Informatyka - Podstawy Programowania w Języku C++ 

prow. Sławomir Czarnecki 

 

Zadania na laboratorium nr. 4 

 
1.  Dla  ustalonej,  małej  liczby  rzeczywistej 

0

ε

>   obliczaj  i  wyświetlaj  na  ekranie  kolejne 

wyrazy  szeregu 

i

a   oraz  sumy  cząstkowe 

(

)

0

0,1, 2,...

n

n

i

i

s

a

n

=

=

=

∑

  szeregu  nieskończonego 

0

1

2

0

...

i

i

a

a

a

a

∞

=

=

+ +

+

∑

 dopóty dopóki 

i

a

ε

>

, i=0,1,2,... (ostatnią obliczoną sumę cząstkową 

traktujemy jako przybliŜoną wartość sumy szeregu).    
Uwaga  !  Zdefiniowany  powyŜej,  najprostszy  warunek  przerwania  obliczeń  sformułowany 
został  w  oparciu  o  (nie  najlepszy  pod  względem  numerycznym)  warunek  konieczny 

lim

0

i

i

a

→∞

=   zbieŜności  szeregów.  Sprawdź  otrzymany  wynik  z  podaną  obok  wartością  ścisłą 

sumy  nieskończonej  (pamiętaj,  Ŝe  najczęściej  nie  są  znane  „zamknięte”  wzory  na  sumy 
zbieŜnych szeregów nieskończonych):  
 

( )

(

)

1

1

1

1

1

1

...

1

...

ln 2

1

2

3

4

i

i

i

−

− + − + + −

± =

≥  

(

0

1

1

1

1 ,

,

2

1

i

i

i

a

a

a

a

i

−

=

= −

= −

+

 dla 

1

i

≥ ) 

 
2.  Dla  ustalonej,  małej  liczby  rzeczywistej 

0

ε

>   obliczaj  i  wyświetlaj  na  ekranie  wyrazy 

ciągu 

( )

1

1

1

1

...

ln

2

3

n

a

n

n

= + + + + −

, n = 1,2,... dopóty dopóki 

1

n

n

a

a

ε

−

−

>

, n=2,3,... (ostatni 

obliczony wyraz a

n

 traktujemy jako przybliŜoną wartość granicy tego ciągu, która jest równa 

0.5772156649015328...

γ

=

).  

Uwaga  !  Zdefiniowany  powyŜej,  warunek  przerwania  obliczeń  sformułowany  został  w 
oparciu  o  warunek  konieczny  i  dostateczny  Cauchy’ego  zbieŜności  ciągu  w  przestrzeni 

metrycznej zupełnej 

(

)

0

,

m

n

k

m n

m

k

n

k

a

a

ε

ε

∀ > ∃ ∈ ∀

∈

> ∧ > ⇒

−

<

ℕ

ℕ

.  

MoŜna wykazać, Ŝe (nazwana stałą Eulera)  granica 

1

1

1

lim 1

...

ln

2

3

n

n

n

γ

→∞





+ + + + −

=









 istnieje, 

pomimo 

faktu, 

Ŝe 

nie 

istnieje 

skończona 

suma 

szeregu 

harmonicznego 

1

1

1

1

...

...

2

3

n

+ + + + + = ∞ . 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Oblicz przybliŜoną wartość nieskończonej sumy następującego szeregu funkcyjnego: 
 

( )

(

)

( )

2

1

3

5

7

0

1

...

sin

2

1 !

3!

5!

7!

i

i

i

x

x

x

x

x

x

i

+

∞

=

−

= −

+

−

+ =

+

∑

 , 

 
w dowolnym, ale ustalonym punkcie x i porównaj ją z wartością obliczoną bezpośrednio na 
podstawie  funkcji  bibliotecznych  sin(...).  Dla  ułatwienia  obliczeń,  warunek  stopu  uzaleŜnij 
tylko od przyjętej a priori  wartości n > 0  - liczby sumowanych wyrazów (i = 0, 1, 2,..., n) (w 
innym  wariancie  warunek  stopu  moŜna  uzaleŜnić  od  ustalonej  dokładności 

ε

  >  0,  podobnie 

jak w zadaniu 1).  
Wskazówka.  ZauwaŜ,  Ŝe  mamy  następują  (łatwą  do  udowodnienia  indukcyjnie)  zaleŜność 
rekurencyjną na kolejne wyrazy szeregu funkcyjnego: 
 

(

)

(

)

2

1

0

,

1 ,

2, 4, 6,...

1

i

i

a

a

x a

x

i

k

k k

−

=

= −

≥

=

+

 

 
4.  Dla  ustalonej  liczby  naturalnej n  (np.  dla n  =  10)  i  ustalonej  liczby  rzeczywistej x,  oblicz 
wartość wielomianu stopnia n:  
 

( )

2

0

1

2

...

n

n

n

W

x

a

a x

a x

a x

=

+

+

+ +

,  

 
gdzie 

(

)

0,1,...,

i

a

i

n

=

  oznaczają  dowolnie  przyjęte  wartości  współczynników  tego 

wielomianu. Wartość 

( )

n

W

x

 oblicz na dwa sposoby: 

4a) bezpośrednio, na podstawie podanego wyŜej wzoru,  
4b) korzystając ze schematu Hornera (opartym o rozkład wielomianu na czynniki):  
 

( )

(

)

(

)

(

)

1

2

1

0

...

n

n

n

n

W

x

a x

a

x

a

x

a

x

a

−

−

=

+

+

+ +

+  

 
UWAGA ! Zalecana powszechnie (niemal we wszystkich podręcznikach) metoda b) liczenia 
wartości wielomianu nie zawsze okazuje się być lepszą od metody a).