ANALIZA STATYSTYCZNA

z wykorzystaniem techniki komputerowej

5.2 Estymacja przedziałowa parametrów rozkładów prawdopodobieństwa (c.d)

Alternatywny sposób wyznaczania granic przedziału ufności dla wartości oczekiwanej w rozkładzie normalnym (znana wartość odchylenia standardowego σ),

Wykorzystanie funkcji Excela:

ŚREDNIA(tablica_danych)

ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW((1+)/2)

PIERWIASTEK(n)

Jednostronne przedziały ufności (nieznane σ):

Przedział ufności dla nieznanego odchylenia standardowego σ

5.3 Proste wnioskowanie statystyczne przy pomocy programu MS Excel

5.3.1 Weryfikacja hipotez dotyczących prawdopodobieństw (wskaźnika struktury)

Weryfikacja hipotezy p=p₀ (duże liczności prób n ≥ 

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

lub

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy p=p₀.

Weryfikacja hipotezy p≥p_ (duże liczności prób n ≥ 

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy p≥p_.

Weryfikacja hipotezy pp_ (duże liczności prób n ≥ 

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy pp_.

W przypadku stosowania programu Excel wszystkie obliczenia musimy zapisać wykorzystując funkcje Excela, a w tym:

PIERWIASTEK (liczba dodatnia)

ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW (prawdopodobieństwo)

Funkcja ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW (prawdopodobieństwo)

pozwala na wyznaczenie kwantyla rzędu  w standaryzowanym rozkładzie normalnym (
)

5.3.2 Porównywanie dwu prawdopodobieństw

Obserwujemy realizacje dwu zmiennych losowych, z których każda ma dwupunktowy rozkład prawdopodobieństwa o parametrach, odpowiednio, p₁ oraz p₂. Badaniu poddano n₁ obiektów opisanych przez pierwszą zmienną losową obserwując k₁ przypadków zajścia opisanego przez tą zmienną zdarzenia losowego oraz n₂ obiektów opisanych przez drugą zmienną losową obserwując k₂ przypadków zajścia opisanego nią zdarzenia losowego. Na podstawie takich danych z eksperymentu losowego należy zweryfikować hipotezę:

H: p₁ = p₂

Jeżeli , to hipotezę p₁ = p₂ odrzucamy na rzecz hipotezy p₁ > p₂ gdy

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy p₁=p₂.

W przypadku stosowania programu Excel wszystkie obliczenia musimy zapisać wykorzystując funkcje Excela, a w tym:

PIERWIASTEK (liczba dodatnia)

ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW (prawdopodobieństwo)

Funkcja ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW (prawdopodobieństwo)

pozwala na wyznaczenie kwantyla rzędu  w standaryzowanym rozkładzie normalnym (
)

5.3.3 Weryfikacja hipotez dotyczących wartości oczekiwanych (średnich)

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(,σ), przy czym parametry  oraz σ są nieznane i są oszacowane (wyestymowane) na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n).

Weryfikacja hipotezy _

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

lub

gdzie t_{n-1,(1+)/2} jest kwantylem rzędu (1+ w rozkładzie t-Studenta o n-1 stopniach swobody.

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy _.

Weryfikacja hipotezy ≥_

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy ≥_.

Weryfikacja hipotezy _

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy _.

W przypadku stosowania programu Excel wszystkie obliczenia musimy zapisać wykorzystując funkcje Excela, a w tym:

PIERWIASTEK (liczba dodatnia)

ŚREDNIA (dane)

ODCH.STANDARD.POPUL (dane)

ROZKŁAD.T.ODW (prawdopodobieństwo; stopnie swobody)

Funkcja ROZKŁAD.T.ODW (prawdopodobieństwo, stopnie swobody) pozwala na wyznaczenie kwantyla rzędu  w rozkładzie t-Studenta o liczbie stopni swobody n.

5.3.4 Porównywanie dwu wartości oczekiwanych

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(_,σ), przy czym parametr _ jest nieznany i jest oszacowany na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n), zaś Y będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(_,σ), przy czym parametr _ jest również nieznany i jest oszacowany na podstawie próby losowej (Y₁, Y₂,...,Y_m). Zakładamy, że odchylenie standardowe σ jest dla obu zmiennych losowych takie same i jest niezależnie estymowane w obu próbach.

Niech oraz będą wartościami średnimi, odpowiednio, w pierwszej i w drugiej próbie, zaś oraz empirycznymi wariancjami w tych próbach.

Hipotezę __ na poziomie istotności  odrzucamy gdy spełniona jest nierówność

gdzie

a t_{n+m-2,(1+)/2} jest kwantylem rzędu (1+ w rozkładzie t-Studenta o n+m-2 stopniach swobody.

Do obliczeń wykorzystujemy funkcję Excela:

TEST.T(tablica1 ; tablica2 ; strony ; typ )

Tablica1 jest to pierwszy zbiór danych.

Tablica2 jest to drugi zbiór danych.

Strony określa ilostronny ma być rozkład(???). Jeżeli strony = 1, funkcja TEST.T stosuje rozkład jednostronny. Jeżeli strony = 2, funkcja TEST.T stosuje rozkład o dwóch śladach (???!!!!!).

Typ jest to rodzaj testu t, który ma być przeprowadzony.

Jeżeli typ równa się:

1 Przeprowadzany jest test t dla porównań parami (Sparowany??)

• Przeprowadzany jest test t dla wariancji równej dla dwóch prób

• Przeprowadzany jest test t dla wariancja nierównej dla dwóch prób

W naszym przypadku mamy: strony=2; typ =2

Funkcja TEST.T podaje wartość odpowiedniej statystyki t-Studenta. Wartość tę musimy porównać z odpowiednim kwantylem rozkładu t-Studenta (wyznaczanym z wykorzystaniem funkcji ROZKŁAD.T.ODW

Możemy także skorzystać z opcji:

Narzędzia | Analiza danych | test t: z dwiema próbami zakładający równe wariancje

Wprowadzamy: dane pierwszej próby, dane drugiej próby, poziom istotności testu
, hipotetyczną różnice wartości średnich (jeżeli mają być równe, to wynosi ona 0).

Uzyskujemy:

• Wartość statystyki t (t Stat)

• Liczbę stopni swobody (df)

• Wartość krytyczną testu (test t dwustronny)

• i inne (wartości średnie, wariancje, itp.)

Jeżeli zakładamy, że odchylenie standardowe σ jest dla obu zmiennych losowych nie jest takie same i jest niezależnie estymowane w obu próbach, to korzystamy z funkcji

TEST.T(tablica1 ; tablica2 ; strony ; typ )

przyjmując wartości strony=2; typ=3.

Funkcja TEST.T podaje wartość odpowiedniej statystyki t-Studenta. Wartość tę musimy porównać z odpowiednim kwantylem rozkładu t-Studenta (wyznaczanym z wykorzystaniem funkcji ROZKŁAD.T.ODW

Możemy też skorzystać z opcji:

Narzędzia | Analiza danych | test t: z dwiema próbami zakładający nierówne wariancje

Wprowadzamy: dane pierwszej próby, dane drugiej próby, poziom istotności testu
, hipotetyczną różnice wartości średnich (jeżeli mają być równe, to wynosi ona 0).

Uzyskujemy:

• Wartość statystyki t (t Stat)

• Liczbę stopni swobody (df)

• Wartość krytyczną testu (test t dwustronny)

• i inne (wartości średnie, wariancje, itp.)

Jeżeli zakładamy, że odchylenia standardowe σ dla obu zmiennych losowych są znane, to korzystamy z opcji

Narzędzia | Analiza danych | Test z: z dwiema próbami dla średniej

Wprowadzamy: dane pierwszej próby, dane drugiej próby, wartość odchylenia standardowego dla pierwszej próby, wartość odchylenia standardowego dla drugiej próby, poziom istotności testu
, hipotetyczną różnice wartości średnich (jeżeli mają być równe, to wynosi ona 0).

Uzyskujemy:

• Wartość statystyki z (z)

• Wartość krytyczną testu (test z dwustronny)

• i inne (wartości średnie, wariancje, itp.)

5.3.5 Weryfikacja hipotez dotyczących wariancji

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(,σ), przy czym parametry  oraz σ są nieznane i są oszacowane (wyestymowane) na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n).

Weryfikacja hipotezy

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

lub

gdzie jest kwantylem rzędu (1-)/2 w rozkładzie chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody, zaś jest kwantylem rzędu (1+)/2 w rozkładzie chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody (tablice).

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy

Weryfikacja hipotezy

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy .

Weryfikacja hipotezy

Hipotezę na danym poziomie istotności  odrzucamy gdy:

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy ,

W przypadku stosowania programu Excel wszystkie obliczenia musimy zapisać wykorzystując funkcje Excela, a w tym:

WARIANCJA.POPUL (dane)

ROZKŁAD.CHI.ODW (prawdopodobieństwo; stopnie swobody)

Funkcja ROZKŁAD.CHI.ODW (prawdopodobieństwo; stopnie swobody) pozwala na wyznaczenie kwantyla rzędu  w rozkładzie chi-kwadrat o liczbie stopni swobody n.

5.3.6 Porównywanie dwu wariancji

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(_,σ_), przy czym parametry _ oraz σ_ są nieznane i są oszacowane na podstawie próby losowej (X­₁, X₂,...,X_n), zaś Y będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N(_,σ_), przy czym parametry _ oraz σ_ są również nieznane i są oszacowane na podstawie próby losowej

(Y₁, Y₂,...,Y_m).

Niech oraz będą wartościami średnimi, odpowiednio, w pierwszej i w drugiej próbie, zaś oraz skorygowanymi empirycznymi wariancjami w tych próbach.

Jeżeli >, to hipotezę na poziomie istotności  odrzucamy, gdy spełniona jest nierówność

gdzie F((,n-1,m-1) jest kwantylem rzędu ( w rozkładzie F-Snedecora o parze stopni swobody (n-1,m-1).

W przeciwnym przypadku nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy .

W przypadku stosowania programu Excel wszystkie obliczenia musimy zapisać wykorzystując funkcje Excela, a w tym:

WARIANCJA.POPUL (dane)

ROZKŁAD.F.ODW(prawdopodobieństwo; stopnie_swo
Wyszukiwarka