Informatyka - Podstawy Programowania w Języku C++

prow. Sławomir Czarnecki

Zadania na laboratorium nr. 4

1. Dla ustalonej, małej liczby rzeczywistej

0

ε

> obliczaj i wyświetlaj na ekranie kolejne

wyrazy szeregu

i

a oraz sumy cząstkowe

(

)

0

0,1, 2,...

n

n

i

i

s

a

n

=

=

=

∑

szeregu nieskończonego

0

1

2

0

...

i

i

a

a

a

a

∞

=

=

+ +

+

∑

dopóty dopóki

i

a

ε

>

, i=0,1,2,... (ostatnią obliczoną sumę cząstkową

traktujemy jako przybliżoną wartość sumy szeregu).
Uwaga ! Zdefiniowany powyżej, najprostszy warunek przerwania obliczeń sformułowany
został w oparciu o (nie najlepszy pod względem numerycznym) warunek konieczny

lim

0

i

i

a

→∞

= zbieżności szeregów. Sprawdź otrzymany wynik z podaną obok wartością ścisłą

sumy nieskończonej (pamiętaj, że najczęściej nie są znane „zamknięte” wzory na sumy
zbieżnych szeregów nieskończonych):

( )

(

)

1

1

1

1

1

1

...

1

...

ln 2

1

2

3

4

i

i

i

−

− + − + + −

± =

≥

(

0

1

1

1

1 ,

,

2

1

i

i

i

a

a

a

a

i

−

=

= −

= −

+

dla

1

i

≥ )

2. Dla ustalonej, małej liczby rzeczywistej

0

ε

> obliczaj i wyświetlaj na ekranie wyrazy

ciągu

( )

1

1

1

1

...

ln

2

3

n

a

n

n

= + + + + −

, n = 1,2,... dopóty dopóki

1

n

n

a

a

ε

−

−

>

, n=2,3,... (ostatni

obliczony wyraz a

n

traktujemy jako przybliżoną wartość granicy tego ciągu, która jest równa

0.5772156649015328...

γ

=

).

Uwaga ! Zdefiniowany powyżej, warunek przerwania obliczeń sformułowany został w
oparciu o warunek konieczny i dostateczny Cauchy’ego zbieżności ciągu w przestrzeni

metrycznej zupełnej

(

)

0

,

m

n

k

m n

m

k

n

k

a

a

ε

ε

∀ > ∃ ∈ ∀

∈

> ∧ > ⇒

−

<

ℕ

ℕ

.

Można wykazać, że (nazwana stałą Eulera) granica

1

1

1

lim 1

...

ln

2

3

n

n

n

γ

→∞





+ + + + −

=









istnieje,

pomimo

faktu,

że

nie

istnieje

skończona

suma

szeregu

harmonicznego

1

1

1

1

...

...

2

3

n

+ + + + + = ∞ .

3. Oblicz przybliżoną wartość nieskończonej sumy następującego szeregu funkcyjnego:

( )

(

)

( )

2

1

3

5

7

0

1

...

sin

2

1 !

3!

5!

7!

i

i

i

x

x

x

x

x

x

i

+

∞

=

−

= −

+

−

+ =

+

∑

,

w dowolnym, ale ustalonym punkcie x i porównaj ją z wartością obliczoną bezpośrednio na
podstawie funkcji bibliotecznych sin(...). Dla ułatwienia obliczeń, warunek stopu uzależnij
tylko od przyjętej a priori wartości n > 0 - liczby sumowanych wyrazów (i = 0, 1, 2,..., n) (w
innym wariancie warunek stopu można uzależnić od ustalonej dokładności

ε

> 0, podobnie

jak w zadaniu 1).
Wskazówka. Zauważ, że mamy następują (łatwą do udowodnienia indukcyjnie) zależność
rekurencyjną na kolejne wyrazy szeregu funkcyjnego:

(

)

(

)

2

1

0

,

1 ,

2, 4, 6,...

1

i

i

a

a

x a

x

i

k

k k

−

=

= −

≥

=

+

4. Dla ustalonej liczby naturalnej n (np. dla n = 10) i ustalonej liczby rzeczywistej x, oblicz
wartość wielomianu stopnia n:

( )

2

0

1

2

...

n

n

n

W

x

a

a x

a x

a x

=

+

+

+ +

,

gdzie

(

)

0,1,...,

i

a

i

n

=

oznaczają dowolnie przyjęte wartości współczynników tego

wielomianu. Wartość

( )

n

W

x

oblicz na dwa sposoby:

4a) bezpośrednio, na podstawie podanego wyżej wzoru,
4b) korzystając ze schematu Hornera (opartym o rozkład wielomianu na czynniki):

( )

(

)

(

)

(

)

1

2

1

0

...

n

n

n

n

W

x

a x

a

x

a

x

a

x

a

−

−

=

+

+

+ +

+

UWAGA ! Zalecana powszechnie (niemal we wszystkich podręcznikach) metoda b) liczenia
wartości wielomianu nie zawsze okazuje się być lepszą od metody a).