Zad 1. Sprawd´z, które z pól wektorowych s ˛

a potencjalne, a które s ˛

a bez´zró-

dłowe:

a) P =

x

2

− 2x + y

2

+ z

2

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

e

x+y+z

, Q =

x

2

+ y

2

− 2y + z

2

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

e

x+y+z

,

R =

x

2

+ y

2

+ z

2

− 2z

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

2

e

x+y+z

;

b) P = x

2

(y sin z − z sin y), Q = y

2

(z sin x − x sin z),

R = z

2

(x sin y − y sin x).

Zad 2. Wiedz ˛

ac, ˙ze [P, Q, R] jest polem potecjalnym, wyznacz R, je˙zeli P =

2xy

4

z

6

a Q = 4x

2

y

3

z

6

. Wyznacz potencjał tego pola.

Zad 3. Wiedz ˛

ac, ˙ze U, P, Q, R : R

3

→ R s ˛a klasy C

∞

, poł ˛

acz w pary:

a) div rot[P, Q, R],

1) 0,

b) div gradU,

2) ∆U ,

c) rot gradU.

1