Egzamun pisemny z matematyki
Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2007/2008
ZADANIA
Zad.Z1 [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Obliczyć masę krzywej o gęstości %(x, y, z) = xy zadanej parametrycznie wzorami: x(t) = cos t , y(t) = sin t
z(t) = ln cos t , t ∈
0,
π
4
.
Zad.Z2 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Sprawdzić, czy pole wektorowe
~
F (x, y, z) = [x
3
− 2yz , y
3
− 2xz , z
3
− 2xy] jest potencjalne. Jeśli tak, to
wyznaczyć potencjał tego pola a następnie obliczyć całkę
Z
_
AB
(x
3
− 2yz)dx + (y
3
− 2xz)dy + (z
3
− 2xy)dz
gdzie A(0, 2, 0) i B(2, 2, 2) .
Zad.Z3 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Dla krzywej o równaniu
~
r(t) =
t ,
1 + t
t
,
1 − t
2
t
wyznaczyć równanie prostej binormalnej i płaszczyzny ściśle stycznej oraz promień krzywizny w punkcie P (1, 2, 0).
Zad.Z4 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]
Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego
∞
P
n=1
(−1)
n
1
n 7
n
(x − 5)
2n
Wyznaczyć zbiór tych x ∈ R , dla
których: a) szereg jest zbieżny bezwzględnie, b) szereg jest zbieżny warunkowo, c) szereg jest rozbieżny.
Zad.Z5 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]
Dla jakich wartości parametru A funkcja
F (x) =
0
x 6 0
Ax
3
0 < x
6 3
1
x > 3
jest dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznaczyć gęstość zm. los. X . Za pomocą dystrybuanty
oraz za pomocą gęstości obliczyć prawdopodobieństwo P (0
6 X 6 1). Obliczyć wartość oczekiwaną zm. los.
X .
Max. 36 pkt
TEORIA
Zad.T1 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Podać założenia i tezę twierdzenia Greena.
Zad.T2 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Podać definicję szeregu zbieżnego bezwzględnie i zbadać rodzaj zbieżności szeregu
∞
P
n=1
sin n
n
2
.
Zad.T3 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Podać wartość f
(15)
(0) dla f (x) =
1
x−2
.
Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ = 3 . Dokonać standaryzacji zm. los. X.
Zad.T5 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Napisać definicję wariancji zmiennej losowej X dowolnego typu. W jakich przypadkach może nie istnieć D
2
X?
Zad.T6 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Zmienna losowa X ma rozkład N (1, 2). Za pomocą tablic obliczyć P (X > −0, 5).
Max. 24 pkt