Zadania z analizy matematycznej 4

semestr 4, gr. 2, sem. letni 2007/8.

2 Miara

Zadanie 2.1.

Sformuªowa¢ denicj¦ miary.
Zadanie 2.2.

Sprawdzi¢, czy µ jest miar¡ na (X, F).

a) (X, F)  dowolna przestrze« z wyró»nionym σ-ciaªem F, x

0

∈ X

oraz µ(A) =

(

1,

gdy x

0

∈ A,

0,

gdy x

0

/

∈ A.

b) X = N, F = 2

N

, µ(A) =

X

n∈A

1

.

c) X = N, F = 2

N

, µ(A) =

(

P

n∈A

1

2

n

,

gdy #A < ∞,

∞,

gdy #A = ∞.

d) X = N, F = 2

N

, µ(A) =

(

0,

gdy #A < ∞,

∞,

gdy #A = ∞.

e) X = R, F = B, µ(A) =

(

0,

gdy A jest zbiorem przeliczalnym,

∞,

gdy A jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Zadanie 2.3.

Niech µ b¦dzie miar¡ na σ-ciele F podzbiorów zbioru X. Wykaza¢, »e dla dowolnych A, B, A

n

∈ F

, n ∈ N:

a) A ⊂ B ⇒ µ(A) 6 µ(B),

b) A ⊂ B ∧ µ(B) < ∞ ⇒ µ(B\A) = µ(B) − µ(A),

c) µ

∞

[

n=1

A

n

!

6

∞

X

n=1

µ(A

i

)

,

d) A

1

⊂ A

2

⊂ . . . ⇒ µ

∞

[

n=1

A

n

!

= lim

n→∞

µ(A

n

)

,

e) µ(A

1

) < ∞ ∧ A

1

⊃ A

2

⊃ . . . ⇒ µ

∞

\

n=1

A

n

!

= lim

n→∞

µ(A

n

)

.

Zadanie 2.4.

Niech µ b¦dzie miar¡ na σ-ciele F podzbiorów zbioru X. Wykaza¢, »e dla dowolnych A, B, A

n

∈ F

, n ∈ N:

a) µ(A

n

) = 0

dla n ∈ N ⇒ µ

∞

[

n=1

A

n

!

= 0

,

b) µ(B) = 0 ∧ A ⊂ B ⇒ µ(A) = 0,

c) µ(B) = 0 ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A),

d) µ(B) = 0 ⇒ µ(A\B) = µ(A).

1