®Maria Majkowska

Wykład 2, Leśnictwo(zaoczne) 2013-2014r.

Własności funkcji ciągłych opisują następujące twierdzenia:

Tw. Jeżeli

)

x

(

f

oraz

X

x

),

x

(

g

∈

, są funkcjami ciągłymi w punkcie

0

x

, to

)

x

(

g

)

x

(

f

m

;

)

x

(

g

)

x

(

f

⋅

(suma, różnica, iloczyn) też są funkcjami ciągłymi. Jeśli

0

)

x

(

g

≠

w

pewnym otoczeniu punktu x

0

, to

)

x

(

g

)

x

(

f

też jest ciągła w punkcie

0

x .

Tw. Funkcja ciągła w punkcie

0

x zachowuje znak w pewnym otoczeniu punktu

0

x , tzn. jeśli:

0

)

x

(

f

0

>

, to istnieje

0

r > , że dla

)

r

,

x

(

U

x

0

∈

)

x

(

f

jest stale dodatnia.

Podobnie gdy

0

)

x

(

f

0

<

, to istnieje

0

r > , że dla

)

r

,

x

(

U

x

0

∈

)

x

(

f

jest stale ujemna.

Tw. (Weierstrassa) Jeśli

)

x

(

f

jest ciągła w przedziale domkniętym

>

<

b

,

a

, to istnieją takie punkty

>

∈<

b

,

a

x

1

oraz

>

∈<

b

,

a

x

2

, że liczba

)

x

(

f

1

stanowi kres górny zbioru wartości funkcji oraz

)

x

(

f

2

stanowi kres dolny zbioru wartości funkcji na zbiorze

>

<

b

,

a

. Mówimy, że funkcja ciągła na

przedziale domkniętym osiąga kres dolny i górny zbioru swoich wartości.

Tw. Jeżeli

X

x

),

x

(

f

∈

jest ciągła w przedziale, do którego należą punkty

1

x i

2

x , to funkcja

)

x

(

f

osiąga każdą wartość zawartą w przedziale określonym przez liczby

)

x

(

f

1

oraz

)

x

(

f

2

Mówimy, że funkcja ciągła osiąga wszystkie wartości pośrednie (między

)

x

(

f

1

i

)

x

(

f

2

).

Tw. (o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcja

)

u

(

f

jest ciągła w punkcie

0

u oraz

)

x

(

g

jest ciągła

w punkcie

0

x przy czym

)

x

(

g

u

0

0

=

, to funkcja złożona

))

x

(

g

(

f

)

x

(

h

=

jest ciągła w punkcie

0

x

Tw.(o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej) Jeśli istnieje granica właściwa

g

)

x

(

g

lim

0

x

x

=

→

oraz

funkcja

)

u

(

f

jest

ciągła

w

punkcie

g

u

0

=

,

to

)

g

(

f

)

u

(

f

))

x

(

g

lim

(

f

))

x

(

g

(

f

lim

0

x

x

x

x

0

0

=

=

=

→

→

Twierdzenie powyższe mówi, że jeśli funkcja zewnętrzna jest ciągła a wewnętrzna ma granicę
skończoną w punkcie

0

x , to można najpierw obliczyć granicę funkcji wewnętrznej i następnie

obliczyć wartość funkcji zewnętrznej w punkcie granicznym
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Def. Jeżeli

)

x

(

f

jest różnowartościowa w zbiorze X, to dla każdego

0

y

należącego do

f

P

[zbioru

wartość funkcji

)

x

(

f

] istnieje dokładnie jeden punkt

X

x

0

∈

, że

0

0

y

)

x

(

f

=

. Zależność ta określa

funkcję zmiennej y w zbiorze

f

P

:

)

y

(

h

x =

Funkcja h(y) nazywana jest funkcją odwrotną do funkcji f(x). Funkcja odwrotna h(y) może być

zapisana symbolem

)

x

(

f

1

−

(wykładnik (−1) nie oznacza potęgi).

Specjalną grupę funkcji odwrotnych stanowią funkcje cyklometryczne. Są to funkcje częściowo
odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Ponieważ funkcje trygonometryczne nie są
różnowartościowe, to dobiera się przedziały, na których funkcje te są różnowartościowe.

f

f

P

1

,

1

y

D

2

,

2

x

,

x

sin

y

=

>

−

∈<

⇒

=

π

π

−

∈

=

h

h

P

2

,

2

x

D

1

,

1

y

,

y

sin

x

=

π

π

−

∈

⇒

=

>

−

∈<

=

arc

f

f

P

1

,

1

y

D

,

0

x

,

x

cos

y

=

>

−

∈<

⇒

=

>

π

∈<

=

h

h

P

,

0

x

D

1

,

1

y

,

x

=

>

π

∈<

⇒

=

>

−

∈<

=

arccos

f

f

P

)

,

(

y

D

2

,

2

x

,

tgx

y

=

∞

−∞

∈

⇒

=













π

π

−

∈

=

h

h

P

2

,

2

x

D

)

,

(

y

,

tgy

x

=













π

π

−

∈

⇒

=

∞

−∞

∈

=

arc

f

f

P

)

,

(

y

D

)

,

0

(

x

,

ctgx

y

=

∞

−∞

∈

⇒

=

π

∈

=

h

h

P

)

,

0

(

x

D

)

,

(

y

,

tgy

x

=

π

∈

⇒

=

∞

−∞

∈

=

arcc

Aby określić funkcję odwrotną należy wyliczyć z zależności

)

x

(

f

y =

zmienną x wykonując

obustronnie odpowiednie działanie (pierwiastkowanie, logarytmowanie itd.).
Funkcja odwrotna h(y) zachowuje podstawowe własności funkcji f(x) tzn. jeśli f(x) jest ciągła i
rosnąca (malejąca) w pewnym przedziale

>

<

2

1

x

,

x

, to funkcja odwrotna do niej h(y) jest też ciągła i

rosnąca (malejąca) w odpowiednim przedziale

>

<

)

x

(

f

),

x

(

f

2

1

.

Def.Funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy ciągiem

)

n

(

f

a

n

=

Z

N

:

f

→

; gdy zbiór Z jest zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych, ciąg

n

a nazywamy ciągiem

liczbowym.
Dalej słowo ciąg oznacza ciąg liczbowy.
Wykresem ciągu (funkcji

)

n

(

f

) jest zbiór punktów izolowanych.

Monotoniczność ciągu a

n

jest tym samym co monotoniczność funkcji

)

n

(

f

. Mówimy, że ciąg jest

rosnący wtedy, gdy

k

n

N

k

,

n

a

a

k

n

>

⇒

>

∈

∧

[niemalejący:

k

n

a

a

k

n

≥

⇒

>

]

Można również ciąg rosnący opisać następująco:

n

1

n

N

n

a

a

>

+

∈

∧

[niemalejący:

n

1

n

a

a

≥

+

]

Analogicznie ciąg malejący

n

1

n

N

n

a

a

<

+

∈

∧

[nierosnący:

n

1

n

a

a

≤

+

]

Def. (o granicy ciągu wg Cauchy) Liczbę g nazywamy granicą ciągu a

n

i piszemy

g

a

lim

n

n

=

∞

→

wtedy i

tylko wtedy, gdy

ε

<

−

>

∈

>

ε

∧

∨

∧

|

g

a

|

n

n

n

N

n

0

0

0

, tzn. prawie wszystkie wyrazy ciągu a

n

(tnz. Wszystkie

poza skończoną ilością) należą do otoczenia liczby g o promieniu ε.

Def.(granicy ciągu według Heinego) Liczba g jest granicą ciągu a

n

wtedy i tylko wtedy, gdy każdy

podciąg

i

k

a ciągu

n

a

ma granicę g.

Wniosek: Jeżeli ciąg a

n

posiada podciąg

1

k

a , dla którego

1

k

k

g

a

lim

1

=

∞

→

oraz podciąg

2

k

a

, dla którego

2

k

k

g

a

lim

2

=

∞

→

i

2

1

g

g ≠

, to ciąg a

n

nie ma granicy.

Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych)
Jeżeli

2

n

n

1

n

n

g

b

lim

,

g

a

lim

=

=

∞

→

∞

→

, to :

2

1

n

n

n

g

g

)

b

a

(

lim

m

m

=

∞

→

;

2

1

n

n

n

g

g

)

b

a

(

lim

⋅

=

⋅

∞

→

;

2

1

n

n

n

g

g

b

a

lim

=

∞

→

, gdy

0

b

n

≠

i

0

g

2

≠

Tw. (o trzech ciągach) Dane są ciągi takie, że

n

n

n

b

a

c

≤

≤

. Jeżeli istnieje

n

n

n

n

c

lim

g

b

lim

∞

→

∞

→

=

=

, to

g

a

lim

n

n

=

∞

→

.

Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach ilustruje następujący przykład

Obliczyć

5

n

2

n

sin

lim

2

n

+

∞

→

5

n

2

n

sin

a

2

n

+

=

, niech

5

n

2

1

b

2

n

+

=

,

5

n

2

1

c

2

n

+

−

=

;

5

n

2

1

5

n

2

n

sin

5

n

2

1

2

2

2

+

≤

+

≤

+

−

0

5

n

2

1

lim

5

n

2

1

lim

2

n

2

n

=

+

−

=

+

∞

→

∞

→

, więc

0

5

n

2

n

sin

lim

2

n

=

+

∞

→

__________________________________________________________________________________