Elementy akustyki
Elementy akustyki
Longitudinal,
Transverse
and Mixed Type Waves
Wave Types Sounds Amazing ASA Level Physics Revision University of Salford -
A Greater Manchester University
Fala podłu
Ŝ
na w spr
ęŜ
ynie slinky
Rozpatrujemy fale podłu
Ŝ
ne,
dlatego y(x,t) jest wychyleniem
podłu
Ŝ
nym zale
Ŝ
nym
od poło
Ŝ
enia na osi x i
od momentu czasu t
Dźwięk
Dźwięk – mechaniczna fala podłuŜna
rozchodząca się w płynach: cieczach, ciałach
stałych i gazach.
Zakres słyszalny 20 Hz – 20 000 Hz
do 20 Hz
– infradźwięki,
powyŜej 20 kHz – ultradźwięki.
http://paws.kettering.edu/~druss
ell/Demos/rad2/mdq.html
Moduł
ś
ci
ś
liwo
ś
ci płynu
p
B
.
V / V
∆
= −
∆
Względna zmiana objętości
∆
V/V jest
spowodowana przez zmianę ciśnienia
∆
p.
W układzie odniesienia, w którym impuls
spoczywa element objętości płynu porusza się
w stronę impulsu, który charakteryzowany jest
przez ciśnienie (p+
∆
p) i objętość (V+
∆
V).
Moduł ściśliwości objętościowej płynu:
Moduł
ś
ci
ś
liwo
ś
ci o
ś
rodka
p
B
.
V / V
∆
= −
∆
PoniewaŜ powiększeniu ciśnienia
towarzyszy zmniejszenie objętości (
∆
p>0,
∆
V<0), natomiast zmniejszeniu ciśnienia
towarzyszy zwiększenie objętości (
∆
p<0,
∆
V>0), aby B>0 naleŜy pomnoŜyć iloraz
∆
p/(
∆
V/V) przez (-1).
Wymiar i jednostki
modułu
ś
ci
ś
liwo
ś
ci
[ ]
[ ]
[
] [ ]
[ ]
[ ]
1
2
2
2
p
F
p
B
p
V / V
V / V
S
L
1
M
/ L
M
.
T
T L
=
=
=
=
=
∆
∆
=
=
Jednostki: paskal 1N/1m
2
.
Moduł
ś
ci
ś
liwo
ś
ci jest proporcjonalny
do pochodnej ci
ś
nienia
wzgl
ę
dem obj
ę
to
ś
ci
V
0
p
dp
B
lim
V
.
V / V
dV
∆ →
∆
= −
= −
∆
Współczynnik
ś
ci
ś
liwo
ś
ci
κ
jest
odwrotno
ś
ci
ą
modułu
ś
ci
ś
liwo
ś
ci
1 dV
.
V dp
κ = −
Współczynnik ściśliwości
κ
i moduł
ściśliwości B charakteryzują dany ośrodek.
Jednostki w jakich mierzone jest
ci
ś
nienie i moduł
ś
ci
ś
liwo
ś
ci
Jednostka ciśnienia paskal Pa:
2
1Pa
1N / m .
=
[ ]
[ ]
[
] [ ]
p
p
B
p .
V / V
V / V
∆
∆
=
=
= ∆
∆
∆
Moduł ściśliwości jest mierzony w paskalach.
Oscylacje harmoniczne
( )
(
)
(
)
m
m
m
y x, t
y cos kx
t
2
2
2
y cos
x
t
y cos
x
vt
.
T
=
− ω =
π
π
π
=
−
=
−
λ
λ
Zmiana ciśnienia płynu spowodowana
rozchodzeniem się fali akustycznej:
V
S y
y
p
B
B
B
.
V
S x
x
∆
∆
∆
∆ = −
= −
= −
∆
∆
Wychylenie y jest równoległe do osi x.
y
m
y
m
Fala akustyczna biegnąca w rurze prędkością
v
– przemieszczający się okresowy układ
zagęszczeń i rozrzedzeń. Zdjęcie migawkowe
Rozciągnięty
poziomo widok
krótkiego
odcinka rury.
Wychylenie
warstwy
∆
x
z
połoŜenia
równowagi,
s
m
maksymalne jej
wychylenie.
p
B y / x.
∆ = − ∂ ∂
W granicy
∆
x
→
0
(
)
m
y
y cos kx
t .
=
− ω
(
)
m
y
p
B
Bky sin kx
t .
x
∂
∆ = −
=
− ω
∂
Ciśnienie zmienia się harmonicznie.
(
)
m
y
ky sin kx
t .
x
∂ = −
− ω
∂
Pr
ę
dko
ść
propagacji d
ź
wi
ę
ku
m
v
B /
.
=
ρ
ρ
m
– gęstość masy płynu na zewnątrz
strefy zgęszczenia.
Dla liny:
v
T /
.
=
µ
Dla płynu:
2
m
v
B.
ρ =
Wymiar fizyczny
m
B /
.
ρ
[ ]
1/ 2
2
1/ 2
2
m
3
1/ 2
3
2
2
2
ML / T
F / S
L
B /
M
m / V
L
M
L
L / T
v .
LT
M
ρ
=
=
=
=
⋅
=
=
(
)
a
m
p
p
Bky sin kx
t .
∆ =
− ω
2
a
m
m
m
p
Bky
v
ky .
=
= ρ
Amplituda ciśnienia:
Falę dźwięku moŜna traktować jako falę
przemieszczeń albo jako falę ciśnienia:
(
)
a
p
p sin kx
t .
∆ =
− ω
Wymiar fizyczny p
a
[ ]
2
3
2
a
m
m
2
3
2
4
2
L M 1
ML
M
p
v
ky
L
.
T L L
T L
T L
=
ρ
=
=
=
[ ]
2
2
2
F
ML / T
M
p
.
S
L
T L
=
=
=
Wymiar ciśnienia:
[ ] [ ]
a
p
p .
=
D
ź
wi
ę
k
Fale spręŜyste rozchodzące się w powietrzu o
częstości z zakresu 16-20 000 Hz odbierane
przez ucho człowieka robią wraŜenie dźwięku.
Rzeczywisty dźwięk nie jest prostym
drganiem harmonicznym lecz złoŜeniem drgań
harmonicznych o określonym zestawie
częstości. Ten zestaw nazywa się widmem
akustycznym.
Odebrane dźwięki rozróŜniane są przez ludzi
według wysokości, barwy i głośności.
Typy zestawów cz
ę
sto
ś
ci
• W widmie występują drgania o wszystkich
częstościach z przedziału od
ν
do
ν
’ – widmo
ciągłe. Są to szumy.
• Dźwięk składa się z drgań o częstościach
dyskretnych
ν
1
,
ν
2
,
ν
3
, itd. – widmo liniowe.
Dźwięk taki nazywa się wielotonem. NajniŜsza
częstość wielotonu (np.
ν
1
) nazywa się
częstością podstawową. Względne natęŜenie
przytonów (dźwięku o częstościach
ν
2
,
ν
3
, itd.)
określa barwę dźwięku.
Fala w o
ś
rodku spr
ęŜ
ystym
Niech w ośrodku spręŜystym w kierunku
x
rozchodzi się fala:
( )
(
)
m
y x, t
y cos
t
kx
.
=
ω −
+ α
Wydzielimy w ośrodku obszar
Ω
∆
V
o objętości
∆
V
, na tyle małej, Ŝe we wszystkich punktach
tego obszaru prędkość ruchu i odkształcenie
są takie same i równe odpowiednio
∂
y(x,t)/
∂
t
i
∂
y(x,t)/
∂
x
.
ρ
m
jest gęstością masy ośrodka.
Energia fali spr
ęŜ
ystej
Energia kinetyczna o środka zgromadzona w
obszarze
Ω
∆
V
:
2
m
k
y
W
V.
2
t
ρ
∂
∆
=
∆
∂
Energia spręŜysta o środka zgromadzona w
obszarze
Ω
∆
v
:
2
p
parametr
deformacji
E
y
W
V.
2
x
∂
∆
=
∆
∂
Moduł Younga
Współczynnik E nazywa się modułem Younga.
Związany jest on z gęstością masy ośrodka
i prędkością fazową v fali:
2
m
E
v .
= ρ
Moduł Younga jest charakterystyką
mechaniczną ciał stałych.
Wymiar modułu Younga
2
p
E
y
W
V
2
x
∂
∆
=
∆
∂
p
2
2 W
E
y
V
x
∆
=
∂
∆
∂
[ ]
2
2
p
2
m
2
3
2
W
E
ML / T
M
E
v
V
L
LT
y
V
x
∆
=
=
=
=
= ρ
∂
∆
∂
[ ]
2
2
m
3
2
2
M L
M
v
p .
L T
LT
ρ
=
=
=
Całkowita energia obszaru
Ω
∆
V
2
2
2
m
k
p
k
y
y
W
W
W
W
v
V.
2
t
x
ρ
∂
∂
∆ = ∆
+ ∆
= ∆
=
+
∆
∂
∂
Gęstość energii w:
2
2
2
m
W
y
y
w
v
.
V
2
t
x
ρ
∆
∂
∂
=
=
+
∆
∂
∂
G
ę
sto
ść
energii o
ś
rodka spr
ęŜ
ystego
dla fali harmonicznej
( )
(
)
( )
( )
(
)
m
m
y x, t
y
sin kx
t ,
t
y x, t
v
y
vk sin kx
t .
x
ω
∂
= ω
− ω
∂
∂
= −
− ω
∂
( )
(
)
2
2
m
m
w x, t
y
sin
kx
t .
= ρ
ω
− ω
Średnia gęstość energii:
2
sr
m
m
w
y
/ 2 .
= ρ
ω
Strumie
ń
energii
Ilość energii
∆
W
przepływającej w interwale
czasu
∆
t
przez powierzchnię nazywamy
strumieniem energii
Φ
:
W
.
t
∆
Φ =
∆
Strumień energii jest wielkością wektorową.
Jednostki strumienia: W/s.
G
ę
sto
ść
strumienia energii
Strumień energii jest wielkością zaleŜną od
punktu w przestrzeni, w którym jest on
mierzony.
Gęstość strumienia energii j:
Energia przepływająca przez element
powierzchni o jednostkowym polu
znajdujący się w danym punkcie ośrodka.
Element ten jest prostopadły do kierunku,
w którym przenoszona jest energia.
Wzór okre
ś
laj
ą
cy wielko
ść
g
ę
sto
ś
ci strumienia energii
∆
S
⊥
⊥⊥
⊥
- pole powierzchni elementu prostopadłego
do kierunku rozchodzenia się fali. W czasie
∆
t
przepływa energia
∆
W:
W
j
.
S
S
t
⊥
⊥
∆Φ
∆
=
=
∆
∆ ∆
Wielko
ść
g
ę
sto
ś
ci strumienia energii
S
⊥
∆
v
v
∆
t
Przez powierzchnię
∆
S
⊥
podstawy
walca w interwale czasu
∆
t
prze-
noszona jest energia
∆
W
zawarta
wewnątrz walca o polu podstawy
∆
S
⊥
i wysokości v
∆
t.
JeŜeli roz-
miary walca są na tyle małe, Ŝe
gęstość energii w nim zawartej
jest stała, to:
W
w S v t .
⊥
∆ = ∆
∆
w S v t
W
j
vw .
S
t
S
t
⊥
⊥
⊥
∆
∆
∆
=
=
=
∆ ∆
∆ ∆
Wektor g
ę
sto
ś
ci strumienia energii
v
- wektor o długości równej prędkości
fazowej fali i kierunku zgodnym z
kierunkiem jej rozchodzenia się.
Wektor gęstości strumienia energii:
w .
=
j
v
Średnia wartość tego wektora:
2
2
sr
sr
m
m
1
w
y
.
2
=
= ρ
ω
j
v
v
Σ
powierzchnia, przez któr
ą
przepływa energia
Σ
(t+
∆
t)
∆Σ
∆
S
v
∆
t
Σ
(t)
Dzielimy powierzchnię
Σ
,
przez którą przepływa
energia, na elementy
∆Σ
∆
S
Elementarny walec, przez
który przepływa energia
Całkowity strumie
ń
energii
przepływaj
ą
cej przez powierzchni
ę
Znamy w kaŜdym punkcie powierzchni
Σ
S
o
polu S. Rozkładamy powierzchnię na elementy
∆Σ
∆
S
o polu
∆
S
.
j
Objętość walca:
∆
V=v
∆
t
∆
Scos
ϕ
,
zawarta w nim energia:
∆
W=w
∆
V
:
∆Σ
∆
S
Podstawa walca:
W
wv t Scos
j Scos
t .
∆ =
∆ ∆
ϕ = ∆
ϕ∆
Widok
„elementar-
nego” walca
od strony
powierzchni
bocznej
ˆ
n
j
v
∆
t
ϕ
Zorientowany element powierzchni
∆Σ
∆
S
ˆ
n
Niech będzie wektorem
⊥
do elementu
∆Σ
∆
S
ˆ
n
wtedy:
ˆ
S .
∆
∆
S =
n
W
j Scos
t
t.
∆ = ∆
ϕ∆ = ⋅∆ ∆
j
S
W
t
∆
∆Φ =
= ⋅∆
∆
j
S .
Całkowity strumie
ń
energii przez
powierzchni
ę
Σ
S
S
d
.
Σ
Φ =
⋅
∫
S j
Średnia wartość strumienia energii przez
dowolną powierzchnię falową fali kulistej o
promieniu r. W tym przypadku wektor wodzący
danego punktu powierzchni || strumienia
energii .
(
)
∆
j
S
Konsekwencje tej obserwacji.
Ś
rednia warto
ść
strumienia energii
przez dowoln
ą
powierzchni
ę
falow
ą
fali kulistej
W tym przypadku wektor wodzący danego
punktu powierzchni || strumienia energii: .
∆
j
S
2
sr
sr
sr
sr
S
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
j dS
j S
j 4 r
1
y
v 4 r
2 r
y v.
2
Φ =
=
=
π =
ρ
ω
π = π ρ ω
∫
Fala kulista – zwi
ą
zek pomi
ę
dzy amplitud
ą
fali y
m
i promieniem powierzchni falowej r
PoniewaŜ całkowity strumień przez powierz-
chnię kuli o dowolnym promieniu jest stały, to
2
2
m
y r
const.
=
1
m
y
r
−
=
2
2
2
2
sr
m
m
m
1
1
y
r
.
2
2
−
= ρ
ω = ρ
ω
j
v
v
Średnia gęstość strumienia energii fali kulistej
maleje z kwadratem promienia powierzchni
falowej.
Gło
ś
no
ść
d
ź
wi
ę
ku
NatęŜenie
I
dźwięku jest średnią po czasie
gęstości strumienia energii, którą niesie fala
dźwiękowa.
Głośność dźwięku jest wielkością subiektywną .
Poziom głośności
L
:
0
log I / I .
=
L
I
0
– przyjęty umownie poziom odniesienia
głośności:
12
2
0
I
10
W / m ,
−
=
wybrany tak, aby próg słyszalności dla
częstości 10
3
Hz
odpowiadał
L
=0
.
13.12.10 g. 10
Jednostki gło
ś
no
ś
ci
Bele (B) i decybele:
(
)
0
log I / I .
=
L
Stosunek dwóch natęŜeń w decybelach:
1
2
I
10 log
.
I
=
L
WraŜenie dźwięku dla
(10
-12
– 10
1
) W/m
2
:
(
)
(
)
12
2
0
0
1
2
12
dla I 10
W / m :
10 log I / I
0,
dla I 10 W / m :
10 log 10 /10
120 db.
−
−
=
=
=
=
=
=
L
L
Ź
ródło I.W. Sawieliew
Wkłady z fizyki t. 2
Zale
Ŝ
no
ść
progu bólu i progu
słyszalno
ś
ci od cz
ę
sto
ś
ci d
ź
wi
ę
ku
Relacja pomiędzy
B
- fizyczną miarą bodźca, a
w
- reakcją układu biologicznego. Dotyczy ono
reakcji na bodźce takich zmysłów jak wzrok,
słuch czy odczucie temperatury.
Prawo Webera-Fechnera
Jest to prawo fenomenologiczne będące
wynikiem wielu obserwacji praktycznych
i znajdująca wiele zastosowań technicz-
nych.
Matematyczna postać prawa
Webera-Fechnera
w - reakcja układu biologicznego (wraŜenie
zmysłowe),
B
- natęŜenie danego bodźca,
B
0
- wartość progowa natęŜenia danego
bodźca (najniŜsza wartość bodźca
rejestrowanego przez ludzkie zmysły),
( dla dźwięku I
0
= 10
-12
W/m
2
).
0
0
B
I
k log
10 log
,
B
I
=
=
w
Ocena głośności dźwięku zaleŜy od
logarytmu ciśnienia akustycznego na
membranie bębenka ucha.
Inną konsekwencją prawa Webera-
Fechnera jest fakt, Ŝe aby uzyskać
liniową skalę, np. w pokrętle głośności
radia (dwa razy dalsza pozycja daje dwa
razy głośniejszy dźwięk), naleŜy stosować
potencjometr logarytmiczny.
Próg bólu
Próg słyszalności
Oszacowanie y
m
dla progów bólu
i słyszalno
ś
ci i
ν
=1000 Hz
+
+
(
)
2
m
a
y = p / qρ v
m
-1
2π
2π
2π ×1000 1/s
k =
=
=
18, 5 m
λ
v
340 m/s
ν
≃
3
1, 22
/
m
kg m
ρ
=
2
(
)
6
1
3
2
2
2
25
/
9, 6 10
18, 5
1, 22
/
340
/
pb
m
N m
y
m
m
kg m
m
s
−
−
=
≈
⋅
⋅
⋅
( )
5
2
12
1
3
2
2
2
2 10
/
7, 7 10
18, 5
1, 22
/
340
/
ps
m
N m
y
m
m
kg m
m
s
−
−
−
⋅
=
≈
⋅
⋅
⋅
Oszacowanie y
m
Dla
ν
= 1000 s
-1
(Hz)
NatęŜenie fali emitowanej przez punktowe
źródło dźwięku o mocy P i rozchodzącej się
w ośrodku izotropowym
2
P
P
I
.
S
4 R
= =
π
Nat
ęŜ
enie d
ź
wi
ę
ków pochodz
ą
cych
z dwóch
ź
ródeł punktowych
R
1
R
2
P
1
P
2
1
2
1
2
1
2
2
2
P
P
I
I
I
4 R
4 R
= + =
+
π
π
Fale rozchodz
ą
ce si
ę
w strunie
o g
ę
sto
ś
ci liniowej
µ
v
v
vT
.
λ =
=
→ ν =
ν
λ
v
F / .
=
µ
Związki pomiędzy charakterystykami fali:
Prędkość propagacji dźwięku wyraŜa się przez
wielkość siły F i liniową gęstość masy struny
µ
:
14.12.10 g 14
Najprostsza fal d
ź
wi
ę
kowa w rurze
13.12.10 g. 14
Fale stoj
ą
ce słupa powietrza
Fale stojące w rurach i
odpowiadające im stany
struny. Obydwa końce rury
otwarte. MoŜliwe jest
wzbudzenie kaŜdej
harmonicznej.
Fale stojące w rurze,
której jeden z końców
jest zamknięty. MoŜna
wzbudzić tylko
nieparzyste harmoniczne.
Długo
ś
ci fal stoj
ą
cych słupa
powietrza w rurze
/ 2
L / 2
L
λ
=
⇒
λ =
/ 2
L / 3
2L / 3
λ
=
⇒
λ =
/ 2
L / 4
L / 2
λ
=
⇒
λ =
/ 2
2L
4L
λ
=
⇒
λ =
/ 2
2L / 3
4L / 3
λ
=
⇒
λ =
13.12.10 g.14
Częstości fal stojących w słupach
powietrza otwartych z obydwu końców
n
1
n
v
nv
n
2L
ν =
=
= ν
λ
2
1
2
v
v
2
L
ν =
= = ν
λ
3
1
3
v
3v
3
2L
ν =
=
= ν
λ
4
1
4
v
4v
4
2L
ν =
=
= ν
λ
1
1
v
v
2L
ν =
=
λ
1
1
v
v
4L
ν =
=
λ
3
1
3v
3
4L
ν =
= ν
5
1
5v
5
4L
ν =
= ν
7
1
7v
7
4L
ν =
= ν
n
1
(2n 1)v
(2n 1)
4L
+
ν =
=
+ ν
Fala stoj
ą
ca w rurze zamkni
ę
tej
z jednego ko
ń
ca
1
1
v
v
2L
ν =
=
λ
2
1
2
v
v
2
L
ν =
= = ν
λ
3
1
3
v
3v
3
2L
ν =
=
= ν
λ
4
1
4
v
2v
4
L
ν =
=
= ν
λ
n
1
n
v
n
ν =
= ν
λ
fale stoj
ą
ce struny
Częstość