Matematyka A, kolokwium, 24 listopada 2010, 18:05 – 19:55
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow
serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (10 pt.) Obliczy´c pochodne naste
,
puja
,
cych funkcji:
a. (3 pt.) ln tg(3x)
,
b. (4 pt.)
q
1+cos x
1−cos x
c. (3 pt). y = x
(x
2
)
.
2. (4 pt.) Znale´z´c r´ownanie prostej L , kt´ora jest styczna do wykresu funkcji x
3
− 3x
2
+ 2x
w punkcie (1, 0) .
(1 pt.) Jaki warunek spe lniaja
,
liczby k, m ∈ R , je´sli wektory [1, k] i [1, m] sa
,
prostopad le?
(5 pt.) Na wykresie funkcji x
3
− 3x
2
+ 2x znale´z´c punkt (x
0
, y
0
) , w kt´orym styczna jest
prostopad la do prostej L .
3. (3 pt.) Sformu lowa´c twierdzenie Lagrange’a o warto´sci ´sredniej.
(1 pt.) Niech f (x) = sin x − cos x . Obliczy´c f (0) i f (
π
3
) .
(6 pt.) Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych liczb rzeczywistych x
1
, x
2
∈ 0,
π
2
zachodzi nier´owno´s´c
|f (x
1
) − f (x
2
)| ≥ |x
1
− x
2
| .
4. (3 pt.) Poda´c definicje
,
pochodnej funkcji f w punkcie p .
(7 pt.) Obliczy´c pochodna
,
f
0
(1) , je´sli f (x) = (
√
x − 1) · tg
πx
4
· log
10
(x
3
+ 2x
2
+ 3x + 94) .
5. (8 pt.) Znale´z´c granice
,
lim
x→∞
4
q
x
3
− 2x + 4x
4
+ 1 + x
2
·
q
x
2
+ 12 −
q
x
2
− 1
.
(2 pt.) Czy istnieje taka liczba a ∈ R , ˙ze je´sli x > a , to
q
x
2
+ 12 −
q
x
2
− 1 > sin
π
3
?
Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie
,
mo˙ze przyda´c):
sin(3x
2
)
0
= 6x cos(3x
2
) ,
ln(cos x)
0
= − tg x .