2.5. Granice jednostronne funkcji
Granice jednostronne
MoŜe się zdarzyć, Ŝe nie wiemy, czy istnieje granica funkcji f w punkcie a, ale potrafimy
wskazać takie sąsiedztwo punktu a, Ŝe dla:
a)
argumentów większych od a tego sąsiedztwa ma juŜ w punkcie a nieciągłość usuwal-
ną. Po usunięciu tej nieciągłości (czyli zdefiniowaniu funkcji ciągłej f*) wartość g
funkcji ciągłej f* w punkcie a nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie a i
piszemy g =
)
(
lim
x
f
a
x
+
→
.
b) argumentów mniejszych od a tego sąsiedztwa ma juŜ w punkcie a nieciągłość usuwal-
ną. Po usunięciu tej nieciągłości (czyli zdefiniowaniu funkcji ciągłej f*) wartość g
funkcji ciągłej f* w punkcie a nazywamy granicą lewostronną funkcji f w punkcie a i
piszemy g =
)
(
lim
x
f
a
x
−
→
.
Twierdzenia
a)
JeŜeli g jest granicą funkcji f w punkcie a, to obie granice jednostronne tej funkcji w
punkcie a istnieją i są równe g.
b)
JeŜeli granice jednostronne funkcji f w punkcje a istnieją i są równe g, to funkcja f ma
granicę w punkcie a równą g.
c)
JeŜeli granice jednostronne funkcji f w punkcie a istnieją, ale są róŜne, to funkcja f nie
ma granicy w punkcie a.
Granice w nieskończoności
Definicje
a)
Niech funkcja ciągła f będzie określoną na przedziale (x
0, +
∞
). Jeśli dla coraz to więk-
szych argumentów x wartości f(x) funkcji f będą coraz to bliŜsze liczbie g, wówczas
mówimy, Ŝe g jest granicą funkcji f w plus nieskończoności. Piszemy g =
)
(
lim
x
f
x
+∞
→
.
b)
Analogicznie, niech funkcja ciągła f będzie określoną na przedziale (
-
∞
, x
0
). Jeśli dla
coraz to mniejszych argumentów x wartości f(x) funkcji f będą coraz to bliŜsze liczbie
g, wówczas mówimy, Ŝe g jest granicą funkcji f w minus nieskończoności. Piszemy
g =
)
(
lim
x
f
x
−∞
→
.
Granice niewłaściwe
Definicje
a)
Niech funkcja ciągła f będzie określoną na przedziale (a,
,
b). Jeśli dla argumentów co-
raz to bliŜszych a odpowiadające im wartości funkcji f będą coraz to większe, wów-
czas mówimy, Ŝe funkcja f ma w punkcie a granicę plus nieskończoność. Piszemy
)
(
lim
x
f
a
x
→
= +
∞
.
b)
Niech funkcja ciągła f będzie określoną na przedziale (a,
,
b). Jeśli dla argumentów co-
raz to bliŜszych a odpowiadające im wartości funkcji f będą coraz to mniejsze, wów-
czas mówimy, Ŝe funkcja f ma w punkcie a granicę minus nieskończoność. Pisze-
my
)
(
lim
x
f
a
x
→
= -
∞
.
Granice +
∞
i -
∞
nazywamy granicami niewłaściwymi.
Przykład
Dana jest funkcja określona wzorem f(x) =
x
1
. Jest ona funkcją ciągłą w swojej dziedzinie. Jej
wykres przedstawia rysunek.
Mamy: a)
x
x
1
lim
−∞
→
= 0, b)
x
x
1
lim
+∞
→
= 0, c)
x
x
1
lim
0
+
→
= +
∞
, d)
x
x
1
lim
0
−
→
= -
∞
.
W zerze funkcja ta nie ma granicy, bowiem granice jednostronne w 0 są róŜne.
Ćwiczenia
Zad. 1.
Dana jest funkcja określona wzorem f(x) = x
−
2
.
a) Naszkicuj jej wykres.
b) Oblicz jej granice w punkcie: -3, 5,
7
.
c) Oblicz jej granice jednostronne w zerze oraz granice w +
∞
i -
∞
.
Zad. 2
Wyznacz granicę prawostronną i lewostronną funkcji f w punkcie a, jeŜeli:
a) f(x) =
2
5
−
x
, a = 2; b) f(x) =
2
3
4
−
−
x
x
, a = 2;
c) f(x) =
2
1
x
−
, a = 0; d) f(x) =
2
9
1
x
−
, a = 3; e) f(x) =
2
2
9
x
x
−
, a = 3;
f) f(x) =
2
1
3
x
−
−
, a = -1.
Zad. 3.
Wyznacz granice funkcji f w +
∞
i -
∞
, jeŜeli:
a) f(x) =
2
3
−
−
x
; b) f(x) =
2
4
5
x
−
; c) f(x) =
2
1
3
x
−
−
.
Odpowiedzi
Zad.1.: b) kolejno:
9
1
,
25
1
,
7
1
. c) 0.
Zad.2.: prawostronne: a) +
∞
; b) +
∞
, c) -
∞
, d) -
∞
, e) -
∞
, f) +
∞
,
lewostronne: a) -
∞
; b) -
∞
, c) -
∞
, d)
∞
, e)
∞
, f) +
∞
.
Zad. 3.: w plus nieskończoności: a) -2, b) 5, c) 0,
w minus nieskończoności: a) -2, b)