! "$#

Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas

%"&('*),+.-&0/"1324'*56+

798

,

:<;

8>=?8A@CBED*F<G"H

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU?S

∗

Na podstawie wartości kilku początkowych wyrazów podanych ciągów znaleźć ich wzory
ogólne:

JPV

(x

n

) = (1, 2, 6, 24, 120, . . .);

WXV

(y

n

) =



1,

1
2

, 3,

1
4

, 5,

1
6

, . . .



;

Y

V

(z

n

) = (1, 3, 7, 15, 31, 63, . . .);

LZV

(t

n

) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . .).

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU\[

Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów:

JPV

x

n

= n

n

, x

2n

;

WXV

y

n

=

1

2n

+

1

2n + 1

+

1

2n + 2

+ . . . +

1

3n

, y

n

+1

;

Y

V

z

n

= (2n + 1)!, z

n

+3

;

LCV

t

n

= n

2

+ 1

3

, t

2n−1

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU\]

Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone:

JPV

x

n

= n

4

− n

2

;

WXV

y

n

= (−1)

n

n!;

Y

V

z

n

=

n

√

2

n

+ 1;

LCV

t

n

=

(−2)

n

1 + (−2)

n

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU_^

Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca:

JPV

x

n

=

1

n

2

− 6n + 10

;

WXV

y

n

=

4

n

2

n

+ 3

n

;

Y

V

z

n

= tg

100π

2n + 1

;

LCV

t

n

=

n!

10

n

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU_`

Korzystając z definicji granicy ciągu uzasadnić podane równości:

JPV

lim

n→∞

2n + 1

n

2

= 0;

WNV

lim

n→∞

n

4

− 1

= ∞;

Y

V

lim

n→∞

2

n

− 3

n

2

n

+ 3

n

= −1;

LZV

lim

n→∞

√

n − n

= −∞.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU\a

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć podane granice:

JPV

lim

n→∞



4

p

n

4

+ 16 − n



;

WXV

lim

n→∞

n

2

+ 1
n! + 1

(2n + 1)(n + 1)!

;

Y

V

lim

n→∞

n

20

+ 2

3

(n

3

+ 1)

20

;

LCV

lim

n→∞

3

√

8

n

+1

+ 3

2

n

+ 1

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU\b

Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć podane granice:

JPV

lim

n→∞

n

√

n2

n

+ 1;

WXV

lim

n→∞

E(nπ)

n

;

Y

V

lim

n→∞

2

n

sin n

3

n

+ 1

;

LZV

lim

n→∞



1

4

√

n

4

+ 1

+

1

4

√

n

4

+ 2

+ . . . +

1

4

√

n

4

+ n



.

∗

Numeracja zadań z książki „Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania”.

1

%"&('*),+dce1Zfg!+

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU\h

Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność
podanych ciągów:

JPV

x

n

=

1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1)

2 · 4 · 6 · . . . · 2n

;

WNV

y

n

=

n

2

5

n

;

Y

V

z

n

=

1

1 · 2

1

+

1

2 · 2

2

+ . . . +

1

n · 2

n

;

LZV

t

1

= 2, t

n

+1

=

√

6 + t

n

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU\i

Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć podane
granice:

JPV

lim

n→∞



5n + 2
5n + 1



15n

;

WNV

lim

n→∞



n

2

n

2

+ 1



n

2

;

Y

V

lim

n→∞



3n + 2
5n + 2



n

·



5n + 3
3n + 1



n



;

LZV

lim

n→∞



3n

3n + 1



n

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU?Sj

Korzystając z twierdzenia o dwóch ciągach znaleźć granice:

JPV

lim

n→∞

n

√

n

n

+ 5;

WXV

lim

n→∞

(3

n

cos n − 4

n

);

Y

V

lim

n→∞

1

E

√

1

+

1

E

√

2

+. . .+

1

E (

√

n)

!

;

LCV

lim

n→∞



1
3

+

1

n



n



5−

1

n



n



.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU?SPS

Korzystając z tabelki działań z symbolem ∞ obliczyć podane granice:

JPV

lim

n→∞

n

4

− 3n

3

− 2n

2

− 1

;

WXV

lim

n→∞

1 − (n + 1)!

n! + 2

;

Y

V

lim

n→∞



√

3 − cos

π
n



n

;

LCV

lim

n→∞

arctg n

arcctg n

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU?SM[

Znaleźć zbiory punktów skupienia (właściwych i niewłaściwych) podanych ciągów:

JPV

a

n

=

(−1)

n

n

n + 1

;

WXV

b

n

= sin

2

nπ

4

;

Y

V

c

n

= [1 + (−1)

n

] · 2

n

;

LCV

d

n

=



1 +

cos nπ

n



n

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RTSNU?SM]

Znaleźć granice dolne i górne podanych ciągów:

JPV

a

n

= (−1)

n

n

2

+ 1
;

WXV

b

n

= tg

(2n + 1)π

4

;

Y

V

c

n

=

(−2)

n

+1

2

n

+ 1

;

LCV

d

n

= (1 + cos nπ) n!.

%"&('*),+k)l1m5>/onp&0+

qr

:*s

8A@CHutwv

syx

@{z{8

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU?S

Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji uzasadnić podane równości:

2

JPV

lim

x→3

(x − 2)

5

= 1;

WXV

lim

x→∞

1 − 2x

3

x

3

+ 1

= −2;

Y

V

lim

x→2

−

p4 − x

2

= 0;

LCV

lim

x→1

+

1

(x − 1)

7

= ∞.

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU\[

JPV

W ostrosłupie trójkątnym prawidłowym krawędź podstawy ma długość b, a kąt nachy-
lenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę x, gdzie 0 < x <

π

2

. Niech r(x) oznacza

promień kuli wpisanej w ten ostrosłup. Obliczyć granice lim

x→0

+

r(x), lim

x→

π

2

−

r(x). Czy

można podać te granice nie wyznaczając funkcji r?

WNV

Cząstka pewnego układu drgającego porusza się po osi Ox. Położenie tej cząstki w
chwili t > 0 jest opisane wzorem x(t) = 5 − 4

−3t

cos(2t + 1). Znaleźć jej graniczne

położenie, gdy t −→ ∞. Co oznacza otrzymany wynik?

Y

V

Równanie ax

4

− 2x − 8 = 0 ma dla parametru a > 0 dwa pierwiastki rzeczywiste x

1

(a),

x

2

(a). Obliczyć granice lim

a→0

+

x

1

(a), lim

a→0

+

x

2

(a), lim

a→∞

x

1

(a), lim

a→∞

x

2

(a).

Wskazówka. Narysować wykresy funkcji y = ax

4

oraz y = 2x + 8. Następnie zbadać położenie punktów

wspólnych obu wykresów, gdy a → 0

+

oraz, gdy a → ∞.

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU\]

Uzasadnić, że podane granice funkcji nie istnieją:

JPV

lim

x→3

x

2

x − 3

;

WXV

lim

x→2

E x

2

;

Y

V

lim

x→∞

e

x

cos x;

LZV

lim

x→π

2

1

sin x

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU_^

Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice:

JPV

lim

x→0

[x sgn x];

WXV

lim

x→0

2

1

x

3

;

Y

V

lim

x→

π

2

E (3 sin x);

LCV

lim

x→2

x

2

− 4

|x − 2|

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU_`

Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic funkcji obliczyć podane granice:

JPV

lim

x→1

x

3

− 1

x

4

− 1

;

WNV

lim

x→∞

2

x

+ 1

3

x

+ 2

;

Y

V

lim

x→64

3

√

x − 4

√

x − 8

;

LZV

lim

x→

π

2

−

tg

2

x + 1

tg

2

x + 5

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU\a

Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnić podane równości:

JPV

lim

x→0

x

3

arctg

1

x

= 0;

WNV

lim

x→∞

E x

√

8

E x

√

2

= 2;

Y

V

lim

x→−∞

2

−x

+ sin x

2

−x

+ cos x

= 1;

LZV

lim

x→2

E(x) sin(xπ) = 0.

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU\b

Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach uzasadnić podane równości:

JPV

lim

x→∞

E x

2

+ 1

E(x)

= ∞;

WXV

lim

x→0

2 + sin

1

x

x

2

= ∞;

Y

V

lim

x→0

−



3 − cos

1

x



ctg x = −∞.

3

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU\h

Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych obliczyć podane granice:

JPV

lim

x→0

sin

2

3x

x

2

;

WXV

lim

x→−∞

ln (1 + 2

x

)

3

x

;

Y

V

lim

x→0

+

2

x

− 1

4

√

x

− 1

;

LCV

lim

x→0

[1 + tg(2x)]

ctg x

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU\i

Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji:

JPV

u(x) =

x

3

+ x

2

x

2

− 4

;

WXV

v(x) =

x − 3

√

x

2

− 9

;

Y

V

w(x) =

sin x

x − π

;

LCV

z(x) =

cos(πx)

2

x

− 8

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R[EU?Sj

Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki:

JPV

lim

x→−∞

u(x) = ∞, lim

x→0

−

u(x) = 1, u(2) = 0, lim

x→∞

u(x) = −1;

WNV

lim

x→∞

v(x) = e, lim

x→2

v(x) = 0, funkcja v jest parzysta;

Y

V

prosta y = x + 1 jest asymptotą ukośną funkcji z w −∞, prosta y = x − 1 asymptotą

ukośną w ∞, a prosta x = 0 jest jej asymptotą pionową obustronną;

Na rysunkach wskazać fragmenty wykresów spełniające poszczególne warunki.

%"&('*),+dn|5>2}+13)K+

798

,

:<;P~

=F€

‚

€

@ƒtwv

syx

@{z{8

◦

IKJMLNJPOPQ

R]EU?S

Korzystając z definicji Heinego uzasadnić ciągłość podanych funkcji na

„

:

JPV

u(x) =

x

3

x

2

+ 2

;

WXV

v(x) = sin

2

x;

Y

V

w(x) =

p|x − 5|;

LCV

z(x) = 2

−x

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R]EU\[

Określić zbiory punktów ciągłości podanych funkcji:

JPV

u(x) = x

3

− x

E(x);

WXV

v(x) =







1

dla x = 0 lub π,

π sin x

x(x − π)

dla x 6= 0 i π;

Y

V

w(x) =



















x cos

1

x

dla x < 0,

0

dla x = 0,

√

x sin

1

√

x

dla x > 0;

LZV

z(x) =







√

1 − cos 2x

x

dla x 6= 0,

2

dla x = 0;

◦

IKJMLNJPOPQ

R]EU\]

Dobrać parametry a, b ∈

„

tak, aby podane funkcje były ciągłe we wskazanych punktach:

4

JPV

u(x) =











sin x

dla |x| ­

π

2

,

ax + b dla |x| <

π

2

,

WXV

v(x) =







2

dla x ¬ 0,

a

x

+ b dla 0 < x < 1,

3

dla x ­ 1,

x

1

= −

π

2

, x

2

=

π

2

;

x

1

= −1, x

2

= 1;

Y

V

w(x) =

 x

2

+ax+b dla |x| < 2,

x

√

x

2

− 4 dla |x| ­ 2;

LCV

z(x) =











a sin x + b cos x dla |x| >

π

4

,

1 + tg x

dla |x| ¬

π

4

;

x

1

= −2, x

2

= 2;

x

1

= −

π

4

, x

2

=

π

4

;

◦

IKJMLNJPOPQ

R]EU_^

Uzasadnić ciągłość podanych funkcji na wskazanych zbiorach:

JPV

u(x) = e

x

cos x,

„

;

WXV

v(x) =

1

√

16 − x

4

, (−2, 2);

Y

V

w(x) = arctg

√

x, [0, ∞);

LCV

z(x) =

√

sin x,

[

k∈

…

[2kπ, (2k + 1)π] .

◦

IKJMLNJPOPQ

R]EU_`

Określić rodzaje nieciągłości podanych funkcji we wskazanych punktach:

JPV

u(x) =







x

2

−1

√

x−1

dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞),

3

dla x = 1,

WXV

v(x) =















e

1
x

+ 2

e

1
x

+ 1

dla x 6= 0,

e

dla x = 0,

x

0

= 1;

x

0

= 0;

Y

V

w(x) =







|x| + x

x

2

dla x 6= 0,

0

dla x = 0,

LCV

z(x) =



















(1 − x)

1
x

dla x < 0,

e

dla x = 0,

(1 + x)

1
x

dla x > 0,

x

0

= 1;

x

0

= 0;

◦

IKJMLNJPOPQ

R]EU\a

Korzystając z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu kresów przez funkcję ciągłą na
przedziale domkniętym uzasadnić, że podane zagadnienia ekstremalne mają rozwiązania:

JPV

wśród stożków wpisanych w kulę o promieniu r istnieje ten, który ma największą ob-
jętość;

WNV

wśród trójkątów prostokątnych wpisanych w koło o promieniu r istnieje ten, który ma
najwiekszy obwód;

Y

V

wśród prostokątów opisanych na danej elipsie istnieje ten, który ma najmniejsze i naj-
większe pole;

◦

IKJMLNJPOPQ

R]EU\b

Uzasadnić, że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedzia-
łach:

JPV

x

3

+ 6x − 2 = 0, (0, 1);

WXV

x sin x = 7,



2π,

5π

2



;

Y

V

3

x

+ 5

x

= 9, (1, 2);

LZV

x

2

+ ln x = 0,



1
e

, 1



.

5

◦

IKJMLNJPOPQ

R]EU\h

Korzystając z twierdzenia Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich przez funkcję cią-
głą uzasadnić następujące stwierdzenia:

JPV

na każdym szlaku turystycznym wiodącym z Karpacza (800 m nad poziomej morza)
na Śnieżkę (1602 m nad poziomem morza) jest miejsce, które wznosi się 1000 m nad
poziomem morza;

WNV

w każdym wielokącie wypukłym istnieje sieczna, która jednocześnie połowi obwód i pole
tego wielokąta;

Y

V

na dowolnej figurze wypukłej na płaszczyźnie można opisać kwadrat;

%"&('*),+.-&

,

+o)K+

†

F‡@<ˆ‰FlŠ

s

H‹tŒv

sx

@Žz{8

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?S

Korzystając z definicji zbadać, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych
punktach:

JPV

u(x) = 2x − |x|, x

0

= 0;

WXV

v(x) = |x| sin x, x

0

= 0;

Y

V

w(x) =

(

x

2

dla x ¬ 2,

2

x

dla x > 2,

LCV

z(x) =











sin x dla x ¬

π

2

,

1

dla x >

π

2

,

x

0

= 2;

x

0

=

π

2

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U\[

Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji:

JPV

u(x) =

1

x + 1

, gdzie x 6= −1;

WNV

v(x) =

√

x, gdzie x > 0;

Y

V

w(x) = tg x, gdzie x 6=

π

2

+ kπ dla k ∈



;

LZV

z(x) = sh x, gdzie x ∈

„

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U\]

Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach:

JPV

f (x) = arcsin

x

2

, (1, f (1));

WNV

f (x) = ln x

2

+ e
, (0, f(0));

Y

V

f (x) = e

tg x

,



π

4

, f



π

4



;

LCV

f (x) =

√

2

x

+ 1, (3, f(3)) .

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U_^

Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy podanych funkcji:

i) f(x) = x

2

, g(x) =

3

√

x, x > 0;

ii) f(x) = 4 − x, g(x) = 4 −

x

2

2

, x > 0;

iii) f(x) =

1

x

, g(x) =

√

x, x > 0;

iv) f(x) = tg x, g(x) = ctg x, 0 < x <

π

2

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U_`

Na wykresie funkcji y = e

x

znaleźć punkt, który jest położony najbliżej prostej y = ex −4;

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U\a

JPV

Wskazówka minutowa zegara na ratuszu ma długość 3 m, a godzinowa 2 m. Obliczyć
prędkość, z jaką oddalają się od siebie końce wskazówek zegara o godzinie 6:00;

6

WNV

Basen ma kształt odwróconego ostrosłupa ściętego prawidłowego. Dno basenu jest kwa-
dratem o boku 4 m, a jego górna powierzchnia kwadratem o boku 16 m. Głębokość
basenu wynosi 2 m. Do basenu wlewa się woda z prędkością 1 m

3

/min. Z jaką prędko-

ścią będzie się podnosił poziom wody w basenie w chwili, gdy będzie on napełniony do
połowy głębokości?

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U\b

Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we
wskazanych punktach:

JPV

u(x) =




x

2

− x




, x

0

= 1;

WXV

v(x) = sgn (x) · sin x, x

0

= 0;

Y

V

w(x) =




ctg

3

x




, x

0

=

π

2

;

LZV

z(x) =







tg x dla −

π

2

< x ¬ 0,

sin x dla 0 < x <

π

2

,

x

0

= 1.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U\h

Znaleźć parametry a, b, c, dla których podane funkcje mają pochodne na

„

:

JPV

v(x) =

 ae

x

+be

−x

dla x < 0,

ch 2x

dla 0 ­ 0;

WXV

u(x) =

 x+1

dla x ¬ 0,

a sin x+b cos x dla x > 0.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U\i

Zbadać, czy podane funkcje mają pochodne niewłaściwe w punkcie x

0

= 0:

JPV

u(x) = 3 −

5

√

x;

WXV

v(x) = tg

3

√

x;

Y

V

w(x) =

p| sin x|.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?Sj

Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji:

JPV

y =



x

3

+

1

x

2



e

x

;

WNV

y =

sin x

x

4

+ 4

;

Y

V

y =

3

parcsin (x

2

);

LZV

y = x

tg x

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?SPS

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć:

JPV

f

−1

0

(y) dla:

i) f(x) = 3

−x

, gdzie x ∈

„

;

ii) f(x) = cos x, gdzie 0 < x < π;

iii) f(x) = th x, gdzie x ∈

„

; iv) f(x) = ln x, gdzie x > 0;

WNV

i) f

−1

0

(e + 1), gdzie f(x) = x + ln x;

ii) g

−1

0

(1), gdzie g(x) = cos x − 3x;

iii) h

−1

0

(3), gdzie h(x) =

3

√

x +

5

√

x +

7

√

x;

iv) k

−1

0

(4), gdzie k(x) = x

3

+ 3

x

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?SM[

Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe, obliczyć pochodne funkcji:

JPV

y = f (x) cos g(x);

WXV

y = e

f

(x)

g

(x)

;

Y

V

y = arctg [f (x)g(x)];

LZV

y = ln



f (x)

g

(x)

+ 1



.

7

%"&('*),+‘'*5’

“

'K)K+

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?SM]

Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:

JPV

3

√

7.999;

WNV

e

0.04

;

Y

V

ln

2001
2000

;

LCV

arccos 0.499.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?S^

JPV

Fragment terenu ma kształt trójkąta równoramiennego o boku b = 200 m. Kąt przy
wierzchołku tego trójkata, zmierzony z dokładnością 0.01 rad wynosi

π

3

. Z jaką w przy-

bliżeniu dokładnością można obliczyć pole tego terenu?

WNV

Objętość kulki metalowej, wyznaczona z dokładnością 1 cm

3

, wynosi 36π cm

3

. Z jaką w

przybliżeniu dokładnością można obliczyć średnicę tej kuli?

Y

V

Do sztolni puszczono swobodnie kamień i zmierzono czas jego spadania z dokładnością
0.1 s. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można wyznaczyć głębokość sztolni, jeżeli
czas spadania kamienia wyniósł 4.1 s? Przyjąć g = 9.8 m/s

2

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?S`

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej oraz z różniczki funkcji znaleźć
przybliżone rozwiązania podanych równań:

JPV

x

2003

+ 2003x = 2005;

WNV

3

x

−

1

2

x

= 8.70;

Y

V

sin x + arctg x = 0.008;

LCV

x + ln x = 3.71.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?SMa

Obliczyć f

0

, f

00

, f

000

podanych funkcji:

JPV

f (x) = x

3

−

2

x

;

WNV

f (x) = x sin x;

Y

V

f (x) =

e

x

x

;

LZV

f (x) = arctg x.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?SMb

Zbadać, czy istnieje f

(n)

(x

0

) dla podanych funkcji i punktów:

JPV

f (x) = x

3

|x|, x

0

= 0, n = 3;

WXV

f (x) =



(e

x

− 1)

2

dla x ¬ 0,

x

2

dla x ­ 0,

x

0

= 0, n = 2;

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?SMh

Funkcja f ma pochodne do drugiego rzędu włącznie. Obliczyć y

0

, y

00

dla podanych funkcji:

JPV

y = e

f

(x)

;

WNV

y = f (tg x);

Y

V

y = xf (3x);

LZV

y = f f x

2

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U?SMi

Znaleźć wzory ogólne na pochodną n−tego rzędu podanych funkcji:

JPV

u(x) =

1

√

x

;

WXV

v(x) = sin

2

x;

Y

V

w(x) = xe

x

;

LCV

z(x) = ln(1 + 2x).

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U\[mj

Punkt materialny porusza się po krzywej y = 2

x

w ten sposób, że jego rzut na oś Ox ma

stałą prędkość v

x

= 3. Z jaką prędkością (w kierunku osi Oy) porusza sie ten punkt w

chwili, gdy jest na wysokości 4?

8

◦

IKJMLNJPOPQ

R"^U\[CS

JPV

Złożona drabina strażacka ma długość 10 m i jest pozioma. Przy rozkładaniu drabiny
podnosi się ona z prędkością kątową ω =

π

12

rad/min i jednocześnie wysuwa z prędkością

w = 5 m/min. Z jaką prędkością będzie się poruszał strażak w koszu na końcu drabiny
po 3 minutach wznoszenia?

WNV

Położenie cząstki w chwili t opisuje wektor wodzący

~

r

= e

t

cos t, e

t

sin t, e

t

. Znaleźć

przyspieszenie cząstki w chwili, gdy wektor prędkości miał długość

√

3.

%"&('*),+‘'‡&*’

“

ce”•+

–

G8?H,r—Š*BXH

s

8

:

F˜tŒv

sx

@Žz

:

@ˆ™B›šKFl@<ˆ‰FlŠ

s‰œž

8

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U?S

Sprawdzić, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [−1, 1].

Narysować wykresy tych funkcji.

JPV

u(x) =



cos

πx

2



;

WXV

v(x) = 1 − |x|;

Y

V

w(x) = arcsin |x|;

LZV

z(x) =

(

x

3

sin

π
x

dla x 6= 0,

0

dla x = 0;

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U\[

Zastosować twierdzenie Lagrange’a do podanych funkcji na wskazanych przedziałach. Wy-
znaczyć odpowiednie punkty:

JPV

u(x) = e

x

, [0, 2];

WNV

v(x) = x

3

+ x, [−1, 1] .

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U\]

Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:

JPV

| arctg a − arctg b| ¬ |a − b| dla a, b ∈

„

;

WXV

ln

a

b

¬ b − a dla 1 ¬ a ¬ b.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U_^

Znaleźć przedziały monotoniczności podanych funkcji:

JPV

u(x) =

x

4

4 −

x

3

3 −

x

2

;

WNV

v(x) = e

x

(x + 1);

Y

V

w(x) = x − 3

3

√

x;

LZV

z(x) = x ln

2

x.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U_`

Narysować wykresy funkcji f :

„

−→

„

, które spełniają wszystkie podane warunki:

JPV

f

0

(x) > 0 dla x ∈ (−∞, 1) ∪ (4, ∞), f

0

(x) < 0 dla x ∈ (1, 4) ale f

0

(1), f

0

(4) nie istnieją;

WNV

f

0

(x) > 0 dla każdego x < 1, f

0

(x) < 0 dla każdego x > 1, f

0

−

(1) = 1, f

0

+

(1) = −

1
2

,

f (1) = 2;

Na rysunkach zaznaczyć fragmenty wykresów, które spełniają poszczególne warunki.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U\a

Uzasadnić podane tożsamości:

JPV

arctg x + arcctg x =

π

2

dla x ∈

„

;

WNV

arcsin

2x

1 + x

2

= 2 arctg x dla x ∈ (−1, 1).

9

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U\b

Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć podane granice:

JPV

lim

x→∞

ln (2

x

+ 1)

x

;

WXV

lim

x→1

ln sin

π

2

x

ln x

;

Y

V

lim

x→0

(cos x)

1
x

;

LCV

lim

x→∞

x arcctg x.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U\h

Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de L’Hospitala?

JPV

lim

x→0

x

3

sin

1
x

sin

2

x

;

WXV

lim

x→−∞

x + cos 3x
x − cos 2x

.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U\i

Napisać wzory Taylora z resztą Lagrange’a dla podanych funkcji f, punktów x

0

oraz n :

JPV

f (x) = x

3

, x

0

= −1, n = 4;

WNV

f (x) =

1

x

2

, x

0

= 1, n = 2;

Y

V

f (x) = sin 2x, x

0

= π, n = 3;

LZV

f (x) = e

−x

, x

0

= 0, n = 5.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U?Sj

Napisać wzór Maclaurina dla podanych funkcji ze wskazaną resztą:

JPV

f (x) = sin

x

3

, R

n

;

WXV

f (x) = ch x, R

n

.

%"&('*),+

’

“

'Ÿ”•+

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U?SPS

Oszacować dokładności podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach:

JPV

ch x ≈ 1 +

x

2

2

, |x| ¬ 0.1;

WNV

tg x ≈ x, |x| ¬

π

12

;

Y

V

ln(1 − x) ≈ −x −

x

2

2 −

x

3

3

, |x| < 0.1;

LZV

1

√

4 + x

≈

1
2 −

x

16

, 0 < x < 0.1.

◦

IKJMLNJPOPQ

R"`U?SM[

Stosując wzór Maclaurina obliczyć:

JPV

sin 0.1 z dokładnością 10

−5

;

WNV

1
e

z dokładnością 10

−3

.

 

:

Š

:Ks

8?H›tŒv

syx

@{zŽ8

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU?S

Korzystając z definicji uzasadnić, że podane funkcje mają ekstrema lokalne we wskazanych
punktach:

JPV

u(x) =

 |x| dla x 6= 0,

1

dla x = 0,

x

0

= 0;

WXV

v(x) = ch x, x

0

= 0;

Y

V

w(x) = |x − 1| + |x + 1|, x

0

= 1;

LCV

z(x) = |sin x|, x

0

= π.

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU\[

Znaleźć wszystkie ekstrema lokalne podanych funkcji:

JPV

u(x) =

2x

2

− 1

x

4

;

WXV

v(x) = x ln x;

Y

V

w(x) = x −

√

x;

LCV

z(x) =




x

2

− 5x − 6




.

10

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU\]

Znaleźć wartości najmniejsze i największe podanych funkcji na wskazanych przedziałach:

JPV

u(x) = 2x

3

− 15x

2

+ 36x, [1, 5];

WNV

v(x) = arctg

1 − x
1 + x

, [0, 1];

Y

V

w(x) =

(

2x

2

+

2

x

2

dla x 6= 0,

1

dla x = 0,

, [−2, 2];

LCV

z(x) = 1 −




9 − x

2




, [−5, 1] .

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU_^

Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji:

JPV

u(x) = xe

−x

;

WNV

v(x) = ln 1 + x

2

;

Y

V

w(x) = x −

2
3

x

3

− 4 ln |x|;

LCV

z(x) = sin x +

1
8

sin 2x.

%"&('*),+dc!5¡&(/92¢&

,

+o)K+

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU_`

Zbadać przebieg zmienności podanych funkcji i następnie sporządzić ich wykresy:

JPV

u(x) = x ln x;

WXV

v(x) =

√

x

x − 1

;

Y

V

w(x) = arcsin

1 − x

2

1 + x

2

;

LCV

z(x) = e

2−x

2

x

2

−1

;

RmV

r(x) = 3 −

4
x

−

4

x

2

;

£wV

s(x) = x2

1
x

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU\a

Platforma wiertnicza jest zakotwiczona na morzu 10 km od brzegu. Ropa z tej platformy
będzie dostarczana rurociągiem do rafinerii położonej nad brzegiem morza, 16 km od
punktu najbliższego platformie. Koszt ułożenia 1 km rurociągu na dnie morza wynosi 200
000 euro, a na lądzie – 100 000 euro. Do którego miejsca na brzegu należy doprowadzić
rurociąg, aby koszt jego budowy był najmniejszy?

¤

¤

Platforma

wiertnicza

¤

¤

¥

¦

¥

¦

§

¨

x

16

km

10

km

Rafineria

©

©

©

©

©

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU\b

Kropla deszczu spada pod wpływem siły ciężkości (pomijamy opór powietrza). W czasie
spadku kropla paruje w ten sposób, że jej masa zmniejsza się proporcjonalnie do upływu
czasu. Wiadomo, że po 5 sekundach wyparowała połowa jej masy. Po ilu sekundach energia
kinetyczna kropli będzie największa?

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU\h

Jaka powinna być miara kąta α przy wierzchołku trójkata równoramiennego o danym polu,
aby promień koła r wpisanego w ten trójkąt był największy?

11

ª

ª

ª

ª

ª

ª

ª

ª

ª

ª«

«

«

«

«

«

«

«

«

«

¬

­

α

¨

r

®

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU\i

Prostopadłościenny kontener ma mieć pojemność 22.50 m

3

i kwadratową podstawę. Koszt

1 m

2

blachy potrzebnej do wykonania jego dna i pokrywy wynosi 20 zł, a ścian bocznych

– 30 zł. Jakie powinny być wymiary kontenera, aby koszt jego budowy był najmniejszy?

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU?Sj

Jakie powinny być wymiary prostokątnego pola o powierzchni S, którego jednym natural-
nym bokiem jest brzeg rzeki, aby na jego ogrodzenie zużyć jak najmniej siatki?

a

b

rzeka

S

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU?SPS

Odcinek o długości l podzielić na dwie części tak, aby suma pól kwadratów zbudowanych
na tych częściach była najmniejsza.

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU?SM[

JPV

W parabolę o równaniu y = 16 − x

2

wpisano prostokąt, w sposób przedstawiony na

rysunku. Znaleźć wymiary prostokąta, który ma największe pole.

¥

§

y

x

x

y

O

y

=16−x

2

¥

§

y

x

O

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

®

®

®

B

C

A

y

=x+2

y

=x

2

°

°

°

°

±

±

±

±

²

²

²

²

²

²

WNV

Na paraboli y = x

2

wyznaczyć punkt A tak, aby pole trójkata, którego wierzchołkami

są punkt A oraz punkty B, C przecięcia paraboli z prostą y = x + 2, było największe.

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU?SM]

Wytrzymałość deski o ustalonej długości jest wprost proporcjonalna do jej szerokości oraz
kwadratu grubości. Jakie wymiary powinna mieć deska wycięta z okrągłego pniaka o pro-
mieniu r = 9 cm, aby jej wytrzymałość była największa?

³

´

´

´

´¶µ

§

¨

¥

¦

s

h

r

12

◦

IKJMLNJPOPQ

RaEU?S^

Drogi łączące miasta A i B oraz B i C torzą kąt

π

3

(zobacz rysunek). Samochód osobowy

wyruszył z miasta A do B i poruszał się prędkością v

1

= 80 km/h. Jednocześnie z miasta

B do C wyruszył samochóch ciężarowy i jechał z prędkością v

2

= 50 km/h. Po jakim czasie

samochody te będą najbliżej siebie, jeżeli odległość między miastami A i B wynosi 200
km?

·

·

·

·

·

·

·

·

¸

¸

¸

®

®

¹

¹

¹

¹

¹

¹

¨

º

A

B

C

v

1

v

2

π

3

d

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

¼

½

7

:~

=

x

8

s

8?HFKB

s‰:

@CBNF

s

H

%"&('*),+dc!5¡&(/'‡&

,

+o)K+

◦

IKJMLNJPOPQ

RbEU?S

Obliczyć podane całki nieoznaczone:

JPV

Z



3

3

√

x

2

+

1

x

3

− 2x

√

x



dx;

WXV

Z

1 − x

1 −

3

√

x

dx;

Y

V

Z

x

4

x

2

+ 1

dx;

LCV

Z

cos 2x

cos x − sin x

dx.

◦

IKJMLNJPOPQ

RbEU\[

Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki nieoznaczone:

JPV

Z

ln(x + 1) dx;

WNV

Z

cos ln x dx;

Y

V

Z

x

2

2

x

dx;

LZV

Z

√

x arctg

√

x dx;

R3V

Z

x ch x dx;

£wV

Z

(x − 1)e

x

x

2

dx.

◦

IKJMLNJPOPQ

RbEU\]

Stosując odpowiednie podstawienia obliczyć podane całki nieoznaczone:

JPV

Z

cos √x

√

x

dx;

WXV

Z

(x+1) sin x

2

+2x+2
dx;

Y

V

Z

√

1 + 4x

x

dx;

LZV

Z

cos x

√

1 + sin x

dx;

R3V

Z

dx

ch x

dx;

£wV

Z

3x + 2

3x

2

+ 4x + 7

dx.

◦

IKJMLNJPOPQ

RbEU_^

Obliczyć podane całki nieoznaczone:

JPV

Z

(|x| + 1) dx;

WXV

Z

f (x) dx, gdzie f (x) =

 x

dla x < 0,

sin x dla x ­ 0;

Y

V

Z

min x, x

2

dx;

LCV

Z

arctg |x| dx.

13

%"&('*),+¿¾/c!/À$+'K)K+

◦

IKJMLNJPOPQ

RbEU_`

Obliczyć podane całki z funkcji wymiernych:

JPV

Z

(x + 2) dx

x(x − 2)

;

WNV

Z

x

2

dx

x + 1

;

Y

V

Z

dx

(x − 1)x

2

;

LZV

Z

dx

(x

2

+ 1) (x

2

+ 4)

;

RmV

Z

(4x + 1) dx

2x

2

+ x + 1

;

£wV

Z

(3x − 1) dx

x

2

− x + 1

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RbEU\a

Obliczyć podane całki z funkcji trygonometrycznych:

JPV

Z

dx

sin x + tg x

;

WXV

Z

1 + tg x

cos x

dx;

Y

V

Z

dx

1 + 2 cos

2

x

;

LZV

Z

sin

2

x

1 + cos x

dx;

RmV

Z

dx

1 − tg x

;

£wV

Z

sin

5

x

cos

3

x

dx.

◦

IKJMLNJPOPQ

RbEU\b

Obliczyć podane całki z funkcji niewymiernych:

JPV

Z

dx

(1 + x

2

)

√

1 + x

2

;

WXV

Z

x

3

p1 + x

2

dx;

Y

V

Z

x

2

dx

√

x

2

− 1

;

LCV

Z

√

9 − x

2

x

.

%"&('*),+dc2ÁfTÀ$+'K)K+

7

:~

=

x

8>FKB

sž:

@CBXF

s

H

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU?S

Korzystając z definicji oraz z faktu, że funkcje ciągłe są całkowalne obliczyć podane całki
oznaczone:

JPV

1

Z

−2

(2x − 1) dx;

WXV

2

Z

0

|x − 1| dx.

Wskazówka. Ad.

ÂÄÃ

przedział całkowania podzielić równomiernie parzystą liczbą punktów.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU\[

Korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki:

JPV

2

Z

1



√

x +

1

√

x



dx;

WXV

1

Z

0

x − 1
x + 1

dx;

Y

V

9

Z

0

dx

x

2

+ 9

dx;

LZV

1
2

Z

−

1
2

dx

x

2

− 1

dx;

R3V

e

Z

1
e

ln x dx;

£wV

π

Z

0

sin

2

x cos x dx.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU\]

Korzystając z definicji całki oznaczonej uzasadnić podane równości:

JPV

lim

n

→

∞



1

n

√

n

√

1 + n +

√

2 + n + . . . +

√

n + n



=

2
3



2

√

2 − 1



;

WNV

lim

n

→

∞



n



1

n

2

+ n + 1

2

+

1

n

2

+ 2n + 2

2

+ . . . +

1

n

2

+ n

2

+ n

2



=

π

3

√

3

;

14

Y

V

lim

n

→

∞

 π

4n



tg

π

4n

+ tg

2π
4n

+ . . . + tg

nπ

4n



= ln

√

2;

LZV

lim

n

→

∞



1

n

ln

(1 + n)(2 + n) · . . . · (n + n)

n

n



= ln 4 − 1.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU_^

Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień:

JPV

6

Z

1

dx

1 +

√

3x − 2

, 3x − 2 = t

2

;

WXV

3

Z

1

x dx

√

x + 1

, 1 + x = t;

Y

V

e

Z

1

ln x, ln x = t;

LZV

1
4

Z

0

dx

√

x(1 − x)

, x = t

2

;

RmV

1

Z

1
3

3

√

x − x

3

x

4

, x =

1

t

;

£wV

1
2

Z

0

r

1 + x
1 − x

, dx, x = cos t.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU_`

Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone:

JPV

1

Z

0

arcsin x dx;

WNV

e

Z

√

e

ln x

x

2

dx;

Y

V

π

Z

0

x(1 + cos x) dx;

LCV

1

Z

0

x

2

e

2x

dx.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU\a

Obliczyć podane całki oznaczone:

JPV

2

Z

1
e

(x − 1)sgn (ln x) dx;

WNV

3

Z

0

f (x) dx, gdzie f (x) =







1−x

dla 0 ¬ x ¬ 1,

1

dla 1 < x ¬ 2,

(2−x)

2

dla 2 < x ¬ 3;

Y

V

2

Z

−2

||x| − 1| dx;

LZV

4

Z

0

|x − 1| dx

|x − 2| + |x − 3|

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU\b

Oszacować podane całki:

JPV

2

Z

0

x

6

+ 5

x

6

+ 2

dx;

WNV

1

Z

0

dx

√

2 + x + x

2

dx;

Y

V

π

2

Z

0

√

sin x dx;

LCV

1

Z

0

ln 1 + x

9

dx.

%"&('*),+k)l1m5>Å$À$+'K)K+

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU\h

Obliczyć wartości średnie podanych funkcji na wskazanych przedziałach:

15

JPV

u(x) =

1

x

2

+ 4

,

h

0,

π

2

i

;

WNV

v(x) = sin

3

x, [0, π];

Y

V

w(x) = |ln x| ,



1
e

, e



;

LZV

z(x) = arctg x,

h

0,

√

3

i

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU\i

JPV

Kamień rzucono z wysokości h = 2 m pionowo do góry z szybkością początkową v

0

=

5 m/s. Obliczyć średnią szybkość kamienia w czasie ruchu (od momentu wyrzucenia do
momentu upadku na ziemię). Nie uwzględniać oporu powietrza, przyjąć g = 10 m/ s

2

;

WNV

Zapotrzebowanie na energię elektryczną w Polsce 13 kwietnia 2003 r. przedstawiono na
wykresie. Obliczyć średnie zapotrzebowanie na energię w tym dniu.

¥

§

energia

[M W ]

20

10

5

67

13151719 2224 czas [godz.]

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU?Sj

W Nowy Rok średnia temperatura we Wrocławiu była równa 4

◦

C. Przy czym od północy

do godziny 6 rano temperatura była ujemna, a w godz. od 18 do 24 nie przekraczała 2

◦

C.

Uzasadnić, że w pewnej chwili temperatura była równa 7

◦

C.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU?SPS

Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uza-
sadnić podane równości:

JPV

1

Z

−1

x

5

− 3x

3

+ x

x

4

+ 2x

2

+ 1

dx = 0;

WNV

π

Z

−π

x sin x

1 + cos x

2

dx = 2

π

Z

0

x sin x

1 + cos x

2

dx;

Y

V

1
e

Z

−

1
e

ln

1 + sin x
1 − sin x

dx = 0;

LZV

n

Z

0

(x − E(x)) dx = n

1

Z

0

(x − E(x)) dx, gdzie n ∈

Æ

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RhEU?SM[

Dla podanych funkcji f całkowalnych na przedziale [a, b], znaleźć funkcje górnej granicy
całkowania

F (x) =

x

Z

c

f (t) dt, gdzie c ∈ [a, b].

Naszkicować wykresy funkcji f i F.

JPV

f (x) = sgn x − x

2

, [a, b] = [−1, 2], c = 0;

WNV

f (x) = min



1, x

2

[a, b] = [−2, 3], c = −2.

%"&('*),+dn|5>)K/"1ZÀ$+'K)K+

Ç

:<‚ÄÈ

F

‚

FG

:Ks

8

:

@

:Ä~

=H

x

FKB

s‰:

@CBNF

s‰œ

@<ˆ

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU?S

Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:

16

JPV

√

x +

√

y = 1, x = 0, y = 0;

WNV

4y = x

2

, y =

8

x

2

+ 4

;

Y

V

y = x

3

, y = 2x;

LZV

y = x

2

, y =

1
2

x

2

, y = 3x;

RmV

y = πx

2

, x = πy

2

;

£ŒV

y = x + sin x, y = x, (0 ¬ x ¬ 2π).

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU\[

Obliczyć długości podanych krzywych:

JPV

y = ln

e

x

+ 1

e

x

− 1

, gdzie 2 ¬ x ¬ 3;

WXV

y = x

2

, gdzie 0 ¬ x ¬ 1.

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU\]

JPV

Wyprowadzić wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego o wysokości H i podstawie
kwadratowej o boku a.

WNV

Walec o promieniu podstawy R ścięto ukośnie płaszczyzną (rysunek). Mniejsza wyso-
kość walca wynosi h, a większa H. Obliczyć objętość tego walca.

É

É

É

É

É

§

¨

¥

¦

§

¨

h

H

R

Y

V

Obliczyć objętość stożka ściętego o wysokości H i promieniach podstaw r, R, gdzie
r < R.

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU_^

Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi:

JPV

T : 0 ¬x¬2, 0 ¬ y ¬ 2x − x

2

, Ox;

WXV

T : 0 ¬x¬

√

5, 0 ¬ y ¬

2

√

x

2

+ 4

, Oy;

Y

V

T : 0 ¬x¬

π

4

, 0 ¬ y ¬ tg x, Ox;

LCV

T : 0 ¬x¬1, x

2

¬ y ¬

√

x, Oy.

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU_`

Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu wokół osi Ox figur T przedstawionych na
rysunkach poniżej:

§

¥

Ê

§

¨

Ë

Ë

Ë

Ì

r

y

h

x

O

T

JPV

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Í

¥

§

Ê

¯

¯

¥

¦

¯

¯

¯

¯

¯

Í

¯

¯

¯

¯

¯žÎ

§

¨

parabola

y

O

z

x

h

a

b

T

WCÏ3V

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU\a

Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów podanych funkcji wokół wska-
zanych osi:

17

JPV

f (x) = cos x, 0 ¬ x ¬

π

2

, Ox;

WXV

f (x) =

√

4 + x, −4 ¬ x ¬ 2, Ox;

Y

V

f (x) = ln x, 1 ¬ x ¬

√

3, Oy;

LCV

f (x) = |x − 1| + 1, 0 ¬ x ¬ 2, Oy.

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU\b

Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wokół osi Ox krzywych Γ przedstawionych
na rysunkach poniżej:

§

¥

§

¨

O

Γ

h

x

y

·

·

·

·

Ð

r

JPV

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Í

¥

§

y

O

z

x

WCÏ3V

Ñ

Ñ

Ñ

Ñ

Ò

r

¯

¯

¯

¯

¯

Í

¯

¯

¯

¯

¯žÎ

h

Γ

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU\h

JPV

Przy rozciąganiu sprężyny siła rozciągania jest proporcjonalna do wydłużenia sprężyny
(współczynnik proporcjonalności wynosi k). Obliczyć pracę jaką należy wykonać, aby
sprężynę o długości l rozciągnąć do długości L;

WNV

Zbiornik ma kształt walca o osi poziomej. Średnica walca D = 2 m, a długość L = 6 m.
Obliczyć pracę, jaką potrzeba wykonać, aby opróżnić zapełniony całkowicie wodą zbior-
nik. Otwór do opróżnienia zbiornika znajduje się w jego górnej części. Masa właściwa
wody γ = 1000 kg/m

3

.

◦

IKJMLNJPOPQ

RiEU\i

JPV

Punkt materialny zaczął poruszać się prostoliniowo z szybkością początkową v

0

=

10 m/s i przyspieszeniem a

0

= 2 m/s

2

. Po czasie t

1

= 10 s punkt ten zaczął poru-

szać się z opóźnieniem a

1

= −1 m/s

2

. Znaleźć położenie punktu po czasie t

2

= 20 s od

chwili rozpoczęcia ruchu;

WNV

Dwie cząstki elementarne A i B położone w odległości d = 36 zaczynają zbliżać się do
siebie z szybkościami odpowiednio v

A

(t) = 10t + t

3

, v

B

(t) = 6t, gdzie t ­ 0. Po jakim

czasie nastąpi zderzenie tych cząstek?

◦

IKJMLNJPOPQ

RXÏiZU?Sj

Do dwóch jednakowych naczyń w kształcie walca włożono dwie bryły. Do naczyń wlewa
się woda z tą samą intensywnością. Pokazać, że jeżeli w każdej chwili poziom wody w
obu naczyniach był jednakowy, to pola przekrojów poziomych obu brył na tych samych
wysokościach są równe.

18