Uniwersytet Wrocławski

Wydział Matematyki i Informatyki

Instytut Matematyczny

specjalność: matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach

Katarzyna Lis

Losowe fluktuacje narosłych

zobowiązań ubezpieczeń

rentowych

Praca magisterska

napisana pod kierunkiem

dr. Piotra Borodulin-Nadziei

Wrocław 2010

Spis treści

Wstęp

Podstawowe oznaczenia i definicje

2.1

Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Stopa procentowa, czynnik dyskonta, stopa dyskontowa

. . . . . .

2.3

Pojęcia z (2.2) w modelu ciągłym

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Zmienna losowa dalszego trwania życia, gęstość, dystrybuanta

. . .

2.5

Wartość oczekiwana, wariancja, współczynnik zmienności

. . . . .

2.6

Natężenie zgonów, funkcja przeżycia

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7

Hipoteza jednorodnej populacji

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8

Ubezpieczenia rentowe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9

Funkcje komutacyjne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Model Gompertza

3.1

Wprowadzenie modelu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2

Wartość oczekiwana rozkładu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3

Wariancja rozkładu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4

Współczynnik zmienności rozkładu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5

Przybliżenie modelu z uwzględnieniem TTŻ

. . . . . . . . . . . . . 16

Wycena parametrów planu emerytalnego

4.1

Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2

Metoda jednostkowego kredytu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3

Narosłe zobowiązania

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.4

Koszt normalny

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5

Deficyt aktuarialny

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6

Zysk aktuarialny

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.7

Inne metody

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

SPIS TREŚCI

Losowe fluktuacje

5.1

Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2

Fluktuacja wartości obecnej renty dożywotniej

. . . . . . . . . . . 29

5.3

Szacowanie wariancji względnych odchyłek

. . . . . . . . . . . . . . 34

5.4

Przedział ufności narosłych zobowiązań z uwzględnieniem kohort

. 39

Przykłady zastosowań

6.1

Wprowadzenie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2

Przedział ufności dla jednej kohorty kobiet - przykład

. . . . . . . 44

6.3

Przedział ufności dla jednej kohorty mężczyzn - przykład

. . . . . 46

6.4

Przedział ufności dla wielu kohort kobiet - przykład

. . . . . . . . 47

6.5

Przedział ufności dla wielu kohort mężczyzn - przykład

. . . . . . 49

6.6

Wnioski

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Bibliografia

Rozdział 1

Wstęp

Praca ta poświęcona jest zastosowaniom pewnych rozwiązań w dziedzinie

zarządzania aktywami i zobowiązaniami z uwzględnieniem ryzyka związanego ze

zmienną losową dalszego trwania życia.

Praca ta ma następującą strukturę:

• W rozdziale drugim wprowadzone zostały podstawowe oznaczenia i zależ-

ności z matematyki finansowej oraz matematyki ubezpieczeń życiowych,

potrzebne do dalszych rozważań.

• Rozdział trzeci poświęcony jest omówieniu modelu Gompertza. Oprócz roz-

ważań teoretycznych dotyczących tego modelu w rozdziale tym przybliżam

także parametry rozkładu Gompertza do tablic trwania życia używając ta-

kich narzędzi jak arkusz kalkulacyjny oraz program Maple. Uzyskane dane

użyte zostały w rozdziale szóstym, do obliczania przedziałów ufności dla

narosłych zobowiązań.

• W rozdziale czwartym omówiona została jedna z metod obliczania podsta-

wowych parametrów finansowych planu: metoda jednostkowego kredytu. W

metodzie tej omówione zostały metody obliczania podstawowych parame-

trów finansowych planu, takich jak: narosłe zobowiązania i koszt normalny.

• Rozdział piąty przedstawia sposoby ograniczania kresem górnym wartości

oczekiwanej, wariancji oraz współczynnika zmienności renty od zmiennej

losowej trwania życia, przy założeniu, że nieujemna intensywność oprocen-

towania maleje do zera. Wprowadzone zostaje pojęcie względnych odchyłek

od narosłych zobowiązań oraz podział na kohorty ze względu na strukturę

płacowo-wiekową. Zabiegi te pozwalają na oszacowanie wariancji względ-

nych odchyłek od narosłych zobowiązań.

ROZDZIAŁ 1. WSTĘP

• Dzięki poczynionym założeniom możliwa jest konstrukcja przedziałów uf-

ności dla narosłych zobowiązań. Wykorzystując dane dotyczące prawdopo-

dobieństw przeżycia z przybliżonego do tablic trwania życia modelu Gom-

pertza (dla części populacji w wieku emerytalnym) oraz przykładowe dane

dotyczące struktury wiekowej w kohortach policzone zostały w rozdziale

szóstym przykładowe wartości dla owych przedziałów (najpierw dla uprosz-

czonego modelu z jedną kohortą, następnie dla wielu kohort). Do wykona-

nia obliczeń (podobnie, jak w rozdziale trzecim) został wykorzystany arkusz

kalkulacyjny.

Dla prostoty modelu oraz ze względu na trudność w pozyskaniu rzeczywistych

danych (które często są chronione tajemnicą handlową) niektóre czynniki zosta-

ły pominięte oraz niektóre dane zastąpione niereprezentatywną dla rzeczywistej

struktury danych realizacją losową. Sam algorytm postępowania jest jednak w

pełni możliwy do zaadaptowania do innych założeń dotyczących uczestnictwa w

planie i struktur płacowo-wiekowych niż wykorzystanych w tej pracy.

Praca oparta jest głównie na książce autorstwa Lesława Gajka i Krzysztofa

Ostaszewskiego pod tytułem ”Plany emerytalne, Zarządzanie aktywami i zobo-

wiązaniami” [

], za której polecenie dziękuję dr. Przemysławowi Klusikowi oraz

prof. dr. hab. Tomaszowi Rolskiemu.

Rozdział 2

Podstawowe oznaczenia i
definicje

2.1

Wprowadzenie

W tym rozdziale omówione zostaną podstawowe pojęcia i definicje z matema-

tyki finansowej oraz matematyki ubezpieczeń życiowych. Część wzorów wykorzy-

stana będzie np. przy wyprowadzeniu podstawowych parametrów związanych z

czasem dalszego trwania życia w modelu Gompertza; inne np. niektóre z ubezpie-

czeń rentowych nie będą wykorzystane wprost, ale reprezentują zbiór produktów,

na które uczestnik planu emerytalnego może zamienić nabyte świadczenie otrzy-

mane po osiągnięciu wieku emerytalnego. Funkcje komutacyjne zostały wprowa-

dzone dla ułatwienia zapisu obliczeń, natomiast z formalnego punktu widzenia

ich stosowanie nie było konieczne.

2.2

Stopa procentowa, czynnik dyskonta, stopa dyskon-

towa

W pracy rozważany jest wyłącznie model oprocentowania złożonego, czyli

takiego, w którym narosłe odsetki dopisywane są do kapitału po okresie kapita-

lizacji.

• Stopa procentowa i, wyznaczająca wysokość naliczonych od kapitału K po

jednostkowym okresie kapitalizacji odsetek, nazywana będzie stopą zwrotu.

Za umowną jednostkę czasu przyjmuje się najczęściej okres jednego roku.

W przypadku corocznego kapitalizowania odsetek i nazywana jest efektyw-

ną stopą zwrotu. Jeżeli natomiast okres kapitalizacji jest innej długości, to

i określa się terminem: nominalna stopa zwrotu.

ROZDZIAŁ 2. PODSTAWOWE OZNACZENIA I DEFINICJE

• Współczynnik (1 + i), określający wysokość kapitału wraz z narosłymi od-

setkami po jednostkowym okresie kapitalizacji, nazywa się współczynnikiem

akumulacji:

= K

(1 + i),

gdzie K

to wartość kapitału w chwili n.

• Czynnikiem dyskonta v nazywana jest wartość v =

(1+i)

. Czynnik dyskonta

wskazuje na to, ile jest warty kapitał w chwili zero, jeżeli znana jest jego

wartość po okresie kapitalizacji:

= K

(1 + i)

= K

• Stopa dyskontowa d wyraża się wzorem d =

(1+i)

. Jeżeli znana jest stopa

procentowa i przy oprocentowaniu z dołu, to d jest równoważną do niej sto-

pą oprocentowania z góry; to znaczy, że zainwestowany kapitał po okresie

kapitalizacji przy oprocentowaniu z dołu ze stopą procentową i będzie wart

tyle samo, co ten sam kapitał po okresie kapitalizacji przy oprocentowaniu

z góry ze stopą procentową d.

Wartość kapitału K

po jednym okresie kapitalizacji przy oprocentowaniu

z dołu oraz stopie procentowej i wynosi:

= K

(1 + i).

Gdyby zainwestować kapitał K

przy oprocentowaniu z góry oraz stopie pro-

centowej d, to natychmiast (w chwili zero) wypłacane są odsetki wysokości

d. Przy natychmiastowym, nieskończonym reinwestowaniu uzyskanych

kolejnych odsetek kapitał w chwili jeden wyniósłby:

= K

+ K

d + K

+ ... = K

(1 − d)

z czego wynika:

(1 − d)

= 1 + i.

2.3

Pojęcia z (2.2) w modelu ciągłym

Jeżeli okres kapitalizacji pokrywa się z jednostkowym okresem czasu jednego

roku, to kapitalizacja jest zgodna. Analogicznie przy wielokrotnym kapitalizowa-

niu odsetek w ciągu roku kapitalizacja jest niezgodna.

W poprzednim podpunkcie wprowadzone zostały pojęcia dotyczące kapitaliza-

cji w modelu dyskretnym oraz dla kapitalizacji zgodnej. Rozważając analogiczny

model dyskretny dla kapitalizacji niezgodnej można otrzymać (poprzez przejście

2.4. ZMIENNA LOSOWA DALSZEGO TRWANIA ŻYCIA, GĘSTOŚĆ,
DYSTRYBUANTA

graniczne, kiedy liczba podokresów kapitalizacji rośnie do nieskończoności) model

ciągły.

• Niech m będzie ilością podokresów w których nastąpi kapitalizacja w ciągu

jednego roku, a

(m)

stopą procentową w tych podokresach. Aby kapitał w

chwili 1 był w obu modelach kapitalizacji wart tyle samo, musi zachodzić:

(1 + i) = (1 +

(m)

)

i = (1 +

(m)

)

− 1,

z czego przy nieskończenie wielu podokresach kapitalizacji:

lim

m→∞

(1 +

(m)

)

− 1 = e

− 1,

gdzie δ nazywana jest intensywnością oprocentowania.

• Analogicznie wyliczając v:

v =

(1 + i)

(1 + e

− 1)

= e

−δ

• Dla czynnika dyskonta d zachodzi:

d =

(1 + i)

− 1

(1 + e

− 1)

= 1 − e

−δ

2.4

Zmienna losowa dalszego trwania życia, gęstość, dys-

trybuanta

Chcąc wykorzystać model probabilistyczny opisujący śmiertelność w populacji

(w tej pracy został użyty model Gompertza) wprowadza się podstawowe pojęcia

zmiennej losowej dalszego trwania życia, jej gęstości i dystrybuanty.

• Niech T

będzie zmienną losową dalszego trwania życia x-latka. W dalszych

częściach pracy zmienna ta będzie miała rozkład Gompertza o współczynni-

kach dopasowanych odpowiednio do wartości pochodzących z TTŻ (Tablic

Trwania Życia) zamieszczonych w rozdziale 3.

• Dystrybuanta zmiennej losowej T

, czyli F

(t), zdefiniowana jest wzorem:

(t) = P (T

¬ t).

Dystrybuanta T

wyraża prawdopodobieństwo tego, że x-latek umrze przed

upływem czasu t. Stosowany będzie równoważnie zapis

Analogicznie wyrażenie:

1 − F

(t) = P (T

> t),

ROZDZIAŁ 2. PODSTAWOWE OZNACZENIA I DEFINICJE

oznaczać będzie prawdopodobieństwo tego, że x-latek przeżyje czas t i rów-

noważnie będzie zapisywane w postaci

Zdarzenia losowe: śmierć i przeżycie x-latka na przedziale czasu długości t

są z założenia do siebie przeciwne.

• Dystrybuanta F

(t) zmiennej losowej T

(o rozkładzie Gompertza) ma gę-

stość:

(t) = F

(t).

Zachodzi związek:

P (a ¬ T

¬ b) =

(t) dt.

2.5

Wartość oczekiwana, wariancja, współczynnik zmien-

ności

Użytecznymi parametrami przy badaniu czasu dalszego trwania życia w popu-

lacji są odpowiednio: wartość oczekiwana - opisująca średnią życia w populacji,

wariancja - za pomocą której wyliczany jest kwadrat średniego odstępstwa od

wartości oczekiwanej oraz współczynnik zmienności - wskazujący na to, na ile

dobrze przyjęty model przybliża dane.

• Z definicji wartość oczekiwana E[T

] zmiennej losowej T

wyraża się wzo-

rem:

E[T

] =

∞

(t) dt.

Całkując powyższe wyrażenie przez części:

(

k(t) = t g(t) = f

(t)

(t) = 1 G(t) = −

)

otrzymujemy:

E[T

] = [−t ·

]

∞
0

∞

dt =

∞

dt.

• Wariancję V ar[T

] zmiennej losowej T

, z definicji równą:

V ar[T

] =

∞

(t − E[T

])f

(t) dt,

można obliczyć z tożsamości:

V ar[T

] = E[T

] − (E[T

])

gdzie:

E[T

] =

∞

(t) dt.

2.6. NATĘŻENIE ZGONÓW, FUNKCJA PRZEŻYCIA

Całkując przez części:

(

k(t) = t

g(t) = f

(t)

(t) = 2t G(t) = −

)

otrzymujemy:

E[T

] = [−t

2
t

]

∞
0

+ 2

∞

dt = 2

∞

dt,

z czego:

V ar[T

] = 2

∞

dt − (E[T

])

2.6

Natężenie zgonów, funkcja przeżycia

Kolejnymi pojęciami często pojawiającymi się przy badaniu czasu dalszego

trwania życia są: natężenie zgonów, funkcja hazardowa. Natężenie zgonów, zwa-

ne również intensywnością śmiertelności czy intensywnością awarii, ma szerokie

zastosowanie przy opisywaniu jakościowym zjawisk, w których badany jest czas

przebywania w pewnym stanie, z którego wyjście jest bezpowrotne. Funkcja ha-

zardowa w modelu Gompertza wyznacza kolejne ilości żywych na odcinku [0, t),

dla różnych t.

• Natężenie zgonów µ

x+t

w wieku x + t dla x-latka (nazywane też funkcją

hazardową) zdefiniowane jest wzorem:

x+t

(t)

1 − F

(t)

= −

ln(1 − F

(t)) = −

ln(

Wyrażenie to można interpretować jako stosunek prawdopodobieństwa śmier-

ci x-latka dokładnie w chwili t do prawdopodobieństwa, że dożyje do tej

chwili.

Ze definicji µ

x+t

wynika bezpośrednio:

(t) =

x+t

z czego biorąc wzór na prawdopodobieństwo śmierci w przedziale [t, x + t]

i podstawiając za gęstość:

x+t

otrzymujemy:

P (t < T

< t + s) =

t+s

x+u

du.

Zauważając, że zachodzi:

x+t

= −

ln(

ROZDZIAŁ 2. PODSTAWOWE OZNACZENIA I DEFINICJE

czyli:

−

x+s

ds = ln(

ostatecznie otrzymujemy:

= e

−

x+s

• Funkcja przeżycia określa prawdopodobieństwo tego, że 0-latek przeżyje

czas t:

s(t) = P (T

> t),

z czego:

s(t) =

= e

−

Oprócz tego (z definicji natężenia zgonów) zachodzi:

= −

(t)

s(t)

2.7

Hipoteza jednorodnej populacji

Przyjmując, że w danej grupie wszyscy uczestnicy mają zbliżone cechy warun-

kujące ich dalszy czas życia, można sformułować hipotezę jednorodnej populacji:

P (T

> t) = P (T

> (x + t) | T

> x),

czyli:

s(x + t)

s(x)

Hipoteza jednorodnej populacji mówi, że prawdopodobieństwo, że x-latek

przeżyje co najmniej czas t jest równe prawdopodobieństwu, że 0-latek przeżyje

czas x + t pod warunkiem, że przeżyje x.

W dalszych częściach pracy zakładana jest prawdziwość HJP.

2.8

Ubezpieczenia rentowe

Renty życiowe (inaczej: ubezpieczenia rentowe) są ciągiem płatności ustających

w chwili śmierci właściciela ubezpieczenia rentowego. W modelu matematycznym

emerytura jest rodzajem ubezpieczenia rentowego.

Wartość aktualna renty jest wartością ciągu płatności (wypłat pobieranych z

tytułu renty) zdyskontowanego do chwili zero.

• Wyróżnia się dwa główne rodzaje ubezpieczeń rentowych:

1. Rentę dożywotnią, czyli taką, w której ciąg płatności rozpoczyna się z

chwilą zakupu renty, a ustaje wraz ze śmiercią rentobiorcy.

2.8. UBEZPIECZENIA RENTOWE

2. Rentę terminową, w której ciąg płatności rozpoczyna się z chwilą za-

kupu renty i ustaje najpóźniej z chwilą wygaśnięcia renty. Jeżeli ren-

tobiorca umrze przed wygaśnięciem czasu trwania renty, to płatności

również ustają wraz z tą chwilą.

• Jednorazowa składka netto jest wartością oczekiwaną kwoty (jaką trzeba

będzie pobrać od każdego ubezpieczonego) potrzebnej do pokrycia średniej

wydatków z tytułu wypłacanych rent.

• Wypłaty z tytułu posiadanej renty mogą być dokonywane okresowo (przy

wypłatach dokonywanych z góry albo z dołu) albo ciągle z określoną inten-

sywnością.

• Model ciągły:

Do wyliczania jednorazowych składek netto ubezpieczeń rentowych z inten-

sywnością wypłat b(x) w modelu ciągłym można posłużyć się tożsamością:

b(t) v

∞

b(t) v

dt.

1. Jednorazową składkę netto dla renty życiowej dla x-latka w tym mode-

lu oznacza się symbolem ¯

. Intensywność wypłat wyraża się wzorem:

b(t) = 1.

Jednorazowa składka netto dla tej renty wynosi:

∞

dt.

2. Jednorazową składkę netto dla renty terminowej dla x-latka (z termi-

nem wygaśnięcia równym n) w modelu ciągłym oznacza się symbolem

x:n

. Intensywność wypłat wyraża się wzorem:

b(t) =

(

1, 0 ¬ t ¬ n

0, n < t

Jednorazowa składka netto dla tej renty wynosi:

x:n

dt.

• Model dyskretny:

Analogicznie do modelu ciągłego, jeżeli rentobiorca otrzymuje na początku

lub na końcu k-tego roku świadczenie wysokości c

, jednorazową składkę

netto dla x-latka można wyliczyć z tożsamości:

[T +1]

k=0

∞

k=0

ROZDZIAŁ 2. PODSTAWOWE OZNACZENIA I DEFINICJE

• Jeżeli płatności następują z góry (na początku każdego roku) to:

1. Jednorazową składkę netto dla renty życiowej dla x-latka w tym mo-

delu oznacza się symbolem ¨

i dla c

= 1 wyraża ją tożsamość:

∞

k=0

2. Jednorazową składkę netto dla renty terminowej dla x-latka (z termi-

nem wygaśnięcia równym n) w modelu dyskretnym oznacza się sym-

bolem ¨

x:n

. Wartość wypłat wyraża się wzorem:

(

1, 0 ¬ k ¬ n − 1

0, n − 1 < k

Jednorazowa składka netto dla tej renty wynosi:

x:n

n−1

k=0

• Jeżeli płatności następują z dołu (na końcu każdego roku) to:

1. Jednorazową składkę netto dla renty życiowej dla x-latka w tym mo-

delu oznacza się symbolem a

i dla c

= 1 wyraża ją tożsamość:

∞

k=1

2. Jednorazową składkę netto dla renty terminowej dla x-latka (z termi-

nem wygaśnięcia równym n) w modelu dyskretnym oznacza się sym-

bolem a

x:n

. Wartość wypłat wyraża się wzorem:

(

1, 1 ¬ k ¬ n

0, n < k

Jednorazowa składka netto dla tej renty wynosi:

x:n

k=1

2.9

Funkcje komutacyjne

Funkcje komutacyjne wykorzystują informacje zawarte w TTŻ oraz założe-

nia dotyczące stopy procentowej do szybkiego wyliczania jednorazowych składek

netto. Bywają one też pomocne do bardziej czytelnego zapisu obliczeń.

2.9. FUNKCJE KOMUTACYJNE

• W TTŻ zawarte są informacje o liczbie żyjących x-latków: l

oraz o liczbie

zmarłych w przedziale czasu [x, x + 1): d

wśród reprezentatywnej liczby

osób z populacji.

• Funkcja komutacyjna C

(zwana zdyskontowaną liczbą umarłych) wyraża

się wzorem:

= v

x+1

• Funkcja komutacyjna M

wyraża się wzorem:

∞

k=0

x+k

• Funkcja komutacyjna D

(zwana zdyskontowaną liczbą żyjących) wyraża

się wzorem:

= v

• Funkcja komutacyjna N

wyraża się wzorem:

∞

k=0

x+k

Rozdział 3

Model Gompertza

3.1

Wprowadzenie modelu

W 1824 roku Benjamin Gompertz postawił hipotezę, że natężenie zgonów jest

wykładniczą funkcją czasu:

x+t

= B · e

zapisywaną też w postaci:

x+t

= B · c

gdzie c > 1 (alternatywnie b > 0), ponadto spełniona jest równość: B = µ

Dla takich parametrów funkcja natężenia zgonów jest monotonicznie rosnąca do

nieskończoności, z początkową wartością równą µ

. Gdyby 0 < c < 1, to funkcja

byłaby malejąca asymptotycznie od µ

do 0; taka krzywa może być wykorzystana

do przybliżania danych dotyczących wzrostu populacji (populacja opisana taką

krzywą nie wymiera, ponadto jej liczebność rośnie do nieskończoności).

Można zatem powyższe wzory zapisać w formie:

x+t

= µ

· e

Gompertz uzasadniał swój model następującym rozumowaniem: przyczyną

umierania ludzi jest czynnik nazwany ”brakiem odporności na śmierć” (”power

to avoid death”); na końcu każdego przedziału czasu (gdzie długość przedzia-

łów maleje do zera) człowiek traci jednakowej wielkości cząstkę pozostałej mu

odporności na śmierć. Rozumowanie prowadzi do równania różniczkowego:

dµ(t)

= bµ(t),

którego rozwiązaniem jest funkcja wykładnicza.

ROZDZIAŁ 3. MODEL GOMPERTZA

W dalszej części pracy wyprowadzone zostaną podstawowe parametry zwią-

zane z czasem dalszego trwania życia w modelu Gompertza.

• Ze wzoru z podpunktu (2.5) prawdopodobieństwo przeżycia czasu t dla x-

latka wynosi:

= e

−

x+s

= e

−

·e

= e

−µ

·[

1
b

·e

]

t
0

= e

−

µx

·(e

−1)

• Zależność na gęstość f (t) tego rozkładu zgodnie ze wzorem zawartym w

podpunkcie (2.6) przedstawia się następująco:

f (t) =

· µ

x+t

= e

−

µx

·(e

−1)

· µ

· e

= µ

· e

bt−

µx

·(e

−1)

3.2

Wartość oczekiwana rozkładu

Odpowiednio do wzoru zawartego w podpunkcie (2.4) wartość oczekiwana

rozkładu Gompertza wynosi:

E[T

] =

∞

dt =

∞

−

µx

·(e

−1)

dt = e

µx

∞

−

µx

·(e

)

dt =











−

= −e

ln(

) + bt = u

b dt = du











µx

∞

ln(

µx

)

−e

du =

µx

· H(ln(

)),

gdzie funkcja H(t) zdefiniowana jest wzorem:

H(t) =

∞

−e

du.

Niech θ = ln(

). Wtedy:

E[T

] =

H(θ)

−e

3.3

Wariancja rozkładu

Do obliczenia wariancji rozkładu Gompertza można posłużyć się wzorem na

drugi moment:

E[T

] = 2 ·

∞

dt = 2 ·

∞

t · e

−

µx

·(e

−1)

dt =











−

= −e

ln(

) + bt = u

b dt = du











3.4. WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI ROZKŁADU

µx

∞

ln(

µx

)

(u − ln(

))e

−e

du =

∞

(u − θ)e

−e

du ·

−e

Niech funkcja G(t) zdefiniowana jest wzorem:

G(t) =

∞

(u − t)e

−e

du,

zachodzi wtedy zależność:

(t) =

(

∞

(u − t)e

−e

du) =

∞

−e

du = −H(t).

Korzystając ze wzoru na funkcję G(x) można zapisać:

E[T

] =

G(θ) ·

−e

V ar[T

] = E[T

] − (E[T

])

G(θ) ·

−e

− (

−e

· H(θ))

2 · G(θ)e

−e

− H

(θ)

(b · e

−e

)

= E[T

] · [

2 · G(θ)e

−e

(θ)

− 1].

3.4

Współczynnik zmienności rozkładu

Współczynnik zmienności losowej τ

wyraża się wzorem:

V ar[T

]

E[T

]

zatem używając funkcji H(θ) oraz G(θ) można go zapisać jako:

2 ·

G(θ)e

−e

(θ)

− 1.

• Niech θ → −∞.

Jeżeli F (u) będzie funkcją pierwotną do f (u) = e

−e

to:

dθ

H(θ) =

dθ

∞

f (u) du =

dθ

[F (u)]

∞
θ

= −f (θ),

dalej:

lim

θ→−∞

dθ

H(θ) = lim

θ→−∞

−e

= −1.

Wiedząc, że:

lim

θ→−∞

G(θ) = lim

θ→−∞

(θ),

ROZDZIAŁ 3. MODEL GOMPERTZA

dalej korzystając z reguły de l’Hospitala:

lim

θ→−∞

G(θ)

(θ)

= lim

θ→−∞

(θ)

2H(θ)H

(θ)

= lim

θ→−∞

−

(θ)

Zatem ze wzoru na współczynnik zmienności losowej τ

lim

θ→−∞

2 ·

G(θ)e

−e

(θ)

− 1 = 0.

• Niech θ → ∞.

Zachodzi wtedy:

lim

θ→∞

dθ

H(θ) = lim

θ→∞

−e

= −1;

oraz:

lim

θ→∞

H(θ) = lim

θ→∞

∞

−e

du = 0;

dalej korzystając z reguły de l’Hospitala:

lim

θ→∞

−θ

−e

H(θ)

= lim

θ→∞

−e

−θ

−e

− e

−e

= 1.

Analogicznie z reguły de l’Hospitala:

lim

θ→∞

G(θ)

−θ

H(θ)

= lim

θ→∞

(θ)

−H(θ) + e

−θ

(θ)

= lim

θ→∞

−θ

− e

−θ

(

(θ)

H(θ)

)

= 1.

3.5

Przybliżenie modelu z uwzględnieniem TTŻ

W tej części pracy przybliżony zostanie model Gompertza do tablic trwa-

nia życia [zawartych w książce pod tytułem ”Podstawy matematyki ubezpieczeń

na życie” dr hab. Bartłomieja Błaszczyszyna i prof. dr hab. Tomasza Rolskiego

[

] oraz pobranych w formie elektronicznej ze strony internetowej prof. dr hab.

Zbiegniewa Palmowskiego [

] ] według kryterium najmniejszych kwadratów. Za-

danie to zostało wykonane w arkuszu kalkulacyjnym [pliki z obliczeniami zostały

załączone do pracy].

Ponieważ zachodzi związek:

= e

−

µx

·(e

−1)

a także przyjmując:

x+t

oraz

= 1 −

x+t

to przekształcając powyższe równanie otrzymujemy:

= l

· e

−

µx

·(e

−1)

3.5. PRZYBLIŻENIE MODELU Z UWZGLĘDNIENIEM TTŻ

Parametr µ

można odczytać z TTŻ (może być on wyliczany dla różnych

hipotez interpolacyjnych i przyjmować różne wartości w zależności od obranej

metody).

Zgodnie z kryterium metody najmniejszych kwadratów, żeby znaleźć optymal-

ne b należy zminimalizować funkcję (gdzie l

(stała) oraz l

(zmienna) pochodzą

z odpowiednich TTŻ):

t=1

· e

−

µx

·(e

−1)

− l

)

Aby to uczynić, można podstawiać za b kolejne wartości z wcześniej zadaną

dokładnością (w tej pracy jest to dokładność do czterech miejsc po przecinku), a

następnie odszukać b, dla którego funkcja ta przyjęła najmniejszą wartość.

Prof. dr hab. Andrzej Bielicki pisze [w książce pod tytułem ”Analiza przeży-

cia i tablice wymieralności”]: ”Badania ujawniają, że dla ludzkiej śmiertelności

realistyczna dla parametru c jest wartość nieznacznie wyższa od 1 (1, 08 − 1, 09),

z wyjątkiem bardzo zaawansowanego wieku” [

]. Korzystając z tego faktu oraz

poszerzając powyżej opisany przedział do (1, 05 − 1, 15) otrzymujemy zakres dla

wartości b (gdzie b = ln c) równy: (0, 04879 − 0, 13796).

Ponieważ w tej pracy istotny jest czas dalszego trwania życia dla uczestników

planu emerytalnego, którzy nabędą prawo do świadczenia emerytalnego (czyli

czas pobierania przez nich renty), model Gompertza przybliżony został do dwóch

przypadków:

1. TTŻ-PL97k, gdzie wartością początkową jest liczba kobiet w wieku 60

lat (ze względu na orientacyjny wiek przechodzenia na emeryturę dla ko-

biet). W tym przypadku wartość początkowa l

wynosi odpowiednio 89755,

wynosi 0, 0083, natomiast optymalne b wynosi 0, 1072; wartość ocze-

kiwana dalszego czasu trwania życia kobiet wynosi 20, 7349182, wariancja

79, 3706611, współczynnik zmienności 0, 429662719 (ostatnie trzy parame-

try zostały policzone w programie maple na podstawie wzorów wyprowa-

dzanych w tym rozdziale).

2. TTŻ-PL97m, gdzie wartością początkową jest liczba mężczyzn w wieku

65 lat (ze względu na orientacyjny wiek przechodzenia na emeryturę dla

mężczyzn) W tym przypadku wartość początkowa l

wynosi odpowiednio

65373, µ

wynosi 0, 03309, natomiast optymalne b wynosi 0, 0764; wartość

oczekiwana dalszego czasu trwania życia mężczyzn wynosi 13, 1180551, wa-

riancja 63, 0766205, współczynnik zmienności 0, 6054311438 (ostatnie trzy

parametry zostały policzone w programie maple na podstawie wzorów wy-

prowadzanych w tym rozdziale).

Wartości dla b optymalnych nie są przyjmowane na krańcach przedziału, a

błąd minimalny wynosi odpowiednio 6103803, 63 dla kobiet oraz 968517, 46 dla

mężczyzn.

ROZDZIAŁ 3. MODEL GOMPERTZA

Rysunek 3.1: wykres prawdopodobieństw przeżycia dla 60-letnich kobiet według
TTŻ

Rysunek 3.2: wykres prawdopodobieństw przeżycia dla 60-letnich kobiet według
Gompertza

3.5. PRZYBLIŻENIE MODELU Z UWZGLĘDNIENIEM TTŻ

Rysunek 3.3: wykres prawdopodobieństw przeżycia dla 65-letnich mężczyzn we-
dług TTŻ

Rysunek 3.4: wykres prawdopodobieństw przeżycia dla 65-letnich mężczyzn we-
dług Gompertza

ROZDZIAŁ 3. MODEL GOMPERTZA

ttz-pl97k

ttz-pl97m:

0 100000

1 99072

1 98909

2 99020

2 98852

3 98982

3 98807

4 98954

4 98771

5 98932

5 98741

6 98910

6 98717

7 98889

7 98694

8 98868

8 98670

9 98850

9 98647

10 98835

10 98624

11 98821

11 98601

12 98808

12 98578

13 98794

13 98553

14 98777

14 98526

15 98755

15 98492

16 98729

16 98448

17 98698

17 98386

18 98665

18 98298

19 98630

19 98185

20 98597

20 98056

21 98566

21 97923

22 98534

22 97790

23 98502

23 97657

24 98469

24 97526

25 98435

25 97391

26 98401

26 97251

27 98364

27 97104

28 98324

28 96950

29 98281

29 96789

30 98235

30 96621

31 98187

31 96443

32 98136

32 96255

33 98081

33 96053

34 98018

34 95836

35 97948

35 95601

36 97868

36 95343

37 97777

37 95058

ttz-pl97k

ttz-pl97m:

38 97675

38 94744

39 97560

39 94396

40 97432

40 94012

41 97290

41 93591

42 97132

42 93131

43 96955

43 92631

44 96759

44 92087

45 96542

45 91498

46 96302

46 90859

47 96037

47 90166

48 95745

48 89416

49 95426

49 88605

50 95078

50 87731

51 94699

51 86793

52 94291

52 85791

53 93852

53 84722

54 93382

54 83586

55 92878

55 82377

56 92337

56 81090

57 91759

57 79718

58 91138

58 78256

59 90472

59 76699

60 89755

60 75045

61 88979

61 73295

62 88136

62 71452

63 87215

63 69517

64 86206

64 67491

65 85099

65 65373

66 83886

66 63165

67 82560

67 60868

68 81111

68 58486

69 79530

69 56026

70 77808

70 53498

71 75932

71 50907

72 73886

72 48259

73 71658

73 45560

74 69236

74 42819

75 66611

75 40045

ttz-pl97k

ttz-pl97m:

76 63785

76 37250

77 60763

77 34447

78 57550

78 31644

79 54154

79 28852

80 50579

80 26082

81 46843

81 23356

82 42974

82 20704

83 39020

83 18166

84 35041

84 15777

85 31092

85 13558

86 27244

86 11535

87 23525

87 9686

88 19989

88 8018

89 16687

89 6537

90 13665

90 5243

91 10956

91 4131

92 8585

92 3193

93 6560

93 2418

94 4878

94 1791

95 3522

95 1295

96 2462

96 913

97 1663

97 626

98 1081

98 417

99 675

99 269

100 403

100 168

101 233

101 102

102 128

102 59

103 67

103 33

104 33

104 18

105 15

105 10

106 7

106 5

107 3

108 2

109 1

Rozdział 4

Wycena parametrów planu
emerytalnego

4.1

Wprowadzenie

W tym rozdziale omówione zostaną cztery podstawowe parametry finansowe

planu emerytalnego:

• Narosłe zobowiązania są oczekiwaną wartością kwoty, jaką w danej chwili

powinien dysponować ubezpieczyciel, żeby móc pokryć koszt zakupu renty

dożywotniej dla każdego uczestnika planu, który osiągnie wiek emerytalny.

Z perspektywy ubezpieczonego narosłe zobowiązania są sumą:

1. kwoty przypadającej mu w wyniku inwestowania przez towarzystwo

ubezpieczeniowe odprowadzanych przez niego składek,

2. kwoty wynikającej z rozłożenia zdyskontowanych dotychczas wpłaco-

nych składek uczestników, którzy nie dożyli wieku emerytalnego, po-

między osoby żyjące.

• Koszt normalny jest składką odprowadzaną do planu przez danego uczest-

nika. W zależności od rodzaju planu emerytalnego (plan o zdefiniowanym

świadczeniu, o zdefiniowanej składce lub inny) koszt normalny może być

pewną stałą, może być ułamkiem otrzymywanej pensji, może być też uza-

leżniony od docelowej wartości otrzymywanego w przyszłości stałego świad-

czenia. Jedynymi parametrami, które w każdym planie emerytalnym wpły-

wają na wysokość kosztu normalnego, są zmienna losowa dalszego trwania

życia oraz stopa oprocentowania. Ważnym parametrem przy ustaleniu wy-

sokości kosztu normalnego jest funkcja B(t) mówiąca o wysokości nabytego

świadczenia w chwili t.

ROZDZIAŁ 4. WYCENA PARAMETRÓW PLANU EMERYTALNEGO

• Deficyt aktuarialny, jest parametrem mówiącym o różnicy pomiędzy wyso-

kością narosłych zobowiązań, a faktyczną wartością aktywów planu emery-

talnego. Jest to wskaźnik kondycji finansowej planu.

• Zysk aktuarialny mówi o zmianie deficytu aktuarialnego w czasie (jeżeli jest

ujemny nazywany jest stratą aktuarialną).

Jedną z metod wyceny podstawowych parametrów finansowych planu jest

metoda jednostkowego kredytu. W metodzie tej najpierw definiuje się wartość

narosłych zobowiązań w chwili t, a później na ich podstawie określa się wysokość

kosztów normalnych.

4.2

Metoda jednostkowego kredytu

W dalszych częściach pracy przyjęte jest założenie, że wpłaty na poczet ubez-

pieczenia emerytalnego dokonywane są w sposób nieprzerwany aż do przejścia

na emeryturę przez uczestnika planu albo jego śmierci (nie są uwzględnione inne

czynniki opuszczenia planu emerytalnego jak np. utrata pracy). Dlatego też odpo-

wiednie dane dotyczące prawdopodobieństwa pozostania w planie i opuszczenia

planu pochodzić będą bezpośrednio z TTŻ.

W chwili rozpoczęcia płatności ubezpieczony ma wiek ω i jego nabyte świad-

czenie jest warte zero. Po ukończeniu y lat uczestnik planu emerytalnego przecho-

dzi na emeryturę nabywając świadczenie warte B(y), a w każdej chwili pośred-

niej x wartość owego świadczenia wynosi B(x) (gdzie 0 = B(ω) < B(x) < B(y)).

Przyjmuje się również założenie, że nowi uczestnicy nie napływają do planu (two-

rząc następny portfel ubezpieczonych) - w ten sposób liczba aktywnych uczestni-

ków planu jest nierosnąca.

Po przejściu j-tego uczestnika planu na emeryturę jego nabyte świadczenie

wartości B

(y) zamieniane jest na rentę dożywotnią.

Przyjmując założenie, że płatności z tytułu otrzymywanej renty mają następo-

wać co roku z góry wartość obecna (czyli wartość na chwilę zero) tego świadczenia

w dowolnej chwili pośredniej x wynosi:

(x) ¨

gdzie:

(1 + i)

−y

= (1 −

y−x

)(1 + i)

−y

Niech A

oznacza grupę aktywnych (równoważnie: żyjących) uczestników pla-

nu w chwili t. Aby w każdej chwili t aktywa planu mogły pokryć koszt zakupu

rent dożywotnich dla wszystkich uczestników planu ich wartość musi wynosić co

4.3. NAROSŁE ZOBOWIĄZANIA

najmniej:

j∈A

) ¨

4.3

Narosłe zobowiązania

W metodzie jednostkowego kredytu narosłe zobowiązania zdefiniowane są ja-

ko zdyskontowane nabyte świadczenia wszystkich aktywnych uczestników planu.

Wartość obecna narosłych zobowiązań w chwili t oznaczana jako AL

jest równa:

j∈A

) ¨

Czynnik AL

zmienia się pod wpływem czasu w zależności od kolejnych wpłat

aktywnych uczestników oraz ich śmierci. Ponieważ nowi uczestnicy tworzą z za-

łożenia odrębny plan liczba aktywnych uczestników jest nierosnąca w czasie (jest

to założenie przyjmowane dla prostoty obliczeń, można rozbudować model omó-

wiony w tym rozdziale tak, żeby była w nim uwzględniona możliwość dołączania

nowych uczestników do planu).

Niech T oznacza zbiór tych ubezpieczonych, którzy na odcinku czasu [t, t + 1)

przestają być aktywni (równoważnie: umierają); R zbiór ubezpieczonych, którzy

w tym czasie osiągają wiek y (równoważnie: przechodzą na emeryturę); A

zbiór

pozostałych aktywnych uczestników planu. Wtedy:

t+1

= A

\(T ∪ R).

Narosłe zobowiązania zmieniają się zatem w czasie zgodnie z:

t+1

j∈A

t+1

+ 1) ¨

j∈A

+ 1) ¨

−

j∈T ∪R

+ 1) ¨

;

dalej korzystając z tożsamości:

1 + i

x+1

1 + i

x+1

wynika:

t+1

j∈A

+ 1) ¨

(1 + i) + q

−

j∈T ∪R

+ 1) ¨

ROZDZIAŁ 4. WYCENA PARAMETRÓW PLANU EMERYTALNEGO

Niech ∆B

oznacza wzrost nabytych świadczeń j-tego uczestnika planu w ciągu

roku. Podstawiając do powyższego wzoru:

t+1

j∈A

) + ∆B

) ¨

(1 + i)

j∈A

+ 1) ¨

−

j∈T ∪R

+ 1) ¨

dalej:

t+1

j∈A

∆B

(1 + i)−

−

j∈T

+ 1) ¨

−

j∈A

+ 1) ¨

−

j∈R

+ 1) ¨

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym ma teoretyczną wartość równą zero.

Wynika to z faktu, że jeżeli j ∈ T (czyli uczestnik należy do grupy osiągającej w

tym roku wiek emerytalny), to B

+ 1) = B(y

+ 1) = 0. W drugiej składowej

zaś sumujemy po zbiorze tych aktywnych uczestników planu, którzy umrą w ciągu

roku i nabyte świadczenie wobec nich wzrośnie, czyli po zbiorze pustym.

Faktyczna wartość tego wyrażenia zależy od realizacji zmiennej losowej dal-

szego trwania życia uczestników planu oraz przewidywań dotyczących stopy pro-

centowej.

Wartość teoretyczna wzoru na AL

t+1

wynosi zatem:

t+1

j∈A

∆B

(1 + i)−

−

j∈R

+ 1) ¨

Aktywa planu w chwili t + 1 stanowią wpłaty dokonane do tej chwili przez

uczestników planu na poczet emerytury, pomniejszone o koszt zakupu rent doży-

wotnich dla tych uczestników, którzy w roku t przeszli na emeryturę.

4.4

Koszt normalny

Koszt normalny w chwili t, oznaczany N C

, jest równy wzrostowi zobowiązań

wobec tych uczestników planu, którzy w nim pozostaną. Jest to koszt ponoszony

4.5. DEFICYT AKTUARIALNY

w normalnych (przeciętnych) okolicznościach; spodziewany koszt. Koszt normalny

planu zdefiniowany jest wzorem:

N C

j∈A

∆B

Dla j-tego uczestnika koszt normalny wynosi równowartość wzrostu zobowiązań

wobec tego uczestnika pomnożonego przez prawdopodobieństwo, że pozostanie on

w planie:

N C

= ∆B

Zachodzi wzór:

N C

j∈A

N C

W celu pokrycia aktywami wartości teoretycznej narosłych zobowiązań AL

t+1

kwota N C

powinna zostać odprowadzona do planu (w formie składek uczestni-

ków planu) na początku roku.

4.5

Deficyt aktuarialny

Przy ocenie stanu finansowego planu w chwili t używa się parametru U AL

nazywanego deficytem aktuarialnym lub narosłymi zobowiązaniami niepokrytymi

aktywami.

Niech F

oznacza wartość aktywów funduszu w chwili t. Deficyt aktuarialny

definiowany jest wzorem:

U AL

= AL

− F

Aktywa funduszu zmieniają się w czasie w zależności od wpłacanych składek,

wypłacanych świadczeń przeznaczonych na zakup rent dożywotnich oraz odsetek

z inwestycji kapitału.

Niech C oznacza odpowiednio wartość wpłacanych przez aktywnych uczestni-

ków planu składek; I odsetki pozyskane z inwestowania posiadanych aktywów; P

kwotę wypłaconą na świadczenie emerytalne. Wartość aktywów w kolejnym roku

wyraża się wtedy wzorem:

t+1

= F

+ C + I − P.

Podstawiając ten wzór do wzoru na AL

t+1

otrzymujemy:

U AL

t+1

j∈A

∆B

(1 + i)−

−

j∈T

+ 1) ¨

−

j∈A

+ 1) ¨

−

ROZDZIAŁ 4. WYCENA PARAMETRÓW PLANU EMERYTALNEGO

−

j∈R

+ 1) ¨

− F

+ C + I − P ;

dalej:

U AL

t+1

= U AL

(1 + i) − (I − iF

) + (N C

(1 + i) − C)−

−

j∈T

+ 1) ¨

−

j∈A

+ 1) ¨

−

j∈R

+ 1) ¨

− P

W związku z tym, że składki wynikające z kosztu normalnego wpłacane są

na początku roku, fundusz zyskuje dodatkową kwotę I

= iC z ich inwestowa-

nia. Analogicznie tracony jest zwrot z kwoty przeznaczonej na zakup rent dla

uczestników nabywających uprawnienie do świadczenia, który wynosi I

= iP .

Podstawiając do poprzedniego wzoru otrzymujemy:

U AL

t+1

= U AL

(1 + i) − (I − iF

− I

+ I

) − (C + I

− N C

(1 + i))−

−

j∈T

+ 1) ¨

−

j∈A

+ 1) ¨

−

j∈R

+ 1) ¨

− P − I

Wartość teoretyczna całego tego wyrażenia jest równa 0; wynika to z faktu,

że różnica pomiędzy wartością oczekiwaną aktywów, a ich wartością faktyczną

jest w teorii bliska zeru. W praktyce odchyłki pomiędzy tymi wartościami mogą

być duże zarówno ze względu na zmieniające się prognozy czasu dalszego trwania

życia, jak i trudną do przewidzenia stopę zwrotu. Dlatego też zazwyczaj oprócz

składki podstawowej (związanej z kosztem normalnym) ubezpieczeni płacą rów-

nież składkę dodatkową, mającą na celu amortyzowanie deficytu aktuarialnego.

Szacowaniu tego, jak duże mogą być te odchyłki poświęcone są rozdziały 5 i 6.

4.6

Zysk aktuarialny

Kolejnym parametrem przydatnym w ocenie finansowej planu jest zysk aktu-

arialny Ga, który wyraża zmianę wartości niepokrytych aktywami zobowiązań w

czasie.

Ga = (U AL

+ N C

)(1 + i) − C − I

− U AL

t+1

Zmiana ta, podobnie jak w przypadku deficytu aktuarialnego, wynika z różnicy

pomiędzy wartością oczekiwaną aktywów, a ich wartością faktyczną.W przypadku

ujemnego zysku aktuarialnego nazywany jest on stratą aktuarialną.

4.7. INNE METODY

Deficyt aktuarialny wskazuje na konkretną wartość niepokrytych aktywami

narosłych zobowiązań w chwili t; zysk aktuarialny (lub strata aktuarialna) nato-

miast wskazuje na to o ile zmalała (lub wzrosła) wartość niepokrytych aktywami

narosłych zobowiązań na przedziale czasu [t, t + 1).

4.7

Inne metody

Jak już zostało zaznaczone we wprowadzeniu, istnieją inne metody wyceny

kosztów i zobowiązań planu emerytalnego niż metoda jednostkowego kredytu. Je-

śli wysokość emerytury wyliczana jest ze składek będących określonym ułamkiem

wynagrodzenia (które zazwyczaj jest rosnące w czasie), to koszty normalne wy-

liczane omówioną w tym rozdziale metodą jednostkowego kredytu mogą rosnąć

szybciej niż pensja uczestników planu [

W metodzie normalnego wieku nowych uczestników planu (zakładającej sta-

ły wiek dla każdego nowego uczestnika) eliminuje się ten problem dzięki zmianie

sposobu naliczania narosłych zobowiązań oraz kosztu normalnego: najpierw de-

finiuje się koszt normalny, a następnie wyznacza się na jego podstawie narosłe

zobowiązania wobec konkretnego uczestnika. Metodą podobną do metody nor-

malnego wieku nowych uczestników planu jest metoda stałych indywidualnych

składek, w której wiek nowych osób napływających do planu może być różny.

Rozdział 5

Losowe fluktuacje

5.1

Wprowadzenie

W rozdziale 4 przedstawione zostały podstawowe wskaźniki wyceny planu

emerytalnego. Do wyliczenia wartości narosłych zobowiązań, kosztu normalnego

operuje się na wartościach oczekiwanych renty dożywotniej od zmiennej losowej

dalszego czasu trwania życia. Przyjmując nawet, że wartości te estymowane są

w sposób nieobciążony, istnieje ryzyko związane z różnicą pomiędzy oczekiwaną

wartością, a konkretną realizacją losową tej zmiennej losowej.

W tym rozdziale przedstawione zostaną metody szacowania wartości oczeki-

wanej, wariancji oraz współczynnika zmienności dla renty dożywotniej od zmien-

nej losowej dalszego czasu trwania życia; wykorzystany zostanie fakt, że parame-

try te są malejącymi funkcjami parametru δ > 0, a następnie wyliczone zostaną

ich kresy górne przy δ → 0.

Przyjęty został model oprocentowania ciągłego, z intensywnością oprocento-

wania δ. Emerytury wypłacane są zatem w sposób ciągły oraz odsetki są kapita-

lizowane w sposób ciągły.

W dalszej części omówiona zostanie konstrukcja przedziału ufności dla naro-

słych zobowiązań (w zależności od renty dożywotniej od zmiennej losowej dal-

szego czasu trwania życia) wyliczanych metodą jednostkowego kredytu (która

została przedstawiona w rozdziale 4). Metoda ta może być użyteczna przy próbie

oszacowania wypłacalności planu oraz wyznaczenia narzutu bezpieczeństwa.

5.2

Fluktuacja wartości obecnej renty dożywotniej

Niech T będzie zmienną losową dalszego trwania życia (T są dla różnych

uczestników planu niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie).

ROZDZIAŁ 5. LOSOWE FLUKTUACJE

W celu oszacowania wartości oczekiwanej, wariancji oraz współczynnika zmien-

ności renty dożywotniej od zmiennej losowej dalszego trwania życia najbezpiecz-

niej jest przyjąć najbardziej niekorzystne warunki oprocentowania (czyli takie,

gdzie intensywność oprocentowania maleje do zera). W dalszej części pracy przy-

jęte jest założenie, że δ > 0, czyli ubezpieczalnie nie odnotowują strat z inwestycji

środków pozyskanych ze składek rentowych.

• Dla renty pewnej (czyli takiej, w której dla każdego x oraz t > x

= 1),

ciągłej ¯

wartość obecna wynosi:

dt =

−δt

dt =

(1 − e

−δn

Wartość oczekiwana zmiennej losowej ¯

z definicji jest równa:

= E[¯

] =

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt =

∞

(1 − e

−δt

)

x+t

dt.

Aby udowodnić, że ¯

jest malejącą funkcją parametru δ posłużmy się po-

chodną:

dδ

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt =

dδ

∞

f (t) dt −

dδ

∞

−δt

f (t) dt =

= −

∞

f (t) dt +

∞

−δt

f (t) dt +

∞

−δt

f (t) dt =

∞

[(δt + 1)e

−δt

− 1] f (t) dt.

Ponieważ dla x = 0 zachodzi e

= 1 + 0 oraz:

(x + 1)

= 1 i (e

)

= e

> 1 dla x > 0,

to dla każdego x > 0 prawdziwe jest:

x + 1 < e

Zatem dla dowolnego δ > 0 oraz t > 0 zachodzi:

(δt + 1) < e

δt

z czego:

(δt + 1)e

−δt

< 1.

5.2. FLUKTUACJA WARTOŚCI OBECNEJ RENTY DOŻYWOTNIEJ

Wynika z tego, że

dδ

< 0 dla każdego δ > 0, czyli ¯

jest malejącą

funkcją parametru δ. Wyliczając supremum ¯

w zależności od δ (stosując

twierdzenie o zbieżności jednostajnej):

sup

δ>0

= lim

δ→0

= lim

δ→0

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt =

∞

lim

δ→0

(1 − e

−δt

) f (t) dt

∞

tf (t) dt = ET ;

gdzie równość:

lim

δ→0

(1 − e

−δt

) = lim

δ→0

−δt

= t,

wynika z reguły de l’Hospitala.

• Wariancja zmiennej losowej V ar[¯

] wyraża się wzorem:

V ar[¯

] =

∞

[

(1 − e

−δt

)]

f (t) dt − [ET ]

∞

[

(1 − e

−δt

)]

f (t) dt −

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

∞

f (t) dt −

∞

−δt

f (t) dt +

∞

−2δt

f (t) dt−

−

∞

f (t) dt

− 2

∞

f (t) dt ·

∞

−δt

f (t) dt

∞

−δt

f (t) dt

gdzie:

∞

f (t) dt = 1.

Obliczając dalej:

V ar[¯

] =

∞

−2δt

f (t) dt −

∞

−δt

f (t) dt

Analogicznie do poprzedniego podpunktu, aby wykazać, że V ar[¯

] jest

malejącą funkcją parametru δ, można policzyć pochodną tej funkcji.

dδ

V ar[¯

] = −

∞

−2δt

f (t) dt −

∞

−δt

f (t) dt

−

∞

2t e

−2δt

f (t) dt + 2

∞

−δt

f (t) dt ·

∞

t e

−δt

f (t) dt

−

∞

−2δt

f (t) dt +

∞

−δt

f (t) dt

−

ROZDZIAŁ 5. LOSOWE FLUKTUACJE

−

∞

δte

−2δt

f (t) dt +

∞

−δt

f (t) dt ·

∞

δte

−δt

f (t) dt

−

∞

(δt + 1)e

−2δt

f (t) dt +

∞

(δt + 1)e

−δt

f (t) dt ·

∞

−δt

f (t) dt

Niech h(t) = (δt + 1)e

−δt

oraz g(t) = e

−δt

. Obie te funkcje są ściśle malejące

dla δ > 0. Można zapisać

dδ

V ar[¯

] przy użyciu funkcji h(t) i g(t):

dδ

V ar[¯

] =

−

∞

h(t)g(t)f (t)dt +

∞

h(t)f (t)dt ·

∞

g(t)f (t)dt

−

∞

f (t)dt

∞

h(t)g(t)f (t)dt +

∞

h(t)f (t)dt ·

∞

g(t)f (t)dt

gdzie f (x) to funkcja gęstości.

Z nierówności Czebyszewa [

], jeżeli funkcje g i h są obie ściśle malejące lub

obie ściśle rosnące, to zachodzi:

f h ·

f g ¬

f ·

f hg,

z czego wynika:

dδ

V ar[¯

] < 0.

Zatem V ar[¯

] jest malejącą funkcją parametru δ.

Stosując regułę de l’Hospitala:

lim

δ→0

(1 − e

−δt

) = lim

δ→0

−δt

= t,

lim

δ→0

(1 − e

−δt

)

= lim

δ→0

−δt

(1 − e

−δt

)

2δ

= t

;

oraz stosując twierdzenie o zbieżności jednostajnej można obliczyć supre-

mum V ar[¯

sup

δ>0

V ar[¯

] = lim

δ→0

V ar[¯

] =

= lim

δ→0

∞

[

(1 − e

−δt

)]

f (t) dt − lim

δ→0

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

∞

f (t)dt −

∞

tf (t)dt

= E[T

] − (E[T

])

= V ar[T ].

• Współczynnik zmienności zmiennej losowej τ

zdefiniowany jest wzorem:

V ar[¯

]

E[¯

]

∞

[

1
δ

(1 − e

−δt

)]

f (t) dt −

∞

1
δ

(1 − e

−δt

) f (t) dt

∞

1
δ

(1 − e

−δt

) f (t) dt

5.2. FLUKTUACJA WARTOŚCI OBECNEJ RENTY DOŻYWOTNIEJ

Aby wykazać, że τ

jest funkcją ściśle malejącą parametru δ można rozwa-

żyć (ze względu na to, że jest to funkcja przyjmująca wartości z przedziału

[0, 1]) funkcję τ

V ar[¯

]

(E[¯

])

∞

[(1 − e

−δt

)]

f (t) dt

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

− 1.

Wyliczając pochodną:

dδ

∞

[(1 − e

−δt

)]

f (t) dt

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

− 1

= 2

∞

(1 − e

−δt

)te

−δt

f (t) dt ·

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

−

−2

∞

(1 − e

−δt

)

f (t) dt ·

∞

−δt

f (t) dt

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

= 2

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt ·

∞

−δt

f (t) dt

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

∞

(1 − e

−δt

)te

−δt

f (t) dt

∞

−δt

f (t) dt

−

∞

(1 − e

−δt

)(1 − e

−δt

) f (t) dt

∞

(1 − e

−δt

) f (t) dt

Oznaczmy wyrażenie w nawiasie kwadratowym poprzez α oraz:

(t) =

−δt

f (t)

∞

−δs

f (s) ds

(t) =

(1 − e

−δt

) f (t)

∞

(1 − e

−δs

) f (s) ds

i zauważmy, że g

(t) i g

(t) całkują się do jedynki. Wtedy:

α =

∞

(1 − e

−δt

(t) dt −

∞

(1 − e

−δt

(t) dt.

Iloraz:

(t)

= c

δt

− 1

jest dla pewnej stałej c (również zależnej od parametru δ) oraz δ > 0 rosnącą

funkcją parametru t.

Żeby to sprawdzić wystarczy policzyć pochodną tego ilorazu:

(t)

= c

δte

δt

− (e

δt

− 1)

= c

δt

(δt − 1) + 1

> 0.

Ponieważ dla x = 0 zachodzi e

−0

= 1 − 0 oraz:

(1 − x)

= −1 i (e

−x

)

= −e

−x

> −1 dla x > 0,

ROZDZIAŁ 5. LOSOWE FLUKTUACJE

to prawdziwa jest (dla x > 0) nierówność:

−x

> 1 − x.

Zatem dla dowolnego δ > 0 oraz t > 0 zachodzi:

−δt

> (1 − δt).

Dalej zauważając, że iloraz funkcji g

(t) i g

(t) jest różniczkowalny i ciągły

oraz nie może być stale większy (lub stale mniejszy) od 1 (bo wtedy któraś

z tych funkcji nie mogłaby całkować się do jedynki): istnieje takie t

> 0,

że dla każdego t > t

(t)

> 1,

natomiast dla każdego t < t

(t)

< 1.

Zatem wyrażenie α można przekształcić do postaci:

α =

∞

δt

− e

−δt

)

1 −

(t)

(t) dt =

δt

− e

−δt

)

1 −

(t)

(t) dt+

∞

δt

− e

−δt

)

1 −

(t)

(t) dt < 0,

gdzie ostatnia nierówność wynika z tego, że w obu całkach funkcja całko-

wana przyjmuje wartości ujemne.

Wynika stąd, że współczynnik zmienności zmiennej losowej τ

jest male-

jącą funkcją parametru δ.

Obliczając supremum τ

sup

δ>0

= lim

δ→0

= lim

δ→0

V ar[¯

]

E[¯

]

V ar[T ]

= τ

gdzie τ

jest współczynnikiem zmienności zmiennej losowej czasu dalszego

trwania życia.

5.3

Szacowanie wariancji względnych odchyłek

Zgodnie z założeniami metody jednostkowego kredytu narosłe zobowiązania

wobec uczestników planu w chwili t (przy założeniu, że świadczenie jest za-

mieniane na rentę ciągłą oraz odsetki są kapitalizowane w sposób ciągły) wyrażają

się wzorem (zawartym w podpunkcie (4.3)):

j∈A

) ¯

= ¯

j∈A

)

5.3. SZACOWANIE WARIANCJI WZGLĘDNYCH ODCHYŁEK

Niech T

oznacza konkretną realizację losową zmiennej losowej dalszego cza-

su trwania życia dla j-tego uczestnika planu. T

oznacza zatem faktyczną dłu-

gość czasu, przez który uczestnik planu pobierał będzie emeryturę (T

= 0 jeżeli

uczestnik planu nie dożył wieku emerytalnego y).

Faktyczna wartość narosłych zobowiązań AL

∗

w chwili t wynosi zatem:

∗
t

j∈A

) ¯

y−x

Niech ∆AL

oznacza względną odchyłkę AL

∗

od AL

∆AL

∗

− AL

j∈A

) ¯

y−x

− ¯

j∈A

)

i∈A

)

j∈A

)

− ¯

i∈A

)

j∈A

− ¯

gdzie π

zdefiniowane jest wzorem:

)

i∈A

)

Niech Z

będzie zmienną o rozkładzie zero-jedynkowym, gdzie Z

= 1, gdy

j-ty uczestnik dożyje emerytury, a Z

= 0 w przeciwnym przypadku. Prawdo-

podobieństwo P (Z

= 1) determinowane jest przez rozkład zmiennej losowej T

dalszego trwania życia. Zachodzi więc:

P (Z

= 1) =

Własnością wartości oczekiwanej jest:

E[X] = E[E[X|Y ]],

co można udowodnić następująco:

E[E(X|Y )] =

E(X|Y = y)P (Y = y) =

xP (X = x|Y = y)

P (Y = y) =

xP (X = x|Y = y)P (Y = y) =

xP (Y = y, X = x) =

ROZDZIAŁ 5. LOSOWE FLUKTUACJE

x ·

P (Y = y, X = x) =

xP (X = x) = E[X],

z czego wynika zależność:

= E

= E[¯

] = ¯

gdzie T jest zmienną losową dalszego czasu trwania życia uczestników, którzy

dożyli wieku emerytalnego y.

∆AL

jest średnią ważoną (z wagami π

) odchyłek współczynników

wartości oczekiwanej ¯

. Wartość oczekiwana E[∆AL

] jest równa zeru, wariancja

z powyższych rozważań jest równa:

V ar[∆AL

] = V ar

j∈A

− ¯

j∈A

V ar[¯

Wariancję V ar[¯

] można obliczyć ze wzoru:

V ar[X] = V ar[E(X|Y )] + E[V ar(X|Y )],

który wyprowadzić można następująco:

V ar[X] = E[X

] − [E(X)]

= E[E[X

|Y ]] − [E[E(X)|Y ]]

= E[V ar[X|Y ] + (E[X|Y ])

] − [E[E(X)|Y ]]

= E[V ar[X|Y ]] + (E[(E[X|Y ])

] − [E[E(X)|Y ]]

) =

= V ar[E(X|Y )] + E[V ar(X|Y )].

Wariancja V ar[¯

] spełnia zatem równość:

V ar[¯

] = V ar[E(¯

)] + E[V ar(¯

)].

Warunkową wartość oczekiwaną zapisać można jako:

E[¯

] =

(

E[¯

], Z

= 1

= 0

Wartość oczekiwana E[¯

] jest zatem zmienną losową, przyjmującą war-

tość E[¯

] z prawdopodobieństwem

oraz wartość zero z prawdopodobień-

stwem 1 −

. Jest to zatem przeskalowana zmienna zero-jedynkowa, której wa-

riancja wynosi:

V ar[E(¯

)] = ¯

2
y

(1 −

5.3. SZACOWANIE WARIANCJI WZGLĘDNYCH ODCHYŁEK

Warunkową wartość oczekiwaną zapisać można jako:

V ar[¯

] =

(

V ar[¯

], Z

= 1

= 0

Analogicznie do poprzedniego podpunktu V ar[¯

] jest zmienną losową,

przyjmującą wartość V ar[¯

] z prawdopodobieństwem

oraz wartość zero z

prawdopodobieństwem 1 −

. Wartość oczekiwana tej zmiennej jest równa war-

tości oczekiwanej przeskalowanej zmiennej zero-jedynkowej z odpowiednimi praw-

dopodobieństwami sukcesu (p =

) i porażki (q = 1 −

E[V ar(¯

)] =

V ar[¯

Z powyższych tożsamości wynika:

V ar[¯

] = ¯

2
y

(1 −

) + V ar[¯

]

Podstawiając wzór na V ar[¯

] do wzoru na wariancję względnych odchyłek

∆AL

otrzymujemy:

V ar[∆AL

] =

j∈A

2
y

(1 −

) + V ar[¯

]

j∈A

1 −

V ar[¯

]

j∈A

y−x

V ar[¯

]

y−x

Korzystając z nierówności Schwartza:

i=1

2
i

i=1

można (dla y

= 1) zapisać:

i∈A

)

i∈A

)

· |A

| =

i∈A

)

· n

Korzystając z powyższego faktu:

j∈A

)

i∈A

)

j∈A

)

i∈A

)

ROZDZIAŁ 5. LOSOWE FLUKTUACJE

j∈A

)

i∈A

)

Zatem wariancję odchyłek narosłych zobowiązań oszacować można w nastę-

pujący sposób:

V ar[∆AL

] =

j∈A

y−x

V ar[¯

]

y−x

j∈A

y−x

j∈A

V ar[¯

]

y−x

(bo pierwszy składnik sumy jest większy od zera (

y−x

> 0 oraz

y−x

< 1))

j∈A

V ar[¯

]

V ar[¯

]

j∈A

V ar[¯

]

Oszacowanie z góry otrzymać można natomiast:

V ar[∆AL

] ¬ max

j∈A

y−x

V ar[¯

]

y−x

∗

V ar[¯

]

+ q

∗

gdzie:

∗

= max

j∈A

∗

= min

j∈A

y−x

∗

= max

j∈A

y−x

Drugie oszacowanie wynika stąd, że:

j∈A

= 1 oraz ∀

max

i∈A

¬ 1,

czyli:

j∈A

max

i∈A

¬ 1, a zatem:

j∈A

¬ max

i∈A

Wariancja odchyłek narosłych zobowiązań zależy od intensywności oprocen-

towania δ poprzez współczynniki odpowiednio: V ar[¯

]/¯

oraz π

. Pierwszy z

tych współczynników oszacować można poprzez wariancję zmiennej losowej dal-

szego trwania życia (co zostało omówione w poprzednim podpunkcie). Oszaco-

wanie drugiego jest możliwe przy pogrupowaniu uczestników planu w kohorty ze

względu na wysokość odprowadzanych składek (kosztów normalnych).

5.4. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI NAROSŁYCH ZOBOWIĄZAŃ Z UWZGLĘDNIENIEM
KOHORT

5.4

Przedział ufności narosłych zobowiązań z uwzględnie-

niem kohort

Uczestników planu można ze względu na wartość wyrażenia B

(x)

podzielić

na l kohort A

t,i

o liczności n

t,i

. Jeżeli w każdej takiej kohorcie współczynnik ten

będzie wynosił:

(x)

= β

gdzie β

jest pewną stałą, to ∆AL

wyrażać się będzie wzorem:

∆AL

j∈A

)

− ¯

i∈A

)

l
i=1

j∈A

t,i

− ¯

l
k=1

t,k

Jeżeli dodatkowo struktura płacowo-wiekowa pozwala na utworzenie kohort

tak, żeby była spełniona równość:

t,i

to ∆AL

opisane jest wzorem:

∆AL

l
i=1

t,i

j∈A

t,i

− ¯

l
k=1

l¯

i=1

t,i

j∈A

t,i

− ¯

Ten sposób dobierania kohort (liczność kohorty jest odwrotnie proporcjonalna

do wysokości stałej β

w kohorcie) powoduje, że narosłe zobowiązania w każdej

kohorcie są w przybliżeniu równe.

Wartość oczekiwana ∆AL

jest zerowa, natomiast po uwzględnieniu kohort

wariancję można zapisać jako:

V ar[∆AL

] = V ar

l¯

i=1

t,i

j∈A

t,i

− ¯

i=1

t,i

j∈A

t,i

V ar[¯

ROZDZIAŁ 5. LOSOWE FLUKTUACJE

Korzystając ze wzoru na wariancję renty od zmiennej losowej T

można to

wyrażenie zapisać jako:

i=1

t,i

j∈A

t,i

2
y

(1 −

) + V ar[¯

]

i=1

t,i

j∈A

t,i

y−x

1 −

y−x

+ τ

Aby policzyć błąd przybliżenia:

V ar[∆AL

] ≈

i=1

t,i

wynikającego z faktu, że

y−x

≈ 1, można skorzystać z tożsamości:

V ar[∆AL

] =

i=1

t,i

j∈A

t,i

y−x

i=1

t,i

j∈A

t,i

y−x

− 1

i=1

t,i

+ 1

i=1

t,i

j∈A

t,i

y−x

− 1

Oznaczając średnią harmoniczną prawdopodobieństw

y−x

przez:

t,i

j∈A

t,i

y−x

−1

otrzymujemy:

V ar[∆AL

] =

i=1

t,i

+ 1

i=1

t,i

−1

t,i

− 1).

Niech współczynnik będzie ilorazem składnika pominiętego, do pozostawio-

nego:

+ 1

i=1

−1

t,i

− 1)α

gdzie α

wyraża się wzorem:

t,i

l
j=1

t,j

Współczynnik

może być duży dla małych wartości współczynnika zmien-

ności renty od zmiennej losowej dalszego trwania życia.

5.4. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI NAROSŁYCH ZOBOWIĄZAŃ Z UWZGLĘDNIENIEM
KOHORT

Z centralnego twierdzenia granicznego, jeżeli liczność kohort jest duża, to

∆AL

ma w przybliżeniu rozkład normalny. Przedział ufności na poziomie istot-

ności α dla wartości średniej rozkładu normalnego wynosi:

x − z

1−

√

¬ µ ¬ ¯

x + z

1−

√

gdzie ¯

x = ∆AL

= 0,

√

n = 1 (tylko jedna zmienna losowa), a przybliżanie

wartości σ =

V ar[∆AL

] omówione zostało powyżej.

Rozdział 6

Przykłady zastosowań

6.1

Wprowadzenie

W tym podrozdziale opisane zostały przykłady zastosowań wzorów na prze-

działy ufności narosłych zobowiązań w oparciu o prawdopodobieństwa przeżycia

pochodzące z modelu Gompertza przybliżonego do TTŻ oraz dodatkowe założe-

nia dotyczące kohort (alternatywnie: struktury płacowo-wiekowej planu).

Przekształcając zadany przedział ufności oraz ograniczając τ

kresem gór-

nym (przy δ dążącym do zera):

1. W przypadku, gdy błąd przybliżenia:

V ar[∆AL

] ≈

i=1

t,i

jest dopuszczalny, otrzymujemy następujący przedział ufności:

− z

1−

V ar[T ]

E[T ]

v
u
u
t

i=1

t,i

; z

1−

V ar[T ]

E[T ]

v
u
u
t

i=1

t,i

2. Jeżeli natomiast powyższe przybliżenie nie jest wystarczająco dokładne,

przedział ufności przedstawia się następująco:

− z

1−

v
u
u
u
t

i=1

t,i

j∈A

t,i

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

;

1−

v
u
u
u
t

i=1

t,i

j∈A

t,i

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

ROZDZIAŁ 6. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ

Przypuśćmy, że struktura płacowo-wiekowa pozwala na pogrupowanie uczest-

ników planu emerytalnego w jedną kohortę, w której współczynnik B

(y) jest

w przybliżeniu stały dla każdego z uczestników. Niech uczestnicy planu mają w

przybliżeniu jednakowej wielkości składkę emerytalną oraz podobny wiek.

Dla takich założeń wzór na wariancję średnich odchyłek narosłych zobowiązań

przybiera następującą postać:

V ar[∆AL

] =

j∈A

y−x

1 −

y−x

+ τ

Wartość przybliżonego przedziału ufności można obliczyć z następujących

wzorów:

− z

1−

V ar[T ]

E[T ]

; z

1−

V ar[T ]

E[T ]

Wartość dokładniejszego przedziału ufności wynosi natomiast:

− z

1−

v
u
u
u
t

j∈A

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

;

1−

v
u
u
u
t

j∈A

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

Wskaźnik błędu dla jednej kohorty wynosi odpowiednio:

+ 1

i=1

−1

t,i

− 1)α

+ 1

−1

− 1),

ponieważ:

t,i

l
j=1

t,j

= 1.

W dalszej części pracy przyjęty jest poziom ufności 95%, czyli α = 5%.

Odczytując odpowiedni kwantyl rozkładu normalnego (z tablic statystycznych

[

]) otrzymujemy:

1−

0,05

= 1, 96

6.2

Przedział ufności dla jednej kohorty kobiet - przykład

Załóżmy, że plan emerytalny składa się z 200 kobiet w wieku od 40 do 44 lat

oraz zbliżonej wielkości składce emerytalnej.

Przyjmijmy, że struktura wiekowa w każdej z kohort ma rozkład z jednakowo

prawdopodobnymi atomami z wyjątkiem dwóch wartości krańcowych, których

6.2. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA JEDNEJ KOHORTY KOBIET - PRZYKŁAD

prawdopodobieństwo jest równe połowie prawdopodobieństwa wystąpienia po-

zostałych (czyli w każdej kohorcie każdy wiek jest jednakowo prawdopodobny, z

wyjątkiem najmniejszego i największego wieku, które występują połowę rzadziej).

Realizacja losowa została wygenerowana w arkuszu kalkulacyjnym poprzez

zaokrąglenie do liczb całkowitych wartości z przeskalowanego i przesuniętego roz-

kładu jednostajnego (komenda: = 40 + (4 ∗ LOS())):

wiek

ilość osób

Wartość wyrażenia wyznaczającego kraniec przedziału wynosi:

1−

V ar[T ]

E[T ]

= 1, 96

√

79, 3706611

20, 7349182

200

= 0, 0595482,

z czego przybliżony przedział ufności wynosi:

− 0, 0595482;

0, 0595482

Wyliczając z TTŻ-pl97k kolejno odpowiednie prawdopodobieństwa dożycia

wieku emerytalnego: (

) dla każdej z tych realizacji losowych, można

obliczyć odpowiednie wartości wyrażenia:

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

gdzie K

to ilość osób w wieku x

, otrzymując odpowiednio wyniki:

4, 8608629 17, 3275966 13, 5347345 14, 5411522 6, 0951150.

Można zatem obliczyć wartość wyrażenia:

1−

v
u
u
u
t

j=1

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

= 0, 0735715,

otrzymując dokładniejszy przedział ufności postaci:

− 0, 0735715;

0, 0735715

Różnica pomiędzy przedziałem ufności pochodzącym ze wzoru przybliżonego,

a tym dokładniejszym wydaje się być dopuszczalna. Zobaczmy, jak to wynika ze

wskaźnika błędu .

+ 1

−1

− 1) =

0, 4296627

+ 1

0, 4296627

0, 0820416 = 0, 5264462

ROZDZIAŁ 6. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ

6.3

Przedział ufności dla jednej kohorty mężczyzn - przy-

kład

Załóżmy, że plan emerytalny składa się z 200 mężczyzn w wieku od 40 do 44

lat oraz zbliżonej wielkości składce emerytalnej.

Przyjmijmy, że struktura wiekowa w każdej z kohort ma rozkład z jednakowo

prawdopodobnymi atomami z wyjątkiem dwóch wartości krańcowych, których

prawdopodobieństwo jest równe połowie prawdopodobieństwa wystąpienia po-

zostałych (czyli w każdej kohorcie każdy wiek jest jednakowo prawdopodobny, z

wyjątkiem najmniejszego i największego wieku, które występują połowę rzadziej).

Realizacja losowa została wygenerowana w arkuszu kalkulacyjnym poprzez

zaokrąglenie do liczb całkowitych wartości z przeskalowanego i przesuniętego roz-

kładu jednostajnego (komenda: = 40 + (4 ∗ LOS())):

wiek

ilość osób

Wartość wyrażenia wyznaczającego kraniec przedziału wynosi:

1−

V ar[T ]

E[T ]

= 1, 96

√

63, 0766205

13, 1180551

200

= 0, 0839085,

z czego przybliżony przedział ufności wynosi:

− 0, 0839085;

0, 0839085

Wyliczając z TTŻ-pl97m kolejno odpowiednie prawdopodobieństwa dożycia

wieku emerytalnego: (

) dla każdej z tych realizacji losowych, można

obliczyć odpowiednie wartości wyrażenia:

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

gdzie K

to ilość osób w wieku x

, otrzymując odpowiednio wyniki:

20, 2694521 52, 6026318 51, 1269688 43, 0718147 22, 1993306.

Można zatem obliczyć wartość wyrażenia:

1−

v
u
u
u
t

j=1

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

= 0, 1348240,

otrzymując dokładniejszy przedział ufności postaci:

− 0, 1348240;

0, 1348240

6.4. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WIELU KOHORT KOBIET - PRZYKŁAD

Różnica pomiędzy przedziałem ufności pochodzącym ze wzoru przybliżonego, a

tym dokładniejszym wydaje się być duża. Zobaczmy, jak to wynika ze wskaźnika

błędu .

+ 1

−1

− 1) =

0, 6054311

+ 1

0, 6054311

0, 4242841 = 1, 5818008

6.4

Przedział ufności dla wielu kohort kobiet - przykład

Załóżmy, że w plan emerytalny składa się ze 160 uczestników płci żeńskiej, w

wieku od 20 do 59 lat, których dalszy czas życia zadany jest niezależnymi zmien-

nymi losowymi o tym samym rozkładzie; prawdopodobieństwa przeżycia do czasu

emerytalnego pochodzą odpowiednio z TTŻ-pl97k, natomiast prawdopodobień-

stwa przeżycia po osiągnięciu wieku emerytalnego pochodzą z modelu Gompertza

przybliżonego do TTŻ-pl97k.

Zatem (używając wzorów wyprowadzonych w rozdziale 3) wartość oczeki-

wana dalszego czasu trwania życia po osiągnięciu wieku emerytalnego wynosi

20, 7349182, wariancja 79, 3706611, współczynnik zmienności 0, 4296627.

Załóżmy, że ze względu na strukturę wiekowo-płacową uczestnicy zostali po-

grupowani w 7 kohort tak, aby zachodziła zależność:

t,i

a liczność w kohortach przedstawia się następująco:

5 12 18 23 29 34 39.

• Powyższe dane są wystarczające do policzenia przybliżonego przedziału uf-

ności. Odwrotności liczności kohort wynoszą:

0, 200000

0, 083333 0, 055556 0, 043478 0, 034483 0, 029412 0, 025641,

Wartość wyrażenia wyznaczającego kraniec przedziału wynosi:

1−

V ar[T ]

E[T ]

v
u
u
t

i=1

t,i

= 1, 96

√

79, 3706611

20, 7349182

v
u
u
t

i=1

t,i

= 0, 0826441,

zatem przedział wynosi:

− 0, 0826441;

0, 0826441

• Przyjmijmy, że struktura wiekowa w każdej z kohort ma rozkład z jednako-

wo prawdopodobnymi atomami z wyjątkiem dwóch wartości krańcowych,

ROZDZIAŁ 6. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ

których prawdopodobieństwo jest równe połowie prawdopodobieństwa wy-

stąpienia pozostałych (czyli w każdej kohorcie każdy wiek jest jednakowo

prawdopodobny, z wyjątkiem najmniejszego i największego wieku, które

występują połowę rzadziej). Mając do dyspozycji konkretne dane (w tym

przykładzie będzie to konkretna realizacja losowa wieku uczestników w każ-

dej z kohort) można policzyć prawdopodobieństwa dożycia wieku emerytal-

nego, a następnie policzyć dokładniejszy przedział ufności.

Realizacja losowa została wygenerowana w arkuszu kalkulacyjnym poprzez

zaokrąglenie do liczb całkowitych wartości z przeskalowanego i przesunię-

tego rozkładu jednostajnego (komenda: = 20 + (39 ∗ LOS())):

27 35 24 26 51 21 47 47 28 28 32 45 50 48 27 38 32 56 52 23 28 36

35 34 37 52 51 42 49 26 52 32 36 57 59 25 36 49 24 59 33 37 34 52

28 28 20 57 29 55 35 56 53 47 34 38 54 56 52 23 37 25 37 51 36 47

35 25 41 36 25 28 46 58 51 28 22 31 43 48 58 50 44 54 43 49 43 26

44 42 40 39 43 27 36 30 22 32 41 44 55 27 44 59 42 56 35 45 26 47

57 50 44 35 24 34 46 25 40 27 53 45 44 58 22 21 57 35 51 57 38 50

28 22 46 25 57 54 51 41 35 21 32 49 52 39 39 47 40 45 26 34 38 51

41 21 54 30 25 42,

gdzie 5 pierwszych realizacji to wiek osób z pierwszej kohorty, 12 następnych

to wiek osób z drugiej kohorty itd.

Kwadraty odwrotności liczności kohort wynoszą odpowiednio:

0, 040000 0, 006944 0, 003086 0, 001890 0, 001189 0, 000865 0, 000657.

Wyliczając z TTŻ-pl97k kolejno odpowiednie prawdopodobieństwa doży-

cia wieku emerytalnego: (

) dla każdej z tych realizacji losowych,

można obliczyć odpowiednie wartości wyrażenia:

t,i

j∈A

t,i

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

dla każdej z kohort, otrzymując odpowiednio wyniki:

0, 05757 0, 02362 0, 01482 0, 01162 0, 00945 0, 00814 0, 00960.

Teraz można już obliczyć wartość wyrażenia:

1−

v
u
u
u
t

i=1

t,i

j∈A

t,i

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

= 0, 1028084,

6.5. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WIELU KOHORT MĘŻCZYZN - PRZYKŁAD

otrzymując przedział ufności postaci:

− 0, 1028084;

0, 1028084

• Różnica pomiędzy przedziałem ufności pochodzącym ze wzoru przybliżo-

nego, a tym dokładniejszym wydaje się być dopuszczalna. Aby zobaczyć, z

którego wzoru dogodniej będzie skorzystać, można policzyć najpierw iloraz

składnika pominiętego do pozostawionego:

+ 1

i=1

−1

t,i

− 1)α

gdzie α

wyraża się wzorem:

t,i

l
j=1

t,j

Dla odpowiednich kohort n

t,i

wartości H

−1

t,i

oraz α

przedstawiają się na-

stępująco:

t,i

−1

t,i

1,08714

1,08347

1,06929

1,06986

1,07544

1,07768

1,16021

0,42382

0,17659

0,11773

0,09213

0,07307

0,06233

0,05434

Obliczając zatem iloczyny (H

−1

t,i

− 1)α

w każdej kolumnie i sumując je

otrzymujemy:

i=1

−1

t,i

− 1)α

= 0, 08532,

zatem:

0, 4296627

+ 1

0, 4296627

0, 08532 = 0, 5475095.

Widać, że współczynnik przyjmuje względnie małą wartość; można więc

uznać za dopuszczalne obliczanie przedziału ufności dla narosłych zobowiązań za

pomocą wzoru przybliżonego.

6.5

Przedział ufności dla wielu kohort mężczyzn - przy-

kład

Analogicznie do poprzedniego przykładu, załóżmy, że w plan emerytalny składa

się ze 160 uczestników płci męskiej, w wieku od 20 do 64 lat, których dalszy czas

życia zadany jest niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie;

prawdopodobieństwa przeżycia do czasu emerytalnego pochodzą odpowiednio z

ROZDZIAŁ 6. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ

TTŻ-pl97m, natomiast prawdopodobieństwa przeżycia po osiągnięciu wieku eme-

rytalnego pochodzą z modelu Gompertza przybliżonego do TTŻ-pl97m.

Zatem (ze wzorów zawartych w rozdziale 3) wartość oczekiwana dalszego cza-

su trwania życia po osiągnięciu wieku emerytalnego wynosi 13, 1180551, wariancja

63, 0766205, współczynnik zmienności 0, 6054311.

Podobnie jak poprzednio, załóżmy, że ze względu na strukturę wiekowo-płacową

uczestnicy zostali pogrupowani w 7 kohort tak, aby zachodziła zależność:

t,i

a liczność w kohortach przedstawia się następująco:

5 12 18 23 29 34 39.

Poziom ufności wynosi w dalszym ciągu 95%.

• Powyższe dane są wystarczające do policzenia przybliżonego przedziału uf-

ności. Odwrotności liczności kohort wynoszą:

0, 200000

0, 083333 0, 055556 0, 043478 0, 034483 0, 029412 0, 025641,

Wartość wyrażenia wyznaczającego kraniec przedziału wynosi:

1−

V ar[T ]

E[T ]

v
u
u
t

i=1

t,i

= 1, 96

√

63, 0766205

13, 1180551

v
u
u
t

i=1

t,i

= 0, 0110446,

zatem przedział wynosi:

− 0, 1164526;

0, 1164526

• Do obliczenia dokładniejszego przedziału ufności zostały przyjęte te same

założenia, co w poprzednim przykładzie.

Realizacja losowa została wygenerowana w programie arkuszu kalkulacyj-

nym poprzez zaokrąglenie do liczb całkowitych wartości z przeskalowanego

i przesuniętego rozkładu jednostajnego (komenda: = 20 + (44 ∗ LOS())):

50 37 47 33 46 51 53 54 20 22 37 53 57 38 20 39 29 22 21 42 49 53

59 54 39 41 33 57 26 25 63 38 33 38 49 48 41 34 60 22 45 32 58 60

48 35 59 26 36 37 43 55 60 37 21 57 59 22 28 37 62 48 49 33 25 43

36 35 34 39 42 50 62 61 61 39 58 28 28 58 47 23 21 53 42 21 38 62

47 27 47 33 39 49 27 41 30 27 51 60 39 27 34 34 54 24 63 22 29 48

63 40 26 52 27 62 46 33 56 25 23 43 56 62 59 36 37 48 62 27 31 55

6.5. PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WIELU KOHORT MĘŻCZYZN - PRZYKŁAD

60 56 34 34 31 51 37 22 61 29 38 43 22 29 49 51 35 61 53 43 31 35

40 61 40 44 32 48,

gdzie 5 pierwszych realizacji to wiek osób z pierwszej kohorty, 12 następnych

to wiek osób z drugiej kohorty itd.

Tak jak poprzednio, kwadraty odwrotności liczności kohort wynoszą odpo-

wiednio:

0, 040000 0, 006944 0, 003086 0, 001890 0, 001189 0, 000865 0, 000657.

Wyliczając z TTŻ-pl97m kolejno odpowiednie prawdopodobieństwa doży-

cia wieku emerytalnego: (

) dla każdej z tych realizacji losowych,

można obliczyć odpowiednie wartości wyrażenia:

t,i

j∈A

t,i

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

dla każdej z kohort, otrzymując odpowiednio wyniki:

0, 18452 0, 07554 0, 04926 0, 03711 0, 03036 0, 02611 0, 02216

Można zatem obliczyć wartość wyrażenia:

1−

v
u
u
u
t

i=1

t,i

j∈A

t,i

y−x

V ar[T ]

E[T ]

y−x

= 0, 1209590,

otrzymując przedział ufności postaci:

− 0, 1825470;

0, 1825470

• Różnica pomiędzy przedziałem ufności pochodzącym ze wzoru przybliżone-

go, a tym dokładniejszym jest względnie duża. Zbadajmy, jak to wynika z

wartości wskaźnika błędu:

+ 1

i=1

−1

t,i

− 1)α

gdzie α

wyraża się wzorem:

t,i

l
j=1

t,j

Dla odpowiednich kohort n

t,i

wartości H

−1

t,i

oraz α

przedstawiają się na-

stępująco:

ROZDZIAŁ 6. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ

t,i

−1

t,i

1,40690

1,39511

1,38056

1,35633

1,37603

1,38129

1,36407

0,42382

0,17659

0,11773

0,09213

0,07307

0,06233

0,05434

Obliczając zatem iloczyny (H

−1

t,i

− 1)α

w każdej kolumnie i sumując je

otrzymujemy:

i=1

−1

t,i

− 1)α

= 0, 39088,

zatem:

0, 6054311

+ 1

0, 6054311

0, 39088 = 1, 4572618.

Widać, że współczynnik przyjmuje względnie dużą wartość; można więc

uznać za wskazane obliczanie przedziału ufności dla narosłych zobowiązań za

pomocą wzoru dokładniejszego.

Pliki z obliczeniami w formacie arkusza kalkulacyjnego zostały załączone do

pracy.

6.6

Wnioski

Na podstawie powyższych przykładów można wysunąć wniosek, że jakość

przedziału przybliżonego jest względnie dobra tylko dla narosłych zobowiązań

uczestników, którzy mają duże prawdopodobieństwo dożycia wieku emerytalne-

go. W przeciwnym przypadku należy posłużyć się dokładniejszym przedziałem.

Obliczanie wskaźnika błędu jest równie czasochłonne, jak obliczanie dokładniej-

szego przedziału ufności, więc w przypadku małych prawdopodobieństw dożycia

wieku emerytalnego warto od razu policzyć dokładniejszy przedział.

Z perspektywy ubezpieczyciela przedział ufności wskazuje na to, jakiej mak-

symalnie wysokości odstępstw można się spodziewać na z góry zadanym poziomie

ufności. Jeżeli np. na poziomie ufności 95% wartość przedziału ufności wyniesie

[−0, 05;

0, 05] oznacza to, że na 95% odstępstwo od wartości oczekiwanej dla

narosłych zobowiązań nie wyniesie więcej, niż 5% owej średniej wartości.

Wszystkie skonstruowane oraz obliczone przypadki nie ilustrują faktycznych

struktur wiekowo-płacowych, jednak algorytm postępowania jest możliwy do za-

adaptowania do faktycznych danych oraz dodatkowych założeń (np. można by

część danych z TTŻ dotyczących wieku produkcyjnego zamienić na dane pocho-

dzące z tablic uczestnictwa w planie, które uwzględniają takie zjawiska jak utrata

pracy, zmiana ubezpieczyciela).

Bibliografia

[1] Artykuł w wikipedii - conditianal expectation.

http://en.wikipedia.org/wiki/

Conditional_expectation

[2] Artykuł w wikipedii - law of total variance.

http://en.wikipedia.org/wiki/Law_

of_total_variance

[3] Tablice trwania życia.

http://www.math.uni.wroc.pl/~zpalma/teaching.html

[4] Andrzej Balicki. Analiza przeżycia i tablice wymieralności. Polskie wydawnictwo

ekonomiczne, Warszawa, 2006.

[5] Tomasz Rolski Bartłomiej Błaszczyszyn. Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie.

Wydawnictwa naukowo-techniczne, Warszawa, 2004.

[6] Grigorij Michajłowicz Fichtenholz. Rachunek różniczkowy i całkowy 3. Wydawnictwo

naukowe PWN, Warszawa, 2005.

[7] Jan Mielniczuk Jacek Koronacki. Statystyka dla kierunków technicznych i przyrodni-

czych. Wydawnictwa naukowo-techniczne, Warszawa, 2006.

[8] Krzysztof Ostaszewski Lesław Gajek. Plany emerytalne, Zarządzanie aktywami i

zobowiązaniami, volume 2 of Matematyka w ubezpieczeniach. Wydawnictwa naukowo-
techniczne, Warszawa, 2002.

[

]

Document Outline

Spis treści
1 Wstęp
2 Podstawowe oznaczenia i definicje
3 Model Gompertza
4 Wycena parametrów planu emerytalnego
5 Losowe fluktuacje
6 Przykłady zastosowań
Bibliografia

Losowe fluktuacje naroslych zob Praca Magisterska id 273159

Document Outline