Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Jednoczynnikowa analiza
wariancji jest testem
statystycznym opracowanym przez
Ronalda Fishera i wykorzystującym
podział wariancji dla badanej cechy
na składowe związane ze źródłami
zmienności uwzględnionymi w
modelu liniowym

Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Badamy pewną cechę (np. przyrosty masy
ciała, plony) po zastosowaniu jednego
czynnika doświadczalnego (np. poziomu
żywienia, rodzaju nawożenia).
Mamy t poziomów czynnika
doświadczalnego (t dawek żywieniowych, t
rodzajów nawożenia) i wybieramy do
doświadczenia t grup (t grup zwierząt, t
pól), przy czym t ≥ 3
W każdej grupie jest r

i

elementów (zwierząt,

pól) na których wykonujemy doświadczenie

Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Czy zastosowany czynnik doświadczalny

wpływa istotnie na badaną cechę?
Hipoteza zerowa:
H

0

: μ

1

= μ

2

= μ

3

= …. = μ

t

Hipoteza alternatywna:
H

A

: ~(μ

1

= μ

2

= μ

3

= …. = μ

t

)

Jednoczynnikowa analiza wariancji

jest testem służącym do weryfikacji

hipotezy H

0

zakładającej równość

wartości średnich t grup

(reprezentujących t populacji)

Model liniowy

jednoczynnikowej analizy

wariancji

ij

i

ij

ε

τ

μ

x







x

ij

- j-ta obserwacja w i-tej

grupie
μ - średnia populacji
τ

i

– efekt czynnika

doświadczalnego
ε

ij

– błąd losowy

i=1,t

(t - liczba grup)

j=1,r

i

(r

i

– liczba

obserwacji w i-tej
grupie)

2

i

dla

n

,...

1

j

1

i

dla

n

,...

1

j

2

,

1

i

ε

τ

μ

x

2

1

ij

i

ij

















2

n

2

2

2

n

2

1

n

1

1

1

n

1

22

2

22

12

1

12

21

2

21

11

1

11

ε

τ

μ

x

ε

τ

μ

x

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ε

τ

μ

x

ε

τ

μ

x

ε

τ

μ

x

ε

τ

μ

x

II

grupa

I

grupa





































.

2

2

.

2

.

1

1

.

1

.

2

2

2

2

.

2

j

j

2

.

1

1

1

1

.

1

j

j

1

ε

τ

μ

x

ε

τ

μ

x

ε

τ

n

μ

n

x

x

ε

τ

n

μ

n

x

x

































2

i

dla

n

,...

1

j

1

i

dla

n

,...

1

j

2

,

1

i

ε

τ

μ

x

2

1

ij

i

ij

















)

ε

ε

(

)

τ

τ

(

)

μ

μ

(

x

x

ε

τ

μ

x

ε

τ

μ

x

2

1

2

1

2

1

.

2

2

.

2

.

1

1

.

1



































zakładając, że średnio błędy losowe
są równe 0, różnica między średnimi
stanowi różnicę między efektami
czynnika doświadczalnego tzn.

2

1

2

1

τ

τ

x

x











Tabela jednoczynnikowej
analizy wariancji

1



N

C

x

SS

ij

T







2

1



t

C

r

.

x

SS

i

2

i

G







1





t

SS

MS

G

G

E

G

MS

MS

F 

0

t

N

G

T

E

SS

SS

SS





t

N

SS

MS

E

E





Źródło
zmienności

df

stopnie

swobo

dy

SS

suma kwadratów

MS

średni kwadrat

(wariancja)

F

0

statystyka

testowa

Ogólna

–

–

Między
grupami

(poziomami
czynnika)

Błąd

(wewnątrz
grup)

ij

i

ij

ε

τ

μ

x







Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Oznaczenia:
N=t·r (liczba obserwacji w

doświadczeniu)

df (degrees of freedom) – stopnie

swobody

SS (Sum of Squares) – suma kwadratów
MS (Mean Square) – średni kwadrat
C (Correction) – poprawka

rt

x

C

2

j

,

i

ij

















Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Ogólna suma kwadratów (SS

T

) =

C

)

x

...

x

x

...

x

...

x

x

x

...

x

x

(

C

x

2

tr

2

2

t

2

1

t

2

r

2

2

22

2

21

2

r

1

2

12

2

11

j

,

i

2

ij

































Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Międzygrupowa suma kwadratów (SS

G

) =

C

r

)

x

...

x

x

(

...

r

)

x

...

x

x

(

r

)

x

...

x

x

(

C

...

C

t

2

tr

2

t

1

t

2

2

r

2

22

21

1

2

r

1

12

11

r

x

r

x

r

x

i

r

x

t

2

1

t

2

.

t

2

2

.

2

1

2

.

1

i

2

.

i











































Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Suma kwadratów dla błędu (SS

E

) =

ogólna suma kwadratów (SS

T

)

– międzygrupowa suma kwadratów

(SS

G

)

SS

E

= SS

T

– SS

G

inaczej:























i

j

i

2

i

2

ij

E

r

x

x

SS

Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Średni kwadrat (MS) jest
oszacowaniem wariancji między
obserwacjami:

t

N

SS

df

SS

MS

1

t

SS

df

SS

MS

E

E

E

E

G

G

G

G













Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Hipoteza zerowa weryfikowana jest za pomocą

testu F:

Jeśli F

0

> F

α

to odrzucamy H

0

Jeśli F

0

< F

α

to nie ma podstaw do odrzucenia

H

0

F

α

- tablicowa wartość testu F zależna od

poziomu istotności α oraz odpowiednich stopni

swobody (df

G

i df

E

)

α=0,05 to różnice między średnimi istotne
α=0,01 to różnice między średnimi wysoce

istotne

E

G

o

MS

MS

F 

Jednoczynnikowa analiza

wariancji

Istotna wartość testu F

0

(tzn. odrzucenie

H

0

) oznacza, że różne poziomy czynnika

doświadczalnego miały istotnie różny
wpływ na obserwacje w grupach tzn. że
grupy nie pochodzą z populacji o wspólnej,
takiej samej wartości średniej (μ)
Nie oznacza to istnienia istotnej różnicy
między każdą parą średnich grupowych, a
jedynie istnienie co najmniej jednej pary
średnich które różnią się istotnie

Przykład

Badano zawartość azotu w czterech

odmianach czerwonej koniczyny
Czy między odmianami zachodzą

istotne różnice w średniej zawartości

tego pierwiastka?
H

0

: μ

1

= μ

2

= μ

3

= μ

4

(tzn. średnia zawartość azotu jest taka

sama)
H

A

: ~(μ

1

= μ

2

= μ

3

= μ

4

)

Przykład





ij

x





2

ij

x



j

ij

x



2

ij

x

grup

a

I

II

III

IV

19,4 17,7 17,0 20,7
32,6 24,8 19,4 21,0
27,0 27,9 9,1 20,5
32,1 25,2 11,9 18,8
33,0 24,3 15,8 18,6

144

,1

119

,9

73,2 99,6

436,8

4287,

53

2932,

27

1139,

42

1989,

14

10348,36

648

,

808

C

36

,

10348

SS

712

,

9539

C

:

poprawka

20

5

4

N

:

obserwacji

liczba

T

20

8

,

436

2



















Przykład





ij

x

516

,

264

132

,

544

648

,

808

SS

132

,

544

712

,

9539

84

,

10083

C

5

22

,

50419

C

5

6

,

99

2

,

73

9

,

119

1

,

144

:

SS

E

2

2

2

2

G



























x



j

ij

x

i

x

I

II

III

IV

144,1

119,9

73,2

99,6

436,8

28,82

23,98

14,64

19,92

21,84

Przykład





ij

x

516

,

264

5

6

,

99

14

,

1989

...

5

1

,

144

53

,

4287

r

x

x

SS

:

inaczej

liczone

SS

2

2

i

j

i

2

i

2

ij

E

E





























































j

ij

x

I

II

III

IV

144,1

119,9

73,2

99,6

436,8

4287,

53

2932,2

7

1139,4

2

1989,1

4

10348,36

Tabela analizy
wariancji

Źródło
zmienności

df

stopnie

swobo

dy

SS

suma kwadratów

MS

średni kwadrat

(wariancja)

F

0

statystyka testowa

Ogólna

N-1
19

SS

T

=808,

65

–

–

Między
grupami

(poziomami
czynnika)

t-1
3

SS

G

=544,

13

MS

G

=181,

38

F

0

=181,38/

16,53=10,

97

**

F

0,05

=3,24

F

0,01

=5,29

Błąd

(wewnątrz
grup)

N-t
16

SS

E

=264,

52

MS

E

=16,5

3

Analiza wariancji

I

II

III

IV

144,

1

119,

9

73,2 99,6

436,8

28,8

2

23,9

8

14,6

4

19,9

2

21,84

ij

x







ij

x

i

x



x

F

0

> F

0,05

oraz

F

0

> F

0,01

więc

odrzucamy H

0

odrzucenie H

0

na obu poziomach

istotności (α=0,05 i α=0,01) oznacza
że między średnimi
czterech porównywanych grup
występują wysoce
istotne różnice (na pewno między I i III
grupą)