dr Krzysztof Żyjewski MiBM rok I,
23 maja 2014
Zadania przygotowujące (przykładowe) do kolokwium V
1. Oblicz całki nieoznaczone:
√
a) R
x2
dx,
b) R
dx
,
c) R x3ex2dx,
d) R cos3 x sin xdx,
x3+7
x ln5 x
√
e) R
ex
√
dx,
f) R
x ln xdx,
g) R x2 ln2 xdx,
h) R (x2 + 3) cos 3xdx, ex+3
i) R ex sin 2xdx,
j) R
x2−3 dx,
k) R
1
dx,
l) R
2x−1
dx,
x(x+1)2
x2−6x+13
x2−4x+4
m) R
sin x dx,
n) R
dx
,
o) R sin2 x cos5 xdx,
p) R cos 5x sin 2xdx,
2+cos x
sin4 x+4 cos2 x
√
√
r) R
xdx
√
dx,
s) R
x2 − 6x − 7dx,
t) R
1
√
dx,
u) R
4x+5
√
dx.
3 x+x
x2−6x+2
4x2+4x+5
2. Oblicz podane całki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza e2
2
a) R ln x dx;
b) R e2x dx.
x
1+ex
1
0
3. Korzystając z interpretacji całki oznaczonej oblicz pole obszaru D ograniczonego: a) y = x2 + 4x, y = x + 4 oraz osia Ox; b) y = x, y = 1 x, y = 1 .
4
x
4. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu figury N wokół osi OX, gdzie N :
√
a) y =
xe2x, y = 0, x = 1;
3
5. Oblicz długość łuku krzywej: y = 2 (x − 1) 2 dla 1 ≤ x ≤ 4.
3
6. Rozwiąż rownania różniczkowe: a) 6xdx − ydy = yx2dy − 3xy2dx; b) y2 = x dy + y;
dx
√
c)
1 − x2y0 = −p1 − y2;
d) xy0 − y = 2x3;
e) dy − 2 y = (x + 1)3.
dx
x+1
7. Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego: (xy0 − y = x2 + x,
y(1) = 2.
8. Oblicz całki niewłaściwe:
∞
2
a) R 1 dx;
b)
R
1
dx;
x4
x2+4
1
−∞
1
1
c) R 1
R
√ dx;
d)
1
√
dx.
3 x
1−x2
0
0