1
Macierze i wyznaczniki
1.1
Definicje, twierdzenia, wzory
1. Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m × n, gdzie m ∈ N oraz n ∈ N, nazywa-
my prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m
wierszach i n kolumnach.
Element macierzy A stojący w i-tym wierszu oraz w j-tej kolumnie oznaczamy symbolem a
ij
.
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1j
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2j
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
. ..
..
.
a
i1
a
i2
· · ·
a
ij
· · ·
a
in
..
.
..
.
. ..
..
.
. ..
..
.
a
m1
a
m2
· · · a
mj
· · · a
mn
2. Macierze A i B są równe, gdy mają takie same wymiary m × n oraz a
ij
= b
ij
dla każdego
i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , n}.
3. Rodzaje macierzy.
(a) Macierz zerowa wymiaru m × n jest to macierz, której wszystkie elementy są równe
0; oznaczamy ją symbolem 0
m×n
lub 0, gdy znamy jej wymiar.
(b) Macierz kwadratowa stopnia n jest to macierz wymiaru n × n;
elementy a
11
, a
22
, . . . , a
nn
macierzy kwadratowej tworzą jej główną przekątną.
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
(c) Macierz trójkątna dolna jest to macierz kwadratowa stopnia n 2, której wszystkie
elementy stojące nad główną przekątną są równe 0.
a
11
0
0
· · ·
0
a
21
a
22
0
· · ·
0
a
31
a
32
a
33
· · ·
0
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
a
n3
· · · a
nn
1
(d) Macierz trójkątna górna jest to macierz kwadratowa stopnia n 2, której wszystkie
elementy stojące pod główną przekątną są równe 0.
a
11
a
12
a
13
· · · a
1n
0
a
22
a
23
· · · a
2n
0
0
a
33
· · · a
3n
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
· · · a
nn
(e) Macierz diagonalna jest to macierz kwadratowa stopnia n, której wszystkie elementy
nie stojące na głównej przekątnej są równe 0.
a
11
0
0
· · ·
0
0
a
22
0
· · ·
0
0
0
a
33
· · ·
0
..
.
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
0
· · · a
nn
(f) Macierz jednostkowa jest to macierz diagonalna stopnia n, której wszystkie elementy
stojące na głównej przekątnej są równe 1; macierz jednostkową stopnia n oznaczamy
symbolem I
n
.
I
n
=
1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
..
.
..
.
..
.
. .. ...
0 0 0 · · · 1
4. Działania na macierzach.
(a) Niech A = [a
ij
] oraz B = [b
ij
] będą macierzami wymiaru m × n. Sumą (różnicą)
macierzy A i B nazywamy macierz C = [c
ij
] wymiaru m × n, której elementy określone
są wzorem
c
ij
a.
ij
± b
ij
dla i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , n}. Piszemy C = A ± B.
2
(b) Niech A = [a
ij
] będzie macierzą wymiaru m × n, zaś α będzie liczbą rzeczywistą lub ze-
spoloną. Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz C = [c
ij
] wymiaru
m × n, której elementy określone są wzorem
c
ij
= αa
ij
dla i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , n}. Piszemy C = αA.
(c) Niech macierz A = [a
ij
] ma wymiar m × n, a macierz B = [b
ij
] ma wymiar n × k.
Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c
ij
] wymiaru m × k, której
elementy określone są wzorem
c
ij
= a
i1
b
1j
+ a
i2
b
2j
+ · · · + a
in
b
nj
dla i ∈ {1, 2, . . . , m} oraz j ∈ {1, 2, . . . , k}. Piszemy C = AB.
UWAGA! Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
5. Macierzą transponowaną do macierzy A = [a
ij
] wymiaru m × n nazywamy macierz B =
[b
ij
] wymiaru n × m, której elementy określone są wzorem
b
ij
a.
ji
dla i ∈ {1, 2, . . . , n} oraz j ∈ {1, 2, . . . , m}. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy
symbolem A
T
.
6. Wyznacznikiem rzeczywistej (zespolonej) macierzy kwadratowej A = [a
ij
] nazywa-
my liczbę rzeczywistą (zespoloną) det A, która określona jest wzorem rekurencyjnym:
(a) jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to det A = a
11
;
(b) jeżeli macierz A ma stopień n 2, to
det A = (−1)
1+1
a
11
det A
11
+ (−1)
1+2
a
12
det A
12
+ · · · + (−1)
1+n
a
1n
det A
1n
,
gdzie A
ij
oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego
wiersza oraz j-tej kolumny.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy także symbolem det[a
ij
] lub |A|.
3
7. Reguła obliczania wyznaczników macierzy stopnia drugiego.
det
"
a
11
a
12
a
21
a
22
#
= a
11
a
22
− a
21
a
12
8. Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników macierzy stopnia trzeciego.
det
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
= a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
31
a
22
a
13
− a
32
a
23
a
11
− a
33
a
21
a
12
UWAGA! Reguła ta nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.
9. Niech A = [a
ij
] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2. Dopełnieniem algebraicznym
elementu a
ij
macierzy A nazywamy liczbę
D
ij
(
.
− 1)
i+j
det A
ij
,
gdzie A
ij
oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej
kolumny macierzy A.
10. Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika.
Niech A = [a
ij
] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2 oraz niech i, j będą ustalonymi
liczbami naturalnymi takimi, że i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Wtedy wyznacznik macierzy A można
obliczyć na podstawie następujących wzorów:
(a) det A = a
i1
D
i1
+ a
i2
D
i2
+ · · · + a
in
D
in
; wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika względem i-tego wiersza;
(b) det A = a
1j
D
1j
+ a
2j
D
2j
+ · · · + a
nj
D
nj
; wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a
wyznacznika względem j-tej kolumny.
11. Jeżeli A = [a
ij
] jest macierzą diagonalną lub macierzą trójkątną dolną lub macierzą trójkątną
górną stopnia n, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej
przekątnej tej macierzy, tzn. det A = a
11
· a
22
· · · a
nn
.
4
12. Własności wyznaczników.
(a) Wyznacznik macierzy kwadratowej zawierającej kolumnę złożoną z samych zer lub wiersz
złożony z samych zer jest równy 0, tzn.
a
11
a
12
· · · 0 · · · a
1n
a
21
a
22
· · · 0 · · · a
2n
..
.
..
.
. .. ... ...
..
.
a
n1
a
n2
· · · 0 · · · a
nn
= 0
oraz
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
0
0
· · ·
0
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
= 0.
(b) Wyznacznik macierzy kwadratowej zawierającej dwie jednakowe kolumny lub dwa jed-
nakowe wiersze jest równy 0, tzn.
a
11
· · · c
1
· · · c
1
· · · a
1n
a
21
· · · c
2
· · · c
2
· · · a
2n
..
.
. .. ... ... ... ...
..
.
a
n1
· · · c
n
· · · c
n
· · · a
nn
= 0
oraz
a
11
a
12
· · · a
1n
..
.
..
.
. ..
..
.
c
1
c
2
· · ·
c
n
..
.
..
.
. ..
..
.
c
1
c
2
· · ·
c
n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
= 0.
(c) Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przestawimy w niej między sobą
albo dwie kolumny albo dwa wiersze, tzn.
a
11
· · · a
1i
· · · a
1j
· · · a
1n
a
21
· · · a
2i
· · · a
2j
· · · a
2n
..
.
. .. ... ... ... ...
..
.
a
n1
· · · a
ni
· · · a
nj
· · · a
nn
= −
a
11
· · · a
1j
· · · a
1i
· · · a
1n
a
21
· · · a
2j
· · · a
2i
· · · a
2n
..
.
. ..
..
.
. .. ... ...
..
.
a
n1
· · · a
nj
· · · a
ni
· · · a
nn
oraz
a
11
a
12
· · · a
1n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
i1
a
i2
· · · a
in
..
.
..
.
. ..
..
.
a
j1
a
j2
· · · a
jn
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
= −
a
11
a
12
· · · a
1n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
j1
a
j2
· · · a
jn
..
.
..
.
. ..
..
.
a
i1
a
i2
· · · a
in
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
.
5
(d) Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny lub pewnego wiersza macierzy kwadratowej
posiadają wspólny czynnik, to można go wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy, tzn.
a
11
a
12
· · · ca
1j
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · ca
2j
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · ca
nj
· · · a
nn
= c
a
11
a
12
· · · a
1j
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2j
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nj
· · · a
nn
oraz
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
ca
i1
ca
i2
· · · ca
in
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
= c
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
i1
a
i2
· · · a
in
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
.
(e) Jeżeli elementy pewnej kolumny (lub pewnego wiersza) macierzy kwadratowej są suma-
mi dwóch składników, to wyznacznik takiej macierzy jest równy sumie wyznaczników
dwóch macierzy, w których elementy tej kolumny (lub tego wiersza) są zastąpione tymi
składnikami, tzn.
a
11
· · · a
1j
+ a
0
1j
· · · a
1n
a
21
· · · a
2j
+ a
0
2j
· · · a
2n
..
.
. ..
..
.
. ..
..
.
a
n1
· · · a
nj
+ a
0
nj
· · · a
nn
=
a
11
· · · a
1j
· · · a
1n
a
21
· · · a
2j
· · · a
2n
..
.
. ..
..
.
. ..
..
.
a
n1
· · · a
nj
· · · a
nn
+
a
11
· · · a
0
1j
· · · a
1n
a
21
· · · a
0
2j
· · · a
2n
..
.
. ..
..
.
. ..
..
.
a
n1
· · · a
0
nj
· · · a
nn
oraz
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
i1
+ a
0
i1
a
i2
+ a
0
i2
· · · a
in
+ a
0
in
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
=
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
i1
a
i2
· · · a
in
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
+
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
0
i1
a
0
i2
· · · a
0
in
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
.
(f) Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się, jeżeli do dowolnej kolumny tej macie-
rzy dodamy kombinację liniową pozostałych kolumn lub do dowolnego jej wiersza doda-
my kombinację liniową pozostałych wierszy. (Kombinacją liniową wektorów v
1
, v
2
, . . . , v
n
nazywamy wektor v = a
1
v
1
+ a
2
v
2
+ · · · + a
n
v
n
, gdzie a
1
, a
2
, . . . , a
n
są dowolnymi liczbami
rzeczywistymi.)
6
(g) det A = det A
T
dla dowolnej macierzy kwadratowej A.
(h) Twierdzenie Cauchy’ego.
Jeżeli A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, to det(A · B) = det A ·
det B.
(i) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A oraz dowolnego n ∈ N prawdziwa jest równość
det (A
n
) = (det A)
n
.
13. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A na-
zywamy macierz A
−1
spełniającą warunek
AA
−1
= A
−1
A = I
n
,
gdzie I
n
jest macierzą
jednostkową stopnia n. Jeżeli macierz A posiada macierz odwrotną A
−1
, to macierz A nazy-
wamy odwracalną. Macierz odwrotna jest wyznaczona jednoznacznie.
14. Macierz kwadratową A nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli det A 6= 0. W przeciwnym
przypadku mówimy, że macierz A jest osobliwa.
15. Twierdzenie o macierzy odwrotnej.
(a) Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
(b) Jeżeli macierz kwadratowa A = [a
ij
] jest nieosobliwa, to
A
−1
=
1
det A
[D
ij
]
T
,
przy czym [D
ij
] oznacza macierz dopełnień algebraicznych elementów a
ij
macierzy A.
16. Własności macierzy odwrotnych.
Jeżeli macierze A i B są tego samego stopnia i są odwracalne oraz α ∈ C \ {0}, n ∈ N, to
macierze A
−1
, A
T
, AB, αA, A
n
są również odwracalne i zachodzą następujące równości:
(a) det(A
−1
) = (det A)
−1
,
(b) (A
−1
)
−1
= A,
(c) (A
T
)
−1
= (A
−1
)
T
,
(d) (AB)
−1
= B
−1
A
−1
,
(e) (αA)
−1
=
1
α
A
−1
,
(f) (A
n
)
−1
= (A
−1
)
n
.
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
kl3 10 mój test 1 wg mac
Mac OS X Wydanie drugie macosm
kratownica, SGGW Inżynieria Środowiska, SEMESTR 1, geologia, geologia (kurna mać), geologia, geologi
ĆWICZENIA PORANNE MAC (35), ZESTAWY ĆWICZEŃ PORANNYCH MAC
ĆWICZENIA PORANNE MAC (21), ZESTAWY ĆWICZEŃ PORANNYCH MAC
W PUŁAPCE GEOREALIZMU, Unia - psia mać !
ĆWICZENIA PORANNE MAC (36), ZESTAWY ĆWICZEŃ PORANNYCH MAC
ĆWICZENIA PORANNE MAC (7), ZESTAWY ĆWICZEŃ PORANNYCH MAC
Paleta Cieni MAC, Wizaż, Makijaż i Pielęgnacja
Krążek Mac Cready'ego zawsze przydatny, Szybowce, SZYBOWCE
wybrane zagadnienia na exam - sciaga - mac, Studia, Zastosowanie statystyki w zarzadzaniu
Mini-MAC arkusz, Testy
Hamburger Big Mac, Dieta Dukana - przepisy różne
Instrukcja stanowiska laboratoryjnego MAC
Zestaw?ly jajco do wydruku kurwa mac jego Worka
Podstawy pracy z Finderem w Mac OSX
więcej podobnych podstron