1

1

1. (a) Dla

x, y ∈ X = [1 , ∞) określamy

%( x, y) = √

− √ . Wykazać, że % jest metryką w X

x

y

i wyznaczyć kulę o środku y = 4 i promieniu r = 0 , 2

w tej metryce.

1

(b) Dana jest funkcja

f ( x) =

dla x ∈

+

R

= [0 , ∞). Określamy %( x, y) = | f ( x) − f ( y) |

2 + x

dla x, y ∈

+

+

R . Wykazać, że % jest metryką w R

i wyznaczyć kulę o środku y = 3 i promieniu

r = 0 , 2

w tej metryce.

2 x 2 + x − 3

2. Bez obliczania drugiej pochodnej zbadać funkcję (a)

f ( x) =

określoną dla

x − 3

ln x

x 6= 3;

(b)

f ( x) =

określoną dla

x > 0;

(c)

f ( x) = x 2 ln x określoną

x

x

dla

x > 0;

(d) f ( x) = x e 3 x; (e) f ( x) =

określoną dla

x > 0 oraz x 6= 1;

ln x

x 3

(f ) f ( x) =

określoną dla

x 6= − 1;

(g) f ( x) = e−x 2 .

( x + 1)2

1

x 5

3. Obliczyć (a)

lim x 5 ln x; (b)

lim x 2 e x 2 ; (h)

lim

; (d)

lim xx 2 .

x→ 0+

x→ 0+

x→∞ ln2 x

x→ 0+



arc tg 3 x



dla

x 6= 0 ,





x

4. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji (a) f ( x) =







3

dla

x = 0;



e 4 x − 1





dla

x 6= 0 ,



(b) f ( x) =

x







4

dla

x = 0 .

5. (a) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji (a) f ( x) = 2 x 3 − 6 x 2 − 18 x + 6

dla

x ∈ [ − 2 , 2];

(b) f ( x) = ( x 2 − 3) e−x dla

x ∈ [0 , 4];

(c) f ( x) = ( x 2 − 15) e−x dla

x ∈ [0 , 6];

(d) f ( x) = x 2+3

dla

x ∈ [2 , 4]];

x− 1

p

6. Wyznaczyć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji (a) y = ln x+

x 2 + 1 w punkcie o odciętej

x 0 = 0; (b) y = e ln3 x w punkcie o odciętej x 0 = e.

√

7. (a) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 1 funkcji f ( x) = 4 x

w punkcie x 0 = 16 , a następnie

obliczyć w przybliżeniu wartość

p16 , 5 . Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.

(b) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji f ( x) = ln x

w punkcie x 0 = 1 , a następnie

obliczyć w przybliżeniu wartość

ln 1 , 2 . Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.

(c) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 3

funkcji

f ( x) = ex

w punkcie x 0 = 0 , a następnie

obliczyć w przybliżeniu wartość

e 0 , 3. Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.

∞

[

1

1

8. (a) Dany jest zbiór A =

;

. Wyznaczyć ∂A; ¯

A; int A. Czy zbiór A jest zwarty czy jest 4 n+1 4 n

n=1

spójny? Czy ¯

A jest zwarty?

π

(b) Dany jest zbiór A = {x ∈ R : sin

= 0 }. Wyznaczyć ∂A; ¯

A; int A. Czy zbiór A jest zwarty czy x

jest spójny? Czy ¯

A jest zwarty?

4 x

9. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji (a) f ( x) =

dla

x ­ 0; (b) f ( x) = e−x dla

3 + 2 x

√

x ­ 0; (c) f ( x) =

x − 3

dla

x ­ 3;.

10 ∗. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f ( x) = e−x 2

dla

x ∈ R.