MATEMATYKA KROK PO KROKU

PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKI

W KLASACH I – III GIMNAZJUM

Autorzy: prof. dr hab. Jacek M. Jêdrzejewski

prof. dr hab. Ryszard J. Pawlak

mgr Kinga Ga³¹zka

mgr Edward Lesiak

Program zosta³ zatwierdzony i dopuszczony

do u¿ytku szkolnego przez Ministra Edukacji Narodowej.

Numer dopuszczenia DKW-4014-91/99.

MATEMATYKA KROK PO KROKU. PROGRAM NAUCZANIA 

MATEMATYKI W KLASACH I-III GIMNAZJUM jest oparty na 

Podstawie programowej kszta³cenia ogólnego dla szkó³ podsta-

wowych i gimnazjów.

© Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne

RES POLONA Sp. z o.o.

ISBN 83-7071-158-8

Wydawca:

Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o.

90-613 £ódŸ, ul. Gdañska 80, tel. (0-42) 636-36-34,

fax (0-42) 637-30-10

e-mail: info@res-polona.com.pl

Recenzenci

dr Alicja Molêda

mgr Leokadia Koper

Projekt ok³adki

Barbara Zawadzka

Redaktor

Alicja Laskowska

Redaktor techniczny

Zofia Wasiak

Wszelkie  prawa  zastrze¿one.  Ksi¹¿ka  ta  zarówno

w c a³oœc i,  jak  i  we  fragmentac h  nie  mo¿e  byæ  re-

produkowana w sposób elektroniczny, fotograficz-

ny i inny bez pisemnego zezwolenia Wydawcy.

Spis treœci

Za³o¿enia ogólne  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5

Szczegó³owe cele kszta³cenia

matematycznego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

5

Za³o¿enia szczegó³owe programu . . . . . . . . . 

6

Propozycje metod oceny osi¹gniêæ uczniów . 

9

Ogólny uk³ad materia³u w gimnazjum. . . . . .  14

Orientacyjny przydzia³ godzin. . . . . . . . . . . .  15

Materia³ nauczania

Klasa I

Liczby wymierne i niewymierne . . . . . . . . . .  19

Wyra¿enia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . .  25

Równania i nierównoœci. . . . . . . . . . . . . . . . .  27

Zbieranie i porz¹dkowanie danych  . . . . . . . .  29

Zwi¹zki miarowe w figurach . . . . . . . . . . . . .  30

Klasa II

Liczby rzeczywiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  37

Wyra¿enia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . .  39

Funkcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  40

Równania i nierównoœci. . . . . . . . . . . . . . . . .  41

Relacje miêdzy figurami

geometrycznymi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  43

Pole figury p³askiej  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  47

Zbieranie i porz¹dkowanie danych  . . . . . . . .  48

Klasa III

Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Wyra¿enia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Równania, nierównoœci

i uk³ady równañ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Doœwiadczenia losowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Przekszta³cenia geometryczne . . . . . . . . . . . . 59

Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie   . . . . . . . . . . . . 61

Figury przestrzenne  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5

Za³o¿enia ogólne

Opracowuj¹c program „Matematyka krok po kroku” chcie-

liœmy,  aby  uczniowie  „krok  po  kroku"  zdobywali  wiedzê  mate-

matyczn¹, aby matematyka wyda³a im siê nauk¹ ciekaw¹, mo¿liw¹

do zrozumienia i opanowania. Mamy wiêc nadziejê, ¿e program

ten bêdzie programem przyjaznym zarówno dla ucznia jak i dla

nauczyciela. Nasz program nie jest nadmiernie prze³adowany treœ-

ciami. D¹¿ymy do tego, by uczniowie zdobywali nie tylko wiado-

moœci, ale przede wszystkim umiejêtnoœci pozwalaj¹ce na szeroko

pojête wykorzystanie matematyki. Chcemy, aby matematyka roz-

budza³a wyobraŸniê, pozwala³a spostrzegaæ zjawiska zachodz¹ce

w otaczaj¹cej nas rzeczywistoœci.

Program „Matematyka krok po kroku” zosta³ opracowany dla

klas  I­III  gimnazjum.  Jest  on  tak  skonstruowany,  aby  mo¿liwa

by³a realizacja wszystkich zagadnieñ przewidzianych dla edukacji

matematycznej w Podstawie programowej kszta³cenia ogólnego,

a uczeñ uzyska³ przewidziane tam umiejêtnoœci.

Tworz¹c program, bardzo dok³adnie analizowaliœmy Podstawê

programow¹ dla szko³y podstawowej i oparliœmy siê na umiejêt-

noœciach,  jakie  powinni  zdobyæ  wszyscy  uczniowie  koñcz¹cy

szko³ê podstawow¹.  Tak  wiêc  program  „Matematyka  krok  po

kroku” mo¿e byæ realizowany w ka¿dym gimnazjum, niezale¿nie

od tego, wed³ug którego programu (opartego na Podstawie pro-

gramowej)  byli  nauczani  uczniowie  w  szkole  podstawowej.

Zak³adaliœmy,  ¿e  zgodnie  z  Ramowymi  planami  nauczania  pro-

ponowanymi  przez  MEN,  tygodniowa  liczba  godzin  w  cyklu

bêdzie wynosi³a 12 (4 godziny w ka¿dej klasie).

Realizacja programu „Matematyka krok po kroku” nie wymaga

specjalnych warunków bazowych. Niemniej jednak uwa¿amy, ¿e

do  w³aœciwej  realizacji  programu  niezbêdne  jest  wykorzystanie

podstawowych pomocy dydaktycznych, w które wyposa¿ona jest

ka¿da szko³a. Zachêcamy równie¿ nauczycieli i uczniów do ko-

rzystania ze szkolnych programów informatycznych i pos³ugiwa-

nia siê dostêpnymi komputerowymi programami matematyczny-

mi,  a  tak¿e  bazami  danych  i  arkuszami  kalkulacyjnymi.  Wyko-

rzystanie  ich  w  pracy  dydaktycznej  uatrakcyjni  proces  naucza-

nia­uczenia  siê,  a  tak¿e  wprowadzi  element  zaciekawienia,

pozwalaj¹cy na wskazanie zastosowañ matematyki.

  Realizuj¹c  program  „Matematyka  krok  po  kroku”,  mo¿na

bêdzie  wykorzystywaæ  ró¿nego  rodzaju  materia³y  napisane  do

nowego typu szko³y, jakim jest gimnazjum. Najdogodniejsz¹ jed-

nak  realizacjê  tego  programu  zapewni¹  materia³y  dydaktyczne

opracowane i wydane pod wspólnym tytu³em „Matematyka krok

po kroku”, które zawieraæ bêd¹ oprócz podrêcznika i poradnika

dla nauczyciela równie¿ dodatkowe materia³y pomocnicze.

 

Szczegó³owe cele kszta³cenia matematycznego

Nauczanie matematyki w szkole nowego typu, jakim jest gim-

nazjum, ma za zadanie nie tylko zapoznaæ uczniów z podstawo-

wymi pojêciami matematycznymi i ich w³asnoœciami, ale przede

wszystkim powinno byæ nakierowane na wspieranie rozwoju ucz-

nia.

Nale¿y d¹¿yæ wiêc do tego, aby ucz¹c matematyki pomóc ucz-

niowi zrozumieæ i poznaæ œwiat poprzez:

­ rozwijanie jego uzdolnieñ i zainteresowañ,

­ rozwijanie samodzielnego, logicznego i twórczego myœlenia,

­ rozwijanie  umiejêtnoœci  wyci¹gania  wniosków,  stawiania

hipotez i ich weryfikowania,

6

­ kszta³cenie  umiejêtnoœci  precyzyjnego  wyra¿ania  myœli,

stawiania problemów i ich rozwi¹zywania w twórczy sposób.

Nie nale¿y jednak rezygnowaæ z realizacji typowo matematycz-

nych celów nauczania, jakimi s¹:

­ poznanie podstawowych pojêæ i faktów matematycznych,
­ rozumienie poznanych pojêæ i faktów matematycznych,
­ stosowanie poznanych faktów matematycznych do rozwi¹zy-

wania problemów matematycznych,

­ analizowanie otrzymanych rozwi¹zañ.
Nikogo nie trzeba przekonywaæ, ¿e matematykê odnajdujemy

w niemal ka¿dej dziedzinie wiedzy. Przyk³ady prostych zastoso-

wañ matematyki widzimy w ka¿dej transakcji kupna i sprzeda¿y.

Trudniejsze do zauwa¿enia s¹ zastosowania matematyki do teore-

tycznego opisu zjawisk fizycznych, b¹dŸ opisu zachowañ grup lu-

dzi, czy analizy ekonomicznej wielu zdarzeñ z ¿ycia gospodarcze-

go.  Dalszymi  celami  kszta³cenia  matematycznego  s¹  zatem  te,

które  pozornie  nie  wi¹¿¹  siê  z  teoretycznymi  zagadnieniami

matematyki. Wœród nich wymienimy:

­ matematyzowanie danych sytuacji (z ró¿nych dziedzin nauki

i ¿ycia),

­ stosowanie  metod  matematycznych  do  opisu  i  interpretacji

danej sytuacji,

­ przeprowadzanie  dyskusji  o  sposobach  rozwi¹zania  pro-

blemów z ró¿nych dziedzin ¿ycia,

­ poszukiwanie  pojêæ  i  formu³owanie  ich  definicji,  przydat-

nych do rozwi¹zania danego problemu,

­ wykorzystanie nowoczesnych œrodków technicznych,
­ rozumienie i stosowanie pojêæ statystyki matematycznej.

Szczegó³owe  wskazówki  do  realizacji  wy¿ej  wymienionych

celów podamy w poradniku metodycznym dla nauczyciela.

 

Za³o¿enia szczegó³owe programu

Program „Matematyka krok po kroku” jest tak skonstruo-

wany, ¿e przy jego realizacji najpierw uczniowie przypominaj¹ so-

bie podstawowe, wczeœniej poznane, pojêcia i ich w³asnoœci, a do-

piero potem poszerzaj¹ swoje podstawy matematyczne i rozwijaj¹

zdolnoœci obejmuj¹ce œcis³e i precyzyjne rozumowanie, umiejêt-

noœæ  widzenia  matematyki  w  problemach  ¿ycia  codziennego,

a tak¿e  umiejêtnoœæ  poszukiwania  rozwi¹zañ  tych  problemów

w drodze matematycznego rozumowania.

Przy  realizacji  programu  nie  narzucamy  stosowania  okreœlo-

nych metod nauczania. Tylko nauczyciel jest w stanie okreœliæ, ja-

kie metody powinny byæ zastosowane w pracy z uczniami. Zwra-

camy jednak uwagê na to, ¿e stosowanie metod aktywizuj¹cych

pracê  ucznia,  jak  i  wprowadzanie  czynnoœciowego  nauczania

matematyki, mo¿e spowodowaæ lepsze zrozumienie treœci, a przez

to ³atwiejsze opanowanie materia³u i nabycie niezbêdnych umiejêt-

noœci.

Aby  uczeñ  móg³  sprawnie  funkcjonowaæ  w  rzeczywistoœci,

nale¿y przygotowaæ go równie¿ do:

­ samodzielnego  uczenia  siê,  wykorzystywania  dostêpnych

podrêczników, encyklopedii i innych publikacji,

­ odczytywania i interpretowania innych ni¿ tekstowe Ÿróde³

informacji,

­ wyci¹gania wniosków i uogólniania,

­ dokonywania refleksji i oceny w³asnego procesu uczenia siê,

7

­ wspó³pracy w grupie i organizowania jej pracy,

­ efektywnego komunikowania siê w ró¿nych sytuacjach.

Nie mo¿na wiêc zapominaæ o stwarzaniu takich sytuacji dydak-

tycznych, dziêki którym uczniowie dostrzeg¹ wokó³ siebie proble-

my,  które  mo¿na  analizowaæ,  wykorzystuj¹c  wiedzê  matema-

tyczn¹ (np. analizowanie informacji prasowych dotycz¹cych za-

gadnieñ  ekologicznych).  Na  lekcjach  matematyki  proponujemy

równie¿ rozwi¹zywanie zadañ zwi¹zanych z pojêciami fizyczny-

mi, chemicznymi, geograficznymi, biologicznymi i innymi.

Szczególn¹ uwagê pragniemy zwróciæ te¿ na zastosowania fak-

tów  matematycznych  do  opisywania  i  interpretacji  problemów

ekonomicznych. Zachêcamy uczniów, aby korzystaj¹c z ró¿nego

rodzaju  informacji  (np.  podanych  przez  nauczyciela,  zawartych

w podrêczniku,  roczniku  statystycznym)  opisywali  je  jêzykiem

matematyki i wyci¹gali wnioski. Mog¹ to byæ problemy zwi¹zane

np. z oprocentowaniem wk³adów, opodatkowaniem. Warto w tym

miejscu wprowadziæ pojêcie funkcji i zastosowaæ je do opisu i in-

terpretacji tych zjawisk.

W  gimnazjum  przyzwyczajamy  uczniów  do  samodzielnego

czytania tekstów matematycznych, zwracaj¹c uwagê na umiejêt-

noœæ wyszukiwania przez ucznia potrzebnego mu do pracy frag-

mentu. Szczególn¹ uwagê zwracamy na czytanie ze zrozumieniem

definicji oraz twierdzeñ. D¹¿ymy przy tym do wykszta³cenia umie-

jêtnoœci  budowania  przyk³adów  i  kontrprzyk³adów  zwi¹zanych

z danymi  definicjami  i  twierdzeniami.  Zachêcamy  uczniów  do

samodzielnego formu³owania definicji oraz analizy poprawnoœci

tych  definicji.  Przyzwyczajamy  uczniów  do  sprawdzania,  czy

spe³nione  s¹  za³o¿enia  twierdzenia.  Analizujemy  sytuacje,  gdy

odwrócenie ról za³o¿enia i tezy nie jest mo¿liwe. Zwracamy uwagê

na ró¿nicê pomiêdzy twierdzeniem a hipotez¹.

Pracuj¹c z programem „Matematyka krok po kroku”, nauczy-

ciele mog¹ realizowaæ zagadnienia zwi¹zane ze œcie¿kami eduka-

cyjnymi, proponowanymi w Podstawie programowej kszta³cenia

ogólnego, na lekcjach matematyki, b¹dŸ w czasie odrêbnych zajêæ

modu³owych  (odpowiednie  przyk³ady  bêd¹  przedstawione

w specjalnych materia³ach dydaktycznych dla nauczycieli). I tak

elementy „Edukacji filozoficznej” i edukacji „Kultura polska na tle

tradycji  œródziemnomorskiej”  mo¿na  w³¹czyæ  do  zagadnieñ  po-

œwiêconych  historii  matematyki.  Najwybitniejsi  przedstawiciele

filozofii staro¿ytnej byli przecie¿ z regu³y wybitnymi matematyka-

mi.  Poszczególni  uczniowie,  b¹dŸ  grupy  uczniów  mog¹  przy-

gotowaæ ciekawostki historyczne. Konieczne bêdzie zatem korzy-

stanie z ró¿nych Ÿróde³ informacji, segregowanie informacji i do-

skonalenie umiejêtnoœci komunikowania siê (mamy tu zatem ele-

menty „Edukacji czytelniczej i medialnej”). Wplatanie elementów

historii  matematyki  pozwoli  równie¿  na  ukazanie  zwi¹zków

wspó³czesnej  polskiej  terminologii  matematycznej  z  jêzykami

klasycznymi i nowo¿ytnymi (elementy edukacji „Kultura polska

na tle tradycji œródziemnomorskiej”).

Na lekcjach matematyki wdra¿amy uczniów do logicznego i re-

fleksyjnego  myœlenia,  pokazujemy  ró¿nice  miêdzy  œwiatem  ty-

powo  matematycznym  a  rzeczywistym  (np.  pokazuj¹c  fraktaln¹

geometriê  natury).  Pomagamy  im  te¿  w  odkrywaniu  w³asnej

to¿samoœci,  przyzwyczajaj¹c  ich  do  samooceny  i  refleksji  nad

w³asnym uczeniem siê.

Okazjê do realizacji zagadnieñ zwi¹zanych z „Edukacj¹ pro-

zdrowotn¹”  i  „Edukacj¹  ekologiczn¹”  stwarzaj¹  zadania  pole-

gaj¹ce  na  zbieraniu,  porz¹dkowaniu  i  interpretowaniu  danych.

Odpowiednio  dobrane  zadania  uœwiadomi¹  uczniom  w³asn¹  od-

powiedzialnoœæ  za  ochronê  swojego  zdrowia,  wyzwol¹  aktywne

8

postawy  wobec  zagro¿eñ  œrodowiska  przyrodniczego  (dobrym

przyk³adem  bêdzie  zbieranie  i  interpretowanie  danych  na  temat

spo¿ywanych  pokarmów,  natê¿enia  ha³asu  w  najbli¿szym  oto-

czeniu itp.).

Wiedzê o kulturze w³asnego regionu i jej zwi¹zkach z kultur¹

narodow¹  mo¿na  poszerzaæ,  realizuj¹c  zagadnienia  dotycz¹ce

symetrii  (sztuka  ludowa).  Poznanie  historii  regionu  i  jego  naj-

wybitniejszych przedstawicieli to powód do z³o¿enia wizyty w lo-

kalnym oœrodku naukowym, zak³adzie pracy, muzeum itp. Ucznio-

wie mog¹ siê wtedy dowiedzieæ, jak teorie matematyczne mo¿na

zastosowaæ w zagadnieniach praktycznych.

Tematykê zwi¹zan¹ z elementami œrodowiska geograficznego

regionu mo¿na wplataæ w realizacjê zagadnieñ dotycz¹cych pla-

nu, skali, mapy.

W ramach zdobywania przez uczniów wiedzy dotycz¹cej obro-

ny cywilnej, analizujemy diagramy obrazuj¹ce wp³yw zanieczy-

szczeñ na œrodowisko (np. Ÿród³a promieniowania radioaktywnego

i ich wp³yw na œrodowisko).

Dzia³aniami  sprzyjaj¹cymi  integracji  europejskiej  bêdzie

udzia³  uczniów  w  miêdzynarodowych  konkursach  matematycz-

nych („Kangur Matematyczny”), co stworzy nauczycielom mo¿li-

woœæ porównania efektów swojej pracy z osi¹gniêciami nauczycie-

li z innych krajów. W zadaniach matematycznych mo¿na wyko-

rzystaæ dane dotycz¹ce gospodarki rynkowej, zamiany walut itp.

Elementy „Edukacji czytelniczej i medialnej” nale¿y uwzglêd-

niaæ w zasadzie podczas realizacji ka¿dego dzia³u programowego.

Poprzez  zachêcanie  uczniów  do  wyszukiwania  ró¿nych  cieka-

wostek, wdra¿amy ich do korzystania ze zbiorów bibliotecznych

i innych  Ÿróde³  informacji  (np.  Internet).  Uczniom  przygotowu-

j¹cym prace semestralne (projekty) polecamy sporz¹dzanie biblio-

grafii do w³asnych opracowañ. Ró¿ne sposoby pracy z uczniami

(np. lekcje bez s³ów, wplatanie elementów dramy, praca z kompu-

terem) przyzwyczajaj¹ uczniów do ró¿nego sposobu komunikowa-

nia siê (równie¿ niewerbalnego). Odró¿nianiu komunikatów infor-

macyjnych  od  perswazyjnych  bêdzie  sprzyja³a  analiza  og³oszeñ

(np. proponowane oprocentowanie kapita³u w banku).

Realizuj¹c program „Matematyka krok po kroku”, nie nale¿y

zapominaæ o stwarzaniu takich sytuacji, w których uczeñ bêdzie

pracowa³  nad  zadaniami  wielopoziomowymi  i  otwartymi,  co  da

mu sposobnoœæ stawiania pytañ w sytuacjach problemowych oraz

badania mo¿liwoœci uzyskania ró¿nych odpowiedzi.

Nasz program nie ma charakteru rozk³adu materia³u. Nauczy-

ciel nie jest wiêc zmuszony do zachowania kolejnoœci realizowa-

nych treœci. D¹¿yliœmy przede wszystkim do tego, aby stworzyæ

przejrzysty uk³ad materia³u pozwalaj¹cy na ³atw¹ orientacjê w pro-

ponowanych treœciach.

Treœci programowe zosta³y podzielone na klasy, a w ich obrêbie

na dzia³y programowe, has³a, przekazywane treœci i umiejêtnoœci

(w rubryce: „Zak³adane osi¹gniêcia ucznia. Uczeñ potrafi”), które

uczeñ powinien zdobyæ w zakresie danej tematyki. Aby u³atwiæ

nauczycielowi  realizacjê  programu,  w  rubryce:  „Opis  procedur

osi¹gania  celów”  przedstawiamy  sugestie  dotycz¹ce  realizacji

poszczególnych  hase³  oraz  zakres,  w  jakim  uczniowie  powinni

opanowaæ  poszczególne  umiejêtnoœci,  aby  „krok  po  kroku”

osi¹gn¹æ zamierzone cele. Trzeba pamiêtaæ, ¿e wiele tematów siê

przenika,  a  poszczególne  zagadnienia  mog¹  byæ  realizowane

w ramach  ró¿nych  jednostek  lekcyjnych.  Niektóre  problemy  nie

musz¹ wystêpowaæ jako samodzielne tematy.

Dobieraj¹c treœci programowe, uwzglêdniliœmy wymagania za-

warte  w  Podstawie  programowej,  jednoczeœnie  staraj¹c  siê,  aby

9

mo¿liwa  by³a  realizacja  programu  w  ci¹gu  33  tygodni  nauki.

W proponowanych orientacyjnych przydzia³ach godzin staraliœmy

siê dobraæ tak¹ liczbê godzin, aby zrealizowaæ przewidywane has³a

programowe,  a  nauczycielowi  pozosta³y  jeszcze  do  dyspozycji

godziny,  które  zagospodaruje  w  zale¿noœci  od  potrzeb  uczniów.

Mog¹ to byæ zajêcia utrwalaj¹ce lub te¿ zajêcia przeznaczone na

pog³êbianie wiedzy, czy te¿ prezentowanie ró¿nych ciekawostek

matematycznych.

 Propozycje metod oceny osi¹gniêæ uczniów

W  procesie  dydaktycznym  ocenianie  odgrywa  niezmiernie

wa¿n¹  rolê.  W  chwili  obecnej  dominuje  jednak  ocenianie  intui-

cyjne, w którym uwzglêdniane s¹ na ogó³ nastêpuj¹ce elementy:

wiedza  ucznia,  wk³ad  pracy,  mo¿liwoœci,  aktywnoœæ,  praca  do-

mowa, porównanie na tle klasy, umiejêtnoœci. Taki sposób ocenia-

nia daje ma³o informacji nauczycielowi i nie pozwala na okreœlenie

mocnych i s³abych stron poszczególnych uczniów.

Wprowadzane  zmiany  w  systemie  oœwiaty  spowoduj¹,  ¿e

zwiêkszy siê grono osób, które na podstawie oceny bêd¹ chcia³y

uzyskaæ  ró¿ne  informacje.  Istotne  jest  wiêc,  aby  nauczyciel,

pracuj¹c  z  programem  „Matematyka  krok  po  kroku"  korzysta³

z takiego  systemu  oceniania,  który  pozwoli  mu  na  uzyskanie

doskonalszego  obrazu  ucznia,  ni¿  tylko  poprzez  jego  ocenê

wyra¿on¹ stopniem.

Planuj¹c proces nauczania, nauczyciel sam musi rozstrzygn¹æ

co,  kiedy  i  w  jaki  sposób  bêdzie  oceniane.  W  planie  powinien

uwzglêdniæ podstawowe funkcje oceny szkolnej:

­ klasyfikuj¹c¹, która  pozwala na  ocenienie  poziomu  opano-

wania wiedzy, dokonanie zró¿nicowania i selekcji w zwi¹zku

z wyborem dalszej drogi kszta³cenia, porównanie efektyw-

noœci programów, porównanie osi¹gniêæ uczniów ze standar-

dami, przekazanie informacji dla œrodowiska i nadzoru,

­ diagnostyczn¹, która jest u¿yteczna do opisu rozwoju umie-

jêtnoœci ucznia, rozpoznawania indywidualnych potrzeb ucz-

nia,  okreœlania  efektywnoœci  stosowanych  metod  pracy,

planowania procesu nauczania.

Funkcja diagnostyczna oceny pozwala na przekazanie informa-

cji zwrotnej o czynionych postêpach rodzicom i uczniom, którzy

poczuj¹  siê  bardziej  odpowiedzialni  za  efekty  pracy.  Natomiast

nauczyciel na podstawie analizy poczynionych obserwacji mo¿e

dokonaæ ewaluacji swojego procesu dydaktycznego i wprowadziæ

zmiany, które spowoduj¹ jego udoskonalenie.

W zwi¹zku z wymienionymi funkcjami oceny, mo¿emy wyod-

rêbniæ dwa rodzaje oceniania:

a) wspomagaj¹ce,
b) sumuj¹ce.
 

10

Rozpatruj¹c  funkcje  oceny  i  sposoby  oceniania,  nale¿y  za-

uwa¿yæ, ¿e proces oceniania nie mo¿e ograniczaæ siê do gromadze-

nia ocen i zestawieñ statystycznych, ale powinien byæ integraln¹

czêœci¹ procesu nauczania. Tak wiêc ocenianie powinno byæ:

­ procesem gromadzenia informacji,

­ integraln¹ czêœci¹ procesu edukacyjnego,

­ wspieraniem szkolnej kariery uczniów i stymulowaniem ich

motywacji do uczenia siê.

Maj¹c  zatem  na  uwadze  ocenianie,  nauczyciel  powinien

uwzglêdniaæ:

­ planowanie procesu nauczania,

­ przebieg procesu nauczania,

­ sposoby zbierania informacji,
­ sposoby przekazywania informacji,
­ ewaluacjê procesu edukacyjnego.
Jednym ze sposobów gromadzenia informacji, który proponu-

jemy nauczycielowi, jest arkusz obserwacji ucznia. Pozwala on na

zbieranie ró¿nych informacji, które bêd¹ okreœla³y rozwój ucznia.

Oto przyk³ad arkusza obserwacji ucznia, który mo¿e byæ zastoso-

wany w praktyce.

..............................................................................................

Imiê i nazwisko

Analiza treœci zadania
Komunikacja
Jêzyk matematyczny
Wnioskowanie
Uogólnianie
Stawianie hipotez
Argumentacja

W arkuszu obserwacji proponujemy stosowanie skali ci¹g³ej.

Znak postawiony bli¿ej lewej strony skali oznacza s³absze poru-

szanie siê ucznia we wskazanym obszarze. Pierwsze informacje do

arkusza  obserwacji  nale¿y  wpisaæ  po  wstêpnym  zapoznaniu  siê

z klas¹,  np.  po  pierwszym  miesi¹cu  nauki.  Nastêpne  informacje

nale¿y wpisywaæ kolejno przed zakoñczeniem ka¿dego semestru

nauki. Arkusz taki mo¿e funkcjonowaæ przez ca³y cykl kszta³cenia.

Po zakoñczeniu nauki nauczyciel otrzyma obraz absolwenta. Mo¿e

okreœliæ wtedy, w których obszarach nast¹pi³ najwiêkszy rozwój,

Ocenianie 

wspomagaj¹ce

Ocenianie

sumuj¹ce

Cel

Monitorowanie rozwoju 

ucznia.

Selekcja. Monitorowa-

nie systemu szkolnego.

Metody

Wszystkie dostêpne 

sposoby, a wiêc: obser-

wacja, rozmowa, ró¿ne 

rodzaje i formy prac.

Sprawdziany pisemne 

zgodne ze standardami.

Sposoby

notowania

wyników

Sposoby ustalone przez 

szko³ê lub nauczyciela, 

pozwalaj¹ce opisaæ 

ró¿ne aspekty szkolnej 

kariery ucznia.

Jakoœciowe i iloœciowe 

analizy wyników.

Szczególna 

przydatnoϾ

Nauczyciel, uczeñ,

rodzice.

klasa

11

a w których  najmniejszy.  Brak  skali  stopniowej  pozwala  oceniæ

ucznia  równie¿  na  tle  klasy.  Umo¿liwi  to  w  efekcie  koñcowym

dokonanie analizy tempa rozwoju uczniów. Wskazane by³oby, aby

arkusz ten otrzymali uczniowie dla dokonania samooceny. Mo¿li-

we jest wówczas porównanie obserwacji nauczyciela i ucznia, oraz

omówienie ewentualnych rozbie¿noœci.

Ocenianie uczniów powoduje, ¿e prze¿ywaj¹ oni ró¿ne emocje,

które  motywuj¹  ich  do  nauki  b¹dŸ  wywo³uj¹  zniechêcenie.

W praktyce  szkolnej  powinniœmy  stosowaæ  nastêpuj¹ce  zasady

pobudzaj¹ce motywacjê do nauki:

1. Uczniowie s¹ motywowani przez takie sytuacje i czynnoœci,

które:

­ sk³aniaj¹ ich do tego, by osobiœcie i aktywnie zaanga¿owaæ

siê w naukê,

­ pozwalaj¹ na wybór i podejmowanie decyzji zgodnie z mo¿-

liwoœciami ucznia i wymogami postawionego przed nim za-

dania.

2. Motywacja uczniów zwiêksza siê, gdy postrzegaj¹ zadania

szkolne jako:

­ bezpoœrednio  lub  poœrednio  zwi¹zane  z  osobistymi  potrze-

bami, zainteresowaniami i celami,

­ takie, które maj¹ odpowiedni dla ucznia poziom trudnoœci.

3. Naturalna  uczniowska  motywacja  do  uczenia  siê,  mo¿e

byæ stymulowana  w  bezpiecznym,  pe³nym  zaufania  otoczeniu,

w którym dobre stosunki z troskliwymi doros³ymi stwarzaj¹ szan-

sê w³aœciwego rozwoju ucznia. Stopniowanie trudnoœci dostoso-

wane  do  indywidualnych  potrzeb  ucznia  oraz  atmosfera  zrozu-

mienia i ochrona dziecka przed zbêdnym stresem w przypadku nie-

powodzenia, s¹ tak¿e czynnikami wspomagaj¹cymi proces ucze-

nia siê.

W procesie nauczania motywacyjna rola nauczyciela polega na

tworzeniu  takiej  atmosfery,  w  której  bêdzie  dominowa³a  troska

i zainteresowanie  ka¿dym  uczniem  oraz  takim  ustaleniu  celów

nauki i organizacji jej przebiegu, aby nie powstawa³y sytuacje ry-

walizacji, w wyniku czego bêd¹ zwyciêzcy i przegrani. W ka¿dym

przypadku podejmowania przez uczniów prób rozwi¹zania zada-

nia nale¿y zwracaæ uwagê na pozytywy. W przypadku niepowo-

dzeñ ucznia nauczyciel powinien wskazaæ mo¿liwoœæ uzupe³niania

wiedzy i umiejêtnoœci. Sytuacjom takim sprzyja obserwacja pracy

ucznia,  rozmowa  z  uczniem,  sprawdzanie  ró¿nego  rodzaju  prac

wykonywanych przez ucznia (np. prace domowe). Kontrola w tym

przypadku nie musi byæ uto¿samiana z ocen¹ wyra¿on¹ stopniem.

Na rzetelnoœæ oceniania maj¹ wp³yw:

­ metody s³u¿¹ce do zbierania informacji,

­ proces oceniania,

­ uczeñ,

­ nauczyciel.

Potencjalne b³êdy tkwi¹ce w metodach oceniania ucznia wyni-

kaj¹ z:

1. Niejednoznacznie lub Ÿle sformu³owanych poleceñ. Nie wie-

my wówczas, czy b³¹d ucznia wynika z niepewnoœci, o co py-

tamy, czy z nieumiejêtnoœci rozwi¹zania zadania.

2. Niew³aœciwie  dobranego  stopnia  trudnoœci.  Zarówno  zbyt

³atwe jak i zbyt trudne zadania powoduj¹ obni¿enie rzetelnoœ-

ci sprawdzianu. W obu przypadkach wymykaj¹ siê szczegó³y

dotycz¹ce rzeczywistych umiejêtnoœci ucznia i poziomu jego

osi¹gniêæ.

3. Niew³aœciwie okreœlonego czasu pracy.
Pracuj¹c z uczniami, musimy mieæ równie¿ na uwadze fakt, ¿e

ich osi¹gniêcia zmieniaj¹ siê w czasie. Powoduje to, ¿e zmieniaj¹

12

siê równie¿ wyniki naszych obserwacji. Aby zniwelowaæ wp³yw

niekorzystnych  czynników  na  ocenê  ucznia,  nale¿y  prowadziæ

obserwacje w ró¿nych, zmieniaj¹cych siê sytuacjach w d³u¿szym

okresie czasu. Pozwoli to na uzyskanie obrazu absolwenta i okreœ-

lenie stopnia jego rozwoju.

Wystawianie oceny wyra¿onej stopniem powinno byæ poprze-

dzone jasno sformu³owanymi przez nauczyciela kryteriami ocenia-

nia. Zadanie to u³atwi zawarty w programie wykaz umiejêtnoœci.

Ujednolicenie wymagañ (na podstawie wypracowanych standar-

dów) spowoduje porównywalnoœæ ocen zarówno na terenie szko³y,

jak i w ró¿nych szko³ach pracuj¹cych z tym samym programem

nauczania.

Chc¹c skontrolowaæ wyniki nauczania, nale¿y stosowaæ ró¿no-

rodne metody pomiaru przyrostu wiedzy i umiejêtnoœci uczniów.

Najpopularniejsze  z  nich  to  krótkie  pisemne  sprawdziany

pozwalaj¹ce na bie¿¹c¹ informacjê o nabytych przez ucznia umie-

jêtnoœciach. Innym rodzajem stosowanej pracy pisemnej jest praca

klasowa. Pozwala ona okreœliæ nabyte przez uczniów umiejêtnoœci

w zakresie ca³ego dzia³u programowego, czy te¿ w zakresie ca³ego

zrealizowanego programu. Proponujemy w tym przypadku stoso-

wanie ró¿nych form organizowania takich sprawdzianów.

Aby  zapoznaæ  siê  z  aktualnym  stanem  wiedzy  i  umiejêtnoœ-

ciami  uczniów,  mo¿na  przeprowadziæ  z  nimi  rozmowê,  która

bêdzie  mia³a  formê  ustnej  odpowiedzi,  albo  bêdzie  prezentacj¹

wyników  pracy  danej  grupy  uczniów.  Uzyskamy  w  ten  sposób

mo¿liwoœæ zorientowania siê w stanie posiadanej wiedzy, a tak¿e

okreœlimy  umiejêtnoœci  uczniów  w  zakresie  pos³ugiwania  siê

jêzykiem matematyki, ocenimy precyzjê wypowiedzi oraz umie-

jêtnoœæ  stosowania  odpowiedniej  argumentacji.  Warto  te¿

uwzglêdniæ samoocenê i ocenê kole¿eñsk¹.

W  ramach  domowych  prac  pisemnych  proponujemy  wyko-

nanie przez ucznia lub grupê uczniów d³u¿szych prac ponadprzed-

miotowych, zwanych projektami problemowymi (1-2 prace w se-

mestrze). Temat takiej pracy uczeñ bêdzie móg³ wybraæ spoœród

tematów przedstawionych przez nauczyciela lub zaproponowaæ te-

mat w³asny, zgodny z jego zainteresowaniami. (Przyk³ady takich

tematów wraz z omówieniem sposobu ich oceniania przedstawimy

w poradniku dla nauczyciela.) W klasach, w których uczniowie s¹

bardziej zainteresowani matematyk¹ mo¿emy zlecaæ opracowanie

ró¿nych zagadnieñ w postaci referatu. W ten sposób bêdzie mo¿na

sprawdziæ nie tylko wiedzê ucznia, ale równie¿ umiejêtnoœæ komu-

nikowania siê oraz umiejêtnoœæ przedstawiania, w dobrze zorgani-

zowany sposób, wyników w³asnej pracy. Chc¹c uzyskaæ pe³niejszy

obraz przyrostu umiejêtnoœci i wiedzy ucznia, zachêcamy nauczy-

cieli do proponowania uczniom rozwi¹zywania zadañ otwartych

i wielopoziomowych,  które  pozwol¹  oceniæ  umiejêtnoœci  roz-

wi¹zywania  problemów  oraz  dostrzec  oryginalnoœæ  w  poszuki-

waniu rozwi¹zañ.

Konstruuj¹c ró¿nego typu sprawdziany dla ucznia, nauczyciel

korzystaj¹cy z naszego programu powinien pamiêtaæ, ¿e g³ównym

celem jest sprawdzenie, czy uczeñ potrafi stosowaæ nabyte umie-

jêtnoœci w ró¿nych sytuacjach (tak¿e z ¿ycia codziennego). Dlate-

go  proponujemy  tak¹  budowê  sprawdzianów,  która  pozwoli  na

umieszczenie w nich zadañ wykorzystuj¹cych zagadnienia prakty-

czne, przy czym wystawiaj¹c ocenê stopniow¹, nale¿y braæ pod

uwagê nie tylko ostateczny wynik liczbowy, ale równie¿ inwencjê

w  korzystaniu  z  posiadanej  wiedzy  i  umiejêtnoœci,  efektywnoœæ

i oryginalnoœæ zastosowanej metody, precyzjê komunikacji.

Nikogo nie trzeba przekonywaæ jak wa¿na, zarówno dla ucznia

jak i dla nauczyciela, jest funkcja oceny szkolnej. Dlatego te¿ przy

13

ocenianiu  kszta³tuj¹cym  i  zbieraj¹cym  nauczyciel  przynajmniej

raz  w  roku  powinien  wykorzystywaæ  sprawdziany  opracowane

specjalnie do programu „Matematyka krok po kroku”. (Przy ich

opracowywaniu nauczyciel powinien uwzglêdniæ równie¿ zasady

zawarte  w  wewn¹trzszkolnym  systemie  oceniania.)  Do  badania

wyników nauczania mo¿na te¿ stosowaæ sprawdziany opracowane

przez specjalistów z danego okrêgu. Pozwoli to na obiektywizacjê

oceny.

W trakcie realizacji programu nauczania, nauczyciel powinien

prowadziæ  obserwacje  umo¿liwiaj¹ce  dokonanie  jego  ewaluacji.

Doœæ znaczna liczba godzin przeznaczona do zagospodarowania

przez nauczyciela pozwala na wprowadzenie zmian niezbêdnych

dla w³aœciwego funkcjonowania programu, dostosowuj¹cych pro-

gram do mo¿liwoœci klasy. Równie¿ my jako autorzy bêdziemy

zbierali  informacje  dotycz¹ce  realizacji  programu  „Matematyka

krok po kroku” i dokonywali, w miarê zaistnia³ej potrzeby, korekty

programu.

14

Ogólny uk³ad materia³u w gimnazjum

Tworz¹c program „Matematyka krok po kroku”, staraliœmy siê zachowaæ proporcje w roz³o¿eniu treœci w poszczególnych klasach.

Dzia³y programowe

Klasa I

Klasa II

Klasa III

Liczby rzeczywiste

Liczby wymierne i niewymierne 

Dzia³ania na liczbach

Procenty i promile

Potêgi o wyk³adniku naturalnym

Pierwiastki. Przybli¿enia dziesiêtne

Przedzia³y liczbowe

Potêga o wyk³adniku ca³kowitym
Liczba 

Podzbiory zbioru liczb rzeczy-

wistych

Wyra¿enia

algebraiczne

Zapisywanie i odczytywanie 

wyra¿eñ algebraicznych

Dzia³ania. Wartoœæ liczbowa 

wyra¿enia algebraicznego

Wzory skróconego mno¿enia

Rozk³ad na czynniki

Wyra¿enia wymierne

Przekszta³canie wzorów

Równania

i nierównoœci

Równania i nierównoœci

Równania i nierównoœci 

równowa¿ne

Nierównoœci podwójne

Zastosowanie równañ i nierównoœci 

do rozwi¹zywania zadañ tekstowych

ProporcjonalnoϾ prosta i odwrotna

Uk³ady równañ i nierównoœci

Statystyka

Zbieranie i porz¹dkowanie danych

Interpretacja danych statystycznych

Doœwiadczenia losowe

Funkcje

Pojêcie funkcji

Funkcja liniowa

Funkcje trygonometryczne

k¹ta ostrego

Geometria

Podstawowe figury geometryczne

Ko³o i okr¹g

Wzajemne po³o¿enie prostej

i okrêgów

Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie

Twierdzenie Pitagorasa

Symetria osiowa i œrodkowa

Przystawanie trójk¹tów

Okr¹g wpisany i opisany na 

trójk¹cie. Wielok¹t foremny

Pole figury p³askiej

D³ugoœæ okrêgu

Jednok³adnoœæ i podobieñstwo

Twierdzenie Talesa

Proste i p³aszczyzny w przestrzeni

Rzut równoleg³y

Figury przestrzenne

Pola powierzchni i objêtoœci bry³

π

15

Orientacyjny przydzia³ godzin

Dla zawartych w programie nauczania treœci przewidujemy nastêpuj¹cy orientacyjny przydzia³ godzin w poszczególnych klasach:

Proponowany przydzia³ godzin jest przydzia³em orientacyjnym

i mo¿e ulegaæ modyfikacjom w zale¿noœci od stopnia opanowania

przez uczniów poszczególnych dzia³ów matematyki.

Wskazane  by³oby,  aby  zagadnienia  zwi¹zane  ze  statystyk¹

w³¹czone by³y w realizacjê innych dzia³ów (np. diagramy przy ro-

zwa¿aniach dotycz¹cych procentów).

KLASA I

Liczby wymierne i niewymierne

30

Wyra¿enia algebraiczne

15

Równania i nierównoœci

20

Zbieranie i porz¹dkowanie danych

10

Zwi¹zki miarowe w figurach

30

Godziny do dyspozycji nauczyciela

27

Razem

666666

132

8

KLASA II

Liczby rzeczywiste

15

Wyra¿enia algebraiczne

10

Funkcje

20

Równania i nierównoœci

15

Relacje miêdzy figurami geometrycz-

nymi

25

Pole figury p³askiej

15

Zbieranie i porz¹dkowanie danych

10

Godziny do dyspozycji nauczyciela

22

Razem

666666

132

8

KLASA III

Liczby rzeczywiste

10

Wyra¿enia algebraiczne

10

Równania, nierównoœci i uk³ady równañ

15

Doœwiadczenia losowe

10

Przekszta³cenia geometryczne

20

Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie

20

Figury przestrzenne

20

Godziny do dyspozycji nauczyciela

27

Razem

666666

132

8

17

KLASA I

18

19

Liczby wymierne i niewymierne

30 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów. 

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Liczby wymierne

Rozpoznawanie liczb

wymiernych

wskazaæ liczby wymierne;

podaæ przyk³ad liczby wymiernej

Uczniowie powinni umieæ wybraæ spoœród ró¿nych 

liczb liczbê wymiern¹. Oprócz liczb podanych 

w postaci u³amków stosujemy równie¿ rozwiniêcia 

dziesiêtne skoñczone i nieskoñczone okresowe.

Liczby niewymierne

Rozpoznawanie liczb 

niewymiernych

wskazaæ liczby niewymierne;

podaæ przyk³ad liczby niewymiernej

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili spoœród 

ró¿nych liczb wybraæ liczbê niewymiern¹.

Porz¹dkowanie liczb

Równoœæ liczb wymier-

nych

zapisaæ liczbê wymiern¹ w ró¿nych 

postaciach

Stosujemy ró¿ne sposoby zapisu liczby, w tym 

rozwiniêcia dziesiêtne nieskoñczone okresowe

Zaznaczanie liczb na osi 

liczbowej

zaznaczyæ na osi liczbowej dan¹

liczbê wymiern¹;

podaæ liczbê odpowiadaj¹c¹ 

punktowi zaznaczonemu na osi; 

podaæ przyk³ad zaznaczenia liczby 

niewymiernej na osi liczbowej

Uczniowie poprzez ró¿ne æwiczenia powinni opa-

nowaæ odczytywanie wspó³rzêdnej punktu na osi, 

oraz zaznaczanie punktów o danej wspó³rzêdnej. 

Dla liczb niewymiernych uczniowie powinni 

wskazaæ liczby wymierne, pomiêdzy którymi dana 

liczba niewymierna jest po³o¿ona. Stosujemy

w tym przypadku æwiczenia pozwalaj¹ce na 

okreœlenie tych liczb z ró¿n¹ dok³adnoœci¹.

Porównywanie liczb

porównaæ liczby wymierne;

porównaæ liczby niewymierne;

porównaæ liczbê wymiern¹

z niewymiern¹

Przy porównywaniu liczb wymiernych stosujemy 

poznane przez uczniów operacje na u³amkach. 

Porównuj¹c dwie liczby niewymierne oraz liczbê 

wymiern¹ z niewymiern¹, wykorzystujemy przy-

bli¿enia. Wskazane jest w tym przypadku stoso-

wanie urz¹dzeñ technicznych u³atwiaj¹cych

obliczenia.

20

Liczby wymierne i niewymierne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Dodawanie i odejmo-

wanie w zbiorze liczb 

wymiernych

W³asnoœci dodawania

stosowaæ prawa przemiennoœci

i ³¹cznoœci w obliczeniach;

wykorzystaæ prawo monotonicznoœci 

dodawania do porównywania liczb

Wskazujemy na korzyœci wynikaj¹ce ze stosowania 

w³asnoœci dodawania przy wykonywaniu obliczeñ. 

Pokazujemy mo¿liwoœæ porównywania sum bez 

wykonywania dzia³añ, np. 13 + 7 < 13 + 9, bo 7 < 9.

Liczba 0 w dodawaniu. 

Liczby przeciwne

podaæ liczbê przeciwn¹ do danej; 

okreœliæ, czy dane liczby s¹ prze-

ciwne

Uczniowie powinni bez trudnoœci okreœlaæ liczby 

przeciwne. Dla uzyskania bieg³oœci stosujemy 

ró¿norodne æwiczenia.

Odejmowanie

dodawaæ i odejmowaæ liczby wy-

mierne

Odejmowanie wprowadzamy jako dodawanie licz-

by przeciwnej do danej. Przy wykonywaniu doda-

wania i odejmowania stosujemy wszystkie poznane 

w³asnoœci tych dzia³añ.

Mno¿enie i dzielenie

w zbiorze liczb

wymiernych

W³asnoœci mno¿enia

stosowaæ prawa przemiennoœci

i ³¹cznoœci w obliczeniach;

wykorzystaæ prawo monotonicznoœci 

mno¿enia do porównywania liczb; 

stosowaæ prawo rozdzielnoœci 

mno¿enia wzglêdem dodawania

Wskazujemy na korzyœci wynikaj¹ce ze stosowania 

w³asnoœci mno¿enia przy wykonywaniu obliczeñ. 

Pokazujemy mo¿liwoœæ porównywania iloczynów 

bez wykonywania dzia³añ. Szczególn¹ uwagê 

zwracamy na porównywanie liczb w przypadku 
jednego czynnika ujemnego. Np. 

, bo 

7 < 9, ale 

, bo 7 < 9 i –13 < 0.

Liczba 0 w mno¿eniu

okreœliæ, dla jakich liczb ich iloczyn 

jest równy 0

W³asnoœci iloczynu stosujemy przy rozwi¹zy-
waniu równañ typu 

, przy czym 

równañ tych nie musimy interpretowaæ jako równañ 

wy¿szych stopni. Zwracamy uwagê na stosowanie 
tych w³asnoœci: 

, 

.

   

⋅

<

⋅



±





±



⋅

>

⋅

[ 

±

(

)

[ 



(

)



 

D E

⋅



D

⇔

 E

∨



 

 

 

D E 

D  E 

≠

∧

≠

⇔

≠

⋅

21

Liczby wymierne i niewymierne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Mno¿enie i dzielenie

w zbiorze liczb

wymiernych

Liczba 1 w mno¿eniu. 

OdwrotnoϾ liczby

podaæ odwrotnoœæ liczby;

sprawdziæ, czy dwie liczby s¹

swoimi odwrotnoœciami

Stosujemy ró¿norodne æwiczenia pozwalaj¹ce na 

uzyskanie przez uczniów bieg³oœci w okreœlaniu 

odwrotnoœci liczby. Umiejêtnoœæ ta bêdzie szcze-

gólnie przydatna przy wykonywaniu dzielenia.

Dzielenie

mno¿yæ i dzieliæ liczby wymierne

Dzielenie liczb traktujemy jako mno¿enie przez 

odwrotnoϾ dzielnika.

Procenty i promile

Pojêcie procentu.

Promil

zamieniæ liczbê wymiern¹ na pro-

cent i promil;

przedstawiæ dany procent w postaci 

liczby wymiernej;

przedstawiæ dany promil w postaci 

liczby wymiernej

Wykonujemy æwiczenia pozwalaj¹ce dokonaæ 

zamiany liczby wymiernej na procenty i promile. 

W celu uzyskania odpowiedniej operatywnoœci 

wykonujemy równie¿ æwiczenia, w których zamie-

niamy procenty i promile na liczbê wymiern¹.

Obliczenia procentowe

wykonywaæ obliczenia z wykorzy-

staniem procentów

W realizacji zagadnieñ dotycz¹cych procentów

i promili szczególn¹ uwagê zwracamy na ich prak-

tyczne zastosowania (np. obliczanie frekwencji, 

stê¿enia roztworów). D¹¿ymy do tego, aby uczeñ 

potrafi³ obliczyæ dany procent liczby, liczbê na 

podstawie danego jej procentu oraz wyznaczyæ, 

jakim procentem liczby jest inna liczba.

Diagramy

interpretowaæ dane przedstawione

na diagramach procentowych;

wykonywaæ diagramy procentowe 

ró¿nych typów

Przy opracowywaniu diagramów wykorzystujemy 

ró¿norodne materia³y statystyczne.

Mo¿emy równie¿ korzystaæ z wyników obserwacji 

dokonanych przez uczniów.

22

Liczby wymierne i niewymierne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Wartoœæ bezwzglêdna 

liczby

Okreœlenie wartoœci bez-

wzglêdnej

podaæ wartoœæ bezwzglêdn¹ liczby;

podaæ liczbê o danej wartoœci bez-

wzglêdnej

Przy realizacji zagadnieñ zwi¹zanych z wartoœci¹ 

bezwzglêdn¹ szczególn¹ uwagê zwracamy na zro-

zumienie tego pojêcia. U³atwi to w póŸniejszym 

okresie wykonywanie dzia³añ na liczbach ujem-

nych.

W³asnoœci wartoœci bez-

wzglêdnej.

Przyk³ady przedzia³ów

liczbowych

podaæ liczby spe³niaj¹ce równanie 

;

podaæ przyk³ady liczb spe³niaj¹cych 
nierównoœæ postaci  

,  

,  

,  

Przy interpretacji nierównoœci 

 i 

 

nawi¹zujemy do przedzia³ów liczbowych, które 

bêdziemy wykorzystywaæ przy zapisie rozwi¹zañ 

nierównoœci.

Potêga

Potêga o wyk³adniku natu-

ralnym

obliczyæ potêgê o wyk³adniku natu-

ralnym danej liczby

W klasie I ograniczamy siê do wprowadzenia potê-

gi o wyk³adniku naturalnym. Wykonujemy æwi-

czenia w obliczaniu potêgi na podstawie definicji.

W³asnoœci potêgowania

stosowaæ w³asnoœci potêgowania

w dzia³aniach

Wprowadzamy podstawowe w³asnoœci potêgowa-

nia. Nale¿y przy tym szczególn¹ uwagê zwróciæ

na nieokreœlonoœæ potêgowania w przypadku, gdy 

podstawa i wyk³adnik s¹ jednoczeœnie równe 0.

Pierwiastki

Pojêcie pierwiastka stop-

nia drugiego

podaæ wartoœæ dok³adn¹ lub przy-

bli¿on¹ pierwiastka stopnia drugiego

Pokazujemy uczniom, w jaki sposób nale¿y korzy-

staæ z tablic matematycznych i kalkulatorów

do wyznaczania wartoœci przybli¿onych pierwia-

stków.

Przyk³ady pierwiastków 

wy¿szych stopni

podaæ przyk³ady pierwiastków 

wy¿szych stopni

Przy pierwiastkach wy¿szych stopni podkreœlamy, 
¿e  

, gdy¿ 

.

[

E

 

[ E

<

[ E

≤

[ E

>

[ E

≥

[ E

<

[ E

≤



±





±

 



±

( )





±

 

23

Liczby wymierne i niewymierne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Pierwiastki

W³asnoœci pierwiastków

stosowaæ w³asnoœci pierwiastków 

przy wy³¹czaniu czynnika i w³¹cza-

niu czynnika pod pierwiastek

Omawiamy nastêpuj¹ce w³asnoœci: 

 i 

. D¹¿ymy do 

tego, aby uczeñ potrafi³ stosowaæ te w³asnoœci przy 

wy³¹czaniu czynnika przed znak pierwiastka oraz 

przy w³¹czaniu czynnika pod znak pierwiastka.

Dzia³ania w zbiorze 

liczb rzeczywistych

W³asnoœci dzia³añ

stosowaæ w³asnoœci rozdzielnoœci 

mno¿enia (dzielenia) w oblicze-

niach pamiêciowych;

okreœliæ kolejnoœæ wykonywania 

dzia³añ w wyra¿eniu arytmetycz-

nym;

stosowaæ w³asnoœci dzia³añ i kolej-

noϾ ich wykonywania do oblicza-

nia wartoœci liczbowej wyra¿enia

arytmetycznego

W obliczeniach pamiêciowych wskazujemy na za-

stosowania praw rozdzielnoœci w prostych przypad-

kach. W sytuacjach trudniejszych u¿ywamy

do obliczeñ kalkulatorów. Koncentracja uwagi,

w tym przypadku, na wykonywaniu dzia³añ nie mo¿e

przes³oniæ nam umiejêtnoœci rozwi¹zywania

problemów. Przy wykonywaniu obliczeñ wskazu-

jemy uczniom na mo¿liwe korzyœci wynikaj¹ce ze

stosowania w³asnoœci dodawania i odejmowania.

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie, wykonuj¹c obli-

czenia, stosowali wszystkie poznane operacje na

u³amkach. Staramy siê tak¿e, aby wynik koñcowy

podany by³ w najprostszej postaci. Umiejêtnoœci

rachunkowe s¹ jednymi z najbardziej widocznych

zastosowañ matematyki. Stosujemy tu ró¿norodne

æwiczenia pozwalaj¹ce na osi¹gniêcie pewnej bie-

g³oœci rachunkowej. Umiejêtnoœci te wykorzystuje-

my do rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych dziedzin,

pokazuj¹c jednoczeœnie ich zastosowania przy obli-

czaniu podwy¿ek, obni¿ek cen, wzrostu i spadku

wartoœci akcji, odsetek od lokat kapita³owych itp.

D E

⋅

D

E

⋅

 

D E

⋅

D

E

⋅

 

:

:

24

Liczby wymierne i niewymierne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Przybli¿enia

Rozwiniêcie dziesiêtne

liczby wymiernej

podaæ rozwiniêcie dziesiêtne liczby 

wymiernej;

podaæ przyk³ad u³amka okresowego

Uczeñ powinien umieæ przedstawiæ rozwiniêcie 

dziesiêtne skoñczone i nieskoñczone okresowe

liczby wymiernej. Zwracamy uwagê na podawanie 

przybli¿eñ u³amków okresowych.

Przybli¿enie z nadmiarem

i z niedomiarem

okreœliæ rodzaj przybli¿enia na pod-

stawie wartoœci dok³adnej;

podaæ przybli¿enie liczby z dan¹ 

dok³adnoœci¹

Zagadnienia zwi¹zane z przybli¿eniami s¹ u¿y-

teczne w ¿yciu codziennym. Realizuj¹c je, wska-

zujemy na ich zastosowania przy szacowaniu war-

toœci zakupionych towarów. Pokazujemy, ¿e dla 

okreœlenia wielkoœci np. miasta, nie jest konieczna 

dok³adna liczba mieszkañców, lecz jej wartoœæ 

przybli¿ona. Nie bêdziemy zajmowaæ siê 

dok³adnym rachunkiem b³êdów, ale ograniczymy 

siê do okreœlenia dok³adnoœci przybli¿enia.

Szacowanie wyniku

oszacowaæ wynik dzia³ania

D¹¿ymy do tego, aby uczeñ w okreœlonych sytua-

cjach potrafi³ oceniæ przybli¿on¹ wartoœæ wyniku 

dzia³ania.

25

Wyra¿enia algebraiczne

15 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Wyra¿enia

algebraiczne

Budowanie i odczytywa-

nie wyra¿eñ algebraicz-

nych

odczytaæ wyra¿enie algebraiczne; 

zapisaæ wyra¿enie algebraiczne na 

podstawie jego s³ownego okreœlenia

Zwracamy uwagê na stosowanie przy odczytywa-

niu i budowaniu wyra¿eñ algebraicznych kolej-

noœci wykonywania dzia³añ. Przygotowujemy 

uczniów do zapisywania praw za pomoc¹ liter oraz 

d¹¿ymy do w³aœciwej interpretacji zapisów.

Jednomiany

podaæ przyk³ad jednomianu;

rozpoznaæ jednomiany podobne; 

podaæ przyk³ad jednomianów podob-

nych

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie nie tylko potrafili 

rozpoznawaæ jednomiany podobne, ale równie¿ 

aby potrafili podaæ odpowiednie przyk³ady.

Wartoœæ liczbowa 

wyra¿enia algebraicznego

obliczyæ wartoœæ liczbow¹ wyra¿e-

nia algebraicznego

Wskazujemy na korzyœci wynikaj¹ce ze sprowa-

dzania wyra¿eñ algebraicznych do najprostszej 

postaci, a nastêpnie obliczamy wartoœæ liczbow¹ 

wyra¿enia.

Wielomiany

Wielomian

dodaæ jednomiany, wykonuj¹c 

redukcjê jednomianów podobnych; 

rozpoznaæ wielomian;

podaæ przyk³ad wielomianu

Wielomian wprowadzamy jako sumê jednomia-

nów. Uczniowie powinni umieæ wybraæ spoœród 

ró¿nych wyra¿eñ algebraicznych wielomiany. Po-

winni tak¿e umieæ podaæ przyk³ady wielomianów.

Mno¿enie wielomianu 

przez  jednomian

pomno¿yæ wielomian przez liczbê; 

pomno¿yæ wielomian przez jedno-

mian

Wskazujemy na zastosowanie prawa rozdzielnoœci 

mno¿enia wzglêdem dodawania. Oprócz æwiczeñ 

wyrabiaj¹cych sprawnoœæ w zakresie mno¿enia 

powinniœmy stosowaæ równie¿ æwiczenia pole-

gaj¹ce na zamianie sumy na iloczyn.

26

Wyra¿enia algebraiczne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Wielomiany

Dodawanie i odejmo-

wanie wielomianów

dodaæ wielomiany, wykonuj¹c 

redukcjê jednomianów podobnych

Odejmowanie wielomianów zastêpujemy, podobnie 

jak w przypadku liczb wymiernych, dodawaniem 

wielomianu przeciwnego do danego. Wskazujemy 

w tym przypadku na szczególn¹ strukturê matema-

tyki pozwalaj¹c¹ na dokonywanie uogólnieñ.

Mno¿enie wielomianów

pomno¿yæ dwa wielomiany

W klasie I ograniczamy siê do mno¿enia wielo-

mianów.  Pozwoli to  uczniom stosowaæ prawa

rozdzielnoœci mno¿enia wzglêdem dodawania.

27

Równania i nierównoœci

20 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Równania

Pojêcie równania

podaæ przyk³ad równania

Pojêcie równania traktujemy w sposób intuicyjny. 

Pozwoli to nam unikn¹æ trudnoœci w precyzyjnym 

okreœleniu równania.

Rozwi¹zanie równania

sprawdziæ, czy dana liczba jest 

rozwi¹zaniem równania;

podaæ przyk³ad równania o danym 

rozwi¹zaniu

Uczniowie powinni umieæ sprawdziæ, czy dana

liczba jest rozwi¹zaniem równania. D¹¿¹c do tego, 

aby uczniowie nie tylko biernie stosowali wiedzê 

matematyczn¹, wykonujemy æwiczenia pozwala-

j¹ce konstruowaæ równania o danym rozwi¹zaniu.

Równania równowa¿ne

rozpoznaæ równania równowa¿ne; 

napisaæ równanie równowa¿ne

do danego;

rozwi¹zaæ równanie

Metodê równañ równowa¿nych traktujemy jako 

dominuj¹c¹ metodê rozwi¹zywania równañ.

Nierównoœci

Pojêcie nierównoœci

podaæ przyk³ad nierównoœci

Pojêcie nierównoœci traktujemy, podobnie jak rów-

nanie, w sposób intuicyjny.

Rozwi¹zanie nierównoœci sprawdziæ, czy dana liczba spe³nia 

nierównoœæ;

podaæ przyk³ad nierównoœci, której 

rozwi¹zania spe³niaj¹ dany warunek

Uczniowie powinni umieæ sprawdziæ, czy dana

liczba jest rozwi¹zaniem nierównoœci.

D¹¿¹c do tego, aby uczniowie nie tylko biernie 

stosowali wiedzê matematyczn¹, wykonujemy 

æwiczenia pozwalaj¹ce na konstruowanie nierów-

noœci o danym rozwi¹zaniu.

28

Równania i nierównoœci cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Nierównoœci

Nierównoœci równowa¿ne rozpoznaæ nierównoœci równowa¿ne;

napisaæ nierównoœæ równowa¿n¹

do danej;

rozwi¹zaæ nierównoœæ

Równie¿ w tym przypadku, podobnie jak przy

równaniach, metodê nierównoœci równowa¿nych 

traktujemy jako metodê dominuj¹c¹ przy roz-

wi¹zywaniu nierównoœci. Staramy siê, aby ucznio-

wie potrafili interpretowaæ na osi liczbowej zbiór 

rozwi¹zañ nierównoœci, oraz zapisaæ nierównoœæ, 

której interpretacjê maj¹ przedstawion¹ na osi

liczbowej.

Nierównoœci podwójne

rozwi¹zaæ nierównoœæ podwójn¹

Wykorzystujemy wiadomoœci uczniów doty-

cz¹ce rozwi¹zywania nierównoœci z wartoœci¹

bezwzglêdn¹ typu 

 i 

.

[ D

<

[ D

≤

29

Zbieranie i porz¹dkowanie danych

10 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Zbieranie i porz¹dko-

wanie danych

Dane statystyczne

zebraæ dane dotycz¹ce okreœlonego 

zjawiska;

przedstawiæ dane statystyczne

w ró¿ny sposób (tabela, diagram, 

wykres)

Zagadnienia statystyczne powinny byæ 

uwzglêdnione przy realizacji treœci zwi¹zanych

z obliczeniami procentowymi. Uzyskujemy wtedy 

mo¿liwoœæ po³¹czenia tych zagadnieñ bez koniecz-

noœci traktowania ich jako oddzielnych dziedzin 

matematyki. W naszych dzia³aniach d¹¿ymy do

tego, aby uczniowie potrafili interpretowaæ ró¿ne 

dane statystyczne, przedstawiaæ dane w ró¿nych 

postaciach. W miarê mo¿liwoœci wskazane jest 

wspomaganie nauczania przez stosowanie technik 

komputerowych.

Czêstoœæ zdarzenia

obliczyæ czêstoœæ zdarzenia na pod-

stawie zebranych danych

Do æwiczeñ wykorzystujemy dane zebrane przez 

uczniów podczas obserwacji ró¿nych zjawisk.

Pozwoli to na wskazanie praktycznych zastosowañ 

matematyki.

Œrednia arytmetyczna

obliczyæ œredni¹ arytmetyczn¹

Wykonujemy æwiczenia w obliczaniu wartoœci 

œrednich. Pokazujemy jak inna od rzeczywistoœci 

mo¿e byæ interpretacja zagadnieñ statystycznych.

30

Zwi¹zki miarowe w figurach

30 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Podstawowe figury 

geometryczne na 

p³aszczyŸnie

Punkt, prosta, p³aszczyzna wskazaæ podstawowe pojêcia

Wstêpne zagadnienia z geometrii traktujemy jako 

powtórzenie ze szko³y podstawowej. G³ównym 

celem jest ujednolicenie terminologii, któr¹ 

pos³uguj¹ siê uczniowie.

Przy okreœlaniu figur geometrycznych pos³ugu-

jemy siê terminem ,,zbiór”. Omawiamy tylko figu-

ry p³askie. Przypominamy sposoby konstruowania 

figur.

Odcinek

narysowaæ dowolny odcinek;

podaæ miarê odcinka

Okr¹g i ko³o

narysowaæ dowolne ko³o (okr¹g); 

narysowaæ ko³o (okr¹g) o danym 

promieniu;

wskazaæ ró¿nice pomiêdzy ko³em

i okrêgiem;

narysowaæ w kole (okrêgu) promieñ, 

ciêciwê, œrednicê

K¹ty. Rodzaje k¹tów

podaæ opis k¹ta;

narysowaæ dowolny k¹t;

narysowaæ k¹t o danej mierze;

rozró¿niaæ rodzaje k¹tów

Przypominamy wiadomoœci dotycz¹ce ró¿nych ro-

dzajów k¹tów. Æwiczymy umiejêtnoœæ wykorzysta-

nia zale¿noœci pomiêdzy miarami k¹tów wierz-

cho³kowych i przyleg³ych oraz k¹tów przy prostych 

równoleg³ych przeciêtych trzeci¹ prost¹. Podajemy 

zale¿noœæ pomiêdzy miarami charakterystycznych 

k¹tów w kole.

£amana

narysowaæ ³aman¹;

wskazaæ boki, wierzcho³ki ³amanej; 

obliczyæ d³ugoœæ ³amanej

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili stwier-

dziæ, czy dany zbiór odcinków tworzy ³aman¹, 

wskazaæ boki i wierzcho³ki ³amanej oraz potrafili 

ustaliæ d³ugoœæ ³amanej.

31

Zwi¹zki miarowe w figurach cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Podstawowe figury 

geometryczne na 

p³aszczyŸnie

Wielok¹t

narysowaæ dowolny wielok¹t; 

okreœliæ rodzaj narysowanego 

wielok¹ta

Uczniowie powinni rozpoznawaæ ró¿ne rodzaje 

wielok¹tów, wskazywaæ: boki, wierzcho³ki, 

przek¹tne, k¹ty wielok¹tów.

Wzajemne po³o¿enie

prostej i okrêgów

okreœliæ wzajemne po³o¿enie prostej 

i okrêgu;

narysowaæ konstrukcyjnie styczn¹

do okrêgu;

okreœliæ wzajemne po³o¿enie dwóch 

okrêgów;

narysowaæ okrêgi styczne 

zewnêtrznie;

narysowaæ okrêgi styczne 

wewnêtrznie;

narysowaæ okrêgi wspó³œrodkowe

Omawiamy podstawowe w³asnoœci stycznej do 

okrêgu. D¹¿ymy do tego, aby uczniowie nabrali 

wprawy w wykonywaniu ró¿nych konstrukcji. 

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili narysowaæ 

styczn¹ do okrêgu. Pokazujemy sposób uzasadnie-

nia, ¿e dana prosta jest styczna do okrêgu (promieñ 

jest prostopad³y do stycznej w punkcie stycznoœci). 

Wykonujemy æwiczenia pozwalaj¹ce na rozwijanie 

wyobraŸni uczniów, co u³atwi im zrozumienie za-

gadnieñ zwi¹zanych z okreœlaniem wzajemnego 

po³o¿enia okrêgów. Omawiaj¹c po³o¿enie okrê-

gów, mo¿emy nawi¹zaæ do zagadnieñ fizycznych 

zwi¹zanych z optyk¹ (ró¿ne rodzaje soczewek).

Obwód figury p³askiej Jednostki d³ugoœci

dokonaæ pomiaru d³ugoœci odcinka; 

narysowaæ odcinek o danej d³ugoœci; 

zamieniaæ jednostki d³ugoœci

Zagadnienia te powinny byæ realizowane przy 

omawianiu podstawowych figur geometrycznych.

Obwód figury p³askiej

obliczyæ obwód wielok¹ta

32

Zwi¹zki miarowe w figurach cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Zwi¹zki miarowe

w trójk¹cie

Warunek istnienia trój-

k¹ta

okreœliæ, czy z danych odcinków 

mo¿na zbudowaæ trójk¹t;

podaæ przyk³ad trzech odcinków, 

które mog¹ byæ bokami trójk¹ta; 

podaæ przyk³ad trzech odcinków, 

które nie mog¹ byæ bokami trójk¹ta

Realizacja zagadnieñ powinna byæ zwi¹zana

z obserwacjami w ¿yciu codziennym (wybór naj-

krótszej drogi). Pozwala to na przejœcie od obser-

wacji do zbudowania odpowiedniego modelu 

matematycznego.

Odcinki w trójk¹cie

narysowaæ wysokoœci w trójk¹cie; 

narysowa栜rodkowe boków trójk¹ta; 

stosowaæ w zadaniach podstawowe 

w³asnoœci wysokoœci i œrodkowych 

trójk¹ta

Æwiczymy umiejêtnoœæ rysowania i rozpoznawania 

wysokoœci oraz œrodkowych boków w trójk¹cie. 

Podstawowe w³asnoœci wykorzystujemy do

rozwi¹zywania zadañ.

Klasyfikacja trójk¹tów

okreœliæ rodzaj trójk¹ta;

narysowaæ okreœlony rodzaj trójk¹ta

Wykonujemy æwiczenia polegaj¹ce na rysowaniu 

ró¿nych rodzajów trójk¹tów. Uczniowie powinni 

rozró¿niaæ rodzaje trójk¹tów oraz umieæ je nary-

sowaæ.

Suma miar k¹tów trójk¹ta stosowaæ w zadaniach w³asnoœæ 

sumy miar k¹tów w trójk¹cie

W celu uzyskania odpowiedniej operatywnoœci

uczniowie powinni nie tylko umieæ podaæ miary 

k¹tów, które mog¹ byæ k¹tami trójk¹ta, ale równie¿ 

okreœliæ, czy k¹ty o danych miarach mog¹ byæ

k¹tami trójk¹ta.

33

Zwi¹zki miarowe w figurach cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Zwi¹zki miarowe

w trójk¹cie

Twierdzenie Pitagorasa

wykorzystaæ twierdzenie do wyzna-

czania d³ugoœci odcinków;

wykorzystaæ twierdzenie do kon-

struowania odcinków o d³ugoœciach 

wyra¿onych liczbami niewymier-
nymi (np. 

)

Twierdzenie Pitagorasa wykorzystujemy do 

wyznaczania d³ugoœci odcinków oraz do kon-

struowania odcinków o d³ugoœciach wyra¿onych 

liczbami niewymiernymi. Pokazujemy równie¿ 

sposoby zaznaczania na osi liczbowej punktów 

odpowiadaj¹cych liczbom niewymiernym.

Twierdzenie odwrotne

do tw. Pitagorasa

sprawdziæ, czy z danych odcinków 

mo¿na zbudowaæ trójk¹t prostok¹tny

Du¿y nacisk k³adziemy na praktyczne zastosowania 

twierdzenia Pitagorasa. W pracy dydaktycznej 

d¹¿ymy do tego, aby uczniowie w miarê swobodnie 

stosowali pojêcia zwi¹zane z trójk¹tem. Zwracamy 

uwagê na umiejêtnoœæ wyró¿niania w twierdzeniu 

za³o¿enia i tezy.



34

35

KLASA II

36

37

Liczby rzeczywiste

15 godzin



Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Potêga liczby wymier-

nej

Potêga o wyk³adniku 

ca³kowitym

zapisaæ potêgê o wyk³adniku ca³ko-

witym za pomoc¹ potêgi o wy-

k³adniku naturalnym;

zapisaæ potêgê o wyk³adniku natural-

nym za pomoc¹ potêgi

o wyk³adniku ca³kowitym;

obliczyæ potêgê o wyk³adniku ujem-

nym danej liczby

Rozszerzamy pojêcie potêgi na potêgi o wyk³ad-

nikach ca³kowitych. Poprzez stosowanie odpowied-

nich æwiczeñ d¹¿ymy do tego, aby uczniowie 

potrafili wyraziæ potêgê o wyk³adniku ca³kowitym 

poprzez potêgê o wyk³adniku naturalnym. Wskazu-

jemy na zastosowania potêg postaci 

 (

) do 

zapisu ró¿nych wielkoœci (np. masa atomowa, masa 

planet, odleg³oœci astronomiczne itp.).

Dzia³ania w zbiorze 

liczb rzeczywistych

Przekszta³canie wyra¿eñ 

zawieraj¹cych pierwiastki

stosowaæ w³asnoœci pierwiastków do 

przekszta³cania wyra¿eñ;

wykonywaæ dodawanie i mno¿enie 
na liczbach postaci 

Przy realizacji zagadnieñ zwi¹zanych z dzia³aniami 

w zbiorze liczb rzeczywistych wprowadzamy po-

jêcie liczby rzeczywistej i zwracamy uwagê na 

doskonalenie nabytych ju¿ umiejêtnoœci. W zada-

niach uwzglêdniamy równie¿ szacowanie wartoœci 

wyra¿eñ arytmetycznych, w których wystêpuj¹ 

pierwiastki.

Usuwanie niewymier-

noœci z mianownika

usun¹æ niewymiernoœæ z mianownika 
w liczbach postaci 

Rozwiniêcie zagadnieñ zwi¹zanych z usuwaniem 

niewymiernoœci z mianownika u³amka nast¹pi po 

zrealizowaniu wzorów skróconego mno¿enia.

Przekszta³canie wyra¿eñ 

zawieraj¹cych potêgi

i pierwiastki.

sprowadzaæ wyra¿enia arytmetycz-

ne zawieraj¹ce potêgi i pierwiastki 

do najprostszej postaci

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie osi¹gnêli du¿¹ 

sprawnoœæ rachunkow¹ w wykonywaniu dzia³añ na 

liczbach rzeczywistych. Stosujemy ró¿norodne 

æwiczenia nawi¹zuj¹ce do zastosowañ matematyki 

w innych dziedzinach nauki.



Q

Q &

∈

D E F





E F



38

Liczby rzeczywiste cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Liczba 

Liczba   jako przyk³ad 
liczby niewymiernej.

podaæ przybli¿on¹ wartoœæ liczby  ; 
stosowaæ liczbê   i jej wartoœæ  
przybli¿on¹ w zadaniach

Liczbê   przedstawiamy jako przyk³ad liczby 

niewymiernej. Liczbê   stosujemy g³ównie w za-

daniach dotycz¹cych obliczania d³ugoœci okrêgu

i pola ko³a. D¹¿ymy do wykszta³cenia umiejêtnoœci 

racjonalnego stosowania zapisu symbolicznego  

oraz wartoœci przybli¿onej liczby  .

π

π

π

π

π

π

π

39

Wyra¿enia algebraiczne

10 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Przekszta³canie 

wyra¿eñ algebraicz-

nych

Przekszta³canie wyra¿eñ 

algebraicznych zawiera-

j¹cych potêgi i pierwiastki

wykonywaæ dzia³ania na wyra¿e-
niach postaci 

;

przekszta³caæ nieskomplikowane 

wyra¿enia zawieraj¹ce potêgi

i pierwiastki

G³ównym zadaniem przy realizacji zagadnieñ do-

tycz¹cych wyra¿eñ algebraicznych jest doskona-

lenie posiadanych umiejêtnoœci. Rozszerzamy za-

kres liczbowy wspó³czynników na liczby nie-

wymierne.

Wzory skróconego 

mno¿enia

stosowaæ wzory skróconego mno-

¿enia do przekszta³cania wyra¿eñ 

algebraicznych;

wykonywaæ dzia³ania na wyra¿e-

niach algebraicznych, sprowadzaj¹c 

je do najprostszej postaci

Ze wzorów skróconego mno¿enia realizujemy: 

, 

 i 

. W dzia³aniach swych 

d¹¿ymy do tego, aby uczniowie wykazali siê opera-

tywnoœci¹ umiejêtnoœci. Powinni stosowaæ wzory 

skróconego mno¿enia nie tylko do zapisu iloczynu 

w postaci sumy, ale równie¿ stosowaæ je do roz-

k³adu wielomianów na czynniki. Omawiaj¹c wzory 

skróconego mno¿enia, wskazujemy na ich zasto-

sowania w rachunku pamiêciowym.

Rozk³ad wielomianu 

na czynniki

Metoda grupowania 

wyrazów i wy³¹czania 

wspólnego czynnika poza 

nawias w rozk³adzie 

wielomianu na czynniki

stosowaæ metodê grupowania 

wyrazów w rozk³adzie wielomianu 

na czynniki;

wy³¹czyæ wspólny czynnik poza 

nawias

Rozk³ad wielomianu na czynniki powinniœmy 

wykorzystaæ do rozwi¹zywania równañ wy¿szych 

stopni. Znajdujemy tu równie¿ okazjê do utrwalenia 

w³asnoœci iloczynu. Wykorzystujemy prawo roz-

dzielnoœci mno¿enia wzglêdem dodawania (odej-

mowania).

Rozk³ad wielomianu na 

czynniki z wykorzysta-

niem wzorów skróconego 

mno¿enia

stosowaæ wzory skróconego 

mno¿enia do rozk³adu wielomianu

na czynniki

Metodê tê mo¿emy wykorzystaæ do rozwi¹zywania 
równañ typu 

.

D E F



D E



(

)



D E

±

(

)



D



E



±

[





±



 

40

Funkcje

20 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Funkcja

Pojêcie funkcji

podaæ przyk³ady zale¿noœci funk-

cyjnych, równie¿ nie liczbowych; 

wskazaæ, w konkretnych przypadkach, 

dziedzinê funkcji i zbiór

wartoœci;

rozpoznaæ zale¿noœci funkcyjne;

opisaæ funkcjê na ró¿ne sposoby

Uczniowie powinni umieæ rozpoznawaæ zale¿no-

œci funkcyjne w ró¿nych sytuacjach (tak¿e przy-

padki funkcji nie liczbowych). Wskazujemy na 

praktyczne zastosowania funkcji (przedstawianie 

na wykresach kursów akcji, kursów walut, odczy-

tywanie tendencji wzrostowych itp.). D¹¿ymy do 

tego, aby uczniowie potrafili opisaæ funkcjê na 

ró¿ne sposoby.

Wykres funkcji

odczytywaæ z wykresu funkcji jej 

w³asnoœci;

przedstawiaæ na wykresie zale¿noœci 

funkcyjne z ró¿nych dziedzin

Du¿y nacisk k³adziemy na odczytywanie w³as-

noœci funkcji na podstawie jej wykresu. Odwo-

³ujemy siê w tym przypadku do ró¿nych dzie-

dzin, w których wykresy funkcji odgrywaj¹ 

znacz¹c¹ rolê.

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa i jej 

w³asnoœci

rozpoznaæ na podstawie wzoru funkcjê 

liniow¹;

podaæ przyk³ad wzoru okreœlaj¹cego 

funkcjê liniow¹;

wykonaæ wykres funkcji liniowej; 

podaæ miejsce zerowe funkcji liniowej;

okreœliæ monotonicznoœæ funkcji

liniowej;

podaæ przyk³ad funkcji liniowej: 

rosn¹cej, malej¹cej, sta³ej;

wykonaæ wykres funkcji liniowej

na podstawie jej w³asnoœci

Stosujemy ró¿norodne æwiczenia pozwalaj¹ce

na zrozumienie zagadnieñ zwi¹zanych z funk-

cjami. W zadaniach wykorzystujemy równania 

do badania w³asnoœci funkcji liniowej.

41

Równania i nierównoœci

15 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Równanie liniowe

Pojêcie równania linio-

wego

podaæ przyk³ad równania liniowego Nie wprowadzamy pojêcia równania w postaci 

ogólnej. Ograniczamy siê jedynie do okreœlenia 

równania liniowego.

Równania równowa¿ne

rozpoznaæ równania równowa¿ne; 

napisaæ równanie równowa¿ne

do danego

Metody rozwi¹zywania 

równañ liniowych

sprawdziæ, czy dana liczba jest 

rozwi¹zaniem równania liniowego; 

stosowaæ w³asnoœci równañ 

równowa¿nych do rozwi¹zywania 

równañ liniowych;

stosowaæ równania liniowe do bada-

nia w³asnoœci funkcji liniowych; 

stosowaæ równania liniowe do 

rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych 

dziedzin;

podaæ przyk³ad równania, którego 

rozwi¹zaniem jest dana liczba

Doskonalimy umiejêtnoœci z klasy I, wprowadza-

j¹c do rozwi¹zywania nowe typy równañ.

Du¿¹ uwagê zwracamy na zastosowania równañ

do rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych dziedzin. 

Powinniœmy zwróciæ równie¿ uwagê na mo¿li-

woœci, jakie daj¹ nam równania przy badaniu

w³asnoœci funkcji.

42

Równania i nierównoœci cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Nierównoœci liniowe

Pojêcie nierównoœci

liniowej

podaæ przyk³ad nierównoœci liniowej Nie wprowadzamy pojêcia nierównoœci w postaci 

ogólnej. Ograniczamy siê jedynie do okreœlenia

nierównoœci liniowej.

Nierównoœci równowa¿ne rozpoznaæ nierównoœci równowa¿ne;

napisaæ nierównoœæ równowa¿n¹

do danej

Metody rozwi¹zywania 

nierównoœci liniowych

sprawdziæ, czy dana liczba jest 

rozwi¹zaniem nierównoœci;

stosowaæ w³asnoœci nierównoœci 

równowa¿nych do rozwi¹zywania 

nierównoœci liniowych;

przedstawiæ zbiór rozwi¹zañ 

nierównoœci na osi liczbowej; 

stosowaæ nierównoœci do okreœlania 

w³asnoœci funkcji liniowej;

stosowaæ nierównoœci liniowe do 

rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych 

dziedzin

Wzoruj¹c siê na metodach rozwi¹zywania równañ, 

wprowadzamy podobne sposoby rozwi¹zywania

nierównoœci. Wskazane by³oby ³¹czne realizowanie 

zagadnieñ dotycz¹cych równañ i nierównoœci, 

chocia¿ nie jest to zabieg konieczny.

ProporcjonalnoϾ

ProporcjonalnoϾ prosta

i odwrotna

okreœliæ rodzaj proporcjonalnoœci dla 

danych wielkoœci;

interpretowaæ wspó³czynnik pro-

porcjonalnoœci w konkretnych sytu-

acjach

Przy wprowadzaniu pojêcia wielkoœci proporcjo-

nalnych i odwrotnie proporcjonalnych odwo³ujemy 

siê do zastosowañ praktycznych oraz matema-

tycznego opisu pewnych zale¿noœci fizycznych, 

chemicznych itp. Podajemy podstawowe w³asnoœci 

proporcji i stosujemy je do rozwi¹zywania równañ 

zapisanych w postaci proporcji i zadañ tekstowych.

43

Relacje miêdzy figurami geometrycznymi

25 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Symetria osiowa

Okreœlenie symetrii

osiowej

narysowaæ obraz figury w symetrii 

wzglêdem prostej

W realizacji zagadnieñ zwi¹zanych z symetri¹

osiow¹ du¿¹ uwagê zwracamy na rysowanie 

obrazów figur w symetrii. Mo¿emy nawi¹zaæ do 

„odbicia lustrzanego”, a tak¿e wskazaæ na zasto-

sowania symetrii osiowej w architekturze czy te¿ 

sztuce (mo¿emy realizowaæ np. elementy ,,Edukacji 

regionalnej”).

W³asnoœci symetrii

osiowej

rozpoznawaæ figury symetryczne 

wzglêdem prostej

W³asnoœci symetrii osiowej wykorzystujemy do 

tworzenia prostych ornamentów.

Symetria wzglêdem osi 

uk³adu wspó³rzêdnych

podaæ wspó³rzêdne obrazu punktu

w symetrii wzglêdem osi uk³adu 

wspó³rzêdnych;

obliczyæ wspó³rzêdne punktu na

podstawie wspó³rzêdnych jego 

obrazu w symetrii wzglêdem osi 

uk³adu wspó³rzêdnych

W uk³adzie wspó³rzêdnych ograniczamy siê tylko 

do symetrii wzglêdem osi uk³adu wspó³rzêdnych. 

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie oprócz umiejêtno-

œci okreœlenia wspó³rzêdnych obrazu punktu w sy-

metrii wzglêdem osi uk³adu potrafili równie¿ 

okreœliæ wspó³rzêdne punktu na podstawie 

wspó³rzêdnych jego obrazu. Pozwoli to nam na 

uzyskanie wiêkszej operatywnoœci nabytych przez 

uczniów umiejêtnoœci.

Oœ symetrii figury

wskazaæ figury posiadaj¹ce

oœ symetrii;

narysowaæ oœ symetrii figury,

o ile istnieje

W pracy dydaktycznej powinniœmy stosowaæ 

przyk³ady z ró¿nych dziedzin (architektura, sztuka

i inne), w których mo¿emy odnaleŸæ osie symetrii 

figury. Uzyskujemy w ten sposób mo¿liwoœæ pre-

zentowania dorobku kulturalnego ró¿nych naro-

dów.

44

Relacje miêdzy figurami geometrycznymi cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Symetria osiowa

Symetralna odcinka

narysowaæ konstrukcyjnie syme-

traln¹ odcinka;

stosowaæ symetraln¹ odcinka do 
podzia³u na 2

n

 równych czêœci

Symetraln¹ odcinka definiujemy jako jedn¹ z osi 

symetrii odcinka. Omawiamy jej w³asnoœci i stosu-

jemy przy wykonywaniu konstrukcji. D¹¿ymy

do tego, aby uczniowie osi¹gnêli bieg³oœæ

w pos³ugiwaniu siê symetraln¹, poniewa¿ zagad-

nienia te bêd¹ wykorzystywane przy wykonywaniu 

innych konstrukcji.

Dwusieczna k¹ta

narysowaæ konstrukcyjnie dwu-

sieczn¹ k¹ta;

stosowaæ w³asnoœci dwusiecznej

k¹ta w zadaniach

Dwusieczn¹ k¹ta definiujemy jako jego oœ symetrii. 

Omawiamy jej w³asnoœci i stosujemy do wykony-

wania konstrukcji. D¹¿ymy do tego, aby uczniowie 

osi¹gnêli bieg³oœæ w pos³ugiwaniu siê dwusieczn¹ 

k¹ta, poniewa¿ zagadnienia te bêd¹ wykorzysty-

wane przy wykonywaniu innych konstrukcji.

Okr¹g opisany i wpisany 

w trójk¹t

narysowaæ konstrukcyjnie okr¹g 

wpisany w trójk¹t;

narysowaæ konstrukcyjnie okr¹g 

opisany na trójk¹cie

Doskonalimy umiejêtnoœci konstrukcyjne uczniów 

poprzez stosowanie opanowanych ju¿ umiejêtnoœci 

konstruowania symetralnej odcinka i dwusiecznej 

k¹ta.

Symetria œrodkowa

Okreœlenie symetrii œrod-

kowej

narysowaæ obraz figury w symetrii 

wzglêdem dowolnego punktu

Zagadnienia zwi¹zane z symetri¹ œrodkow¹ traktu-

jemy analogicznie jak przy symetrii osiowej.

W³asnoœci symetrii œrod-

kowej

rozpoznaæ figury symetryczne 

wzglêdem punktu

45

Relacje miêdzy figurami geometrycznymi cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Symetria œrodkowa

Symetria wzglêdem 

pocz¹tku uk³adu 

wspó³rzêdnych

wyznaczyæ wspó³rzêdne obrazu 

punktu w symetrii wzglêdem 

pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych; 

wyznaczyæ wspó³rzêdne punktu

na podstawie wspó³rzêdnych jego 

obrazu w symetrii wzglêdem 

pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych

W uk³adzie wspó³rzêdnych omawiamy symetriê 

wzglêdem pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych.

W zagadnieniach zwi¹zanych z wyznaczaniem 

wspó³rzêdnych punktu i jego obrazu wykorzystu-

jemy umiejêtnoœæ rozwi¹zywania równañ.

Pozwoli to, oprócz utrwalenia, na wskazanie ich

zastosowañ w innych dzia³ach matematyki.

Œrodek symetrii figury

wskazaæ figury posiadaj¹ce œrodek 

symetrii;

narysowaæ œrodek symetrii figury,

o ile istnieje

W pracy dydaktycznej powinniœmy stosowaæ

przyk³ady z ró¿nych dziedzin (architektura,

sztuka i inne), w których mo¿emy odnaleŸæ

œrodek symetrii figury.

Wielok¹ty foremne

Rodzaje w³asnoœci 

wielok¹tów foremnych

wskazaæ wielok¹ty foremne;

narysowaæ niektóre wielok¹ty 

foremne

Konstrukcje wielok¹tów foremnych ograniczamy 

do tych, które mo¿na skonstruowaæ na bazie 

kwadratu lub szeœciok¹ta foremnego. Zapozna-

jemy uczniów z podstawowymi w³asnoœciami

dotycz¹cymi wielok¹tów foremnych.

Przystawanie 

trójk¹tów

Przekszta³cenia izometry-

czne

wskazaæ przekszta³cenia izome-

tryczne p³aszczyzny

Porównujemy w³asnoœci symetrii osiowej i sy-

metrii œrodkowej.

Okreœlamy przekszta³cenie izometryczne.

46

Relacje miêdzy figurami geometrycznymi cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Przystawanie 

trójk¹tów

W³asnoœci przekszta³ceñ 

izometrycznych

rozpoznaæ figury przystaj¹ce; 

stosowaæ w³asnoœci przekszta³ceñ 

izometrycznych do rozwi¹zywania 

zadañ tekstowych

W³asnoœci przekszta³ceñ izometrycznych wyko-

rzystujemy do rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych 

dziedzin. Uwzglêdniamy w tym przypadku proste 

zadania na dowodzenie, w których nale¿y zasto-

sowaæ podstawowe w³asnoœci przekszta³ceñ izo-

metrycznych.

Cechy przystawania 

trójk¹tów

stosowaæ cechy przystawania 

trójk¹tów do rozwi¹zywania zadañ 

konstrukcyjnych i zadañ na dowo-

dzenie

Omawiamy trzy cechy przystawania trójk¹tów 

(bbb, bkb, kbk) i wykorzystujemy je do rozwi¹zy-

wania zadañ zarówno konstrukcyjnych, jak i na 

dowodzenie. W tych ostatnich zadaniach zwracamy 

uwagê na konstrukcjê twierdzenia. D¹¿ymy do te-

go, aby uczniowie potrafili w twierdzeniu wskazaæ 

za³o¿enie i tezê.

47

Pole figury p³askiej

15 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Pole figury p³askiej

Pojêcie pola figury

Jednostki pola

zamieniaæ jednostki pola

Wprowadzamy zarówno jednostki miary pola

z uk³adu SI, jak i jednostki stosowane

w praktyce, np. a, ha.

Pola wielok¹tów

obliczyæ pole trójk¹ta;

obliczyæ pole czworok¹ta

Pole dowolnych wielok¹tów obliczamy, dziel¹c je 

na odpowiednie trójk¹ty.

Pole ko³a, d³ugoœæ okrêgu obliczyæ pole ko³a i d³ugoœæ okrêgu Staramy siê osi¹gn¹æ sprawnoœæ w zakresie obli-

czania obwodu i pola ko³a, wykorzystuj¹c zapis 
symboliczny liczby   (np. pole ko³a o promieniu 3 
jest równe 

) oraz wartoœæ przybli¿on¹ (np. pole 

ko³a o promieniu 3 m jest równe 28,26 m

2

).

π



π

48

Zbieranie i porz¹dkowanie danych

10 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Interpretacja danych 

statystycznych

Zbieranie, przedstawianie 

danych statystycznych.

zebraæ i przedstawiæ w ró¿ny sposób 

dane dotycz¹ce okreœlonego zjawi-

ska

Staramy siê, aby uczniowie œwiadomie przed-

stawiali zgromadzone przez siebie dane w postaci 

tabel, ró¿nego rodzaju diagramów i wykresów.

Bazujemy na wiadomoœciach i umiejêtnoœciach

nabytych w poprzednich latach nauki. W miarê 

mo¿liwoœci wykorzystujemy œrodki multimedialne 

do prezentacji i opracowywania danych.

Interpretowanie danych 

statystycznych

interpretowaæ pewne w³asnoœci

zebranych danych empirycznych

Wartoœæ œrednia

obliczaæ wartoœæ œredni¹

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili stosowaæ 

algorytm obliczania œredniej arytmetycznej, 

u¿ywaj¹c kalkulatorów i komputerów. Staramy siê, 

aby uczniowie zrozumieli ideê wartoœci œredniej

szeregu doœwiadczeñ i w³aœciwie odnosili j¹ do 

wnioskowania indywidualnego.

49

KLASA III

KLASA III

50

51

Liczby rzeczywiste

10 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Podzbiory zbioru R

Relacje miêdzy podzbio-

rami zbioru R

okreœlaæ zale¿noœci pomiêdzy pod-

zbiorami zbioru R

Zwracamy uwagê na liczbê 0. Zaliczamy j¹ do

zbioru liczb naturalnych. Nie jest ona jednak ani

liczb¹ dodatni¹ ani ujemn¹. D¹¿ymy do tego, aby 

uczniowie wskazywali relacje miêdzy podzbiorami 

zbioru R.

Porównywanie liczb

zapisaæ liczbê rzeczywist¹ w ró¿ny 

sposób;

uporz¹dkowaæ rosn¹co i malej¹co 

skoñczony zbiór liczb

Liczby rzeczywiste zapisujemy w ró¿nej postaci. 

Przy przedstawieniu liczby rzeczywistej jako

u³amka dziesiêtnego zwracamy uwagê na to, ¿e

w zale¿noœci od tego czy jest to liczba wymierna, 

czy nie, przedstawienie to jest u³amkiem skoñczo-

nym, nieskoñczonym okresowym lub nieskoñczo-

nym nieokresowym. Wykonujemy æwiczenia 

pozwalaj¹ce zaznaczyæ na osi liczbowej odpo-

wiednie liczby. Przypominamy wartoϾ bez-

wzglêdn¹ liczby i jej w³asnoœci.

Przedzia³y liczbowe

zaznaczyæ na osi liczbowej dany 

przedzia³

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili podaæ 

przyk³ady przedzia³ów liczbowych oraz zaznaczyæ 

je na osi liczbowej.

52

Liczby rzeczywiste cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Dzia³ania w zbiorze 

liczb rzeczywistych

Wykonalnoœæ dzia³añ

w podzbiorach zbioru R

wykonywaæ obliczenia w zbiorze R Staramy siê, aby uczniowie osi¹gnêli sprawnoœæ

rachunkow¹, wykorzystuj¹c ró¿ne metody liczenia 

(rachunki pisemne, wykorzystanie kalkulatorów, 

komputerów). D¹¿ymy do sprawnego wykony-

wania rachunków, stosuj¹c wzory skróconego 

mno¿enia, w tym równie¿ do usuwania nie-

wymiernoœci z mianownika u³amka.

W³asnoœci dzia³añ

w zbiorze R

wykorzystywaæ w³asnoœci dzia³añ

w zbiorze R

Systematyzujemy wiadomoœci o zbiorze liczb

rzeczywistych i dzia³aniach w tym zbiorze.

Analizujemy sytuacje, w których powinniœmy 

uwzglêdniaæ stosowanie nawiasów. Dzia³ ten

traktujemy jako podsumowanie nauki o liczbach 

rzeczywistych w gimnazjum.

53

Wyra¿enia algebraiczne

10 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Wyra¿enia wymierne Pojêcie wyra¿enia

wymiernego

podaæ przyk³ad wyra¿enia

wymiernego;

okreœliæ dziedzinê wyra¿enia

wymiernego

Staramy siê, aby uczniowie umieli przedstawiæ 

dane wyra¿enie wymierne w najprostszej postaci 

(bez zmiany jego dziedziny). Rozpatrujemy niezbyt 

skomplikowane wyra¿enia, aby uczniowie mogli 

nauczyæ siê tych zagadnieñ bez dodatkowych utrud-

nieñ. Od uczniów wymagamy starannego okreœle-

nia dziedziny wyra¿enia wymiernego.

Równoœæ wyra¿eñ

wymiernych

rozszerzaæ wyra¿enie wymierne

z zachowaniem tej samej dziedziny; 

skracaæ wyra¿enia wymierne z za-

chowaniem tej samej dziedziny

Zwracamy uwagê na analogiê do odpowiednich

operacji stosowanych przy u³amkach.

Dodawanie i odejmowanie 

wyra¿eñ wymiernych

obliczyæ sumê wyra¿eñ wymiernych; 

obliczyæ ró¿nicê wyra¿eñ wymier-

nych

Wyra¿enia wymierne traktujemy jako „u³amki”

i zwracamy uwagê na podobieñstwo do dzia³añ

na liczbach wymiernych. Staramy siê, aby

„mianowniki” wyra¿eñ wymiernych by³y mo¿li-

wie najprostsze.

Mno¿enie i dzielenie 

wyra¿eñ wymiernych

obliczyæ iloczyn wyra¿eñ wymier-

nych;

obliczyæ iloraz wyra¿eñ wymier-

nych

Wykorzystujemy analogiê do dzia³añ na liczbach 

wymiernych. Wykonuj¹c dzia³ania na wyra¿eniach 

wymiernych, wskazujemy na ich zastosowania

w fizyce, chemii i geometrii.

Wartoœæ liczbowa 

wyra¿enia wymiernego

przekszta³ciæ wyra¿enie wymierne

do postaci dogodnej dla wykony-

wania obliczeñ;

obliczyæ wartoœæ liczbow¹ wyra¿e-

nia

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie osi¹gnêli pewn¹ 

sprawnoœæ w przekszta³caniu wyra¿eñ wymiernych. 

Obliczamy wartoœci liczbowe wyra¿eñ, które maj¹ 

swoje pochodzenie w sytuacjach praktycznych.

54

Wyra¿enia algebraiczne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Wyra¿enia

wymierne

Przekszta³canie wzorów

wyznaczyæ wskazan¹ we wzorze 

wielkoϾ

Stosujemy nabyte przez uczniów umiejêtnoœci do 

przekszta³cania wzorów (fizycznych, chemicznych 

itp.). D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili 

okreœliæ wielkoœci potrzebne do wyznaczenia 

wielkoœci wskazanej.

55

Równania, nierównoœci i uk³ady równañ

15 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Równania i nierów-

noœci pierwszego

stopnia z dwiema 

niewiadomymi

Metody rozwi¹zywania 

równañ i nierównoœci 

pierwszego stopnia z jedn¹ 

niewiadom¹

rozwi¹zaæ równanie pierwszego

stopnia z jedn¹ niewiadom¹;

sprawdziæ, czy dana liczba jest roz-

wi¹zaniem równania;

rozwi¹zaæ nierównoœæ pierwszego 

stopnia z jedn¹ niewiadom¹; 

sprawdziæ, czy dana liczba jest

rozwi¹zaniem nierównoœci;

stosowaæ równania i nierównoœci

do rozwi¹zywania zadañ z ró¿nych 

dziedzin

Rozpoczêcie, w tym dziale, nauki od powtórzenia 

wiadomoœci i metod rozwi¹zywania równañ i nie-

równoœci pierwszego stopnia z jedn¹ niewiadom¹, 

ma na celu zarówno przypomnienie, jak i dosko-

nalenie umiejêtnoœci rozwi¹zywania równañ. 

Mo¿emy wprowadziæ nowe typy równañ.

Sposoby rozwi¹zywania 

równañ pierwszego stop-

nia z dwiema niewia-

domymi

podaæ ogólne rozwi¹zanie równania 

pierwszego stopnia z dwiema nie-

wiadomymi;

podaæ rozwi¹zanie szczegó³owe

równania;

sprawdziæ, czy dana para liczb jest 

rozwi¹zaniem równania z dwiema 

niewiadomymi

Doskonalimy przekszta³canie wielomianów, spro-

wadzaj¹c równanie pierwszego stopnia z dwiema 

niewiadomymi do postaci dogodnej dla podania

rozwi¹zania ogólnego, jak i szczegó³owego. 

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie potrafili sprawdziæ, 

czy dana para liczb jest rozwi¹zaniem szczegó³o-

wym równania. Wskazane by³oby, aby uczniowie 

potrafili podaæ przyk³ad równania o danym roz-

wi¹zaniu.

56

Równania, nierównoœci i uk³ady równañ cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Równania i nierów-

noœci pierwszego stop-

nia z dwiema niewia-

domymi

Interpretacja geometrycz-

na równania i nierównoœci 

pierwszego stopnia

z dwiema niewiadomymi. 

Równanie prostej

doprowadziæ równanie pierwszego 

stopnia z dwiema niewiadomymi do 

równania prostej;

narysowaæ prost¹ odpowiadaj¹c¹ 

danemu równaniu;

zaznaczyæ na p³aszczyŸnie zbiór 

punktów, których wspó³rzêdne 

spe³niaj¹ okreœlon¹ nierównoœæ; 

napisaæ równanie prostej o zadanych 

w³asnoœciach

Przy równaniach pierwszego stopnia z dwiema 
niewiadomymi równanie postaci 

 

sprowadzamy do postaci 

, 

. 

Wprowadzamy równie¿ pojêcie równania prostej, 

które przydatne bêdzie do wprowadzenia interpre-

tacji geometrycznej uk³adów równañ. Przy interpre-

tacji geometrycznej równañ liniowych z dwiema 

niewiadomymi uwagê zwracamy na ich szczególne 
przypadki, a mianowicie: 
i 

.

Uk³ady równañ 

pierwszego stopnia

z dwiema niewiado-

mymi

Pojêcie uk³adu równañ 

pierwszego stopnia

z dwiema niewiadomymi

rozpoznaæ uk³ad równañ pierwszego 

stopnia z dwiema niewiadomymi;

podaæ przyk³ad uk³adu równañ 

pierwszego stopnia z dwiema nie-

wiadomymi

Wprowadzamy pojêcie uk³adu równañ pierwszego 

stopnia z dwiema niewiadomymi oraz pojêcie

rozwi¹zania uk³adu równañ.

D[ E\ F







 

\

D[ F



E



±

 

E 

≠

 [ E\ F





⋅



 

D[  \ F



⋅





 

57

Równania, nierównoœci i uk³ady równañ cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Uk³ady równañ 

pierwszego stopnia

z dwiema niewia-

domymi

Metody rozwi¹zywania 

uk³adów równañ 

pierwszego stopnia

z dwiema niewiadomymi

sprawdziæ, czy dana para liczb jest

rozwi¹zaniem uk³adu równañ;

przekszta³ciæ dany uk³ad równañ

na uk³ad mu równowa¿ny;

podaæ przyk³ad równowa¿nych 

uk³adów równañ;

rozwi¹zaæ uk³ad równañ wybran¹ 

przez siebie metod¹;

stosowaæ uk³ady równañ do rozwi¹-

zywania zadañ z ró¿nych dziedzin

Przy rozwi¹zywaniu uk³adów równañ pokazujemy 

ró¿ne metody ich rozwi¹zywania, natomiast 

d¹¿ymy do tego, aby uczniowie biegle stosowali 

jedn¹ z nich. W tym celu nie okreœlamy priorytetu 

dla ¿adnej z metod. Uczniowie sami powinni 

wybraæ najwygodniejsz¹ dla siebie metodê roz-

wi¹zywania uk³adów równañ. D¹¿ymy do tego,

aby uczniowie, za pomoc¹ uk³adów równañ,

opisywali problemy wynikaj¹ce z otaczaj¹cej ich 

rzeczywistoœci oraz z zakresu ró¿nych dziedzin.

Interpretacja geometrycz-

na uk³adu równañ 

pierwszego stopnia

z dwiema niewiadomymi

podaæ interpretacjê geometryczn¹ 

uk³adu równañ;

okreœliæ zbiór rozwi¹zañ uk³adu 

równañ na podstawie jego interpre-

tacji geometrycznej

Uczniowie powinni umieæ przedstawiæ w uk³adzie 

wspó³rzêdnych interpretacjê geometryczn¹ ró¿nych 

rodzajów uk³adów równañ. D¹¿ymy do tego, aby na 

podstawie interpretacji geometrycznej uczniowie 

potrafili okreœliæ rodzaj uk³adu i odczytaæ jego roz-

wi¹zania.

58

Doœwiadczenia losowe

10 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Doœwiadczenia

losowe

Pojêcie doœwiadczenia 

losowego

podaæ przyk³ad doœwiadczenia loso-

wego;

zebraæ dane dotycz¹ce okreœlonego 

zdarzenia losowego;

przedstawiæ zebrane dane w postaci 

graficznej

W ¿yciu codziennym coraz czêœciej spotykamy siê 

z koniecznoœci¹ korzystania i interpretowania 

ró¿nych danych statystycznych. Przedstawianie ich 

w postaci ró¿nych tabel, wykresów, czy te¿ dia-

gramów powoduje mo¿liwoœæ ich ³atwej

interpretacji. W naszej pracy d¹¿ymy do tego,

aby uczniowie potrafili zebraæ odpowiednie dane 

dla okreœlonego doœwiadczenia losowego i przed-

stawiæ je w formie graficznej. U³atwieniem w reali-

zacji tych zagadnieñ mo¿e byæ wykorzystanie opro-

gramowania komputerowego (nale¿y nawi¹zaæ 

wspó³pracê z nauczycielem informatyki). Podej-

mujemy próby zinterpretowania wyników

doœwiadczenia losowego.

Czêstoœæ zdarzenia

obliczyæ czêstoœæ zdarzenia

w doœwiadczeniu losowym

Na podstawie zebranych danych dla doœwiadczenia 

losowego obliczamy czêstoœæ zdarzenia.

Nale¿y zwróciæ uwagê na zachodz¹ce zmiany

w czêstoœci zdarzenia w zale¿noœci od liczby 

przeprowadzonych doœwiadczeñ. Mo¿e to byæ 

wstêpem do okreœlenia czêstoœci teoretycznej

danego zdarzenia losowego.

59

Przekszta³cenia geometryczne

20 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Jednok³adnoœæ

Okreœlenie i w³asnoœci 

jednok³adnoœci

znaleŸæ obraz odcinka w jedno-

k³adnoœci;

obliczyæ d³ugoœæ obrazu odcinka

w jednok³adnoœci;

znaleŸæ obraz okrêgu (ko³a)

w jednok³adnoœci;

rozpoznawaæ figury jednok³adne;

rysowaæ figury jednok³adne

Wprowadzaj¹c pojêcie jednok³adnoœci, podajemy je 

jako przyk³ad przekszta³cenia nieizometrycznego. 

Zwracamy uwagê na zachowanie wspó³liniowoœci 

punktów w jednok³adnoœci. Omawiamy zmiany 

d³ugoœci odcinków w jednok³adnoœci oraz stosunek 

pól figur jednok³adnych. D¹¿ymy do tego, aby ucz-

niowie potrafili rysowaæ figury jednok³adne.

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa

i wnioski

stosowaæ twierdzenie Talesa do 

wyznaczania d³ugoœci wskazanych 

odcinków;

podzieliæ odcinek na równe czêœci

Wprowadzamy twierdzenie Talesa i twierdzenie

do niego odwrotne, wskazuj¹c jednoczeœnie na ich 

wszechstronne zastosowania do rozwi¹zywania

problemów ¿ycia codziennego.

Podobieñstwo

Definicja i w³asnoœci 

podobieñstwa

rozpoznawaæ figury podobne; 

okreœlaæ w³asnoœci figur podob-

nych;

rysowaæ figury podobne

Staramy siê, aby uczniowie zdobyli doœwiadczenie

w zakresie stosowania wiadomoœci i umiejêtnoœci 

niezbêdnych w sytuacjach praktycznych.

(powiêkszanie, zmniejszanie figur).

60

Przekszta³cenia geometryczne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Podobieñstwo

Cechy podobieñstwa 

trójk¹tów

wskazaæ trójk¹ty podobne;

stosowaæ w³asnoœci podobieñstwa 

trójk¹tów w zadaniach praktycz-

nych

Du¿y nacisk k³adziemy na rozpoznawanie trójk¹tów 

podobnych. W³asnoœci podobieñstwa trójk¹tów

stosujemy zarówno w zadaniach zwi¹zanych

z ¿yciem codziennym jak i w zadaniach teoretycz-

nych.

Plan i mapa

naszkicowaæ plan terenu lub inne-

go obiektu w danej skali;

odczytaæ rzeczywiste wymiary 

obiektu przedstawionego w danej 

skali

Pos³ugujemy siê rzeczywistymi obiektami, rysuj¹c 

plan w okreœlonej skali lub przedstawiamy plan

istniej¹cego obiektu (wskazane by³oby, aby obiekt

by³ znany uczniom). Zwracamy uwagê na oznacze-

nia symboliczne oraz na oznaczenia rzeczywistych 

obiektów w odpowiedniej skali. Powinniœmy wyko-

rzystywaæ wiedzê i umiejêtnoœci uczniów z lekcji

geografii.

61

Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie

20 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Zwi¹zki miêdzy 

bokami w trójk¹cie

Twierdzenie Pitagorasa

stosowaæ twierdzenie Pitagorasa

do obliczania d³ugoœci brakuj¹cych 

boków w trójk¹cie

Powtarzamy i utrwalamy wiadomoœci z lat poprzed-

nich. Przypominamy warunek istnienia trójk¹ta

i wykorzystujemy go do badania wielok¹tów, które 

dzielimy na odpowiednie trójk¹ty.

Funkcje trygonometry-

czne k¹ta ostrego

Okreœlenie funkcji trygo-

nometrycznych k¹ta 

ostrego

okreœliæ funkcje trygonometryczne 

k¹ta ostrego w trójk¹cie prosto-

k¹tnym

Nie prowadzimy rozwa¿añ dotycz¹cych funkcji

trygonometrycznych w ogólnym znaczeniu.

Ograniczamy siê jedynie do zwi¹zków pomiêdzy 

bokami i k¹tami w trójk¹cie prostok¹tnym, stosuj¹c 

odpowiednie nazwy funkcji trygonometrycznych.

Wartoœci funkcji trygono-

metrycznych k¹ta ostrego

odczytaæ z tablic wartoœci funkcji

trygonometrycznych k¹ta ostrego; 

wykorzystaæ kalkulator do wyzna-

czenia wartoœci funkcji trygono-

metrycznych k¹ta ostrego;

obliczyæ wartoœci funkcji trygono-

metrycznych k¹tów 30

o

, 45

o

, 60

o

.

D¹¿ymy do tego, aby uczniowie nabrali wprawy

w odczytywaniu wartoœci funkcji trygonometrycz-

nych k¹tów ostrych (zw³aszcza, kiedy u¿ywaj¹

kalkulatorów). Pokazujemy sposoby obliczania 

wartoœci funkcji dla wybranych k¹tów w przypad-

kach, w których mo¿emy wykorzystaæ w³asnoœci 

trójk¹tów.

62

Zwi¹zki miarowe w trójk¹cie cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Funkcje trygonometry-

czne k¹ta ostrego

Zwi¹zki pomiêdzy

funkcjami trygono-

metrycznymi tego samego 

k¹ta

obliczyæ wartoœci pozosta³ych funk-

cji trygonometrycznych, znaj¹c

wartoϾ jednej z nich;

rozwi¹zaæ trójk¹t prostok¹tny; 

stosowaæ funkcje trygonometryczne 

do rozwi¹zywania zadañ

Wprowadzamy podstawowe zwi¹zki pomiêdzy 

funkcjami trygonometrycznymi tego samego k¹ta. 

Wykonujemy æwiczenia polegaj¹ce na wyznaczaniu 

wartoœci funkcji trygonometrycznych na podstawie 

wartoœci jednej z funkcji. Staramy siê, aby ucznio-

wie widzieli potrzebê korzystania z funkcji trygo-

nometrycznych do rozwi¹zywania trójk¹tów 

prostok¹tnych. Rozwa¿aj¹c zadania o wielok¹tach, 

dzielimy dany wielok¹t na odpowiednie do dal-

szych badañ trójk¹ty (prostok¹tne) i stosujemy 

potrzebne funkcje trygonometryczne.

63

Figury przestrzenne

20 godzin

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Proste i p³aszczyzny

w przestrzeni

Wzajemne po³o¿enie

prostych i p³aszczyzn

w przestrzeni

okreœliæ po³o¿enie prostych

i p³aszczyzn w przestrzeni;

wskazaæ, na modelu, okreœlone

proste i p³aszczyzny

D¹¿ymy do wykszta³cenia sprawnoœci w zakresie 

dostrzegania równoleg³oœci i prostopad³oœci prostej 

i p³aszczyzny oraz dwóch p³aszczyzn. Precyzujemy 

pojêcie prostych skoœnych.

Rzut równoleg³y

Rzut równoleg³y

na p³aszczyznê

wyznaczyæ obraz rzutu równoleg³ego 

punktu na p³aszczyznê

Naukê o rzutach rozpoczynamy od rysowania cienia 

figury na p³aszczyŸnie. Rzuty równoleg³e traktuje-

my jako przekszta³cenie geometryczne. Omawiamy 

podstawowe w³asnoœci, które pozwol¹ uczniom na 

w³aœciwe rysowanie obrazów figur przestrzennych.

Rzut równoleg³y prostych 

i odcinków

wyznaczyæ obraz rzutu równoleg³ego 

odcinków na p³aszczyznê;

wyznaczyæ obraz rzutu równoleg³ego 

prostych na p³aszczyznê

Rzut równoleg³y figury 

p³askiej

narysowaæ obraz rzutu równoleg³ego 

wielok¹ta;

narysowaæ obraz rzutu równoleg³ego 

ko³a

Rzut prostok¹tny.

K¹t miêdzy prost¹

i p³aszczyzn¹

stosowaæ rzut prostok¹tny do spo-

rz¹dzania planów;

wyznaczyæ k¹t nachylenia prostej

do p³aszczyzny

Wyznaczanie k¹ta nachylenia prostej do p³asz-

czyzny powinno odbywaæ siê na odpowiednich

do tego celu modelach.

K¹t dwuœcienny

wyznaczyæ k¹t dwuœcienny;

odczytaæ miarê k¹ta liniowego

danego k¹ta dwuœciennego

Wyznaczanie k¹ta dwuœciennego powinno odbywaæ 

siê na odpowiednich do tego celu modelach.

64

Figury przestrzenne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Bry³y

Opis graniastos³upa, 

ostros³upa, walca, sto¿ka

i kuli

rozpoznawaæ poszczególne rodzaje 

bry³

Omawiaj¹c ró¿nego rodzaju bry³y, d¹¿ymy do tego, 

aby uczniowie potrafili rozpoznawaæ ró¿ne rodzaje 

bry³.

Siatki bry³

wykonaæ siatki graniastos³upów

i ostros³upów;

rozpoznaæ bry³ê na podstawie jej

siatki

Wykonywane æwiczenia powinny doprowadziæ do 

tego, aby uczniowie potrafili przygotowaæ siatkê 

odpowiedniego modelu bry³y. Wiêksz¹ operatyw-

noœæ wiedzy uzyskamy, stosuj¹c æwiczenia,

w których uczniowie, na podstawie przedstawionej 

siatki, bêd¹ okreœlaæ rodzaj odpowiedniej dla niej 

bry³y, b¹dŸ te¿ stwierdzaæ, ¿e nie odpowiada

siatce ¿adnej z poznanych bry³.

Rzut równoleg³y bry³

narysowaæ obraz rzutu równoleg³ego 

bry³y;

wskazaæ na rysunku bry³y w rzucie 

równoleg³ym podane k¹ty dwu-

œcienne

Wykorzystujemy w³asnoœci rzutu równoleg³ego do 

przedstawiania bry³ na p³aszczyŸnie. Wskazujemy 

na znaczenie praktyczne i zalety czytelnie wyko-

nanego rysunku.

Pole powierzchni bry³ Jednostki pola

zamieniaæ ró¿ne jednostki pola

U¿ywamy ró¿nych jednostek miary powierzchni 

zarówno z uk³adu SI, jak i stosowanych w praktyce 

(np. a, ha). Zagadnienia te traktujemy jako 

powtórzenie i usystematyzowanie wiadomoœci. 

Wykonujemy æwiczenia pozwalaj¹ce na dokony-

wanie zamiany jednego rodzaju jednostek na inny.

65

Figury przestrzenne cd.

Has³o

Realizowane treœci

Zak³adane osi¹gniêcia uczniów.

Uczeñ potrafi:

Opis procedur osi¹gania celów

Pole powierzchni bry³ Pole powierzchni bocznej obliczyæ pole powierzchni bocznej 

poznanych bry³

Stosujemy w zadaniach umiejêtnoœæ przedstawienia 

na p³aszczyŸnie odpowiedniego fragmentu bry³y. 

Wykorzystujemy umiejêtnoœci zwi¹zane ze stoso-

waniem funkcji trygonometrycznych, twierdzenia 

Pitagorasa i Talesa.

Pole powierzchni ca³ko-

witej

obliczyæ pole powierzchni ca³ko-

witej poznanych bry³;

stosowaæ do obliczania pól po-

wierzchni funkcje trygonometryczne

Objêtoœæ bry³y

Jednostki objêtoœci

zamieniaæ ró¿nego rodzaju jednostki 

objêtoœci

Wprowadzamy jednostki objêtoœci (równie¿ 

stosowane w praktyce). Wykonujemy æwiczenia

polegaj¹ce na zamianie jednego rodzaju jednostki 

na inny.

Objêtoœæ graniastos³upa, 

ostros³upa, walca, sto¿ka

i kuli

obliczyæ objêtoœæ poznanych bry³; 

stosowaæ do obliczania objêtoœci 

funkcje trygonometryczne

Rozwi¹zywanie zadañ, podobnie jak obliczanie pól 

powierzchni, wymaga stosowania wszystkich naby-

tych przez uczniów umiejêtnoœci. Szczególn¹ 

uwagê zwracamy na umiejêtnoœæ przedstawienia 

w³aœciwego fragmentu bry³y w postaci dogodnej

do rozwi¹zania zadania. D¹¿ymy do wykszta³cenia 

racjonalnego stosowania zapisu symbolicznego.

W przypadkach koniecznych stosujemy odpowied-

nie przybli¿enia.