Matematyka A, kolokwium, 24 listopada 2010, 18:05 – 19:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow

serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) Obliczy´c pochodne naste

,

puja

,

cych funkcji:

a. (3 pt.) ln tg(3x)

,

b. (4 pt.)

q

1+cos x
1−cos x

c. (3 pt). y = x

(x

2

)

.

2. (4 pt.) Znale´z´c r´ownanie prostej L , kt´ora jest styczna do wykresu funkcji x

3

− 3x

2

+ 2x

w punkcie (1, 0) .

(1 pt.) Jaki warunek spe lniaja

,

liczby k, m ∈ R , je´sli wektory [1, k] i [1, m] sa

,

prostopad le?

(5 pt.) Na wykresie funkcji x

3

− 3x

2

+ 2x znale´z´c punkt (x

0

, y

0

) , w kt´orym styczna jest

prostopad la do prostej L .

3. (3 pt.) Sformu lowa´c twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej.

(1 pt.) Niech f (x) = sin x − cos x . Obliczy´c f (0) i f (

π

3

) .

(6 pt.) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x

1

, x

2

∈ 0,

π

2

zachodzi nier´owno´s´c

|f (x

1

) − f (x

2

)| ≥ |x

1

− x

2

| .

4. (3 pt.) Poda´c definicje

,

pochodnej funkcji f w punkcie p .

(7 pt.) Obliczy´c pochodna

,

f

0

(1) , je´sli f (x) = (

√

x − 1) · tg

πx

4

· log

10

(x

3

+ 2x

2

+ 3x + 94) .

5. (8 pt.) Znale´z´c granice

,

lim

x→∞

4

q

x

3

− 2x + 4x

4

+ 1 + x

2

·

q

x

2

+ 12 −

q

x

2

− 1



.

(2 pt.) Czy istnieje taka liczba a ∈ R , ˙ze je´sli x > a , to

q

x

2

+ 12 −

q

x

2

− 1 > sin

π

3

?

Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie

,

mo˙ze przyda´c):

sin(3x

2

)

0

= 6x cos(3x

2

) ,

ln(cos x)

0

= − tg x .