Egzamin z matematyki, Budownictwo, sem. II

1.

Rozwiązać podane równanie różniczkowe y

′′

− 4y

′

+ 4y = 3e

2x

.

2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y

√x

− y

2

− x + 6y.

3.

Obliczyć całkę powierzchniową

RR

Σ

2z

√

1+16x

2

+16y

2

dS

po płacie Σ: z = 1 − 2(x

2

+ y

2

) dla z > −5. Sporządzić

rysunek.

4.

Obliczyć całkę potrójną

RRR

V

3xdxdydz, gdzie V jest bryłą ograniczoną powierzchniami

z

=

p

x

2

+ y

2

− 2 i z = −x

2

− y

2

. Sporządzić rysunek.

5.

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

H

Γ

(x

2

+x

3

+2y)dx−(y

2

+3x

2

− y)dy, gdzie Γ jest dodatnio

skierowanym brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0), B(3, 3), C(0, 1). Naszkicować krzywą Γ.

6.

Obliczyć całkę

R

L

xdl

, gdzie L jest łukiem okręgu x

2

+ y

2

+ 4x = 0 położonym w trzeciej ćwiartce układu

współrzędnych.

7.

Obliczyć całkę

1

R

0

xe

3x

dx

.

Egzamin z matematyki, Budownictwo, sem. II

1.

Rozwiązać podane równanie różniczkowe y

′′

− 4y

′

+ 4y = 3e

2x

.

2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y

√x

− y

2

− x + 6y.

3.

Obliczyć całkę powierzchniową

RR

Σ

2z

√

1+16x

2

+16y

2

dS

po płacie Σ: z = 1 − 2(x

2

+ y

2

) dla z > −5. Sporządzić

rysunek.

4.

Obliczyć całkę potrójną

RRR

V

3xdxdydz, gdzie V jest bryłą ograniczoną powierzchniami

z

=

p

x

2

+ y

2

− 2 i z = −x

2

− y

2

. Sporządzić rysunek.

5.

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

H

Γ

(x

2

+x

3

+2y)dx−(y

2

+3x

2

− y)dy, gdzie Γ jest dodatnio

skierowanym brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0), B(3, 3), C(0, 1). Naszkicować krzywą Γ.

6.

Obliczyć całkę

R

L

xdl

, gdzie L jest łukiem okręgu x

2

+ y

2

+ 4x = 0 położonym w trzeciej ćwiartce układu

współrzędnych.

7.

Obliczyć całkę

1

R

0

xe

3x

dx

.

Egzamin z matematyki, Budownictwo, sem. II

1.

Rozwiązać podane równanie różniczkowe y

′′

− 4y

′

+ 4y = 3e

2x

.

2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = y

√x

− y

2

− x + 6y.

3.

Obliczyć całkę powierzchniową

RR

Σ

2z

√

1+16x

2

+16y

2

dS

po płacie Σ: z = 1 − 2(x

2

+ y

2

) dla z > −5. Sporządzić

rysunek.

4.

Obliczyć całkę potrójną

RRR

V

3xdxdydz, gdzie V jest bryłą ograniczoną powierzchniami

z

=

p

x

2

+ y

2

− 2 i z = −x

2

− y

2

. Sporządzić rysunek.

5.

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

H

Γ

(x

2

+x

3

+2y)dx−(y

2

+3x

2

− y)dy, gdzie Γ jest dodatnio

skierowanym brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0), B(3, 3), C(0, 1). Naszkicować krzywą Γ.

6.

Obliczyć całkę

R

L

xdl

, gdzie L jest łukiem okręgu x

2

+ y

2

+ 4x = 0 położonym w trzeciej ćwiartce układu

współrzędnych.

7.

Obliczyć całkę

1

R

0

xe

3x

dx

.

Egzamin z matematyki, Budownictwo, sem. II

1.

Rozwiązać podane równanie różniczkowe 5y

′′

− 6y

′

+ 5y = 6 sin x − 12 cos x.

2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = (y

2

− x)e

−2x

.

3.

Obliczyć całkę powierzchniową

RR

Σ

z

p

x

2

+ y

2

dS

po płacie Σ: z = 2 −

p

x

2

+ y

2

dla z > −3. Sporządzić

rysunek.

4.

Obliczyć całkę potrójną

RRR

V

2xdxdydz, gdzie V jest bryłą ograniczoną powierzchniami

z

= −

p

x

2

+ y

2

i z = x

2

+ y

2

− 2. Sporządzić rysunek.

5.

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

H

Γ

(3x+2y+y

2

)dx−(5y+7x+7y

2

)dy, gdzie Γ jest ujemnie

skierowanym brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0), B(−3, 3), C(−1, 0). Naszkicować krzywą Γ.

6.

Obliczyć całkę

R

L

xdl

, gdzie L jest łukiem okręgu x

2

+ y

2

− 4y = 0 położonym w pierwszej ćwiartce układu

współrzędnych.

7.

Obliczyć całkę

π

R

0

x

cos 5xdx.

Egzamin z matematyki, Budownictwo, sem. II

1.

Rozwiązać podane równanie różniczkowe 5y

′′

− 6y

′

+ 5y = 6 sin x − 12 cos x.

2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = (y

2

− x)e

−2x

.

3.

Obliczyć całkę powierzchniową

RR

Σ

z

p

x

2

+ y

2

dS

po płacie Σ: z = 2 −

p

x

2

+ y

2

dla z > −3. Sporządzić

rysunek.

4.

Obliczyć całkę potrójną

RRR

V

2xdxdydz, gdzie V jest bryłą ograniczoną powierzchniami

z

= −

p

x

2

+ y

2

i z = x

2

+ y

2

− 2. Sporządzić rysunek.

5.

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

H

Γ

(3x+2y+y

2

)dx−(5y+7x+7y

2

)dy, gdzie Γ jest ujemnie

skierowanym brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0), B(−3, 3), C(−1, 0). Naszkicować krzywą Γ.

6.

Obliczyć całkę

R

L

xdl

, gdzie L jest łukiem okręgu x

2

+ y

2

− 4y = 0 położonym w pierwszej ćwiartce układu

współrzędnych.

7.

Obliczyć całkę

π

R

0

x

cos 5xdx.

Egzamin z matematyki, Budownictwo, sem. II

1.

Rozwiązać podane równanie różniczkowe 5y

′′

− 6y

′

+ 5y = 6 sin x − 12 cos x.

2.

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = (y

2

− x)e

−2x

.

3.

Obliczyć całkę powierzchniową

RR

Σ

z

p

x

2

+ y

2

dS

po płacie Σ: z = 2 −

p

x

2

+ y

2

dla z > −3. Sporządzić

rysunek.

4.

Obliczyć całkę potrójną

RRR

V

2xdxdydz, gdzie V jest bryłą ograniczoną powierzchniami

z

= −

p

x

2

+ y

2

i z = x

2

+ y

2

− 2. Sporządzić rysunek.

5.

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę

H

Γ

(3x+2y+y

2

)dx−(5y+7x+7y

2

)dy, gdzie Γ jest ujemnie

skierowanym brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, 0), B(−3, 3), C(−1, 0). Naszkicować krzywą Γ.

6.

Obliczyć całkę

R

L

xdl

, gdzie L jest łukiem okręgu x

2

+ y

2

− 4y = 0 położonym w pierwszej ćwiartce układu

współrzędnych.

7.

Obliczyć całkę

π

R

0

x

cos 5xdx.