1. (a) Dla

x, y ∈ X = [1, ∞) określamy

%(x, y) =







1

√

x

−

1

√

y







. Wykazać, że % jest metryką w X

i wyznaczyć kulę o środku y = 4 i promieniu

r = 0, 2

w tej metryce.

(b) Dana jest funkcja

f (x) =

1

2 + x

dla x ∈ R

+

= [0, ∞). Określamy %(x, y) = | f (x) − f (y)|

dla x, y ∈ R

+

. Wykazać, że % jest metryką w R

+

i wyznaczyć kulę o środku y = 3 i promie-

niu

r = 0, 2

w tej metryce.

2. Bez obliczania drugiej pochodnej zbadać funkcję

(a)

f (x) =

2x

2

+ x − 3

x − 3

określoną dla

x 6= 3;

(b)

f (x) =

ln x

x

określoną dla

x > 0;

(c)

f (x) = x

2

ln x

określoną

dla

x > 0;

(d) f (x) = x e

3x

;

(e) f (x) =

x

ln x

określoną dla

x > 0 oraz x 6= 1;

(f ) f (x) =

x

3

(x + 1)

2

określoną dla

x 6= −1;

(g) f (x) = e

−x

2

.

3. Obliczyć (a)

lim

x→0

+

x

5

ln x; (b)

lim

x→0

+

x

2

e

1

x2

; (h)

lim

x→∞

x

5

ln

2

x

; (d)

lim

x→0

+

x

x

2

.

4. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji

(a) f (x) =















arc tg 3x

x

dla

x 6= 0,

3

dla

x = 0;

(b) f (x) =















e

4x

− 1

x

dla

x 6= 0,

4

dla

x = 0.

5. (a) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji

(a) f (x) = 2x

3

− 6x

2

− 18x + 6

dla

x ∈ [−2, 2];
(b) f (x) = (x

2

− 3)e

−x

dla

x ∈ [0, 4];

(c) f (x) = (x

2

− 15)e

−x

dla

x ∈ [0, 6];

(d) f (x) =

x

2

+3

x−1

dla

x ∈ [2, 4]];

6. Wyznaczyć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji (a) y = ln x+

p

x

2

+ 1

w punkcie o odciętej

x

0

= 0; (b) y = e

ln

3

x

w punkcie o odciętej x

0

= e.

7. (a) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 1 funkcji

f (x) =

4

√

x

w punkcie x

0

= 16 , a następnie

obliczyć w przybliżeniu wartość

p

16, 5 . Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.

(b) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji

f (x) = ln x

w punkcie x

0

= 1 , a następnie

obliczyć w przybliżeniu wartość

ln 1, 2 . Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.

(c) Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 3

funkcji

f (x) = e

x

w punkcie x

0

= 0 , a następnie

obliczyć w przybliżeniu wartość

e

0,3

. Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.

8. (a) Dany jest zbiór A =

∞

[

n=1



1

4

n+1

;

1

4

n



. Wyznaczyć ∂A; ¯

A; int A. Czy zbiór A jest zwarty czy jest

spójny? Czy ¯

A jest zwarty?

(b) Dany jest zbiór A = {x ∈ R : sin

π

x

= 0}. Wyznaczyć ∂A; ¯

A; int A. Czy zbiór A jest zwarty czy

jest spójny? Czy ¯

A jest zwarty?

9. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji

(a) f (x) =

4x

3 + 2x

dla

x ­ 0; (b) f (x) = e

−x

dla

x ­ 0; (c) f (x) =

√

x − 3

dla

x ­ 3;.

10

∗

. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji

f (x) = e

−x

2

dla

x ∈ R.