W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

3

3

D

D

R

R

U

U

G

G

A

A

Z

Z

A

A

S

S

A

A

D

D

A

A

D

D

Y

Y

N

N

A

A

M

M

I

I

K

K

I

I

–

–

C

C

I

I

Ą

Ą

G

G

D

D

A

A

L

L

S

S

Z

Z

Y

Y

.

.

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

.

.

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

W

W

Y

Y

R

R

A

A

Ż

Ż

A

A

J

J

Ą

Ą

C

C

E

E

T

T

R

R

E

E

Ś

Ś

Ć

Ć

D

D

R

R

U

U

G

G

I

I

E

E

J

J

Z

Z

A

A

S

S

A

A

D

D

Y

Y

D

D

Y

Y

N

N

A

A

M

M

I

I

K

K

I

I

zmiana
pędu

pochodna

sily

sily

pędu ( wielkosć ekstensywn

A

a !)

objętosciowe

powierzchniowe

dP

d( v)

v(

v) d

Fd

f dA

dt

dt



















 

 

 















Rozpiszmy wyrażenie w nawiasie kwadratowym – czyli pochodną
czasową iloczynu

v



:

na mocy prawa
zachowania masy

dv

d

dv

d

v

v(

v)

v

(

v)

dt

dt

dt

dt





















 





  









jest zerem

Otrzymamy zapis drugiej zasady dynamiki w formie następującej:

A

dv

F d

f dA

dt











 













Sprowadźmy równanie do takiej postaci, w której wystąpi całka po
objętości o wartości zerowej.

 

d

0





 



R

ównanie to obowiązywałoby dla każdego obszaru. Wyznaczymy

w tym celu

siłę powierzchniową

f

.

1

e

2

e

3

e

3

f

f

2

f

dS

3

dS

1

dS

2

1

f

Rozważmy elementarny
czworościan oparty o wersory
układu współrzędnych. Boki
czworościanu to

dS

1

, dS

2

, dS

3

leżące naprzeciw wersorów

1

2

3

e , e , e

oraz

dS

– bok

zamykający. Każdy z boków

dS

1

, dS

2

, dS

3

znajduje się na

płaszczyźnie utworzonej przez
dwa wersory

– ma więc

niezmienną orientację.
Normalną zewnętrzną dla

dS

1

,

jest

1

e



, dla

dS

2

jest

2

e



, a

dla

dS

3

jest

3

e



.

Bok

zamykający

ma

normalną

1

2

3

n

(n , n , n )



wynikającą z

orientacji

dS.

Orientacja ta jest

dowolna.

Całka powierzchniowa dla
znikomych podobszarów

dS

1

, dS

2

, dS

3

i

dS

może być zapisana na mocy

twierdzenia o średniej

1

1

2

2

3

3

f dS

f dS

f dS

f dS

0









Zwrot siły

f

jest przeciwny do zwrotu pozostałych

k

f

.

Dla

k

–

tej

składowej możemy napisać:

k

1 1k

2 2k

3 3k

f

n f

n f

n f







Zestawiając

f

ik

w tablicę otrzymamy zwięzły zapis

U

żyjmy skrótu

sumacyjnego,

wtedy

k

i i k

f

n f



f

n

 

-

nazywamy

TENSOREM NAPRĘŻENIA

.

TENSOR NAPRĘŻENIA

okre

śla siły wewnętrzne w ośrodku

ciągłym i wynikające z sił wewnętrznych siły występujące na
powierzchni ograniczającej rozważane ciało

n

-

normalna do powierzchni

Podstawmy

określenie siły powierzchniowej do całki

powierzc

hniowej występującej w II zasadzie dynamiki i

przekształćmy ją korzystając z twierdzenia
Greena - Gaussa - Ostrogradskiego.

A

A

( t

G

)

G O

f dA

n

dA

d









 









Gdy wrócimy do drugiej zasady dynamiki, wstawimy otrzymane
wyżej wyrażenie i stwierdzimy, że całka znika dla każdego

Ω

, to

dostaniemy:

d v

F

dt









RÓWNANIE

CAUCHY’EGO –

równanie ruchu dla

dowolnego ośrodka

ciągłego

Równanie Cauchy’ego

definiuje pole przyspieszenia, w którym

znajduje się ruchomy ośrodek ciągły.
Pole to wynika:



z sił masowych określonych przez wektor

F



z sił powierzchniowych wyrażonych przez pochodne tensora

naprężenia

 

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

Równanie energii jest rezultatem zastosowania I zasady
termodynamiki do poruszającego się ośrodka ciągłego. Zasada ta
może być wypowiedziana tak:

Energię określamy następująco:

2

2

( t )

( t )

( t )

v

v

E

dE

u dm

u

d

2

2



















































Pochodna czasowa energii zawartej w

układzie jest równa mocy dostarczanej do

układu

Suma zawartej w jednostce

objętości energii kinetycznej i

energii wewnętrznej

energia

wewnętrzna

właściwa

Sposoby dostarczania mocy do układu



Moc dostarczana przez powierzchnię wynikająca z ruchu

ośrodka przy istnieniu siły powierzchniowej





GGO

A

A

A

N

f v dA

n

v dA

v d









 

 













Moc dostarczana do wnętrza obszaru wynikająca z ruchu w

zewn

ętrznym polu sił (np. grawitacyjnych)

N

F v d

















Moc wynikająca z przewodzenie ciepła

Moc dostarczona do obszaru:









q

A

A

( t )

GGO

N

n q dA

n

T dA

T d









 



 



  









T1 = const1

T2 = const2

const2 > const1

Wektor strumienia ciepła

q

grad T

T





 

  

T- temperatura
λ – przewodność cieplna
grad T – gradient temperatury o
kierunku maksymalnego wzrostu
temperatury
Przewodzenie ciepła odbywa się w
kierunku spadku temperatury

q



Moc przekazana przez promieniowanie

prom

N

Q d









Q

–

gęstość mocy wynikająca z pochłaniania promieniowania ciepła

wydzielonego przy przepływie prądu elektrycznego lub ciepła
dostarczonego w wyniku zachodzących reakcji chemicznych i/lub
jądrowych

Równanie energii

określa zmiany energii właściwej

2

v

e

u

2





w

zależności od mocy sił powierzchniowych, masowych,
przewodzenia ciepła i promieniowania

A

q

prom

dE

N

N

N

N

dt











Zakładając, że obszar

Ω

został przyjęty w sposób dowolny i

„gubiąc całki” otrzymamy:









0 na mocy

równania ciaglosc

2

i

2

d

v

v

u

u

v

v

F v

T

Q

dt

2

2





































 

  

 

    

































RÓWNANIE ENERGII JEST ZAPISEM

I ZASADY TERMODYNAMIKI

P

P

O

O

D

D

S

S

U

U

M

M

O

O

W

W

A

A

N

N

I

I

E

E

Wyprowadzone zostały równania:



ciągłości – wyrażające zasadę zachowania masy



ruchu

– wyrażające drugą zasadę dynamiki



energii

– wyrażające pierwszą zasadę termodynamiki

W sumie mamy 5 równań (1 – ciągłości, 3 – ruchu, 1- energii).
Obowiązują one dla dowolnej substancji rozumianej jako ośrodek
ciągły.

Poszukiwane są:



trzy składowe pola prędkości,



dwa parametry termodynamiczne np. ciśnienie i gęstość.

(Trzeci wynika z równania stanu.)

Musimy określić tensor naprężeń. Wielkość ta zależy od ruchu i
stanu ośrodka.