Działanie grupy przez sprzężenie

Who?

Bogdan Balcerzak

When?

15 listopada 2013 r.

Spis treści

Równanie klas dla działania grupy na zbiór

Działanie przez

sprzężenie

Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne

Klasa elementów sprzężonych

Centralizator elementu grupy

Równanie klas dla działania grupy wyznaconego przez
koniugacje

Zadania

Twierdzenie

Jeżeli grupa

G

działa na zbiór

X

, to

|Gx| = |G : Stab x|

dla każdego

x ∈ G

. W szczególności jeżeli grupa

G

jest

skończona, to dla każdego

x ∈ G

liczba elementów w

orbicie

Gx

jest dzielnikiem rzędu grupy (ponieważ

|G : Stab x| · |Stab x| = |G|

).

Jeżeli grupa skończonego rzędu

G

działa na skończony

zbiór

X

,

{x

1

, ..., x

p

}

jest zbiorem reprezentantów

wszystkich różnych orbit tego działania, to

|X| =

p

X

i=1

|G : Stab x

i

| .

(1)

Istotnie,

|X| =






p

S

i=1

Gx

i






=

p

P

i=1

|Gx

i

| =

p

P

i=1

|G : Stab x

i

|

.

Twierdzenie

Jeżeli grupa

G

działa na zbiór

X

, to

|Gx| = |G : Stab x|

dla każdego

x ∈ G

. W szczególności jeżeli grupa

G

jest

skończona, to dla każdego

x ∈ G

liczba elementów w

orbicie

Gx

jest dzielnikiem rzędu grupy (ponieważ

|G : Stab x| · |Stab x| = |G|

).

Jeżeli grupa skończonego rzędu

G

działa na skończony

zbiór

X

,

{x

1

, ..., x

p

}

jest zbiorem reprezentantów

wszystkich różnych orbit tego działania, to

|X| =

p

X

i=1

|G : Stab x

i

| .

(1)

Istotnie,

|X| =






p

S

i=1

Gx

i






=

p

P

i=1

|Gx

i

| =

p

P

i=1

|G : Stab x

i

|

.

Twierdzenie

Jeżeli grupa

G

działa na zbiór

X

, to

|Gx| = |G : Stab x|

dla każdego

x ∈ G

. W szczególności jeżeli grupa

G

jest

skończona, to dla każdego

x ∈ G

liczba elementów w

orbicie

Gx

jest dzielnikiem rzędu grupy (ponieważ

|G : Stab x| · |Stab x| = |G|

).

Jeżeli grupa skończonego rzędu

G

działa na skończony

zbiór

X

,

{x

1

, ..., x

p

}

jest zbiorem reprezentantów

wszystkich różnych orbit tego działania, to

|X| =

p

X

i=1

|G : Stab x

i

| .

(1)

Istotnie,

|X| =






p

S

i=1

Gx

i






=

p

P

i=1

|Gx

i

| =

p

P

i=1

|G : Stab x

i

|

.

Definicja

Równość (1) nazywamy równaniem klas dla działania
grupy

G

na zbiorze

X

.

Działanie

grupy przez

sprzężenie

Niech

G

będzie grupą. Rozważmy działanie dołączone

grupy

G

na

G

zdefiniowane wzorem

Ad : G × G −→ G,

Ad(g, x) = gxg

−1

.

Dla

g, x ∈ G

oznaczamy

x

g

:= gxg

−1

.

Działaniu

Ad

odpowiada reprezentacja

f

Ad : G −→ S

G

,

która każdemu elementowi

g ∈ G

przyporządkowuje

automorfizm wewnętrzny wyznaczony przez

g

(koniugację za pomocą

g

). Zauważmy, że

ker

f

Ad

=

n

g ∈ G :

f

Ad(g) = id

G

o

=

n

g ∈ G :

gxg

−1

= x dla każdego x ∈ G

o

=

{g ∈ G :

gx = xg dla każdego x ∈ G}

=

Z(G).

Działanie

grupy przez

sprzężenie

Niech

G

będzie grupą. Rozważmy działanie dołączone

grupy

G

na

G

zdefiniowane wzorem

Ad : G × G −→ G,

Ad(g, x) = gxg

−1

.

Dla

g, x ∈ G

oznaczamy

x

g

:= gxg

−1

.

Działaniu

Ad

odpowiada reprezentacja

f

Ad : G −→ S

G

,

która każdemu elementowi

g ∈ G

przyporządkowuje

automorfizm wewnętrzny wyznaczony przez

g

(koniugację za pomocą

g

). Zauważmy, że

ker

f

Ad

=

n

g ∈ G :

f

Ad(g) = id

G

o

=

n

g ∈ G :

gxg

−1

= x dla każdego x ∈ G

o

=

{g ∈ G :

gx = xg dla każdego x ∈ G}

=

Z(G).

Działanie

grupy przez

sprzężenie

Niech

G

będzie grupą. Rozważmy działanie dołączone

grupy

G

na

G

zdefiniowane wzorem

Ad : G × G −→ G,

Ad(g, x) = gxg

−1

.

Dla

g, x ∈ G

oznaczamy

x

g

:= gxg

−1

.

Działaniu

Ad

odpowiada reprezentacja

f

Ad : G −→ S

G

,

która każdemu elementowi

g ∈ G

przyporządkowuje

automorfizm wewnętrzny wyznaczony przez

g

(koniugację za pomocą

g

). Zauważmy, że

ker

f

Ad

=

n

g ∈ G :

f

Ad(g) = id

G

o

=

n

g ∈ G :

gxg

−1

= x dla każdego x ∈ G

o

=

{g ∈ G :

gx = xg dla każdego x ∈ G}

=

Z(G).

Dla każdego

x ∈ G

orbitę elementu

x

oznaczamy

symbolem

x

G

i nazywamy klasą sprzężoności

elementu

x

lub klasą elementów sprzężonych z

x

:

x

G

=

{Ad(g, x) ∈ G :

g ∈ G}

=

{x

g

∈ G :

g ∈ G}

=

n

gxg

−1

:

g ∈ G

o

.

Podgrupą izotropii (podgrupą stacjonarną)

Stab x

elementu

x ∈ G

jest

Stab x

=

{g ∈ G : x

g

= x}

=

n

g ∈ G : gxg

−1

= x

o

=

{g ∈ G : gx = xg} ,

zatem jest grupą wszystkich elementów

G

przemiennych

z

x

, którą nazywamy centralizatorem elementu

x

oraz

oznaczamy symbolem

Z(x)

albo

C(x)

.

Dla każdego

x ∈ G

orbitę elementu

x

oznaczamy

symbolem

x

G

i nazywamy klasą sprzężoności

elementu

x

lub klasą elementów sprzężonych z

x

:

x

G

=

{Ad(g, x) ∈ G :

g ∈ G}

=

{x

g

∈ G :

g ∈ G}

=

n

gxg

−1

:

g ∈ G

o

.

Podgrupą izotropii (podgrupą stacjonarną)

Stab x

elementu

x ∈ G

jest

Stab x

=

{g ∈ G : x

g

= x}

=

n

g ∈ G : gxg

−1

= x

o

=

{g ∈ G : gx = xg} ,

zatem jest grupą wszystkich elementów

G

przemiennych

z

x

, którą nazywamy centralizatorem elementu

x

oraz

oznaczamy symbolem

Z(x)

albo

C(x)

.

Dla każdego

x ∈ G

orbitę elementu

x

oznaczamy

symbolem

x

G

i nazywamy klasą sprzężoności

elementu

x

lub klasą elementów sprzężonych z

x

:

x

G

=

{Ad(g, x) ∈ G :

g ∈ G}

=

{x

g

∈ G :

g ∈ G}

=

n

gxg

−1

:

g ∈ G

o

.

Podgrupą izotropii (podgrupą stacjonarną)

Stab x

elementu

x ∈ G

jest

Stab x

=

{g ∈ G : x

g

= x}

=

n

g ∈ G : gxg

−1

= x

o

=

{g ∈ G : gx = xg} ,

zatem jest grupą wszystkich elementów

G

przemiennych

z

x

, którą nazywamy centralizatorem elementu

x

oraz

oznaczamy symbolem

Z(x)

albo

C(x)

.

Dla każdego

x ∈ G

orbitę elementu

x

oznaczamy

symbolem

x

G

i nazywamy klasą sprzężoności

elementu

x

lub klasą elementów sprzężonych z

x

:

x

G

=

{Ad(g, x) ∈ G :

g ∈ G}

=

{x

g

∈ G :

g ∈ G}

=

n

gxg

−1

:

g ∈ G

o

.

Podgrupą izotropii (podgrupą stacjonarną)

Stab x

elementu

x ∈ G

jest

Stab x

=

{g ∈ G : x

g

= x}

=

n

g ∈ G : gxg

−1

= x

o

=

{g ∈ G : gx = xg} ,

zatem jest grupą wszystkich elementów

G

przemiennych

z

x

, którą nazywamy centralizatorem elementu

x

oraz

oznaczamy symbolem

Z(x)

albo

C(x)

.

Wniosek

Załóżmy, że

G

jest grupą skończoną oraz

x

G

1

, ..., x

G

r

są

wszystkimi różnymi klasami elementów sprzężonych,
gdzie pierwsze

q

z nich są jednoelementowe, tzn.





x

G

i





= 1

dla każdego

i ∈ {1, ..., q}

. Zauważmy, że





x

G





= 1 ⇐⇒ ∀g ∈ G gx = xg ⇐⇒ x ∈ Z(G).

Zatem klasa

x

G

elementu

x

jest jednoelementowa

(

x

jest jej jedynym elementem) wtedy i tylko wtedy, gdy

x

należy do centrum grupy

G

. Grupę

G

można więc

przedstawić w postaci rozłącznej sumy zbiorów

G = Z(G) ∪

r

[

i=q+1

x

G
i

.

Równanie klas dla działania

Ad

grupy

G

na zbiorze

G

można zapisać w postaci

|G| = |Z(G)| +

r

P

i=q+1





x

G

i





.

Wniosek

Załóżmy, że

G

jest grupą skończoną oraz

x

G

1

, ..., x

G

r

są

wszystkimi różnymi klasami elementów sprzężonych,
gdzie pierwsze

q

z nich są jednoelementowe, tzn.





x

G

i





= 1

dla każdego

i ∈ {1, ..., q}

. Zauważmy, że





x

G





= 1 ⇐⇒ ∀g ∈ G gx = xg ⇐⇒ x ∈ Z(G).

Zatem klasa

x

G

elementu

x

jest jednoelementowa

(

x

jest jej jedynym elementem) wtedy i tylko wtedy, gdy

x

należy do centrum grupy

G

. Grupę

G

można więc

przedstawić w postaci rozłącznej sumy zbiorów

G = Z(G) ∪

r

[

i=q+1

x

G
i

.

Równanie klas dla działania

Ad

grupy

G

na zbiorze

G

można zapisać w postaci

|G| = |Z(G)| +

r

P

i=q+1





x

G

i





.

Wniosek

Załóżmy, że

G

jest grupą skończoną oraz

x

G

1

, ..., x

G

r

są

wszystkimi różnymi klasami elementów sprzężonych,
gdzie pierwsze

q

z nich są jednoelementowe, tzn.





x

G

i





= 1

dla każdego

i ∈ {1, ..., q}

. Zauważmy, że





x

G





= 1 ⇐⇒ ∀g ∈ G gx = xg ⇐⇒ x ∈ Z(G).

Zatem klasa

x

G

elementu

x

jest jednoelementowa

(

x

jest jej jedynym elementem) wtedy i tylko wtedy, gdy

x

należy do centrum grupy

G

. Grupę

G

można więc

przedstawić w postaci rozłącznej sumy zbiorów

G = Z(G) ∪

r

[

i=q+1

x

G
i

.

Równanie klas dla działania

Ad

grupy

G

na zbiorze

G

można zapisać w postaci

|G| = |Z(G)| +

r

P

i=q+1





x

G

i





.

|G| = |Z(G)| +

r

X

i=q+1





x

G
i





= |Z(G)| +

r

P

i=q+1

|G : Z(x

i

)| .



Twierdzenie

Jeżeli rząd grupy

G

jest potęgą liczby pierwszej, to

grupa ta ma nietrywialne centrum.

Dowód.

Niech

G

będzie grupą, której rząd równa się

p

n

, gdzie

p

jest liczbą pierwszą,

n ∈ N

. Równaniem klas dla grupy

G

jest

p

n

= |G| = |Z(G)| +

r

X

i=q+1

|G : Z(x

i

)| ,

(2)

gdzie

x

q+1

, ..., x

r

∈ G

są wszystkimi takimi elementami

G

, że

x

G

q+1

, ..., x

G

r

są wszystkimi różnymi klasami

elementów sprzężonych oraz

|G : Z(x

i

)| > 1

dla

i ∈ {q + 1, ..., r}

. Skoro grupa

G

jest skończona, to z

twierdzenia Lagrange’a wynika, że każdy (dla

i ∈ {q + 1, ..., r}

) indeks

|G : Z(x

i

)|

jest dzielnikiem

rzędu grupy, jest więc potęgą liczby

p

. Z równości (2)

wynika, że

|Z(G)|

jest podzielne przez

p

. Zatem

|Z(G)| ­ p ­ 2

.

Twierdzenie

Jeżeli rząd grupy

G

jest potęgą liczby pierwszej, to

grupa ta ma nietrywialne centrum.

Dowód.

Niech

G

będzie grupą, której rząd równa się

p

n

, gdzie

p

jest liczbą pierwszą,

n ∈ N

. Równaniem klas dla grupy

G

jest

p

n

= |G| = |Z(G)| +

r

X

i=q+1

|G : Z(x

i

)| ,

(2)

gdzie

x

q+1

, ..., x

r

∈ G

są wszystkimi takimi elementami

G

, że

x

G

q+1

, ..., x

G

r

są wszystkimi różnymi klasami

elementów sprzężonych oraz

|G : Z(x

i

)| > 1

dla

i ∈ {q + 1, ..., r}

. Skoro grupa

G

jest skończona, to z

twierdzenia Lagrange’a wynika, że każdy (dla

i ∈ {q + 1, ..., r}

) indeks

|G : Z(x

i

)|

jest dzielnikiem

rzędu grupy, jest więc potęgą liczby

p

. Z równości (2)

wynika, że

|Z(G)|

jest podzielne przez

p

. Zatem

|Z(G)| ­ p ­ 2

.

Lemat

Jeżeli

G

jest grupą,

H < G

,

K < G

,

G = HK

,

H ∩ K = {e}

oraz każdy element

H

komutuje z każdym

elementem

K

(

hk = kh

dla wszystkich

h ∈ H

,

k ∈ K

),

to

G ∼

= H × K.

Dowód lematu

Definiujemy funkcję

ϕ : H × K −→ G,

ϕ (x, y) = xy.

Zauważmy, że dla dowolnych

(x, y)

,

(˘

x, ˘

y) ∈ H × K

zachodzi

ϕ ((x, y) , (˘

x, ˘

y)) = ϕ (x˘

x, y ˘

y) = x˘

xy ˘

y = xy ˘

x˘

y

= ϕ (x, y) ϕ (˘

x, ˘

y)

.

ϕ

jest więc homomorfizmem grup, dla którego

Im ϕ = HK = G

.

Jeżeli

(x, y)

,

(˘

x, ˘

y) ∈ H × K

oraz

ϕ (x, y) = ϕ (˘

x, ˘

y)

, to

xy = ˘

x˘

y,

skąd

˘

x

−1

x = ˘

yy

−1

.

Skoro

˘

x

−1

x = ˘

yy

−1

∈ H ∩ K = {e}

, to

x = ˘

x

i

y = ˘

y

.

Zatem

ϕ

jest iniekcją.

ϕ

jest izomorfizmem grup

H × K

i

G

.

Twierdzenie

Jeżeli

p

jest liczbą pierwszą, to każda grupa rzędu

p

2

jest albo cykliczna, albo izomorficzna z grupą

Z

p

× Z

p

.

Dowód

Niech

p

będzie liczbą pierwszą oraz

G

grupą rzędu

p

2

.

Jeżeli

G

zwiera element rzędu

p

2

, to

G

jest cykliczna.

Jeżeli

G

nie jest cykliczna, to wszystkie elementy oprócz

neutralnego mają rząd równy

p

:

rank e = 1

,

rank x = p

dla każdego

x ∈ G \ {e}

. Z ostatniego twierdzenia

wynika, że

Z(G)

nie jest trywialną podgrupą

G

. Niech

x

o

∈ Z(G)

będzie elementem różnym od elementu

neutralnego

e

. Niech

y

o

będzie elementem zbioru

G \ hx

o

i

. Zauważmy, że

hx

o

i =

n

x

i
o

:

i ∈ {1, ..., p}

o

< G,

hy

o

i =

n

y

i

o

:

i ∈ {1, ..., p}

o

< G

są takimi podgrupami

G

, że

hx

o

i ∩ hy

o

i = {e} .

Zatem



x

i

o

y

i

o

:

i ∈ {1, ..., p}

jest zbiorem

p

2

różnych

elementów. Stąd

hx

o

i hy

o

i = G

.

Ponadto jeżeli

a = x

m

o

∈ hx

o

i

,

b = y

n

o

∈ hy

o

i

, to

ab = x

m
o

y

n

o

= x

o

...x

o

y

o

...y

o

= y

n

o

x

m
o

= ba,

ponieważ

x

o

∈ Z(G)

, tzn. każdy element grupy

hx

o

i

komutuje z każdym elementem grupy

hy

o

i

. Z

powyższego lematu wynika, że

G ∼

= hx

o

i × hy

o

i ∼

= Z

p

× Z

p

.



Zadania

Zadanie 1

Pokazać, że jeżeli grupa

G

działa na zbiór

X

i na zbiór

Y

, to

G × (X × Y )

−→ X × Y,

g · (x, y)

=

(gx, gy)

jest działaniem grupy

G

na

X × Y

i nazywamy go

diagonalnym działaniem

G

na

X × Y

. Sprawdzić, że

stabilizator punktu

(x, y) ∈ X × Y

jest częścią wspólną

stabilizatorów punktów

x

i

y

dla odpowiednich działań.

Podać przykład grupy

G

i działań

G

na zbiory

X

i

Y

,

które są tranzytywne (mają jedną orbitę), zaś
odpowiadające im działanie diagonalne grupy

G

na

X × Y

nie jest tranzytywne.

Zadanie 2

Niech

G = gp

S

4

({(1234) , (24)}) = h(1234) , (24)i

będzie podgrupą

S

4

generowaną przez permutacje

(1234) , (24) ∈ S

4

. Grupa

G

działa na zbiór

{1, 2, 3, 4}

za pomocą działania

T : G × {1, 2, 3, 4} −→ {1, 2, 3, 4} , T (σ, k) = σ (k) .

Znaleźć orbity i stabilizatory działania diagonalnego
grupy

G

na zbiór

{1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3, 4}

.