EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1 (24.06.10)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj definicje modułu i sprzężenia liczby zespolonej.
Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór {z ∈ C : |z

2

− ¯

z

2

| ­ 4}.

Zadanie 2. Co nazywamy uładem Cramera? Podaj przykład układu trzech równań
z trzema niewiadomymi, który nie jest układem Cramera.
Rozwiąż układ równań







2x − 3y + z − w = 3
x − 4z + 2w = 5
2x − 9y + 19z − 11w = −11

.

Zadanie 3. Podaj przykład czterech punktów współpłaszczyznowych, ale nie wsół-
liniowych w przestrzeni R

3

- uzasadnij odpowiedź.

Wyznacz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny (o ile istnieje) zawierającej
prostą k : (x, y, z) = (2 − t, 3t, 1 + 2t) i prostopadłej do prostej l : (x, y, z) =
(1 + 6t, −2, 3t).

Zadanie 4. Podaj definicję hesjanu funkcji wielu zmiennych i warunek wystarcza-
jący na to, by był on macierzą symetryczną.

Wyznacz hesjan funkcji f (x, y, z) =

y

2

x−z

w punkcie (1, −1, 0).

Zadanie 5. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego o zmiennych
rozdzielonych i przykład równania o zmiennych nie rozdzielających się.
Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego: y

0

= x tg y, y(0) =

π

6

.

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 1 (24.06.10)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 120 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj definicje modułu i sprzężenia liczby zespolonej.
Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór {z ∈ C : |z

2

− ¯

z

2

| ­ 4}.

Zadanie 2. Co nazywamy uładem Cramera? Podaj przykład układu trzech równań
z trzema niewiadomymi, który nie jest układem Cramera.
Rozwiąż układ równań







2x − 3y + z − w = 3
x − 4z + 2w = 5
2x − 9y + 19z − 11w = −11

.

Zadanie 3. Podaj przykład czterech punktów współpłaszczyznowych, ale nie wsół-
liniowych w przestrzeni R

3

- uzasadnij odpowiedź.

Wyznacz równanie ogólne i parametryczne płaszczyzny (o ile istnieje) zawierającej
prostą k : (x, y, z) = (2 − t, 3t, 1 + 2t) i prostopadłej do prostej l : (x, y, z) =
(1 + 6t, −2, 3t).

Zadanie 4. Podaj definicję hesjanu funkcji wielu zmiennych i warunek wystarcza-
jący na to, by był on macierzą symetryczną.

Wyznacz hesjan funkcji f (x, y, z) =

y

2

x−z

w punkcie (1, −1, 0).

Zadanie 5. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego o zmiennych
rozdzielonych i przykład równania o zmiennych nie rozdzielających się.
Rozwiąż zagadnienie Cauchy’ego: y

0

= x tg y, y(0) =

π

6

.