Elementy analizy wektorowej
Caªki krzywoliniowe niezorientowane
Zadanie
1.1
Obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych ªukach:
a) Z
dl , , { odcinek ª¡cz¡cy punkty (0; 1), (2;0);
p
x + y
,
2
2
,
b) Z xy dl, , { cz¦±¢ okr¦gu x + y = R le»¡ca w I ¢wiartce ukªadu;
2
2
2
,
c*) Z (x + y)dl, , { ¢wiartka okr¦gu x + y + z = R , y = x le»¡ca w pierwszym oktancie ukªadu wspóªrz¦dnych.
2
2
2
2
,
Zadanie
1.2
Obliczy¢ dªugo±ci podanych ªuków:
a) , : x = a(t sint); y = a(1 cos t), gdzie 0 t 2 oraz a > 0;
,
,
¬
¬
b) , : jeden zwój linii ±rubowej o skoku h nawini¦tej na walec o promieniu r;
c) , : x = e t cost; y = e t sint; z = e t, gdzie 0 t < .
,
,
,
¬
1
Zadanie
1.3
Obliczy¢ pole cz¦±ci powierzchni bocznej walca x + y = 1 ograniczonej pªaszczyznami z = x; z = 5 + y.
2
2
,
Zadanie
1.4
Obliczy¢ masy podanych ªuków o wskazanych g¦sto±ciach liniowych:
a) , : x = acos t; y = bsint, gdzie 1 t 2; (x;y) = y oraz a > 0, b > 0;
¬
¬
j
j
b) , : x = t; y = t22; z = t33, gdzie 0 t 1; (x;y;z) = p2y;
¬
¬
c) , : x = r cos t; y = r sint; z = bt, gdzie 0 t 2; (x;y;z) = x2 + y2 + z2 oraz b > 0.
¬
¬
Zadanie
1.5
Okre±li¢ wspóªrz¦dne ±rodków masy podanych ªuków jednorodnych:
a) linia ªa«cuchowa y = a
2 e + e
, gdzie a x a;
x=a
,x=a
,
¬
¬
b) linia ±rubowa x = r cos t; y = r sint; z = bt, gdzie 0 t 2;
¬
¬
c) brzeg trójk¡ta sferycznego x + y + z = 1, gdzie x 0, y 0, z 0;
2
2
2
Zadanie
1.6
Obliczy¢ momenty bezwªadno±ci podanych ªuków jednorodnych wzgl¦dem wskazanych osi, przyj¡¢ = 1:
0
a) brzeg kwadratu o boku a, wzgl¦dem przek¡tnej;
b) odcinek AB, gdzie A = (1;2;3), B = (3;5;4), wzgl¦dem osi Oz;
c) linia ±rubowa x = acos t; y = acos t; z = bt, gdzie x t 2:
¬
¬
Zadanie
1.7
Obliczy¢ nat¦»enie pola elektrycznego pochodz¡cego od ªadunku Q rozªo»onego równomiernie na brzegu kwadratu o boku a: Nat¦»enie pola obliczy¢ w punkcie poªo»onym w odlegªo±ci d nad jednym z wierzchoªków kwadratu.
Zadanie
1.8
Obliczy¢ siª¦, z jak¡ póªokr¡g o masie M i promieniu R przyci¡ga mas¦ punktow¡ m poªo»on¡ w ±rodku póªokr¦gu.
1
Caªki krzywoliniowe zorientowane
Zadanie
2.1
Obliczy¢ caªki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych ªukach (zorientowanych zgodnie ze swoj¡ parametryzacj¡):
a) (x;y) = ,x2 + y2;xy; , : x = t; y = et, gdzie t [0;1];
~
F
2
b) (x;y;z) = (yz;xz;xy) , : x = cost; y = sint; z = t, gdzie t [0;2];
~
F
2
c) (x;y;z) = (y;z;x); , { odcinek AB, gdzie A = (1; 1;2), B = (0;2;3):
~
F
,
Zadanie
2.2
Obliczy¢ caªki krzywoliniowe z podanych pól wektorowych po ªukach okre±lonych wskazanymi równaniami (orientacja ªuku jest zgodna ze wzrostem parametru x):
a) (x;y) = (x y;x + y), , : y = sinx, gdzie 0 x ;
~
F
,
¬
¬
b) (x;y) = (lnx;lny), , : y = x2, gdzie 1 x e:
~
F
¬
¬
Zadanie
2.3
Obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych ªukach zamkni¦tych:
a) Z xy dx + x dy, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach A = (0;0), B = (1;2), C = ( 1;4); zorientowany dodatnio; 2
,
,
b) Z x y dx + xy(y + 1)dy, , { okr¡g x + y + 2y = 0; zorientowany dodatnio;
2
2
2
,
Z
c)
(3x + 5z)dx + (x + 4y)dy + (6x z)dz, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach
,
,
A = (2;0;0), B = (0;2;0), C = (0;0;2); obiegany w kolejno±ci ABCA:
Zadanie
2.4
Obliczy¢ caªki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych pól wektorowych po dowolnym ªuku o pocz¡tku
~
F
A i ko«cu B:
a) (x;y) = (x;y), A = (1;1), B = ( 1; 2);
~
F
,
,
b) (x;y) = (sinxcosy;cos xsiny), A = , B = (;);
~
F
2; 2
c) (x;y;z) = ,x 2yz;y 2xz;z 2xy, A = (0;0;0), B = (1;1;1):
2
2
2
~
F
,
,
,
Zadanie
2.5
Sprawdzi¢, »e podane caªki krzywoliniowe nie zale»¡ od ksztaªtu krzywej caªkowania i nast¦pnie obliczy¢ je: (Z )
1;
2
a)
e cosy dx e siny dy;
x
x
,
(0;0)
(1;2)
Z
b)
y
1
x dx , x dy; wzdªu» ªuku nie przechodz¡cego przez o± Oy;
2
(2;1)
(2;3;4)
Z
c)
,x
2yz dx + ,y 2xz dy + ,z 2xy dz:
2
2
2
,
,
,
(1;1;1)
Zadanie
2.6
Wykorzystuj¡c twierdzenie Greena obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzi¢ wynik obliczaj¡c te caªki bezpo±rednio:
2
a) Z ,1 x y dx + x,1 + y dy, , { okr¡g x + y = R ; zorientowany dodatnio;
2
2
2
2
2
,
,
b) Z ,x + y dx + ,x + y dy, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach A = (1;1), B = (3;2), C = (2;5); zorientowany 2
2
2
,
dodatnio;
Z
c)
e (1 cos y) dx e (y siny)dy, , { brzeg obszaru 0 x , 0 y sinx; zorientowany dodatnio.
x
x
,
,
,
¬
¬
¬
¬
,
Zadanie
2.7
Za pomoc¡ caªki krzywoliniowej zorientowanej obliczy¢ pola obszarów ograniczonych podanymi ªukami zamkni¦tymi: a) elipsa , : x = acos t; y = bsint, gdzie t [0;2];
2
b) kardioida , : x = 2cost cos2t; y = 2sint sin2t, gdzie t [0;2]:
,
,
2
Zadanie
2.8
Obliczy¢ prac¦ w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych ªukach zorientowanych:
a) (x;y) = ,2xy;x , dowolny ªuk , ª¡cz¡cy punkty A = (1;0);B = (0;3);
2
~
F
b) (x;y;z) = (xy;y+z;z); wzdªu» ªuku , : x = cos t; y = sint; z = t od punktu A = (1;0;0) do punktu B = ( 1;0;);
~
F
,
c) (x;y;z) = ( x; y; z) wzdªu» dowolnego ªuku , ª¡cz¡cego punkt A = (x ;y ;z ) nale»¡cy do sfery x +y +z = r 2
2
2
2
~
F
,
,
,
1
1
1
z punktem B = (x ;y ;z ) nale»¡cym do sfery x + y + z = R :
2
2
2
2
2
2
2
Caªki powierzchniowe niezorientowane
Zadanie
3.1
Obliczy¢ podane caªki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych pªatach:
Z
Z
a)
,x
2
+ y2 dS, { sfera x + y + z = R ;
2
2
2
2
Z
Z
b)
(x + y + z)dS, { cz¦±¢ pªaszczyzny x + y + z = 1 poªo»ona w pierwszym oktancie ukªadu wspóªrz¦dnych;
Z
Z
c)
px + y dS, { powierzchnia boczna sto»ka z = px + y , z 3:
2
2
2
2
¬
Zadanie
3.2
Obliczy¢ pola powierzchni podanych pªatów:
a) | cz¦±¢ pªaszczyzny 2x + 3y + z 6 = 0 wyci¦ta przez walec x + y = 4;
2
2
,
b) | cz¦±¢ paraboloidy z = x + y odci¦ta przez pªaszczyzn¦ z = h, gdzie h > 0;
2
2
c) | powierzchnia boczna sto»ka ±ci¦tego o promieniach podstaw r;R i wysoko±ci h, gdzie r < R; d*) | cz¦±¢ powierzchni Ziemi zawarta mi¦dzy poªudnikami 45 i 60
oraz równole»nikami 60 i 80 . Przyj¡¢, »e
W
N
promie« Ziemi jest równy 6370 km.
Zadanie
3.3
Obliczy¢ masy podanych pªatów o wskazanych g¦sto±ciach powierzchniowych:
a) powierzchnia sze±cianu 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1; (x;y;z) = xyz;
¬
¬
¬
¬
¬
¬
b) powierzchnia póªsfery z = pR x y ; (x;y;z) = z;
2
2
2
,
,
c) powierzchnia stó»ka z = px + y ; z 1; (x;y;z) = px + y + z .
2
2
2
2
2
¬
Zadanie
3.4
Znale¹¢ poªo»enia ±rodków masy podanych jednorodnych pªatów materialnych:
3
a) x + y + z = 4; x2 + y2 1;
¬
b) z = 2px + y ; 2 z 6;
2
2
¬
¬
b) z = x + y ; x 0; z 1;
2
2
¬
d) sze±cienne pudeªko o kraw¦dzi a (otwarte od góry).
Zadanie
3.5
Obliczy¢ momenty bezwªadno±ci podanych jednorodnych pªatów materialnych wzgl¦dem wskazanych osi:
a) sfera o promieniu R i masie M, wzgl¦dem ±rednicy;
b) paraboloida z = x + y ; z h; o g¦sto±ci powierzchniowej masy = , wzgl¦dem osi Oz;
2
2
¬
0
c) powierzchnia o±mio±cianu x + y + z = a o masie M; wzgl¦dem osi Oz;
j
j
j
j
j
j
d) powierzchnia boczna walca x + y = R ; H z H, o masie M; wzgl¦dem osi Ox:
2
2
2
,
¬
¬
Zadanie
3.6
Znale¹¢ siª¦, z jak¡ powierzchnia boczna sto»ka o promieniu podstawy r i wysoko±ci h; naªadowana równomiernie ªadun-kiem Q; przyci¡ga ªadunek punktowy q umieszczony w ±rodku jej podstawy.
Zadanie
3.7
Obliczy¢ nat¦»enie pola grawitacyjnego, jakie wytwarza powierzchnia jednorodnej póªsfery o masie M i promieniu R; w jej ±rodku.
Caªki powierzchniowe zorientowane i elementy analizy wektorowej
Zadanie
4.1
Obliczy¢ podane caªki powierzchniowe zorientowane:
Z
Z
a)
xy dydz + yz dzdx + xz dxdy, { zewn¦trzna strona powierzchni czworo±cianu ograniczonego pªaszczyznami
x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1;
Z
Z
b)
xdydz + yz dzdx + z dxdy , { zewn¦trzna strona powierzchni sze±cianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1;
¬
¬
¬
¬
¬
¬
Z
Z
c)
x dydz + y dzdx + z dxdy ; { górna strona powierzchni sto»ka z = px + y , z 1;
2
2
2
2
2
¬
Z
Z
d)
z dxdy , { zewn¦trzna strona sfery x + y + z = 4:
2
2
2
2
Zadanie
4.2
Niech funkcje f; g maj¡ wszystkie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na obszarze V
3 : Uzasadni¢ wzory:
R
a)
f = g
f f
g
grad
,
grad
;
grad
g
g2
b)
h(f) = h0(f)
f, gdzie h jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ na pewnym przedziale.
grad
grad
Zadanie
4.3
Uzasadni¢ podane wzory:
a)
(
U) = , gdzie U jest funkcj¡ maj¡c¡ ci¡gªe wszystkie pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du na obszarze
~
rot
grad
O
V
3 ;
R
b)
(f ) =
f ~, gdzie f jest funkcj¡ maj¡c¡ wszystkie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na obszarze
rot
~
c
grad
c
V
3 ; a
jest ustalonym wektorem.
R
~
c
4
Zadanie
4.4
Uzasadni¢ podane wzory:
a) div
=
, gdzie pola wektorowe i s¡ ró»niczkowalne na obszarze V
3 ;
~
~
~
~
~
~
~
~
F
G
G
rot
F
,
F
rot
G
F
G
R
b) div
= 0, gdzie pole wektorowe ma skªadowe dwukrotnie ró»niczkowalne w sposób ci¡gªy na obszarze
~
~
rot
F
F
V
3 :
R
Zadanie
4.5
Przy pomocy twierdzenia Gaussa{Ostrogradskiego obliczy¢ podane caªki powierzchniowe. Sprawdzi¢ otrzymane wyniki obliczaj¡c te caªki bezpo±rednio:
a) ZZ 2xy dydz y dzdx + 2z dxdy , { zewn¦trzna strona brzegu obszaru
2
,
V : x + y + z 9, x 0, y 0, z 0;
2
2
2
¬
Z
Z
b)
(x + z)dydz + (x + y)dzdx + (y + z)dxdy, { zewn¦trzna strona
brzegu obszaru V : x + y R , x + y + z R, z 0;
2
2
2
¬
¬
Z
Z
c)
x dydz + y dzdx + z dxdy , { wewn¦trzna strona powierzchni walca V : x + y R ; 0 z H:
3
3
3
2
2
2
¬
¬
¬
Zadanie
4.6
Korzystaj¡c z twierdzenia Stokesa obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe. Sprawdzi¢ otrzymane wyniki obliczaj¡c te caªki bezpo±rednio:
a) Z x y dx + dy + z dz, , { okr¡g x + y = R , z = 0; zorientowany dodatnio;
2
3
2
2
2
,
b) Z x dx + (x + y) dy + (x + y + z) dz, , : x = sint; y = cos t; z = sint + cost, gdzie t [0;2];
2
,
Z
c)
(y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, , { okr¡g x + y + z = R , x = y:
2
2
2
2
,
Zadanie
4.7
Obliczy¢ strumienie podanych pól wektorowych przez wskazane pªaty:
a) (x;y;z) = x
x ; 2z , { powierzchnia caªkowita walca z = x + y R , 0 z H;
2
2
2
2
~
F
3;z2 ,
3
¬
¬
¬
!
b) (x;y;z) =
x
y
z
,
;
,
;
,
,
~
p
p
p
F
x + y + z
x + y + z
x + y + z
2
2
2
2
2
2
2
2
2
{ powierzchnia zewn¦trzna sfery x + y + z = R ;
2
2
2
2
c) (x;y;z) = (5x + z;x 3y;4y 2z), { górna cz¦±¢ pªaszczyzny x + y + z = 2 odci¦ta pªaszczyznami ukªadu
~
F
,
,
wspóªrz¦dnych.
Zadanie*
4.8
Wyprowadzi¢ prawo Archimedesa.
Zadanie
4.9
Obliczy¢ cyrkulacje podanych pól wektorowych wzdªu» wskazanych ªuków zamkni¦tych:
a) (x;y;z) = ,y ;(x + y) ;z; , { ªamana zamkni¦ta ª¡cz¡c¡ punkty A = (1;0;0), B = (0;1;0), C = (0;0;1); 2
2
~
F
b) (x;y;z) = (y;1 x; z); , { ªuk zamkni¦ty otrzymany w wyniku przeci¦cia powierzchni walca (x 1) + y = 1 z 2
2
~
F
,
,
,
póªsfer¡ (x 2) + y + z = 4, z 0:
2
2
2
,
5