1
1
1. (a) Dla
x, y ∈ X = [1 , ∞) określamy
%( x, y) = √
− √ . Wykazać, że % jest metryką w X
x
y
i wyznaczyć kulę o środku y = 4 i promieniu r = 0 , 2
w tej metryce.
1
(b) Dana jest funkcja
f ( x) =
dla x ∈
+
R
= [0 , ∞). Określamy %( x, y) = | f ( x) − f ( y) |
2 + x
dla x, y ∈
+
+
R . Wykazać, że % jest metryką w R
i wyznaczyć kulę o środku y = 3 i promieniu
r = 0 , 2
w tej metryce.
2 x 2 + x − 3
2. Bez obliczania drugiej pochodnej zbadać funkcję (a)
f ( x) =
określoną dla
x − 3
ln x
x 6= 3;
(b)
f ( x) =
określoną dla
x > 0;
(c)
f ( x) = x 2 ln x określoną
x
x
dla
x > 0;
(d) f ( x) = x e 3 x; (e) f ( x) =
określoną dla
x > 0 oraz x 6= 1;
ln x
x 3
(f ) f ( x) =
określoną dla
x 6= − 1;
(g) f ( x) = e−x 2 .
( x + 1)2
1
x 5
3. Obliczyć (a)
lim x 5 ln x; (b)
lim x 2 e x 2 ; (h)
lim
; (d)
lim xx 2 .
x→ 0+
x→ 0+
x→∞ ln2 x
x→ 0+
arc tg 3 x
dla
x 6= 0 ,
x
4. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji (a) f ( x) =
3
dla
x = 0;
e 4 x − 1
dla
x 6= 0 ,
(b) f ( x) =
x
4
dla
x = 0 .
5. (a) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji (a) f ( x) = 2 x 3 − 6 x 2 − 18 x + 6
dla
x ∈ [ − 2 , 2];
(b) f ( x) = ( x 2 − 3) e−x dla
x ∈ [0 , 4];
(c) f ( x) = ( x 2 − 15) e−x dla
x ∈ [0 , 6];
(d) f ( x) = x 2+3
dla
x ∈ [2 , 4]];
x− 1
p
6. Wyznaczyć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji (a) y = ln x+
x 2 + 1 w punkcie o odciętej
x 0 = 0; (b) y = e ln3 x w punkcie o odciętej x 0 = e.
√
7. (a) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 1 funkcji f ( x) = 4 x
w punkcie x 0 = 16 , a następnie
obliczyć w przybliżeniu wartość
p16 , 5 . Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.
(b) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji f ( x) = ln x
w punkcie x 0 = 1 , a następnie
obliczyć w przybliżeniu wartość
ln 1 , 2 . Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.
(c) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 3
funkcji
f ( x) = ex
w punkcie x 0 = 0 , a następnie
obliczyć w przybliżeniu wartość
e 0 , 3. Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.
∞
[
1
1
8. (a) Dany jest zbiór A =
;
. Wyznaczyć ∂A; ¯
A; int A. Czy zbiór A jest zwarty czy jest 4 n+1 4 n
n=1
spójny? Czy ¯
A jest zwarty?
π
(b) Dany jest zbiór A = {x ∈ R : sin
= 0 }. Wyznaczyć ∂A; ¯
A; int A. Czy zbiór A jest zwarty czy x
jest spójny? Czy ¯
A jest zwarty?
4 x
9. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji (a) f ( x) =
dla
x 0; (b) f ( x) = e−x dla
3 + 2 x
√
x 0; (c) f ( x) =
x − 3
dla
x 3;.
10 ∗. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f ( x) = e−x 2
dla
x ∈ R.