20

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

6.

Sposób

wyznaczania

e

At

oraz A

k

7. Postać modalna rozwiązania równania stanu.

2 2

3 3

0

2

3

i i

i

A t

A t

A t

( t ) I

At

!

!

i!

∞

=

Φ

= +

+

+

+

=

∑

przez podobieństwo z

2 2

3 3

0

1

2

3

at

i i

i

a t

a t

a t

e

at

!

!

i!

∞

=

= +

+

+

+

=

∑

oznaczamy

At

( t ) e

Φ

=

[

] [

]

1

2

2

1

1

1

2

1

0

0

0

0

0

0

n

n

n

s

s

s

S

S

A

v

v

v

v

v

v

V V

V

V

V

,

V

A

S

A

A

−

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎦

=

=

=

⎥

⎣

=

21

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

Rozpatrzmy równanie

d

x( t ) Ax( t )

dt

=

i zastosujmy przekształcenie zmiennych stanu:

Vz( t ) x( t )

=

1

1

0

0

0

0

d

V

z( t ) AVz( t ), z( ) V x( ) V x

z

dt

−

−

=

=

=

=

1

1

1

0

0

0

0

d

z( t ) V AVz( t ), z( ) V x( ) V x

z

dt

−

−

−

=

=

=

=

1

2

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

n

s

s

d

z( z )

z( t ), z( ) V x( ) V x

z

dt

s

−

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

=

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

22

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

0

0

1 2

i

i i

i

i

d

z ( t ) s z ( t ), z ( ) z

i

, ,...,n

dt

=

=

=

0

1 2

i

s t

i

i

z ( t ) e z

i

, ,...,n

=

=

1

2

0

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

z( t )

z( ),

e

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

23

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

1

2

0

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

Vz( t ) V

z( ),

e

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1

2

1

0

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

x( t ) V

V x( ),

e

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1

1

2

T

T

T

n

w
w

V :

w

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

24

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

1

0

i

n

s t

T

i

i

i

x( t )

e v w x( ),

=

=

∑

0

x( t )

( t )x

= Φ

czyli

1

2

1

0

0

0

0

0

0

n

s t

s t

s t

e

e

( t ) V

V

e

−

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

Φ

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1

i

n

s t

T

i

i

i

( t )

e v w

=

Φ

=

∑

0

0

t

x( t )

( t )x

( t

)Bu( )d

τ

τ τ

= Φ

+ Φ −

∫

25

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

( )

0

1

1

0

0

1

0

i

i

i

i

t

n

n

s t

s t

T

T

i

i

i

i

i

i

t

n

s t

s

T

i

i

i

x( t )

e v w x

e

v w Bu( )d

e v w x

e

Bu( )d

τ

τ

τ τ

τ τ

−

=

=

−

=

=

+

=

⎡

⎤

=

+

⎢

⎥

⎣

⎦

∑

∑

∫

∑

∫

UKŁAD DYSKRETNY

Postać modalna rozwiązania:

A ma n różnych wartości własnych z

i

Macierzą przekształcenia przez podobieństwo do postaci diagonalnej jest macierz, której kolumnami są wektory własne:

[

]

n

v

v

v

V

2

1

=

,

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

n

z

z

z

0

0

0

0

0

0

2

1

Λ

26

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

i

i

i

v

z

v

A

=

i=1,...., n

Λ

V

AV

=

1

−

=

V

V

A

Λ

Λ

=

−

AV

V

1

1

2

1

1

2

−

−

−

=

=

V

V

V

V

V

V

A

Λ

Λ

Λ

1

3

1

1

2

3

−

−

−

=

=

V

V

V

V

V

V

A

Λ

Λ

Λ

.........................

1

−

=

V

V

A

k

k

Λ

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

k

n

k

k

k

z

z

z

0

0

0

0

0

0

2

1

Λ

,

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

−

T

n

T

T

w

w

w

W

V

2

1

1

:

1

−

=

V

V

A

k

k

Λ

=

( )

T

j

j

n

j

k

j

w

v

z

∑

=1

27

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

)

(kT

x

=

)

)

((

)

0

(

0

1

T

i

k

Bu

A

x

A

k

i

i

k

−

+

∑

=

−

==

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

T

j

j

n

j

k

j

∑

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

Bu

w

v

z

k

i

T

j

j

n

j

i

j

−

+

∑∑

=

=

−

=

( )

)

0

(

1

x

w

v

z

T

i

i

n

i

k

i

∑

=

( )

)

)

((

1

0

1

T

i

k

Bu

z

w

v

i

j

k

i

n

j

T

j

j

−

+

−

=

=

∑

∑