Wykład 11

1. Podstawowe definicje

Definicja 1. Rodzinę τ nazywamy topologią w zbiorze X, gdy

1. φ ∈ τ i X ∈ τ

2. Suma dowolnej liczby elementów τ należy do τ

3. Przekrój skończonej elementów τ należy do τ .

Elementy τ nazywamy zbiorami otwartymi.

Definicja 2. Parę (X, τ ) nazywamy przestrzenią topologiczną.

Przykłady

1. Każda przestrzeń metryczna jest topologiczna. (Topologię charakteryzują w wiadomy

sposób kule.)

2. Topologia dyskretna: każdy zbiór jest otwarty.

3. Topologia najsłabsza: τ = {φ, X}

4. Topologia zbiorów ko-skończonych: τ = {φ} ∪ {U : U

c

jest skończony}

5. Zbieżność punktowa - jaką ma topologię?

Definicja 3. Zbiór F nazywamy domkniętym, jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym

Stwierdzenie 1. Rodzina wszystkich zbiorów domkniętych ma następujące własności:

1. φ i X są domknięte

2. Przekrój dowolnej liczby zbiorów domkniętych jest domknięty

3. Suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest domknięta.

Definicja 4. Topologia τ

1

jest słabsza niż τ

2

, gdy τ

1

⊂ τ

2

. Inaczej, τ

2

jest mocniejsza niż

τ

1

.

Definicja 5. Otoczeniem punktu x nazywamy każdy zbiór otwarty U zawierający x.

Stwierdzenie 2. Skończony przekrój otoczeń x jest otoczeniem x.

Stwierdzenie 3. U jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym punktem zawiera
jego otoczenie.

Dowód. Jeśli x ∈ U i U otwarty, to U jest odpowiednim otoczeniem. Na odwrót, jeśli dla
każdego x ∈ U istnieje V

x

otoczenie x zawarte w U , to U =

S

x∈U

V

x

jest otwarty.

Zastępując kule przez otoczenia możemy przełożyć wiele definicji metrycznych.

Definicja 6.

1. Punkt x jest punktem skupienia zbioru A, gdy dla każdego otoczenia

U 3 x mamy (U \ {x}) ∩ A 6= φ.

1

2. Ciąg (x

n

) jest zbieżny do x, gdy każde otoczenie U punktu x zawiera prawie wszystkie

elementy ciągu x

n

.

Charakteryzacje ciągowe znane z przestrzeni metrycznych zazwyczaj nie wystarczają.

Stwierdzenie 4. Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje
punkty skupienia.

Dowód. Jeśli A domknięty i x jest punktem skupienia A, to x ∈ A, bo inaczej A

c

jest oto-

czeniem x o pustym przekroju z A. Na odwrót, jeśli A zawiera wszystkie punkty skupieniai
x ∈ A

c

, to istnieje otoczenie V

x

3 x o pustym przekroju z A. Zatem V

x

⊂ A

c

, więc A

c

jest

otwarty.

Przykład Istnieje przestrzeń topologiczna, w której x jest punktem skupienia A mimo, że
żaden ciąg elementów A nie zbiega do x. Będzie później.

Tak jak poprzednio można zdefiniować wnętrze i domknięcie A, odpowiednio jako sumę

wszystkich otwartych zbiorów zawartych w A, bądź przekrój wszystkich domknietych zawie-
rających A, oraz brzeg jako

A \ int (A) (oraz odpowiednio punkty wewnętrzne i brzegowe).

Wszystkie definicje oparte na tych pojęciach działają: zbiór gęsty, brzegowy, nigdziegęsty,
przestrzeń ośrodkowa. Zwartość definiujemy przez warunek Borela-Lebesgue’a. Mogą nie
działać charakteryzacje ciągowe!

f jest ciągła, gdy przeciwobraz otwartego zbioru jest otwarty.

2. Baza i podbaza topologii.

Definicja 7. Rodzinę B nazywamy bazą topologii τ , gdy każdy element U ∈ τ jest sumą
pewnej rodziny zbiorów z B.

Przykłady

1. Kule są bazą topologii w przestrzeni metrycznej.

2. W R za bazę można przyjąć rodzinę wszystkich odcinków otwartych lub rodzinę

wszystkich odcinków otwartych o końcach wymiernych. Ta druga będzie przeliczalna.
W ośrodkowej przestrzeni metrycznej zawsze można znaleźć bazę przeliczalną.

Stwierdzenie 5. B ⊂ τ jest bazą topologii τ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x i
każdego otoczenia U 3 x istnieje V ∈ B takie, że x ∈ V ⊂ U .

Dowód. Jeśli B jest bazą, to weźmy dowolny x wraz z otoczeniem U . U jest sumą zbiorów
z B i któryś z tych zbiorów zawiera x. Na odwrót, dowolny U można uzyskać jako sumę

S

x∈U

V

x

, gdzie x ∈ V

x

⊂ U .

Nie każda rodzina zbiorów może być bazą.

Stwierdzenie 6. Niech B będzie taka, że

S

B = X. B jest bazą jakiejś topologii wtedy i

tylko wtedy, gdy dla każdej pary U, V ∈ B i dowolnego x ∈ U ∩ V istnieje W ∈ B takie, że
x ∈ W ⊂ U ∩ V .

Definicja 8. Podbaza topologii - rodzina z której otrzymujemy bazę przez wzięcie wszyst-
kich skończonych przekrojów.

2

Każda rodzina może być podbazą topologii.

Definicja 9. Przestrzeń spełnia drugi aksjomat przeliczalności, gdy ma przeliczalną bazę.

Twierdzenie 7. Jeśli X ma przeliczalną bazę, to jest ośrodkowa.

3. Specjalne konstrukcje

Topologia na podzbiorze.
Niech (X, τ ) będzie przestrzenią topologiczną. Niech Y ⊂ X. Definiujemy τ

Y

= {U ∩

Y : U ∈ τ }. Para (Y, τ

Y

) jest przestrzenią topologiczną. τ

Y

nazywamy topologią induko-

waną na Y lub topologią odziedziczoną z X. Mówimy tez, że (Y, τ

Y

) jest podprzestrzenią

topologiczną przestrzeni (X, τ ). Każdy zbiór z τ

Y

nazywamy otwartym w Y , a zbiory Y \ V ,

V ∈ τ

Y

są domknięte w Y .

Uwaga: jeśli (Y, τ

Y

) jest podprzestrzenią (X, τ ), a (Z, τ

Z

) podprzestrzenią (Y, τ

Y

), to

(Z, τ

Z

) jest podprzestrzenią (X, τ ).

Topologia w produkcie.
(X, τ

X

), (Y, τ

Y

) – przestrzenie topologiczne. Wtedy U ∩V nazywamy prostokątem otwar-

tym. Rodzina wszystkich prostokątów otwartych tworzy bazę topologii w X × Y . Istotnie,
(U × V ) ∩ (R × S) = (U ∩ R) × (V ∩ S).

Ogólna definicja przez cylindry otwarte:

U (t

1

, ..., t

n

, V

1

, ..., V

n

) = {f ∈ X

T

: f (t

i

) ∈ V

i

},

gdzie t

1

, ..., t

n

∈ T , V

1

, ..., V

n

– zbiory otwarte w X.

3