Analiza Matematyczna MAEW101

Wydział Elektroniki

Listy zadań nr 8-14 (część II)

na podstawie skryptów:
M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania,
GiS, Wrocław 2005
M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna 2. Przykłady i zadania,
GiS, Wrocław 2006

Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

1

Lista 8.

Zadanie 8.1
Obliczyć podane całki nieoznaczone z funkcji wymiernych

(a)

Z

x

2

dx

x + 1

(b)

Z

dx

(x − 1)x

2

(c)

Z

(4x + 1) dx

2x

2

+ x + 1

(d)

Z

(5 − 4x) dx

x

2

− 4x + 20

Zadanie

8.2

Obliczyć podane całki nieoznaczone z funkcji trygonometrycznych

(a)

Z

dx

sin x + tg x

(b)

Z

dx

cos x

(c)

Z

dx

1 + 2 cos

2

x

(d)

Z

dx

3 sin x + 4 cos x + 5

2

Lista 9.

Zadanie 9.1
Korzystajac z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć podane całki oznaczone

(a)

2

Z

1

√

x +

1

√

x

!

dx

(b)

9

Z

0

dx

x

2

+ 9

(c)

π

Z

0

sin

2

x cos x dx

Zadanie

9.2

Metodą całkowania przez części obliczyć podane całki oznaczone

(a)

1

Z

0

x

2

e

2x

dx

(b)

e

Z

√

e

ln x dx

x

2

(c)

e

Z

1

ln x dx

(d)

1
2

Z

0

e

x

cos(πx) dx

Zadanie 9.3
Obliczyć podane całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień

(a)

6

Z

1

dx

1 +

√

3x − 2

, y =

√

3x − 2

(b)

1

Z

1
3

3

√

x − x

3

dx

x

4

, y =

1

x

2

(c)

e

Z

1

ln x dx, y = ln x

(d)

1
2

Z

0

s

1 + x

1 − x

dx, x = cos y

Zadanie

9.4

Wykorzystując własności całek z funkcji parzystych, nieparzystych, okresowych uzasadnić podane
równości

(a)

1

Z

−1

x

5

dx

√

3 − x

2

= 0

(b)

3

Z

−3

x(x

3

+ x)dx = 2

3

Z

0

x(x

3

+ x)dx

(c)

3π

Z

π

sin

7

x

4 + cos x

dx = 0

Zadanie

9.5

Obliczyć podane całki oznaczone

(a)

1

Z

−1

g(x)dx, gdzie g(x) =

(

e

x

dla x 6= 0

0 dla x = 0

(b)

3

Z

0

g(x)dx, gdzie g(x) =

(

1 − x dla x ¬ 1

1 dla x > 1

(c)

2

Z

−2

||x| − 1|dx

3

Lista 10.

Zadanie 10.1
Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju

(a)

∞

Z

0

2

−x

dx

(b)

∞

Z

π

x sin xdx

(c)

∞

Z

1

dx

3

√

3x + 5

(d)

0

Z

−∞

dx

x

2

+ 4

(e)

∞

Z

−∞

x

2

e

−x

3

dx

Zadanie 10.2
Korzystając z kryterium porównawczego (punkty (a), (b), (c)) lub ilorazowego (pozostałe punkty)
zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju

(a)

∞

Z

10

dx

√

x − 3

(b)

∞

Z

π

(1 + sin x) dx

x

3

(c)

∞

Z

1

x dx

3

√

x

7

+ 1

(d)

∞

Z

10

x

2

dx

√

x

5

− 3

(e)

−1

Z

−∞

(e

−2x

+ 1) dx

e

−x

− 1

(f)

∞

Z

1

sin

2



1

x



dx

Zadanie 10.3
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego podanymi krzywymi

(a) y = 2x − x

2

, x + y = 0

(b) yx

4

= 1, y = 1, y = 16

Zadanie 10.4
Obliczyć długość podanej krzywej Γ

(a) Γ : y = 2

√

x

3

, 0 ¬ x ¬ 11

(b) Γ : y = e

x

,

ln 2

2

¬ x ¬

ln 3

2

Zadanie 10.5
Obliczyć objętość bryły V powstałej przez obrót podanej figury D wokół wskazanej osi

(a) D : 0 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 2x − x

2

wokół osi Ox

(b) D : 0 ¬ x ¬

√

5, 0 ¬ y ¬

2

√

x

2

+ 4

wokół osi Oy

Zadanie 10.6
Obliczyć pole powierzchni Σ powstałej przez obrót podanej krzywej Γ wokół wskazanej osi

(a) Γ : −3 ¬ x ¬ 2, y =

√

4 + x wokół osi Ox

(b) Γ : 0 ¬ x ¬ 1, y = x

2

+ 1 wokół osi Oy

4

Lista 11.

Zadanie 11.1
Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność podanych szeregów

(a)

∞

X

n=1

1

n

2

+ n

(b)

∞

X

n=1

n

n

2

+ 4

(c)

∞

X

n=2

ln n

n

2

Zadanie 11.2
Korzystając z kryterium porównawczego (punkty (a), (b), (c)) lub ilorazowego (pozostałe punkty)
zbadać zbieżność podanych szeregów

(a)

∞

X

n=1

3

n

2

+ 2

(b)

∞

X

n=0

2

n

+ sin(n!)

3

n

(c)

∞

X

n=1

3 − 2 cos(n

2

)

√

n

(d)

∞

X

n=1

n

2

+ n + 1

2n

3

− 1

(e)

∞

X

n=1

2

n

− 1

3

n

− 1

(f)

∞

X

n=1

arctg



1

n

2



Zadanie 11.3
Korzystając z kryterium d’Alemberta (punkty (a), (b), (c)) lub Cauchy’ego (pozostałe punkty) zba-
dać zbieżność podanych szeregów

(a)

∞

X

n=1

n

n

3

n

n!

(b)

∞

X

n=1

2

n

+ 1

n

5

+ 1

(c)

∞

X

n=1

n

2

sin



π

2

n



(d)

∞

X

n=1

2

n

+ 3

n

3

n

+ 4

n

(e)

∞

X

n=1

3

n

n

n

2

(n + 1)

n

2

(f)

∞

X

n=2



n

√

2 − 1



n

Zadanie 11.4
Korzystając z kryterium Leibniza uzasadnić zbieżność podanych szeregów

(a)

∞

X

n=2

(−1)

n

n

n

2

+ 1

(b)

∞

X

n=2

(−1)

n



n

√

3 − 1



(c)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

2

n

+ 1

5

Lista 12.

Zadanie 12.1
Wyznaczyć przedział zbieżności podanego szeregu potegowego

(a)

∞

X

n=1

x

n

n2

n

(b)

∞

X

n=1

n(x − 2)

n

(c)

∞

X

n=1

n

n

2

+ 1

(x + 1)

n

Zadanie

12.2

Znaleźć szeregi Maclaurina podanych funkcji i określić przedziały ich zbieżności

(a) f (x) =

x

9 + x

2

(b) f (x) = cos



x

2



(c) f (x) = xe

−2x

Zadanie 12.3
Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych obliczyć podane pochodne

(a) f

(21)

(0) dla f (x) =

2

1 − 3x

(b) f

(50)

(0) dla f (x) = x sin x

(c) f

(25)

(0) dla f (x) = x

2

ln(1 − x)

Zadanie 12.4
Korzystając z twierdzeń o różniczkowaniu i całkowaniu szeregu potęgowego obliczyć sumę podanego
szeregu liczbowego:

(a)

∞

X

n=1

n(n + 1)

4

n

(b)

∞

X

n=1

1

(n + 1)2

n

(c)

∞

X

n=1

2n − 1

3

n

(d)

∞

X

n=0

1

(2n + 1)4

n

6

Lista 13.

Zadanie 13.1
Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji. W punktach (a) i (b) znaleźć także
poziomice wykresów podanych funkcji i na tej podstawie naszkicować te wykresy.

(a) f (x, y) =

√

4 − x

2

− y

2

(b) f (x, y) = sin y

(c) f (x, y) = ln

x

2

+ y

2

− 4

9 − x

2

− y

2

!

(d) f (x, y, z) = arc sin(x

2

+ y

2

+ z

2

− 2)

Zadanie 13.2
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji

(a) f (x, y) =

x

2

+ y

2

xy

(b) f (x, y) = arctg

1 − xy

x + y

2

!

(c) f (x, y) = e

sin

y
x

(d) f (x, y, z) = x

2

+

xz

y

+ yz

3

(e) f (x, y, z) =

x

x

2

+ y

2

+ z

4

(f) f (x, y, z) = sin(x cos(y sin z))

Zadanie 13.3
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji i sprawdzić, czy pochodne
cząstkowe mieszane są równe

(a) f (x, y) = sin(x

2

+ y

2

)

(b) f (x, y) = xe

xy

(c) f (x, y, z) =

1

√

x

2

+ y

2

+ z

2

(d) f (x, y, z) = ln(x

2

+ y

4

+ z

6

+ 1)

Zadanie

13.4

Obliczyć wskazane pochodne cząstkowe podanych funkcji

(a)

∂

3

f

∂x∂y

2

(x, y) dla f (x, y) = sin(xy)

(b)

∂

4

f

∂y

2

∂x∂y

(x, y) dla f (x, y) =

x + y

x − y

(c)

∂

3

f

∂x∂y∂z

(x, y, z) dla f (x, y, z) =

x

2

y

3

z

(d)

∂

5

f

∂x∂y

2

∂z

2

(x, y, z) dla f (x, y, z) = e

xy+z

7

Lista 14.

Zadanie 14.1
Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie wykresu

(a) f (x, y) = x

2

√

y + 1, (x

0

, y

0

, z

0

) = (1, 3, 2)

(b) f (x, y) = e

x+2y

, (x

0

, y

0

, z

0

) = (2, −1, 1)

Zadanie 14.2
Znaleźć ekstrema podanych funkcji

(a) f (x, y) = x

3

+ 3xy

2

− 51x − 24y

(b) f (x, y) = e

−(x

2

+y

2

+2x)

(c) f (x, y) =

8

x

+

x

y

+ y, gdzie x, y > 0

Zadanie 14.3
Znaleźć najmniejszą i największą wartość podanej funkcji f (x, y) na zbiorze A domkniętym i ogra-
niczonym

(a) f (x, y) = xy

2

+ 4xy − 4x, A = {(x, y) : −3 ¬ x ¬ 3, −3 ¬ y ¬ 0}

(b) f (x, y) = x

4

+ y

4

, A = {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ 9}

8

Odpowiedzi i wskazówki:

Lista nr 8:

8.1 (a)

1
2

x

2

− x + ln |x + 1| + C; (b)

1
x

+ ln





x−1

x





+ C; (c) ln(2x

2

+ x + 1) + C;

(d) −2 ln(x

2

− 4x + 20) −

3
4

arctg



x−2

4



+ C

8.2 (a)

1
4

ln



1−cos x
1+cos x



−

1

2(1+cos x)

+ C (podstawienie y = cos x);

(b)

1
2

ln



1+sin x
1−sin x



+ C (podstawienie y = sin x);

(c)

1

√

3

arctg



tg x

√

3



+ C (podstawienie y = tg x);

(d) −

2

3+tg(x/2)

+ C (podstawienie y = tg(x/2))

Lista nr 9:

9.1 (a)

1
3

(10

√

2 − 8); (b)

1
3

arctg3; (c) 0

9.2 (a)

1
4

(e

2

− 1); (b) −

2
e

+

3

2

√

e

; (c) 1; (d)

π

√

e−1

π

2

+1

9.3 (a) 2 −

2
3

ln

5
2

; (b) 6; (c) 1; (d)

π

6

+ 1 −

√

3

2

9.5 (a) e −

1
e

; (b)

5
2

; (c) 2 (wsk. wykorzystać parzystość funkcji podcałkowej)

Lista nr 10:

10.1 (a) zbieżna (do

1

ln 2

); (b) rozbieżna; (c) rozbieżna do ∞; (d) zbieżna (do

π

4

); (e) rozbieżna do ∞

10.2 (a) rozbieżna do ∞, g(x) =

1

√

x

; (b) zbieżna, g(x) =

2

x

3

; (c) zbieżna, g(x) =

1

x

3

√

x

;

(d) rozbieżna do ∞, g(x) =

1

√

x

; (e) rozbieżna do ∞, g(x) = e

−x

; (f) zbieżna, g(x) =

1

x

2

10.3 (a)

9
2

; (b)

56

3

10.4 (a) 74; (b) 2 −

√

3 +

1
2

ln

√

3+1

3(

√

3−1)

10.5 (a)

16π

15

; (b) 4π

10.6 (a)

π

6

(125 − 5

√

5); (b)

π

6

(5

√

5 − 1)

Lista nr 11:

11.1 (a) zbieżny; (b) rozbieżny do ∞; (c) zbieżny

11.2 (a) zbieżny, b

n

=

2

n

2

; (b) zbieżny, b

n

= 2



2
3



n

; (c) rozbieżny do ∞, b

n

=

1

√

n

;

(d) rozbieżny do ∞, b

n

=

1

n

; (e) zbieżny, b

n

=



2
3



n

; (f) zbieżny, b

n

=

1

n

2

11.3 (a) zbieżny; (b) rozbieżny do ∞; (c) zbieżny; (d) zbieżny; (e) rozbieżny do ∞; (f) zbieżny

Lista nr 12:

12.1 (a) [−2, 2); (b) (1, 3); (c) [−2, 0)

12.2 (a)

∞

P

n=0

(−1)

n

9

n+1

x

2n+1

dla x ∈ (−3, 3); (b)

∞

P

n=0

(−1)

n

2

2n

(2n)!

x

2n

dla x ∈

R

;

(c)

∞

P

n=0

(−1)

n

2

n

n!

x

n+1

dla x ∈

R

9

12.3 (a) 2 · 3

21

· 21!; (b) 50; (c) −

25!

23

12.4 (a)

32
27

; (b) 2 ln 2 − 1; (c) 1; (d)

ln 3

2

Lista nr 13:

13.1 (a) D

f

= {(x, y) : x

2

+ y

2

¬ 4} - koło domknięte o środku (0, 0) i promieniu 2, poziomice

P

2

= {(0, 0)}, P

h

= {(x, y) : x

2

+ y

2

= 4 − h

2

} dla 0 ¬ h < 2, czyli okręgi o wspólnym środku

(0, 0) i promieniach równych

√

4 − h

2

, P

h

= ∅ dla h < 0 i dla h > 2, wykres - górna półsfera

o środku (0, 0, 0) i promieniu 2; (b) D

f

=

R

2

, poziomice P

h

= {(x, y) : y = arc sin h} dla

−1 ¬ h ¬ 1, czyli proste równoległe do prostej y = 0, P

h

= ∅ dla h < −1 i dla h > 1, wykres

- powierzchnia walcowa o przekroju sinusoidy; (c) D

f

= {(x, y) : 4 < x

2

+ y

2

< 9} - pierścień

kołowy otwarty o środku (0, 0) i promieniach 2 i 3; (d) D

f

= {(x, y, z) : 1 ¬ x

2

+ y

2

+ z

2

¬ 3}

- wydrążona kula domknięta o środku (0, 0, 0) i promieniach 1 i

√

3

13.2 (a) D

f

= {(x, y) : xy 6= 0},

∂f
∂x

(x, y) =

x

2

−y

2

x

2

y

,

∂f
∂y

(x, y) =

y

2

−x

2

y

2

x

;

(b) D

f

= {(x, y) : x 6= −y

2

},

∂f
∂x

(x, y) =

−y

3

−1

(x+y

2

)

2

+(1−xy)

2

,

∂f
∂y

(x, y) =

xy

2

−x

2

−2y

(x+y

2

)

2

+(1−xy)

2

;

(c) D

f

= {(x, y) : x 6= 0},

∂f
∂x

(x, y) = −

y

x

2

cos

y
x

· e

sin

y
x

,

∂f
∂y

(x, y) =

1
x

cos

y
x

· e

sin

y
x

;

(d) D

f

= {(x, y, z) : y 6= 0},

∂f
∂x

(x, y, z) = 2x +

2
y

,

∂f
∂y

(x, y, z) = −

xz
y

2

+ z

3

,

∂f

∂z

(x, y, z) =

x
y

+ 3yz

2

;

(e) D

f

=

R

3

− {(0, 0, 0)},

∂f
∂x

(x, y, z) =

−x

2

+y

2

+z

4

(x

2

+y

2

+z

4

)

2

,

∂f
∂y

(x, y, z) =

−2xy

(x

2

+y

2

+z

4

)

2

,

∂f

∂z

(x, y, z) =

−4xz

3

(x

2

+y

2

+z

4

)

2

;

(f) D

f

=

R

3

,

∂f
∂x

(x, y, z) = cos(x cos(y sin z)) · cos(y sin z),

∂f
∂y

(x, y, z) = cos(x cos(y sin z)) · (−x sin(y sin z)) · sin z,

∂f

∂z

(x, y, z) = cos(x cos(y sin z)) · (−x sin(y sin z)) · y cos z

13.3 (a) D

f

=

R

2

,

∂

2

f

∂x

2

(x, y) = 2 cos(x

2

+ y

2

) − 4x

2

sin(x

2

+ y

2

),

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) = −4xy sin(x

2

+ y

2

),

pozostałe pochodne łatwo wyprowadzić można na podstawie symetrycznej roli x i y;

(b) D

f

=

R

2

,

∂

2

f

∂x

2

(x, y) = y(2+xy)e

xy

,

∂

2

f

∂y∂x

(x, y) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y) = x(2+xy)e

xy

,

∂

2

f

∂y

2

(x, y) = x

3

e

xy

;

(c) D

f

=

R

3

− {(0, 0, 0)},

∂

2

f

∂x

2

(x, y, z) =

2x

2

−y

2

−z

2

(x

2

+y

2

+z

2

)

5/2

,

∂

2

f

∂y∂x

(x, y, z) =

3xy

(x

2

+y

2

+z

2

)

5/2

, pozostałe

pochodne łatwo wyprowadzić można na podstawie symetrycznej roli x, y i z; (d) D

f

=

R

3

,

∂

2

f

∂x

2

(x, y, z) =

2(−x

2

+y

4

+z

6

+1)

(x

2

+y

4

+z

6

+1)

2

,

∂

2

f

∂y

2

(x, y, z) =

4y

2

(3x

2

−y

4

+3z

6

+3)

(x

2

+y

4

+z

6

+1)

2

,

∂

2

f

∂z

2

(x, y, z) =

6z

4

(5x

2

+5y

4

−z

6

+5)

(x

2

+y

4

+z

6

+1)

2

,

∂

2

f

∂y∂x

(x, y, z) =

∂

2

f

∂x∂y

(x, y, z) =

−8xy

3

(x

2

+y

4

+z

6

+1)

2

,

∂

2

f

∂z∂x

(x, y, z) =

∂

2

f

∂x∂z

(x, y, z) =

−12xz

5

(x

2

+y

4

+z

6

+1)

2

,

∂

2

f

∂y∂z

(x, y, z) =

∂

2

f

∂z∂y

(x, y, z) =

−24y

3

z

5

(x

2

+y

4

+z

6

+1)

2

13.4 (a) −2x sin(xy) − x

2

y cos(xy); (b)

12(3x+y)

(x−y)

5

; (c) −

6xy

2

z

2

; (d) x(2 + xy)e

xy+z

Lista nr 14:

14.1 (a) π

st

: z − 2 = 4(x − 1) +

1
4

(y − 3); (b) π

st

: z − 1 = x − 2 + 2(y + 1)

14.2 (a) minimum lokalne właściwe w (4, 1), maksimum lokalne właściwe w (−4, −1); (b) maksimum

lokalne właściwe w (−1, 0); (c) minimum lokalne właściwe w (4, 2)

14.3 (a) wartość najmniejsza −24 w (3, −2), największa 24 w (−3, −2); (b) wartość najmniejsza 0

w (0, 0), największa 81 w (0, ±3) i (±3, 0)

10