Analiza wektorowa

1. Promień wodzący.

Promieniem wodzącym punktu
nazywa się wektor

Równanie linii prostej przechodzącej przez punkt wyznaczony przez położenie
i równoległą do wektora
, można zapisać przy pomocy promienia wodzącego

Rozważmy dowolne funkcje ciągłe

Wtedy wektor wodzący

opisuje w przestrzeni linię krzywą

2. Pochodna funkcji wektorowej.

Niech
będzie funkcją wektorową parametru
.

Mówimy, że funkcja
jest klasy
jeżeli każda z funkcji rzeczywistych
należy do klasy

Pochodną funkcji wektorowej definiuje się analogicznie jak dla funkcji rzeczywistych

Granica jest rozumiana jako granica dla każdej składowej

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja wektorowa
jest promieniem wodzącym

i
, to pochodna

=

jest wektorem stycznym do krzywej wyznaczonej przez tę funkcję w punkcie
.

Jeżeli promień wodzący
opisuje łuk C, gdy parametr
jest z przedziału
, to długość tego łuku jest dana wzorem

3. Własności pochodnej wektora

Reguły różniczkowania funkcji wektorowej analogiczne jak dla funkcji rzeczywistych

4. Pola skalarne i wektorowe.

Jeśli w danym obszarze V zawartym w przestrzeni trójwymiarowej określona jest funkcja trzech zmiennych o wartościach liczbowych

to mówimy, że para
jest polem skalarnym.

Mówimy, że pole
jest klasy
tzn.
jeśli
oraz

Jeżeli pole jest klasy
to zbiór punktów
takich, że

jest powierzchnią rozciągniętą w obszarze V .

Przykład. Jeśli
jest polem temperatury, to

wyznacza powierzchnię izotermiczną.

Przykład. Jeśli
jest polem ciśnienia, to

wyznacza powierzchnię izobaryczną.

Jeśli w danym obszarze V zawartym w przestrzeni trójwymiarowej określona jest funkcja trzech zmiennych o wartościach wektorowych

to mówimy, że para
jest polem wektorowym.

Pola wektorowe można dodawać i mnożyć przez liczbę

5. Pochodna kierunkowa.

Niech będzie dane pole skalarne klasy
,
i ustalony wektor jednostkowy

Wektor ten definiuje półprostą

dla

Jego składowe są cosinusami kierunkowymi, czyli cosinusami kątów między tym wektorem a wersorami osi układu współrzędnych

Równanie tej półprostej ma równoważną postać

Używając pola
i równania półprostej można zdefiniować funkcję złożoną parametru t ,

Pochodną kierunkową pola skalarnego
w kierunku wektora
w punkcie
definiujemy następująco

Określa ona szybkość zmian pola wzdłuż tej półprostej (czyli w kierunku wektora
) w punkcie
. Można ją obliczyć następująco

Zauważmy, że w szczególności pochodne w kierunku wersorów osi układu współrzędnych sprowadzają się do pochodnych cząstkowych

6. Gradient

Niech będzie dane pole skalarne klasy
,
. Wtedy wektor

lub krócej

nazywamy gradientem pola skalarnego.

Zauważmy, że pochodna kierunkowa da się wyrazić przy użyciu gradientu

Twierdzenie 2. Gradient
jest wektorem prostopadłym do powierzchni ekwipotencjalnej pola
o równaniu

Dowód. Niech promień wodzący
określa dowolną krzywą leżącą na powierzchni ekwipotencjalnej, czyli spełniony warunek

(*)

Wektor styczny do tej krzywej jest

pochodna równania (*) daje

skąd wynika, że iloczyn skalarny gradientu i wektora stycznego do powierzchni ekwipotencjalnej jest równy zeru, czyli gradient jest prostopadły do tej powierzchni.

Zauważmy, że pole
rośnie w kierunku gradientu.

Niech
będzie wektorem jednostkowym w kierunku gradientu. Wtedy pochodna kierunkowa w tym kierunku jest dodatnia

Twierdzenie 3. Funkcja
rośnie najszybciej w kierunku swojego gradientu.

Dowód. Niech

będzie wektorem jednostkowym, tworzącym kąt
z wektorem gradientu
. Pochodna funkcji
w kierunku wektora
jest iloczynem skalarnym

dla

i jest największa gdy kąt między wektorami jest zero. Oznacza to, wtedy gdy wektor
pokrywa się z kierunkiem gradientu.

7. Pole potencjalne.

Jeżeli pole skalarne
jest klasy
tzn.
,
oraz

wtedy z tym polem związane jest pole wektorowe gradientu

.

Jeżeli, odwrotnie, pole wektorowe

jest klasy
i istnieje funkcja
klasy
taka, że

tzn.

to pole
nazywamy potencjalnym, funkcja
jest jego potencjałem.

Przykład. Pole wektorowe sił grawitacji

,

posiada potencjał. Jest nim
, gdzie p jest ciśnieniem a
gęstością płynu (np. powietrza lub wody). Rzeczywiście z prawa hydrostatyki

lub

Stąd:

Co oznacza, że

8. Całka krzywoliniowa w polu wektorowym.

Niech w polu wektorowym

czyli

lub krótko

będzie określona krzywa

o początku i końcu w punktach A i B

Określmy sumę

Załóżmy, że istnieje granica

Oznaczamy ją jako

i nazywamy całką krzywoliniową po łuku AB .

Twierdzenie 4. Jeżeli

dla każdego

to całka krzywoliniowa istnieje. Można ją wtedy obliczyć ze wzoru

Istnieje prosta interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej. Jeżeli
jest polem sił,

i po łuku AB porusza się punkt materialny, to siły pola
wykonują pracę, równą

Twierdzenie 5. Jeżeli V jest obszarem jednospójnym oraz
to całka

nie zależy od drogi całkowania (tzn. zależy jedynie od położenia punktów A i B) wtedy i tylko wtedy gdy pole
jest polem potencjalnym, tzn. istnieje funkcja
, że

Wtedy

Jeżeli AB jest krzywą zamkniętą C , to całkę
oznaczamy

Wniosek. Przy założeniach jak w powyższym twierdzeniu,

dla dowolnej krzywej zamkniętej C wtedy i tylko wtedy, gdy pole
jest polem potencjalnym.

Niech pole wektorowe
będzie polem potencjalnym. Istnieje zatem pole skalarne

,
takie, że

w każdym punkcie
.

Różniczkując te równania stronami, uwzględniając fakt, że drugie pochodne cząstkowe ciągłe nie zależą od kolejności różniczkowania

w każdym punkcie
.

Można udowodnić, że zachodzi również odwrotna implikacja. Tak więc prawdziwe jest:

Twierdzenie 6. Jeżeli V jest obszarem jednospójnym, to pole
jest polem potencjalnym wtedy i tylko wtedy, gdy

w każdym punkcie
.

8. Całka powierzchniowa.

Niech będzie dana powierzchnia S będąca obrazem funkcji
, gdzie
, gdzie z kolei D jest obszarem płaskim, będącym rzutem S na płaszczyznę Oxy.

Za pomocą płaszczyzn równoległych do Oyz potnijmy powierzchnię S na pasy, które z kolei za pomocą płaszczyzn równoległych do Ozx potnijmy na płytki
których rzuty na płaszczyznę Oxy są prostokątami
. Średnicą elementu powierzchni
nazywamy odległość dwóch najdalej położonych punktów tego elementu. Mamy więc zbiór płytek

, gdzie n jest liczbą tych płytek.

Niech
, będzie funkcją rzeczywistą określoną na S .

Utwórzmy sumę

gdzie
należy do płytki
.

Załóżmy, że istnieje granica przy
i jednocześnie z maksymalną średnicą elementów dążącą do zera. Wtedy granicę nazywamy całką powierzchniową funkcji F na powierzchni S i oznaczamy

Twierdzenie 7. Jeżeli

1)
jest ciągła na S,

2) obszar D jest rzutem powierzchni S na płaszczyznę Oxy,

3) powierzchnia S jest wykresem funkcji
,
, klasy
, to

W szczególności pole powierzchni S można obliczyć

9. Rotacja, dywergencja, strumień pola wektorowego.

Niech dane będzie pole wektorowe
, gdzie
. Utwórzmy pole wektorowe
gdzie

lub

lub, jeśli określimy

zwany operatorem gradientu (nabla), to na podstawie definicji iloczynu wektorowego

Wnioskiem z Twierdzenia 6 jest więc

Twierdzenie 6a. Jeżeli V jest obszarem jednospójnym, to pole
jest polem potencjalnym wtedy i tylko wtedy, gdy

w każdym punkcie
.

Ważnym pojęciem w zastosowaniach hydromechanicznych (w mechanice płynów) jest pojęcie strumienia pola wektorowego. Niech będzie dane pole wektorowe
oraz powierzchnia S zorientowana przez wektor
normalny do niej.

Strumieniem pola wektorowego
przez powierzchnię S nazywamy całkę powierzchniową

czyli całkę z iloczynu skalarnego pola przez pole wektorów jednostkowych
prostopadłych w każdym punkcie do tej powierzchni.

Twierdzenie 8. (Ostrogradskiego-Gaussa) Jeżeli powierzchnia S jest powierzchnią zamkniętą będącą brzegiem bryły przestrzennej U, zorientowaną zewnętrznie, to strumień pola wektorowego
przez tę powierzchnię jest równy

gdzie

Dywergencją pola wektorowego (rozbieżnością lub źródłowością pola) nazywamy granicę

Na podstawie Twierdzenia 8 można wysnuć wniosek

lub używając definicji operatora gradientu

Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa można więc zapisać jako

dla pola wektorowego
.

Interpretacja fizyczna dywergencji jest następująca. Niech
będzie polem wektorowym prędkości cieczy przepływającej przez przestrzeń, w szczególności przez obszar U ograniczony przez powierzchnię S , zorientowaną zewnętrznie przez wektor normalny
.

Wtedy całka

określa natężenie objętościowe (netto) przepływu cieczy (ilość metrów sześciennych w jednostce czasu) przez powierzchnię S . Jeżeli całka Vo jest równa zeru,

tzn. tyle samo wpływa co wypływa, to zachowana jest objętość chwilowa cieczy zawarta wewnątrz bryły U.

Mamy wtedy na podstawie twierdzenia 8:

Odwrotnie, jeśli

to mamy albo źródło dodatnie (ciecz musi wewnątrz się tworzyć) i wtedy

przynajmniej w jednym punkcie wewnątrz, lub mamy źródło ujemne (ciecz musi wewnątrz zanikać) i wtedy

przynajmniej w jednym punkcie wewnątrz U .

Prawdziwe są następujące wzory o dywergencji:

,

(**)

(Laplacian)

Niech
będzie polem macierzowym, tzn. dla każdego

w obszarze
. Wtedy

gdzie

Twierdzenie 9 (Greena) Jeżeli powierzchnia S jest powierzchnią zamkniętą będącą brzegiem bryły przestrzennej U, zorientowaną zewnętrznie, to dla dowolnych funkcji
i
określonych na U zachodzi związek

co jest uogólnieniem trójwymiarowym wzoru o całkowaniu przez części.

Dowód. Niech
w twierdzeniu Ostrogradskiego-Gaussa. Wtedy

Ale z poprzednio wyprowadzonego wzoru (**)

Tak więc po scałkowaniu obu stron

Po przyrównaniu stronami

Po niewielkim przekształceniu mamy tezę twierdzenia.

---