Dwuczynnikowa analiza
wariancji
Badamy pewną cechę (np. przyrosty masy ciała)
po zastosowaniu dwóch czynników
doświadczalnych (np. poziomu żywienia i płci).
Mamy a poziomów czynnika doświadczalnego A
(a różnych dawek żywieniowych)
i b poziomów czynnika doświadczalnego B (b
płci) i wybieramy do doświadczenia ab grup
(ab grup zwierząt)
W każdej grupie jest po r elementów (r
zwierząt) na których wykonujemy
doświadczenie
Dwuczynnikowa analiza
wariancji
Dwuczynnikowa analiza wariancji jest
metodą statystyczną służącą do weryfikacji
(przy użyciu testu F) następujących
hipotez:
1.
wartości średnie dla różnych poziomów
czynnika A są równe
2.
wartości średnie dla różnych poziomów
czynnika B są równe
3. wartości średnie dla różnych poziomów
czynnika A nie zależą od poziomu czynnika
B i odwrotnie (nie zachodzi interakcja)
Model liniowy
dwuczynnikowej analizy
wariancji
ijk
ij
j
i
ijk
ε
)
αβ
(
β
α
μ
x
x
ijk
- k-ta obserwacja
μ - średnia populacji
α
i
– efekt czynnika
doświadczalnego A
β
j
– efekt czynnika
doświadczalnego B
(α β)
ij
– efekt interakcji między
A i B
ε
ijk
– błąd losowy
Efekty proste
Efekty proste dla czynnika A
(
a
2
-a
1
): a
2
b
1
- a
1
b
1
oraz a
2
b
2
–
a
1
b
2
Efekty proste dla czynnika B
(
b
2
-b
1
): a
1
b
2
– a
1
b
1
oraz a
2
b
2
– a
2
b
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
B
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
A
Efekty główne
1
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
b
a
b
a
b
a
b
a
2
1
b
a
b
a
b
a
b
a
2
1
AB
Interakcja
Interakcja między A i B (AB):
Określa w jakim stopniu wpływ
jednego czynnika zależy od poziomów
drugiego czynnika
Jeżeli wpływ ten nie zmienia się, to nie
wystepuje interakcja; w przeciwnym
wypadku (tzn. gdy wpływ jednego
czynnika zależy od poziomu drugiego)
zachodzi interakcja między czynnikami
Interakcja
Interakcja między A i B (AB):
Jeśli efekty proste czynnika różnią się
znacznie
(o więcej niż można uznać za różnice
przypadkowe) to mówimy, że między
czynnikami występuje interakcja
Interakcja
Przykładowo:
badamy
działanie
kilku leków na wylosowanej próbie
pacjentów obu płci
Jeden z badanych leków daje lepsze
wyniki niż pozostałe leki, zarówno u
kobiet, jak i u mężczyzn (czyli
niezależnie od płci) - oznacza to, że
interakcji nie ma.
Jeżeli jednak jeden lek daje lepsze
wyniki u kobiet, a inny lek - u
mężczyzn, to mówimy o wystąpieniu
interakcji między tymi dwoma
czynnikami (rodzajem leku i płcią).
Efekty proste i główne
Czynni
k
A = hormon
Pozio
m
a
1
a
2
Średn
ia
a
2
– a
1
b
1
30
32
31
2
B =
płeć
b
2
36
38
37
2
Średni
a
33
35
34
2
b
2
–
b
1
6
6
6
Efek
ty
pros
te
Efek
ty
pros
te
Efekty proste i główny dla
A
Efekt główny = 2
2
2
Efekty proste i główny dla
B
6
6
Efekt główny = 6
Efekty proste i główne
Czynni
k
A = hormon
Pozio
m
a
1
a
2
Średni
a
a
2
– a
1
b
1
30
32
31
2
B =
płeć
b
2
36
44
40
8
Średn
ia
33
38
35.5
5
b
2
– b
1
6
12
9
Efek
ty
pros
te
Efek
ty
pros
te
Efekty proste i główny dla
A
2
8
Efekt główny = 5
Efekty proste i główny dla
B
6
12
Efekt główny = 9
Efekty proste i główne
Czynni
k
A = hormon
Pozio
m
a
1
a
2
Średni
a
a
2
– a
1
b
1
30
32
31
2
B =
płeć
b
2
36
26
31
-10
Średni
a
33
29
31
-4
b
2
– b
1
6
-6
0
Efek
ty
pros
te
Efek
ty
pros
te
Efekty proste i główny dla
A
2
-10
Efekt główny = -4
Efekty proste i główny dla
B
6
-6
Efekt główny = 0
Tabela analizy wariancji
ijk
ij
j
i
ijk
ε
)
αβ
(
β
α
μ
x
Źródło
zmien.
df
stopnie
swobody
SS
suma kwadratów
MS
średni kwadrat
(wariancja)
Ogóln
a
N-1
–
czynni
k A
a-1
czynni
k B
b-1
interakc
ja AB
(a-1)(b-
1)
Błąd
ab(r-1)
C
x
SS
ijk
T
2
C
br
x
SS
j
A
2
.
.
C
ar
x
SS
i
B
2
..
B
A
ij
AB
SS
SS
C
r
x
SS
.
2
AB
B
A
T
E
SS
SS
SS
SS
SS
1
a
SS
MS
A
A
1
b
SS
MS
B
B
1
1
b
a
SS
MS
AB
AB
1
r
ab
SS
MS
E
E
Dwuczynnikowa analiza
wariancji
Oznaczenia:
C (Correction) – poprawka
a – liczba poziomów czynnika A
b – liczba poziomów czynnika B
r – liczba obserwacji dla jednego poziomu czynnika
A i jednego poziomu czynnika B
N=a·b·r (liczba obserwacji w doświadczeniu)
(N – 1) – [(a – 1)+(b – 1)+(a – 1)(b – 1)] =
(abr – 1) – [(a – 1)(
1
+b –
1
)+(b – 1)] =
abr–1– [(a – 1)b+b – 1] = abr – 1 – [(ab –
b
+
b
– 1]
=abr –1 – [ab –1] =abr–1 –ab+1=abr – ab=ab(r –1)
abr
x
C
2
j
,
i
ijk
Dwuczynnikowa analiza
wariancji
Weryfikacja hipotezy o braku interakcji:
Jeśli F
0
> F
α
to interakcja między A i
B występuje
WÓWCZAS NIE BADA SIĘ ISTOTNOŚCI
WPŁYWU ŻADNEGO Z CZYNNIKÓW !!!
Jeśli F
0
< F
α
to brak interakcji między A
i B
E
AB
o
MS
MS
F
Dwuczynnikowa analiza
wariancji
Weryfikacja hipotezy o braku
wpływu czynnika A:
Jeśli F
0
> F
α
to czynnik A ma
istotny wpływ na badaną cechę
Jeśli F
0
< F
α
to brak istotnego
wpływu czynnika A
E
A
o
MS
MS
F
Dwuczynnikowa analiza
wariancji
Weryfikacja hipotezy o braku
wpływu czynnika B:
Jeśli F
0
> F
α
to czynnik B ma
istotny wpływ na badaną cechę
Jeśli F
0
< F
α
to brak istotnego
wpływu czynnika B
E
B
o
MS
MS
F
Przykład
Badano wpływ sposobu żywienia (A) i
płci (B) na ciężar mostka cieląt
Sposób żywienia
(A)
Płeć
(B)
I (a
1
)
II (a
2
)
suma
samce
(b
1
)
2, 4, 1
7
2, 3, 5
10
17
samice
(b
2
)
4, 4, 3
11
6, 6, 8
20
31
Suma
18
30
48
Przykład
Sposób żywienia
(A)
Płeć
(B)
I (a
1
)
II (a
2
)
sum
a
samce
(b
1
)
2, 4, 1
7
2, 3, 5
10
17
samice
(b
2
)
4, 4, 3
11
6, 6, 8
20
31
Suma
18
30
48
192
12
2304
3
2
2
48
N
x
C
236
8
6
6
...
1
4
2
x
2
2
ijk
2
2
2
2
2
2
2
ijk
192
C
236
x
2
ijk
I (a
1
)
II
(a
2
)
sum
a
samce
(b
1
)
7
10
17
samice
(b
2
)
11
20
31
Suma
18
30
48
44
192
236
C
x
SS
2
ijk
T
3
33
,
28
33
,
31
)
33
,
16
12
(
192
33
,
223
)
SS
SS
(
C
3
20
10
11
7
)
SS
SS
(
C
r
.
x
SS
33
,
16
192
33
,
208
C
3
2
31
17
C
r
a
..
x
SS
12
192
204
C
3
2
30
18
C
r
b
.
.
x
SS
B
A
2
2
2
2
B
A
2
ij
AB
2
2
2
i
B
2
2
2
j
A
SS
E
=44 - (12+16,33+3)=44-31,33=12,67
F
A
=MS
A
/MS
E
F
B
=MS
B
/MS
E
F
AB
=MS
AB
/MS
E
Źródło
zmiennoś
ci
df
SS
MS
F-test
Ogólna
11
44
–
czynnik A
(żywienie
)
1
12
MS
A
=12/1=
12
F
A
= 8,53
czynnik B
(płeć)
1
16,33
MS
B
=16,33/
1= 16,33
F
B
=11,6
1
interakcj
a AB
1
3
MS
AB
=3/1
=3
F
AB
=
2,13
Błąd
8
12,67
MS
E
=12,67/
8= 1,407
Weryfikacja hipotez
Istotność interakcji
F
AB
= 2,13 < F
0,05
= 5,32
Interakcja między żywieniem a płcią jest
nieistotna
Badamy istotność wpływu czynników
głównych
Czynnik A (żywienie):
F
A
= 8,53 > F
0,05
= 5,32 i F
A
< F
0,01
=11,26
Żywienie ma istotny wpływ na badaną cechę
Czynnik B (płeć):
F
B
=11,61 > F
0,01
=11,26
Płeć ma wysoce istotny wpływ na badaną cechę
Efekty proste i główne
Czynni
k
A = żywienie
Pozio
m
a
1
a
2
Średni
a
a
2
– a
1
b
1
2,33
3,33
2,83
1
B =
płeć
b
2
3,67
6,67
5,17
3
Średn
ia
3
5
4
2
b
2
– b
1
1,34
3,34
2,34
Efekt
y
prost
e
Efek
ty
pros
te
a
1
a
2
sum
a
b
1
7
10
17
b
2
11
20
31
Suma
18
30
48