Elementy akustyki

Longitudinal,

Transverse

and Mixed Type Waves

Wave Types Sounds Amazing ASA Level Physics Revision University of Salford -
A Greater Manchester University

Fala podłu

ż

na w spr

ęż

ynie slinky

Rozpatrujemy fale podłu

ż

ne,

dlatego y(x,t) jest wychyleniem

podłu

ż

nym zale

ż

nym

od poło

ż

enia na osi x i

od momentu czasu t

Dźwięk

Dźwięk – mechaniczna fala podłużna
rozchodząca się w płynach: cieczach, ciałach
stałych i gazach.

Zakres słyszalny 20 Hz – 20 000 Hz

do 20 Hz

– infradźwięki,

powyżej 20 kHz – ultradźwięki.

http://paws.kettering.edu/~druss

ell/Demos/rad2/mdq.html

Moduł

ś

ci

ś

liwo

ś

ci płynu

p

B

.

V / V

∆

= −

∆

Względna zmiana objętości

∆

V/V jest

spowodowana przez zmianę ciśnienia

∆

p.

W układzie odniesienia, w którym impuls
spoczywa element objętości płynu porusza się
w stronę impulsu, który charakteryzowany jest
przez ciśnienie (p+

∆

p) i objętość (V+

∆

V).

Moduł ściśliwości objętościowej płynu:

Moduł

ś

ci

ś

liwo

ś

ci o

ś

rodka

p

B

.

V / V

∆

= −

∆

Ponieważ powiększeniu ciśnienia
towarzyszy zmniejszenie objętości (

∆

p>0,

∆

V<0), natomiast zmniejszeniu ciśnienia

towarzyszy zwiększenie objętości (

∆

p<0,

∆

V>0), aby B>0 należy pomnożyć iloraz

∆

p/(

∆

V/V) przez (-1).

Wymiar i jednostki

modułu

ś

ci

ś

liwo

ś

ci

[ ]

[ ]

[

] [ ]

[ ]

[ ]

1

2

2

2

p

F

p

B

p

V / V

V / V

S

L

1

M

/ L

M

.

T

T L





=

=

=

=

=





∆

∆





=

=





Jednostki: paskal 1N/1m

2

.

Moduł

ś

ci

ś

liwo

ś

ci jest proporcjonalny

do pochodnej ci

ś

nienia

wzgl

ę

dem obj

ę

to

ś

ci

V

0

p

dp

B

lim

V

.

V / V

dV

∆ →

∆

= −

= −

∆

Współczynnik

ś

ci

ś

liwo

ś

ci

κ

jest

odwrotno

ś

ci

ą

modułu

ś

ci

ś

liwo

ś

ci

1 dV

.

V dp

κ = −

Współczynnik ściśliwości

κ

i moduł

ściśliwości B charakteryzują dany ośrodek.

Jednostki w jakich mierzone jest

ci

ś

nienie i moduł

ś

ci

ś

liwo

ś

ci

Jednostka ciśnienia paskal Pa:

2

1Pa

1N / m .

=

[ ]

[ ]

[

] [ ]

p

p

B

p .

V / V

V / V

∆

∆





=

=

= ∆





∆

∆





Moduł ściśliwości jest mierzony w paskalach.

Oscylacje harmoniczne

( )

(

)

(

)

m

m

m

y x, t

y cos kx

t

2

2

2

y cos

x

t

y cos

x

vt

.

T

=

− ω =

π

π

π









=

−

=

−









λ

λ









Zmiana ciśnienia płynu spowodowana

rozchodzeniem się fali akustycznej:

V

S y

y

p

B

B

B

.

V

S x

x

∆

∆

∆

∆ = −

= −

= −

∆

∆

Wychylenie y jest równoległe do osi x.

y

m

y

m

Fala akustyczna biegnąca w rurze prędkością

v

– przemieszczający się okresowy układ

zagęszczeń i rozrzedzeń. Zdjęcie migawkowe

Rozciągnięty
poziomo widok
krótkiego
odcinka rury.
Wychylenie
warstwy

∆

x

z

położenia
równowagi,

s

m

maksymalne jej
wychylenie.

p

B y / x.

∆ = − ∂ ∂

W granicy

∆

x

→

0

(

)

m

y

y cos kx

t .

=

− ω

(

)

m

y

p

B

Bky sin kx

t .

x

∂

∆ = −

=

− ω

∂

Ciśnienie zmienia się harmonicznie.

(

)

m

y

ky sin kx

t .

x

∂ = −

− ω

∂

Pr

ę

dko

ść

propagacji d

ź

wi

ę

ku

m

v

B /

.

=

ρ

ρ

m

– gęstość masy płynu na zewnątrz

strefy zgęszczenia.

Dla liny:

v

T /

.

=

µ

Dla płynu:

2

m

v

B.

ρ =

Wymiar fizyczny

m

B /

.

ρ

[ ]

1/ 2

2

1/ 2

2

m

3

1/ 2

3

2

2

2

ML / T

F / S

L

B /

M

m / V

L

M

L

L / T

v .

LT

M





















ρ

=

=

=

































=

⋅

=

=











(

)

a

m

p

p

Bky sin kx

t .

∆ =

− ω

2

a

m

m

m

p

Bky

v

ky .

=

= ρ

Amplituda ciśnienia:

Falę dźwięku można traktować jako falę
przemieszczeń albo jako falę ciśnienia:

(

)

a

p

p sin kx

t .

∆ =

− ω

Wymiar fizyczny p

a

[ ]

2

3

2

a

m

m

2

3

2

4

2

L M 1

ML

M

p

v

ky

L

.

T L L

T L

T L





=

ρ

=

=

=





[ ]

2

2

2

F

ML / T

M

p

.

S

L

T L

 

=

=

=

 

 

Wymiar ciśnienia:

[ ] [ ]

a

p

p .

=

D

ź

wi

ę

k

Fale sprężyste rozchodzące się w powietrzu o
częstości z zakresu 16-20 000 Hz odbierane
przez ucho człowieka robią wrażenie dźwięku.

Rzeczywisty dźwięk nie jest prostym
drganiem harmonicznym lecz złożeniem drgań
harmonicznych o określonym zestawie
częstości. Ten zestaw nazywa się widmem
akustycznym.

Odebrane dźwięki rozróżniane są przez ludzi
według wysokości, barwy i głośności.

Typy zestawów cz

ę

sto

ś

ci

• W widmie występują drgania o wszystkich
częstościach z przedziału od

ν

do

ν

’ – widmo

ciągłe. Są to szumy.

• Dźwięk składa się z drgań o częstościach
dyskretnych

ν

1

,

ν

2

,

ν

3

, itd. – widmo liniowe.

Dźwięk taki nazywa się wielotonem. Najniższa
częstość wielotonu (np.

ν

1

) nazywa się

częstością podstawową. Względne natężenie
przytonów (dźwięku o częstościach

ν

2

,

ν

3

, itd.)

określa barwę dźwięku.

Fala w o

ś

rodku spr

ęż

ystym

Niech w ośrodku sprężystym w kierunku

x

rozchodzi się fala:

( )

(

)

m

y x, t

y cos

t

kx

.

=

ω −

+ α

Wydzielimy w ośrodku obszar

Ω

∆

V

o objętości

∆

V

, na tyle małej, że we wszystkich punktach

tego obszaru prędkość ruchu i odkształcenie
są takie same i równe odpowiednio

∂

y(x,t)/

∂

t

i

∂

y(x,t)/

∂

x

.

ρ

m

jest gęstością masy ośrodka.

Energia fali spr

ęż

ystej

Energia kinetyczna o środka zgromadzona w
obszarze

Ω

∆

V

:

2

m

k

y

W

V.

2

t

ρ

∂





∆

=

∆





∂





Energia sprężysta o środka zgromadzona w
obszarze

Ω

∆

v

:



2

p

parametr

deformacji

E

y

W

V.

2

x

∂





∆

=

∆





∂





Moduł Younga

Współczynnik E nazywa się modułem Younga.
Związany jest on z gęstością masy ośrodka
i prędkością fazową v fali:

2

m

E

v .

= ρ

Moduł Younga jest charakterystyką
mechaniczną ciał stałych.

Wymiar modułu Younga

2

p

E

y

W

V

2

x

∂





∆

=

∆





∂





p

2

2 W

E

y

V

x

∆

=

∂





∆





∂





[ ]

2

2

p

2

m

2

3

2

W

E

ML / T

M

E

v

V

L

LT

y

V

x









∆

 









=

=

=

=

= ρ





 





 

∂





∆









∂













[ ]

2

2

m

3

2

2

M L

M

v

p .

L T

LT





ρ

=

=

=





Całkowita energia obszaru

Ω

∆

V

2

2

2

m

k

p

k

y

y

W

W

W

W

v

V.

2

t

x





ρ

∂

∂









∆ = ∆

+ ∆

= ∆

=

+

∆













∂

∂

















Gęstość energii w:

2

2

2

m

W

y

y

w

v

.

V

2

t

x





ρ

∆

∂

∂









=

=

+













∆

∂

∂

















G

ę

sto

ść

energii o

ś

rodka spr

ęż

ystego

dla fali harmonicznej

( )

(

)

( )

( )



(

)

m

m

y x, t

y

sin kx

t ,

t

y x, t

v

y

vk sin kx

t .

x

ω

∂

= ω

− ω

∂

∂

= −

− ω

∂

( )

(

)

2

2

m

m

w x, t

y

sin

kx

t .

= ρ

ω

− ω

Średnia gęstość energii:

2

sr

m

m

w

y

/ 2 .

= ρ

ω

Strumie

ń

energii

Ilość energii

∆

W

przepływającej w interwale

czasu

∆

t

przez powierzchnię nazywamy

strumieniem energii

Φ

:

W

.

t

∆

Φ =

∆

Strumień energii jest wielkością wektorową.

Jednostki strumienia: W/s.

G

ę

sto

ść

strumienia energii

Strumień energii jest wielkością zależną od
punktu w przestrzeni, w którym jest on
mierzony.

Gęstość strumienia energii j:

Energia przepływająca przez element

powierzchni o jednostkowym polu

znajdujący się w danym punkcie ośrodka.

Element ten jest prostopadły do kierunku,
w którym przenoszona jest energia.

Wzór okre

ś

laj

ą

cy wielko

ść

g

ę

sto

ś

ci strumienia energii

∆

S

⊥

⊥⊥

⊥

- pole powierzchni elementu prostopadłego

do kierunku rozchodzenia się fali. W czasie

∆

t

przepływa energia

∆

W:

W

j

.

S

S

t

⊥

⊥

∆Φ

∆

=

=

∆

∆ ∆

Wielko

ść

g

ę

sto

ś

ci strumienia energii

S

⊥

∆

v



v

∆

t

Przez powierzchnię

∆

S

⊥

podstawy

walca w interwale czasu

∆

t

prze-

noszona jest energia

∆

W

zawarta

wewnątrz walca o polu podstawy

∆

S

⊥

i wysokości v

∆

t.

Jeżeli roz-

miary walca są na tyle małe, że
gęstość energii w nim zawartej
jest stała, to:

W

w S v t .

⊥

∆ = ∆

∆

w S v t

W

j

vw .

S

t

S

t

⊥

⊥

⊥

∆

∆

∆

=

=

=

∆ ∆

∆ ∆

Wektor g

ę

sto

ś

ci strumienia energii

v



- wektor o długości równej prędkości
fazowej fali i kierunku zgodnym z
kierunkiem jej rozchodzenia się.

Wektor gęstości strumienia energii:

w .

=

j

v





Średnia wartość tego wektora:

2

2

sr

sr

m

m

1

w

y

.

2

=

= ρ

ω

j

v

v







Σ

powierzchnia, przez któr

ą

przepływa energia

Σ

(t+

∆

t)

∆Σ

∆

S

v

∆

t

Σ

(t)

Dzielimy powierzchnię

Σ

,

przez którą przepływa
energia, na elementy

∆Σ

∆

S

Elementarny walec, przez
który przepływa energia

Całkowity strumie

ń

energii

przepływaj

ą

cej przez powierzchni

ę

Znamy w każdym punkcie powierzchni

Σ

S

o

polu S. Rozkładamy powierzchnię na elementy

∆Σ

∆

S

o polu

∆

S

.

j



Objętość walca:

∆

V=v

∆

t

∆

Scos

ϕ

,

zawarta w nim energia:

∆

W=w

∆

V

:

∆Σ

∆

S

Podstawa walca:

W

wv t Scos

j Scos

t .

∆ =

∆ ∆

ϕ = ∆

ϕ∆

Widok
„elementar-
nego” walca
od strony
powierzchni
bocznej

ˆ

n

j



v

∆

t

ϕ

Zorientowany element powierzchni

∆Σ

∆

S

ˆ

n

Niech będzie wektorem

⊥

do elementu

∆Σ

∆

S

ˆ

n

wtedy:

ˆ

S .

∆

∆

S =

n



W

j Scos

t

t.

∆ = ∆

ϕ∆ = ⋅∆ ∆

j

S





W

t

∆

∆Φ =

= ⋅∆

∆

j

S .





Całkowity strumie

ń

energii przez

powierzchni

ę

Σ

S

S

d

.

Σ

Φ =

⋅

∫

S j

 

Średnia wartość strumienia energii przez
dowolną powierzchnię falową fali kulistej o
promieniu r. W tym przypadku wektor wodzący
danego punktu powierzchni || strumienia
energii .

(

)

∆

j

S







Konsekwencje tej obserwacji.

Ś

rednia warto

ść

strumienia energii

przez dowoln

ą

powierzchni

ę

falow

ą

fali kulistej

W tym przypadku wektor wodzący danego
punktu powierzchni || strumienia energii: .

∆

j

S







2

sr

sr

sr

sr

S

2

2

2

2

2

2

m

m

m

m

j dS

j S

j 4 r

1

y

v 4 r

2 r

y v.

2

Φ =

=

=

π =





ρ

ω

π = π ρ ω









∫

Fala kulista – zwi

ą

zek pomi

ę

dzy amplitud

ą

fali y

m

i promieniem powierzchni falowej r

Ponieważ całkowity strumień przez powierz-
chnię kuli o dowolnym promieniu jest stały, to

2

2

m

y r

const.

=

1

m

y

r

−

=

2

2

2

2

sr

m

m

m

1

1

y

r

.

2

2

−

= ρ

ω = ρ

ω

j

v

v







Średnia gęstość strumienia energii fali kulistej
maleje z kwadratem promienia powierzchni
falowej.

Gło

ś

no

ść

d

ź

wi

ę

ku

Natężenie

I

dźwięku jest średnią po czasie

gęstości strumienia energii, którą niesie fala
dźwiękowa.

Głośność dźwięku jest wielkością subiektywną .
Poziom głośności

L

:

0

log I / I .

=

L

I

0

– przyjęty umownie poziom odniesienia

głośności:

12

2

0

I

10

W / m ,

−

=

wybrany tak, aby próg słyszalności dla
częstości 10

3

Hz

odpowiadał

L

=0

.

13.12.10 g. 10

Jednostki gło

ś

no

ś

ci

Bele (B) i decybele:

(

)

0

log I / I .

=

L

Stosunek dwóch natężeń w decybelach:

1

2

I

10 log

.

I

=

L

Wrażenie dźwięku dla

(10

-12

– 10

1

) W/m

2

:

(

)

(

)

12

2

0

0

1

2

12

dla I 10

W / m :

10 log I / I

0,

dla I 10 W / m :

10 log 10 /10

120 db.

−

−

=

=

=

=

=

=

L

L

Ź

ródło I.W. Sawieliew

Wkłady z fizyki t. 2

Zale

ż

no

ść

progu bólu i progu

słyszalno

ś

ci od cz

ę

sto

ś

ci d

ź

wi

ę

ku

Relacja pomiędzy

B

- fizyczną miarą bodźca, a

w

- reakcją układu biologicznego. Dotyczy ono

reakcji na bodźce takich zmysłów jak wzrok,
słuch czy odczucie temperatury.

Prawo Webera-Fechnera

Jest to prawo fenomenologiczne będące
wynikiem wielu obserwacji praktycznych
i znajdująca wiele zastosowań technicz-
nych.

Matematyczna postać prawa

Webera-Fechnera

w - reakcja układu biologicznego (wrażenie
zmysłowe),

B

- natężenie danego bodźca,

B

0

- wartość progowa natężenia danego

bodźca (najniższa wartość bodźca
rejestrowanego przez ludzkie zmysły),

( dla dźwięku I

0

= 10

-12

W/m

2

).

0

0

B

I

k log

10 log

,

B

I

=

=

w

Ocena głośności dźwięku zależy od
logarytmu ciśnienia akustycznego na
membranie bębenka ucha.

Inną konsekwencją prawa Webera-
Fechnera jest fakt, że aby uzyskać
liniową skalę, np. w pokrętle głośności
radia (dwa razy dalsza pozycja daje dwa
razy głośniejszy dźwięk), należy stosować
potencjometr logarytmiczny.

Próg bólu

Próg słyszalności

Oszacowanie y

m

dla progów bólu

i słyszalno

ś

ci i

ν

=1000 Hz

+

+

(

)

2

m

a

y = p / qρ v

m

-1

2π

2π

2π ×1000 1/s

k =

=

=

18, 5 m

λ

v

340 m/s

ν

≃

3

1, 22

/

m

kg m

ρ

=

2

(

)

6

1

3

2

2

2

25

/

9, 6 10

18, 5

1, 22

/

340

/

pb

m

N m

y

m

m

kg m

m

s

−

−

=

≈

⋅

⋅

⋅

( )

5

2

12

1

3

2

2

2

2 10

/

7, 7 10

18, 5

1, 22

/

340

/

ps

m

N m

y

m

m

kg m

m

s

−

−

−

⋅

=

≈

⋅

⋅

⋅

Oszacowanie y

m

Dla

ν

= 1000 s

-1

(Hz)

Natężenie fali emitowanej przez punktowe

źródło dźwięku o mocy P i rozchodzącej się

w ośrodku izotropowym

2

P

P

I

.

S

4 R

= =

π

Nat

ęż

enie d

ź

wi

ę

ków pochodz

ą

cych

z dwóch

ź

ródeł punktowych

R

1

R

2

P

1

P

2

1

2

1

2

1

2

2

2

P

P

I

I

I

4 R

4 R

= + =

+

π

π

Fale rozchodz

ą

ce si

ę

w strunie

o g

ę

sto

ś

ci liniowej

µ

v

v

vT

.

λ =

=

→ ν =

ν

λ

v

F / .

=

µ

Związki pomiędzy charakterystykami fali:

Prędkość propagacji dźwięku wyraża się przez

wielkość siły F i liniową gęstość masy struny

µ

:

14.12.10 g 14

Najprostsza fal d

ź

wi

ę

kowa w rurze

13.12.10 g. 14

Fale stoj

ą

ce słupa powietrza

Fale stojące w rurach i
odpowiadające im stany
struny. Obydwa końce rury
otwarte. Możliwe jest
wzbudzenie każdej
harmonicznej.

Fale stojące w rurze,
której jeden z końców
jest zamknięty. Można
wzbudzić tylko
nieparzyste harmoniczne.

Długo

ś

ci fal stoj

ą

cych słupa

powietrza w rurze

/ 2

L / 2

L

λ

=

⇒

λ =

/ 2

L / 3

2L / 3

λ

=

⇒

λ =

/ 2

L / 4

L / 2

λ

=

⇒

λ =

/ 2

2L

4L

λ

=

⇒

λ =

/ 2

2L / 3

4L / 3

λ

=

⇒

λ =

13.12.10 g.14

Częstości fal stojących w słupach

powietrza otwartych z obydwu końców

n

1

n

v

nv

n

2L

ν =

=

= ν

λ

2

1

2

v

v

2

L

ν =

= = ν

λ

3

1

3

v

3v

3

2L

ν =

=

= ν

λ

4

1

4

v

4v

4

2L

ν =

=

= ν

λ

1

1

v

v

2L

ν =

=

λ

1

1

v

v

4L

ν =

=

λ

3

1

3v

3

4L

ν =

= ν

5

1

5v

5

4L

ν =

= ν

7

1

7v

7

4L

ν =

= ν

n

1

(2n 1)v

(2n 1)

4L

+

ν =

=

+ ν

Fala stoj

ą

ca w rurze zamkni

ę

tej

z jednego ko

ń

ca

1

1

v

v

2L

ν =

=

λ

2

1

2

v

v

2

L

ν =

= = ν

λ

3

1

3

v

3v

3

2L

ν =

=

= ν

λ

4

1

4

v

2v

4

L

ν =

=

= ν

λ

n

1

n

v

n

ν =

= ν

λ

fale stoj

ą

ce struny

Częstość