Zadania z analizy matematycznej 4

semestr 4, gr. 2, sem. letni 2007/8.

Ci¡g dalszy zada« z ciaª i σ-ciaª.

Zadanie 1.12.

Niech X = (0, 1), A

n

= (0,

n−1

n

)

, n ∈ N. Czy ciaªo generowane przez {A

n

}

jest jest równe σ({A

n

})

?

Zadanie 1.13.

Niech X = R, A

1

= {(n, n + 1) : n ∈ Z}, A

2

= {[n, n + 1] : n ∈ Z}. Sprawdzi¢, czy zachodz¡ inkluzje

σ(A

1

) ⊂ σ(A

2

)

i σ(A

1

) ⊃ σ(A

2

).

Zadanie 1.14.

Przez B

n

lub B oznaczamy σ-ciaªo generowane przez wszystkie zbiory otwarte w przestrzeni R

n

. Elementy

B

nazywamy zbiorami borelowskimi.

Czy nast¦puj¡ce zbiory s¡ zbiorami borelowskimi: zbiór domkni¦ty, zbiór jednopunktowy, zbiór liczb

wymiernych w R, zbiór liczb niewymiernych w R?

Zadanie 1.15.

Wykaza¢, »e przedziaªy postaci [a, b], (a, b], [a, b) s¡ zbiorami borelowskimi na prostej.

Zadanie 1.16.

Pokaza¢, »e σ({(a, b) : a, b ∈ R, a < b}) = B.

Zadanie 1.17.

Znale¹¢ najmniejsze ciaªo podzbiorów przestrzeni R zawieraj¡ce wszystkie zbiory jednopunktowe.

Zadanie 1.18.

Znale¹¢ najmniejsze σ-ciaªo podzbiorów przestrzeni R zawieraj¡ce wszystkie zbiory dwuelementowe.

Zadanie 1.19.

Dane s¡ σ-ciaªa podzbiorów przestrzeni R:

σ

1

= σ({(a, b) : a, b ∈ R, a < b}),

σ

9

= σ({(p, q) : p, q ∈ Q, p < q}),

σ

2

= σ({[a, b] : a, b ∈ R, a < b}),

σ

10

= σ({[p, q] : p, q ∈ Q, p < q}),

σ

3

= σ({[a, b) : a, b ∈ R, a < b}),

σ

11

= σ({[p, q) : p, q ∈ Q, p < q}),

σ

4

= σ({(a, b] : a, b ∈ R, a < b}),

σ

12

= σ({(p, q] : p, q ∈ Q, p < q}),

σ

5

= σ({(−∞, a) : a ∈ R}),

σ

13

= σ({(−∞, p) : p ∈ R}),

σ

6

= σ({(−∞, a] : a ∈ R}),

σ

14

= σ({(−∞, p] : p ∈ R}),

σ

7

= σ({(a, ∞) : a ∈ R}),

σ

15

= σ({(p, ∞) : p ∈ R}),

σ

8

= σ({[a, ∞) : a ∈ R}),

σ

16

= σ({[p, ∞) : p ∈ R}).

Pokaza¢, »e σ

i

= σ

j

dla dowolnych 1 6 i < j 6 16.

1