywist

V

K

K

V

W

W

V

C

C

Uziarnienie kruszywa do zarobu roboczego:

Frakcje

Zawartość

procentowa

[%]

Zawartość

obj. [kg]

0 - 0,125

3,9

5,384

0,125 - 0,25

3,4

4,786

0,25 - 0,5

8,6

11,964

0,5 - 1,0

8,6

11,964

1 – 2

18,5

25,723

2 – 4

11,4

15,860

4 – 8

25,7

35,684

8 – 16

20,0

27,754

Σ

100,0

139,119