Egzamun pisemny z matematyki

Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008

ZADANIA

Zad.Z1 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Obliczyć masę krzywej o gęstości %(x, y, z) = xy zadanej parametrycznie wzorami: x(t) = cos t , y(t) = sin t
z(t) = ln cos t , t ∈

0,

π

4

.

Zad.Z2 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Sprawdzić, czy pole wektorowe

~

F (x, y, z) = [x

3

− 2yz , y

3

− 2xz , z

3

− 2xy] jest potencjalne. Jeśli tak, to

wyznaczyć potencjał tego pola a następnie obliczyć całkę

Z

_

AB

(x

3

− 2yz)dx + (y

3

− 2xz)dy + (z

3

− 2xy)dz

gdzie A(0, 2, 0) i B(2, 2, 2) .
Zad.Z3 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Dla krzywej o równaniu

~

r(t) =



t ,

1 + t

t

,

1 − t

2

t



wyznaczyć równanie prostej binormalnej i płaszczyzny ściśle stycznej oraz promień krzywizny w punkcie P (1, 2, 0).
Zad.Z4 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]

Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

P

n=1

(−1)

n

1

n 7

n

(x − 5)

2n

Wyznaczyć zbiór tych x ∈ R , dla

których: a) szereg jest zbieżny bezwzględnie, b) szereg jest zbieżny warunkowo, c) szereg jest rozbieżny.
Zad.Z5 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]
Dla jakich wartości parametru A funkcja

F (x) =







0

x 6 0

Ax

3

0 < x

6 3

1

x > 3

jest dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć gęstość zm. los. X . Za pomocą dystrybuanty
oraz za pomocą gęstości obliczyć prawdopodobieństwo P (0

6 X 6 1). Obliczyć wartość oczekiwaną zm. los.

X .

Max. 36 pkt

TEORIA

Zad.T1 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Podać założenia i tezę twierdzenia Greena.
Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Podać definicję szeregu zbieżnego bezwzględnie i zbadać rodzaj zbieżności szeregu

∞

P

n=1

sin n

n

2

.

Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Podać wartość f

(15)

(0) dla f (x) =

1

x−2

.

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 3 . Dokonać standaryzacji zm. los. X.
Zad.T5 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Napisać definicję wariancji zmiennej losowej X dowolnego typu. W jakich przypadkach może nie istnieć D

2

X?

Zad.T6 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Zmienna losowa X ma rozkład N (1, 2). Za pomocą tablic obliczyć P (X > −0, 5).

Max. 24 pkt