W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
3
3
D
D
R
R
U
U
G
G
A
A
Z
Z
A
A
S
S
A
A
D
D
A
A
D
D
Y
Y
N
N
A
A
M
M
I
I
K
K
I
I
–
–
C
C
I
I
Ą
Ą
G
G
D
D
A
A
L
L
S
S
Z
Z
Y
Y
.
.
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
E
E
N
N
E
E
R
R
G
G
I
I
I
I
.
.
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
W
W
Y
Y
R
R
A
A
Ż
Ż
A
A
J
J
Ą
Ą
C
C
E
E
T
T
R
R
E
E
Ś
Ś
Ć
Ć
D
D
R
R
U
U
G
G
I
I
E
E
J
J
Z
Z
A
A
S
S
A
A
D
D
Y
Y
D
D
Y
Y
N
N
A
A
M
M
I
I
K
K
I
I
zmiana
pędu
pochodna
sily
sily
pędu ( wielkosć ekstensywn
A
a !)
objętosciowe
powierzchniowe
dP
d( v)
v(
v) d
Fd
f dA
dt
dt
Rozpiszmy wyrażenie w nawiasie kwadratowym – czyli pochodną
czasową iloczynu
v
:
na mocy prawa
zachowania masy
dv
d
dv
d
v
v(
v)
v
(
v)
dt
dt
dt
dt
jest zerem
Otrzymamy zapis drugiej zasady dynamiki w formie następującej:
A
dv
F d
f dA
dt
Sprowadźmy równanie do takiej postaci, w której wystąpi całka po
objętości o wartości zerowej.
d
0
R
ównanie to obowiązywałoby dla każdego obszaru. Wyznaczymy
w tym celu
siłę powierzchniową
f
.
1
e
2
e
3
e
3
f
f
2
f
dS
3
dS
1
dS
2
1
f
Rozważmy elementarny
czworościan oparty o wersory
układu współrzędnych. Boki
czworościanu to
dS
1
, dS
2
, dS
3
leżące naprzeciw wersorów
1
2
3
e , e , e
oraz
dS
– bok
zamykający. Każdy z boków
dS
1
, dS
2
, dS
3
znajduje się na
płaszczyźnie utworzonej przez
dwa wersory
– ma więc
niezmienną orientację.
Normalną zewnętrzną dla
dS
1
,
jest
1
e
, dla
dS
2
jest
2
e
, a
dla
dS
3
jest
3
e
.
Bok
zamykający
ma
normalną
1
2
3
n
(n , n , n )
wynikającą z
orientacji
dS.
Orientacja ta jest
dowolna.
Całka powierzchniowa dla
znikomych podobszarów
dS
1
, dS
2
, dS
3
i
dS
może być zapisana na mocy
twierdzenia o średniej
1
1
2
2
3
3
f dS
f dS
f dS
f dS
0
Zwrot siły
f
jest przeciwny do zwrotu pozostałych
k
f
.
Dla
k
–
tej
składowej możemy napisać:
k
1 1k
2 2k
3 3k
f
n f
n f
n f
Zestawiając
f
ik
w tablicę otrzymamy zwięzły zapis
U
żyjmy skrótu
sumacyjnego,
wtedy
k
i i k
f
n f
f
n
-
nazywamy
TENSOREM NAPRĘŻENIA
.
TENSOR NAPRĘŻENIA
okre
śla siły wewnętrzne w ośrodku
ciągłym i wynikające z sił wewnętrznych siły występujące na
powierzchni ograniczającej rozważane ciało
n
-
normalna do powierzchni
Podstawmy
określenie siły powierzchniowej do całki
powierzc
hniowej występującej w II zasadzie dynamiki i
przekształćmy ją korzystając z twierdzenia
Greena - Gaussa - Ostrogradskiego.
A
A
( t
G
)
G O
f dA
n
dA
d
Gdy wrócimy do drugiej zasady dynamiki, wstawimy otrzymane
wyżej wyrażenie i stwierdzimy, że całka znika dla każdego
Ω
, to
dostaniemy:
d v
F
dt
RÓWNANIE
CAUCHY’EGO –
równanie ruchu dla
dowolnego ośrodka
ciągłego
Równanie Cauchy’ego
definiuje pole przyspieszenia, w którym
znajduje się ruchomy ośrodek ciągły.
Pole to wynika:
z sił masowych określonych przez wektor
F
z sił powierzchniowych wyrażonych przez pochodne tensora
naprężenia
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
E
E
N
N
E
E
R
R
G
G
I
I
I
I
Równanie energii jest rezultatem zastosowania I zasady
termodynamiki do poruszającego się ośrodka ciągłego. Zasada ta
może być wypowiedziana tak:
Energię określamy następująco:
2
2
( t )
( t )
( t )
v
v
E
dE
u dm
u
d
2
2
Pochodna czasowa energii zawartej w
układzie jest równa mocy dostarczanej do
układu
Suma zawartej w jednostce
objętości energii kinetycznej i
energii wewnętrznej
energia
wewnętrzna
właściwa
Sposoby dostarczania mocy do układu
Moc dostarczana przez powierzchnię wynikająca z ruchu
ośrodka przy istnieniu siły powierzchniowej
GGO
A
A
A
N
f v dA
n
v dA
v d
Moc dostarczana do wnętrza obszaru wynikająca z ruchu w
zewn
ętrznym polu sił (np. grawitacyjnych)
N
F v d
Moc wynikająca z przewodzenie ciepła
Moc dostarczona do obszaru:
q
A
A
( t )
GGO
N
n q dA
n
T dA
T d
T1 = const1
T2 = const2
const2 > const1
Wektor strumienia ciepła
q
grad T
T
T- temperatura
λ – przewodność cieplna
grad T – gradient temperatury o
kierunku maksymalnego wzrostu
temperatury
Przewodzenie ciepła odbywa się w
kierunku spadku temperatury
q
Moc przekazana przez promieniowanie
prom
N
Q d
Q
–
gęstość mocy wynikająca z pochłaniania promieniowania ciepła
wydzielonego przy przepływie prądu elektrycznego lub ciepła
dostarczonego w wyniku zachodzących reakcji chemicznych i/lub
jądrowych
Równanie energii
określa zmiany energii właściwej
2
v
e
u
2
w
zależności od mocy sił powierzchniowych, masowych,
przewodzenia ciepła i promieniowania
A
q
prom
dE
N
N
N
N
dt
Zakładając, że obszar
Ω
został przyjęty w sposób dowolny i
„gubiąc całki” otrzymamy:
0 na mocy
równania ciaglosc
2
i
2
d
v
v
u
u
v
v
F v
T
Q
dt
2
2
RÓWNANIE ENERGII JEST ZAPISEM
I ZASADY TERMODYNAMIKI
P
P
O
O
D
D
S
S
U
U
M
M
O
O
W
W
A
A
N
N
I
I
E
E
Wyprowadzone zostały równania:
ciągłości – wyrażające zasadę zachowania masy
ruchu
– wyrażające drugą zasadę dynamiki
energii
– wyrażające pierwszą zasadę termodynamiki
W sumie mamy 5 równań (1 – ciągłości, 3 – ruchu, 1- energii).
Obowiązują one dla dowolnej substancji rozumianej jako ośrodek
ciągły.
Poszukiwane są:
trzy składowe pola prędkości,
dwa parametry termodynamiczne np. ciśnienie i gęstość.
(Trzeci wynika z równania stanu.)
Musimy określić tensor naprężeń. Wielkość ta zależy od ruchu i
stanu ośrodka.