1.

Jednostki względne w analizie stanów nieustalonych

1

1. JEDNOSTKI WZGLĘDNE W ANALIZIE STANÓW

NIEUSTALONYCH

1.1. Obliczenia przy wykorzystaniu jednostek względnych

W obliczeniach układów elektroenergetycznych stosuje się jednostki względne.

Celem ich stosowania jest dążenie do wyeliminowania wielu poziomów napięć.
Fakt występowania różnych poziomów napięć zmusza do sprowadzania układu do
jednego poziomu napięcia i dokonywania przeliczeń wielkości pomiędzy pozio-
mami. Ta metoda jest łatwa w zastosowaniu dla prostych układów elektroenerge-
tycznych. W przypadku złożonych, wielopoziomowych systemów elektroenerge-
tycznych wykonywanie obliczeń w jednostkach mianowanych wymaga dokony-
wania przeliczeń napięć i prądów dla każdego stopnia transformacji za pomocą
przekładni transformatorów. Zastosowanie metody jednostek względnych eliminu-
je tą uciążliwość.

Drugą zaletą obliczeń w jednostkach względnych jest łatwość porównywania

uzyskanych wyników, czy danych znamionowych poszczególnych elementów.
Praktycznie większość danych znamionowych urządzeń elektroenergetycznych po-
dawana jest w jednostkach względnych. Przykładem mogą tu być dane znamiono-
we generatora synchronicznego takie jak reaktancja synchroniczna X

d

, reaktancja

przejściowa X

d

’

, itd. lub dane transformatora takie jak napięcie zwarcia

∆

u

z%

(war-

tość względna wyrażona w %), prąd biegu jałowego i

o%

.

Uzyskany w czasie obliczeń wynik, że obciążenie generatora synchronicznego jest
równe P

g

=0,8 [jw] oznacza, że generator obciążony jest mocą czynną równą 0,8S

n

[MW] ( S

n

– moc pozorna znamionowa generatora w MV

⋅

A). Informacja, że napię-

cie zwarcia jest równe

∆

u

z%

=10% oznacza, że przy obciążeniu znamionowym

transformatora strata napięcia w transformatorze jest równa

∆

u

T

=0,1 co w jednost-

kach mianowanych oznacza 0,1U

Tr

(przy przeliczeniu na poziom dolny lub górny

napięcia transformatora)

*)

1.2. Zasady wyboru jednostek podstawowych

Podstawą obliczeń w jednostkach względnych są jednostki podstawowe (bazo-

we). Jako jednostki bazowe przyjmuje się:

•

dwie jednostki bazowe główne:

−

moc pozorną S

b

– moc trójfazową,

−

napięcie U

b

– napięcie przewodowe,

•

jednostki bazowe pomocnicze:

−

prąd I

b

– prąd fazowy,

*) Udowodnienie tej zależności pozostawia się czytelnikowi.

2

−

impedancja Z

b

,

−

admitancja Y

b

.

Związki pomiędzy jednostkami bazowymi pomocniczymi a głównymi określa po-
niższa zależność:

2

b

b

b

b

b

2

b

b

b

b

b

1

;

;

3

U

S

Z

Y

S

U

Z

U

S

I

=

=

=

=

Komplet czterech jednostek podstawowych jest wystarczający do opisu w jednost-
kach względnych większości elementów systemu elektroenergetycznego. Jednak
dla niektórych z nich trzeba wprowadzić rozszerzony układ jednostek bazowych.
Do takich elementów należą maszyny elektryczne w tym generatory synchronicz-
ne. Dla generatorów synchronicznych przyjmuje się jako jednostki podstawowe
(bazowe):

•

dla obwodów twornika

−

znamionową moc pozorną generatora S

b

= S

gr

,

−

amplitudę znamionowego napięcia fazowego stojana U

b

= U

grm

,

−

amplitudę znamionowego prądu stojana I

b

= I

grm

,

S

b

=3/2 U

grm

I

grm

−

znamionowy moment M

b

= S

b

/

ω

b

;

•

dla obwodów wirnika

−

znamionowe napięcie wzbudzenia biegu jałowego U'

fo

(wartość nienasyco-

na),

−

znamionowy prąd wzbudzenia biegu jałowego I'

fo

(wartość nienasycona).

W układach wielonapięciowych, dla każdego poziomu napięcia przyjmuje się
komplet jednostek bazowych zakładając dla wszystkich układów wspólną moc ba-
zową S

b

.

1.3. Przejście z układu jednostek mianowanych do układu jednostek

względnych

Mając przyjęty dla danego układu komplet jednostek podstawowych wszystkie

parametry oraz zmienne sprowadza się do układu jednostek względnych, dzieląc
wielkości mianowane przez odpowiednie jednostki podstawowe. Sposób sprowa-
dzenia wybranych wielkości elektrycznych opisano zależnością:

b

jw

b

jw

b

jw

b

jw

b

jw

b

jw

b

jw

b

jw

;

;

;

;

;

Z

X

X

Z

R

R

Z

Z

Z

I

I

I

U

U

U

S

Q

Q

S

P

P

S

S

S

=

=

=

=

=

=

=

=

1.

Jednostki względne w analizie stanów nieustalonych

3

Jednostki podstawowe są skalarami, co jest bardzo istotne przy zastosowaniu me-
tody jednostek względnych w obliczeniach symbolicznych. Wielkości zespolone
podlegają dzieleniu przez skalar w wyniku czego sprowadzeniu podlegają części
rzeczywiste i urojone oraz moduły. Argumenty wielkości zespolonych nie podlega-
ją sprowadzeniu.

z

z

s

s

j

jw

j

b

b

b

b

jw

j

jw

j

b

b

b

b

jw

e

e

j

e

e

j

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

Z

Z

Z

Z

X

Z

R

Z

Z

Z

S

S

S

S

Q

S

P

S

S

S

=

=

+

=

=

=

=

+

=

=

Sprowadzenie odwrotne, czyli przejście z wielkości względnych do wielkości mia-
nowanych odbywa się poprzez mnożenie wielkości względnych przez odpowiednie
jednostki bazowe z zachowaniem reguł opisanych powyżej.

1.4. Sprowadzanie układów do jednego poziomu napięcia

W przy obliczaniu układów wielonapięciowych stosuje się metodę sprowadza-

nia układów do jednego dowolnie wybranego poziomu napięcia. Sprowadzanie od-
bywa się poprzez przekładnie transformatorów sprzęgających poszczególne po-
ziomy napięć. Przyjmuje się, że przy sprowadzaniu wielkości z jednego poziomu
napięcia do drugiego zachowuje się warunek stałości mocy pozornej, czyli stosuje
się przekształcenie unitarne (zachowujące stałość iloczynu skalarnego). Ilustrację
metody sprowadzania układu dwunapięciowego do wspólnego poziomu 1 przed-
stawiono na rys.5.1.

)

,

,

(

1

)

,

,

(

1

)

,

,

(

1

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

1

a)

b)

)

,

,

(

1

)

,

,

(

1

)

,

,

(

1

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

I

)

,

,

(

2

I

)

,

,

(

2

I

)

,

,

(

2

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

1

)

,

,

(

2

)

,

,

(

2

)

,

,

(

2

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

2

2

I

T

1

ϑ

12

Rys.1.1. Ilustracja zasady sprowadzania dwupoziomowego układu napięciowego na wspól-

ny poziom odniesienia. a) układ przed sprowadzeniem. b) układ po sprowadzeniu układu 2

na poziom 1

4

Przy stosowaniu metody symbolicznej prądy i napięcia w obu układach: niespro-
wadzonym a) i sprowadzonym b) wyrażone są liczbami zespolonymi.





















=





















=





















=





















=

I
2c

I
2b

I
2a

1

c)

b,

2(a,

I

2c

I

2b

I

2a

1

c)

b,

2(a,

2c

2b

a

2

)

c

b,

a,

(

2

2c

2b

2a

)

c

b,

a,

(

2

;

;

;

I

I

I

U

U

U

I

I

I

U

U

U

I

U

I

U

(1.1)

Moc w układzie osi fazowych L1,L2,L3 (a,b,c) wyznaczymy z zależności:

I

c)

b,

2(a,

*

T

I

c)

b,

2(a,

I
2

c)

b,

2(a,

*

T

c)

b,

2(a,

2

2

I
2

)

(

)

(

I

U

I

U

=

=

=

S

S

S

S

(1.2)

Związki między napięciami i prądami w rozpatrywanych poziomach napięć (2 i 2

I

)

można wyrazić zależnościami (przyjęto, że poziom 1 jest poziomem o wyższym
napięciu):





































=

⋅

=





















=

⋅

=

12

12

12

12

c)

b,

2(a,

12

I

c)

b,

2(a,

12

12

12

12

c)

b,

2(a,

12

I

c)

b,

2(a,

1

0

0

0

1

0

0

0

1

;

0

0

0

0

0

0

;

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

C

I

C

I

B

U

B

U

(1.3)

gdzie

12

ϑ

jest przekładnią znamionową transformatora łączącego układy o różnych

poziomach napięć.
Macierz transformacji napięć i macierz transformacji prądów spełniają warunek
stałości mocy, ponieważ:

1

C

B

=

⋅

12

T

12

ϑ

ϑ

Równanie napięć w układzie osi fazowych a,b,c przed sprowadzeniem ma postać:

c)

b,

2(a,

c)

b,

2(a,

c)

b,

2(a,

I

Z

U

=

(1.4)

Wykorzystując zależność 5.3 równanie napięć 5.4 przekształcamy do postaci:

I

c)

b,

2(a,

1
12

c)

b,

2(a,

I

c)

b,

2(a,

1
12

I

C

Z

U

B

−

−

=

ϑ

ϑ

(1.5)

oraz przekształcając ostatnie równanie

I

c)

b,

2(a,

1
12

c)

b,

2(a,

12

I

c)

b,

2(a,

I

C

Z

B

U

−

=

ϑ

ϑ

otrzymamy zależność opisującą zasadę sprowadzania impedancji pomiędzy ukła-
dami.

1
12

c)

b,

2(a,

12

I

c)

b,

2(a,

−

=

ϑ

ϑ

C

Z

B

Z

(1.6)

1.

Jednostki względne w analizie stanów nieustalonych

5

Macierz impedancji fazowych po sprowadzeniu ma postać:





















=

2c

2

12

2b

2

12

2a

2

12

I

c)

b,

2(a,

0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

ϑ

ϑ

ϑ

Z

(1.7)

W przypadku układu o kilku poziomach napięć (U

1

>U

2

>U

3

) przedstawionego na

rys.5.2 zasady sprowadzania na wspólny poziom są podobne. Układ 2 sprowadza
się wg zasad opisanych powyżej, zaś układ 3 według zależności opisanych poniżej.

)

,

,

(

1

)

,

,

(

1

)

,

,

(

1

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

1

a)

b)

)

,

,

(

1

)

,

,

(

1

)

,

,

(

1

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

I

)

,

,

(

2

I

)

,

,

(

2

I

)

,

,

(

2

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

1

)

,

,

(

2

)

,

,

(

2

)

,

,

(

2

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

2

)

,

,

(

3

)

,

,

(

3

)

,

,

(

3

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

3

2

I

I

)

,

,

(

3

I

)

,

,

(

3

I

)

,

,

(

3

c

b

a

c

b

a

c

b

a

I

Z

U

=

T

1

ϑ

12

ϑ

23

T

2

3

I

Rys.1.2. Ilustracja zasady sprowadzania trzypoziomowego układu napięciowego na wspól-
ny poziom odniesienia. a) układ przed sprowadzeniem. b) układ po sprowadzeniu układu 2

na poziom 1

Związki między napięciami w rozpatrywanych poziomach napięć (3, 3

2

i 3

1

) moż-

na wyrazić zależnościami:





















=





















=

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

=

23

23

23

23

12

12

12

12

c)

b,

3(a,

23

12

II

c)

b,

3(a,

12

I

c)

b,

3(a,

c)

b,

3(a,

23

II

c)

b,

3(a,

0

0

0

0

0

0

;

0

0

0

0

0

0

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

B

B

U

B

B

U

B

U

U

B

U

(1.8)

Równania napięciowe układu 3 oraz sprowadzone do układu 3

II

i 3

I

mają postać:

I

c)

b,

3(a,

1

12

1

23

c)

b,

3(a,

23

12

I

c)

b,

3(a,

II

c)

b,

3(a,

1

23

c)

b,

3(a,

23

II

c)

b,

3(a,

c)

b,

3(a,

c)

b,

3(a,

c)

b,

3(a,

I

C

C

Z

B

B

U

I

C

Z

B

U

I

Z

U

−

−

−

=

=

=

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

Z powyższej zależności otrzymamy zależność opisującą zasadę sprowadzania im-
pedancji z układu 3 do układu 3

I

.

1
12

1

23

c)

b,

3(a,

23

12

I

c)

b,

3(a,

−

−

=

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

C

C

Z

B

B

Z

(1.9)

6

Macierz impedancji fazowych po sprowadzeniu ma postać:





















=

2c

2

23

2

12

2b

2

23

2

12

2a

2

23

2

12

I

c)

b,

3(a,

0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

Z

(1.10)

W obliczeniach praktycznych przyjmuje się, że przekładnia jest równa stosunkowi
napięć znamionowych układów (np. 400/220kV, 400/110kV, 220/110kV) a fakt
różnicy między przekładnią transformatora a tak przyjętą przekładnią uwzględnia
się w modelu matematycznym transformatora (rozdział 10).

Bibliografia

[ 1] Bernas S., Ciok Z.: Modele matematyczne elementów systemu elektroenergetycz-

nego. WNT Warszawa 1977

[ 2] Kacejko P., Machowski J.: Zwarcia w sieciach elektroenergetycznych. Podstawy

obliczeń. WNT Warszawa 1993.

[ 3] Kaczorek T.: Macierze w automatyce i elektrotechnice. WNT Warszawa 1998.
[ 4] Kremens Z., Sobierajski M.: Analiza systemów elektroenergetycznych. WNT War-

szawa 1996

[ 5] Kujszczyk Sz. i inni: Elektroenergetyczne układy przesyłowe WNT Warszawa

1997

[ 6] Zdun Z.: Algorytmy podstawowych obliczeń systemów elektroenergetycznych.

Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej. Warszawa 1978.

7