mgr Adam Marszałek

Zakład Inteligencji Obliczeniowej

Instytut Informatyki PK

Algebra z geometrią: Lista nr 1

Rachunek wektorowy

Zad.1. Wektory

−→

AC= a i

−→

BD= b są przekątnymi równolegloboku ABCD. Wyrazić boki tego

równolegloboku za pomocą wektorów a i b.

Zad.2. Sprawdzić analitycznie i geometrycznie tożsamości:

1. a +

1
2

(b − a) =

1
2

(a + b);

2.

1
2

(a + b) +

1
2

(b − a) = b.

Zad.3. Obliczyć |a −

1
3

(a − b)|, jeżeli |a| = 1, |b| = 2 oraz

∠(a, b) =

1
3

π.

Zad.4. Znaleźć zależność liniową między wektorami m = a − b + c, p = a + b, q = b +

1
2

c,

r = b − c.

Zad.5. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów a i b, jeżeli:

1. |a| = 5, |b| = 6,

∠(a, b) =

1
3

π;

2. |a| = 2, |b| = 4,

∠(a, b) =

2
3

π;

3. |a| = 1, |b| = 5,

∠(a, b) = π.

Zad.6. Znaleźć dlugość wektora a = 6p − 8q wiedząc, że p i q są wektorami jednostkowymi

wzajemnie prostopadłymi.

Zad.7. Znaleźć dlugość wektora a = 5p − 4q jeżeli wiadomo, że |p| = 2, |q| = 5 oraz

∠(p, q) =

2
3

π.

Zad.8. Obliczyć kąt między wektorami p = 6m + 4n i q = 2m + 10n, jeżeli wiadomo, że m

i n są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.

Zad.9. Dane są: |a| = 2, |b| = 5 i a ◦ b = 6. Obliczyć |a × b|.
Zad.10. Uprościć wyrażenia:

1. p × (2q − r + p) + (2r + q) × (p − 2r);
2. (3p − r) × (2p + q − 3r).

Zad.11. Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a = 2p − q i b = p + q,

gdzie p i q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.

Zad.12. Objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach p, q i r jest równa 3. Obli-

czyć objetość czworościanu zbudowanego na wektorach a = p + q − r, b = 2p − q + r,
c = p + 2q − 3r.

Zad.13. Sprawdzić czy wektory a, b i c są liniowo zależne, jeżeli wektory p, q i r są liniowo

niezależne:
1. a = −3p + 2q − 2r, b = p − 4q + r, c = 4p + 2q − 6r;
2. a = p + 2q − r, b = 2p + 2q + 2r, c = 3p + 8q − 7r.

Zad.14. Dane są trzy wektory: a = [1, 0, −1], b = [2, −1, 3], c = [1, 1, 2]. Znaleźć wektor

x = 3a − b + 4c oraz obliczyć jego długość.

Zad.15. Znaleźć 3a − 4b, a ◦ b i |a − b|, jeżeli:

1. a = [−2, 6, 1], b = [3, −3, −1];
2. a = [3, −4, 2], b = [1, 2, −5].

Zad.16. Znaleźć cosinus kąta między wektorami:

1. a = [−4, 8, −3], b = [2, 1, 1];
2. a = [−2, 3, 0], b = [−6, 0, 4].

1

Zad.17. Znaleźć ∠ABC, jeżeli A(2, 7, 0), B(−1, −1, 4), C(3, 0, 1). Sprawdzić czy trójkąt ABC

jest prostokątby. Obliczyć jego pole.

Zad.18. Znaleźć wektor a wiedząc, że jest on prostopadły do wektorów b = [2, 3, −1],

c = [1, −2, 3] oraz a ◦ [2, −1, 1] = −6.

Zad.19. Dane są wektory a = [3, −2, 1], b = [1, 2, 1] i c = [−1, 4, 3]. Obliczyć

[(b ◦ c)(2c × a)] ◦ [(a − b) × (a + c)].

Zad.20. Sprawdzić czy wektor a jest kombinacją liniową wektorów x

i

:

1. a = [3, 2, −5], x

1

= [2, 2, 0], x

2

= [1, 0, 0],

2. a = [4, −1, 3], x

1

= [−1, 2, 3], x

2

= [2, −1, −2], x

3

= [1, 1, 1],

3. a = [−1, −2, 1], x

1

= [−1, −1, 0], x

2

= [1, 0, −1], x

3

= [0, −1, 1].

Zad.21. Zbadaj liniową niezależność wektorów:

1. x

1

= [−1, −1, 0], x

2

= [1, 0, −1], x

3

= [0, −1, 1],

2. x

1

= [1, 2, 3], x

2

= [2, 3, 1], x

3

= [4, 4, 5],

3. x

1

= [3, 2, 3], x

2

= [2, 2, 0], x

3

= [1, 0, 0],

4. x

1

= [1, 1, 0], x

2

= [1, 1, −1], x

3

= [0, 0, 1].

2